北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习试题

1.3 正方形的性质与判定

一．选择题

1．下列说法错误的是（）

A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形

B．矩形的对角线相等

C．对角线相等的菱形是正方形

D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形

④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）

A．①②B．③④C．①②④D．①②③④

4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形

B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形

C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形

D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形

5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：

（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．

其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二．填空题

6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．

7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．

8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．

9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．

10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．

11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．

12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．

13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．

14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．

15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．

三．解答题

16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．

（1）求证：四边形CDEF是菱形；

（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．

17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．

（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．

18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）求AG+AE的值；

（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．

21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：

（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

参考答案

一．选择题

1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；

矩形的对角线相等，故选项B正确；

对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；

两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；

故选：A．

2．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．

又AE＝AE，

∴△ABE≌△ADE（SAS）．

∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．

∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．

故选：C．

3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．

∵两张长方形直尺的宽度相等，

∴DE＝DF，

又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，

∴AB＝BC，

∴平行四边形ABCD为菱形．

当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，

∴这个四边形一定是轴对称图形，

故选：C．

4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．