代数式求值的常用方法1

代数式求值的常用方法

代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧.本文结合2006年各地市的中考试题，介绍几种常用的求值方法，以供参考.

一、化简代入法

化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简，然后再代入求值.

例1先化简，再求值：

()

11b a b b a a b ++

++，其中512a +=，51

2b -=. 解：由512a +=

，51

2

b -=得，5,1a b ab +==. ∴原式()()22()()5()()ab a a b b a b a b

ab a b ab a b ab a b ab a b ab

+++=++===++++.

二、整体代入法

当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入，实现降次、归零、约分，快速求得其值.

例2已知

114a b -=，则2227a ab b a b ab

---+的值等于（ ）. A ．6 B ．－6 C ．215 D ．2

7

-

解：由114a b -=得，

4b a

ab

-=，即4a b ab -=-. ∴()()2242662272787a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ab

-------====-+-+-+-.故选A. 例3若

1233215,7x y z x y z ++=++=，则111

x y z ++= . 解：把

1235x y z ++=与3217x y z ++=两式相加得，444

12x y z

++=， 即111412x y z ⎛⎫++=

⎪⎝⎭

，化简得，111

3x y z ++=.故填3.

三、赋值求值法

赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法.这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围.

例4先化简2332

11

x x x +---，然后选择一个你最喜欢的x 的值，代入求值． 解：原式()()()312321

111111

x x x x x x x +=

-=-=

+-----．

依题意，只要1x ≠±就行，如当2x =时，原式1=． 四、倒数法

倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法. 例5若

22237y y ++的值为14，则21461

y y +-的值为（ ）.

A ．1

B ．－1

C ．－

1

7

D ．

15

解：由2

21

2374

y y =++，取倒数得，223742y y ++=，即2231y y +=. 所以()

22

46122312111y y y y +-=+-=⨯-=，即

2

1

1461

y y =+-.故选A. 五、主元代换法

所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元），再代入求值的一种方法.

例6已知230a b c ++=，350a b c ++=，则222

222

2322a b c a b c -+--的值______.

解：把已知条件看作关于,a b 的方程组230,350.a b c a b c ++=⎧⎨

++=⎩ 解得,

2.a c b c =⎧⎨=-⎩

∴()()2

22

2222

22

22222

2322391229222c c c a b c c a b c c c c c

--+-+-===------.故填1. 六、配方法 通过配方，把已知条件变形成几个非负数的和的形式，利用“若几个非负数的的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值.

例7若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23

a b c ++=____ 解：由222a b c ab bc ca ++=++，得222

2222220a b c ab bc ca ++---=. 所以()()()2

2

2

0a b b c a c -+-+-=，由非负数的性质得，0,0,0a b b c a c -=-=-=， 即a b c ==.又∵2312a b c ++=，∴2a b c ===. 原式=2

3

22214++=.故填14. 七、数形结合法

在数学研究中，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合法是指根据题目中的数或形的意义，利用“式结构”或“形结构”的特点及其相互转化，达到求值的一种方法.

例8如图1，数轴上点A 表示2，点A 关于原点的对称点为B ，设点B 所表示的数为x ，求()

2

2x x -+的值．

解： 点A 表示的数是2，且点B 与点A 关于原点对称，

∴点B 表示的数是2-，即2x =-． ∴()

()

2

2222(2)121x x -+=--+⨯-=-=-.

例9如图2，一次函数5y z =+的图象经过点(),P a b 和(),Q c d ，则

()()a c d b c

d ---的值为_________． 解：由点(),P a b 和(),Q c d 在一次函数5y z =+的图象上，则

5b a =+，5d c =+，即5a b -=-，5c d -=-.

所以()()()()()()5525a c d b c d c d a b ---=--=-⨯-=.故填25.

八、利用根与系数的关系

如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可以看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值. 当所求的代数式不是轮换对称式，可根据其特点构造对称式或利用方程根的定义综合求值.

例10一元二次方程2

310x x -+=的两个根分别是12,x x ，则221212x x x x +的值是（ ）.

Ａ．3

Ｂ．3-

Ｃ．13

Ｄ．13

-

解：由根与系数的关系得，123x x +=，121x x =-. 原式()()2212121212133x x x x x x x x =+=+=-⨯=-.故填3.

例11如果αβ、是一元二次方程2

3 1 0x x +-=的两个根，那么2+2ααβ-的值是___________

解：由根与系数的关系得，3αβ+=-；由方程根的定义得，2

3 1 0αα+-=，即

231αα+=.所以()22+2(+3)()134ααβαααβ-=-+=--=.故填4.

九、特殊值法

有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单.

例12若()3

2301232x a a x a x a x -=+++，则()()22

0213a a a a +-+的值为_______.

解：由(

)

3

2301232x a a x a x a x -=+++知，

若令1x =，则(

)

3

012321a a a a +++=

-；若令1x =-，则(

)

3

012321a a a a -+-=

+.

所以()()()()2

2

021*********a a a a a a a a a a a a +-+=++++--