代数式的求值技巧

代数式的求值

技术1、利用分类讨论方法

例1 已知x ＝7，y ＝12，求代数式x +y 的值.

分析 先利用绝对值的意义，求出字母x 和y 的值，再分情况讨论求值. 解 因为x ＝7，y ＝12，所以x ＝±7，y ＝±12.

所以当x ＝7，y ＝12时，原式＝19； 当x ＝－7，y ＝－12时，原式＝－19； 当x ＝7，y ＝－12时，原式＝－5； 当x ＝－7，y ＝12时，原式＝5. 所以代数式x +y 的值±19、±5.

技术2、利用数形结合的思想方法

例1 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │的值.

分析 由于只知道有理数a ，b ，c 在数轴上的位置，要想直接分别求出有理数a ，b ，c 是不可能的，但是，我们可以利用数形结合的思想方法，从数轴上发现有理数a ，b ，c 的符号，还可以准确地判定a +b 、b －1、a －c 、1－c 的符号，这样就可以化去代数式中的绝对值的符号.

解 由图可知，a +b ＜0，b －1＜0，a －c ＜0，1－c ＞0，

所以│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │＝－a －b －1+b －c +a －1+c ＝－2. 技术3、利用非负数的性质

例1 已知(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0.计算2a +b +c 的值.

分析 在等式(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0中有三个字母，要想分别求其值，可以利用平方和绝对值的非负性求解.

解 因为(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0，又(a －3)2≥0，│－b +5│≥0，│c －2│≥0.

所以a －3＝0，－b +5＝0，c －2＝0，即a ＝3，b ＝5，c ＝2， 所以当a ＝3，b ＝5，c ＝2时，原式＝2×3+5+2＝13.

例2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求b

a

a b +之值。

[解] ∵a 2b 2+a 2+b 2

-4ab+1

=(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2) =(ab-1)2+(a-b)2

则有(ab-1)2+(a-b)2=0

∴⎩

⎨⎧==-.1,0ab b a

解得⎩⎨⎧==;1,1b a

⎩

⎨⎧-=-=.1,

1b a 当a=1，b=1时，

b

a

a b +=1+1=2 b a c 1

当a=-1，b=-1时，

b

a

a b +=1+1=2 技术4、利用新定义

例1 用“★”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝b 2+1.例如，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m 为实数时，m ★(m ★2)＝＿＿＿.

分析 由新定义的意义可知，运算的结果等于后一个数的平方加1，对于第二个小填空题，只要先做括号里即可.

解 因为a ★b ＝b 2+1，所以5★3＝32+1＝10；m ★(m ★2)＝m ★(22+1)＝m ★5＝52+1＝26.故应分别填上10、26.

技术5、利用整数的意义

例1 四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，如果abcd ＝9，那么a +b +c +d ＝（ ） A.0 B.8 C.4 D.不能确定

分析 抓住a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数，且abcd ＝9，进行必要的推理，分别求出a 、b 、c 、d 的值，即可求解.

解 因为a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数，且abcd ＝9，所以a 、b 、c 、d 只可以是+1、－1、+3、－3中的一个数，

所以a +b +c +d ＝0.故应选A . 技术6、巧用变形降次

例1 已知x 2－x －1＝0，试求代数式－x 3+2x +2008的值.

分析 考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x 2＝x +1，这样由乘法的分配律可将x 3写成x 2x ＝x (x +1)＝x 2+x ，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.

解 因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x +1， 所以－x 3+2x +2008＝－x 2x +2x +2008 ＝－x (x +1)+2x +2008 ＝－x 2－x +2x +2008 ＝－x 2+x +2008

＝－(x 2－x －1)+2007 ＝2007.

技巧7. 整体代入法

当单个字母的取值未知的情况下，可借助“整体代入”求代数式的值。 【例1】（1）已知223257963x y x y -+=--，求的值. （2）已知

23(2)25(2)

3223(2)2m n m n m n m n m n m n m n m n

---+=--+++-，求的值. 解析：求代数式的值，一般直接将字母的具体值代入，但该题x y m n 、、、都无具体的值，一般采用整体代入法，观察已知与所求，进行对比分析，通过共同点

与不同点来寻找解题方法.

解：（1）223257322x y x y -+=∴-=∴ ，

，原式=3（232x y -）-3=3×2-3=3.

（2）

232m n m n -=+，2123m n m n +∴=∴-，原式=11519

333591.3333

⨯-⨯-⨯=--= 方法技巧：整式化的思想，在解题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用.

【例2】当abc=1时，求111

a b c

ab a bc b ac c ++

++++++的值. 解析：当abc=1时，原式

方法技巧：分析代数式的特点，寻找解题问题的突破口.

【例3】已知a+b+c=0,求代数式3b c a c a b

a b c

++++++的值.

解析：因为a+b+c=0,而代数式中没有a+b+c.想办法凑出这个式子是解题的关键；

也可以变形为b+c= -a.从而1b c

a

+=-

解法1：当a+b+c=0时，原式

解法2：当a+b+c=0时，原式

解法3：当a+b+c=0时，则有a+b= -c ，b+c= -a ，a+c= -b. 所以 原式

例4已知114a b -=，则2227a ab b

a b ab

---+的值等于（ ）.

A ．6

B ．－6

C ．215

D ．2

7

-

解：由114a b -=得，4b a

ab

-=，即4a b ab -=-.

∴

()()2242662272787a b ab a ab b

ab ab ab a b ab a b ab ab ab ab

-------====-+-+-+-.故选A.

11111111.

a b bc

ab a abc bc b abc bc b

b b

c b bc bc b bc b

b b

c b bc

=++++++++=++++++++++=++=31113

1113

0.b c a a a c b b a b c c

a b c

a b c a b c a b c

a b c

++-++-++-=

+++++++++=-+-+-+=---+=1110000.b c a c a b

a b c

b c a a c b a b c

a b c a b c +++=+++++++++++=++

=++=311130.

a b c

a b c

---=+++=---+=