磁通连续性定理
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第7章 (稳恒磁场)习题课
条件：只有电流分布（磁场分布）具有对称性 时才可利用安培环路定理求磁感应强度。 步骤: 1. 分析磁场分布的对称性； 2. 作适当的闭合回路L，确定L绕向(积分路径走 向 )； 3. 确定回路包围的电流，求得B的大小
二．载流导线和运动电荷所受磁场力
1． 洛伦兹力: 特征:方向垂直于v和B所构成的平 面；不作功，不改变电荷的速率和动能．
方向沿x方向 （若F为正值，则合力的方向与x轴正向一致）。
例5 半径分别为R1和R2的两个半圆弧与直径的两小段
构成的通电线圈abcda (如图所示)，放在磁感强度
为B的均匀磁场中，平行线圈所在平面．则 线圈的磁矩大小为
1 2 I ( R2 R12 ) 2 ___________ ，
R2 a b
2r
0
2
R o r
dr
B
0
2
dr
0
R
0R
2
dr
例4. 均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于 直线通过O 点的轴以角速度ω 匀速转动( 线形状不 变, O 点在A B 延长线上) , 求: r dr (1 ) O点的磁感应强度B; O B a A (2 ) 磁矩m ; b （1）解 ：在带电细线离O点r处取线元dr，其带 电量 dq dr，旋转时相当于一圆电流
2 r 2 R2 I 1 H 2 2 2r R R 3 2
1.解: 圆电流在O点产生的磁场 0 I 2 B1 方向× 2R 长直导线电流在O点产生的磁场 0 I 2 方向× B2 2R 导体管在O点产生的磁场由安培环路定理求得，
B3
0 I1
2 (d R)
方向×
圆心O点处的磁感应强度
二．载流导线和运动电荷所受磁场力
1． 洛伦兹力: 特征:方向垂直于v和B所构成的平 面；不作功，不改变电荷的速率和动能．
方向沿x方向 （若F为正值，则合力的方向与x轴正向一致）。
例5 半径分别为R1和R2的两个半圆弧与直径的两小段
构成的通电线圈abcda (如图所示)，放在磁感强度
为B的均匀磁场中，平行线圈所在平面．则 线圈的磁矩大小为
1 2 I ( R2 R12 ) 2 ___________ ，
R2 a b
2r
0
2
R o r
dr
B
0
2
dr
0
R
0R
2
dr
例4. 均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于 直线通过O 点的轴以角速度ω 匀速转动( 线形状不 变, O 点在A B 延长线上) , 求: r dr (1 ) O点的磁感应强度B; O B a A (2 ) 磁矩m ; b （1）解 ：在带电细线离O点r处取线元dr，其带 电量 dq dr，旋转时相当于一圆电流
2 r 2 R2 I 1 H 2 2 2r R R 3 2
1.解: 圆电流在O点产生的磁场 0 I 2 B1 方向× 2R 长直导线电流在O点产生的磁场 0 I 2 方向× B2 2R 导体管在O点产生的磁场由安培环路定理求得，
B3
0 I1
2 (d R)
方向×
圆心O点处的磁感应强度
电磁场理论第21讲-磁通连续性原理-安培环路定律
y′, z′)
−J(x′,
y′,
z′)⋅∇×∇(
1 r
)
∇×J(x′, y′, z′) = 0
∇
×
∇(
1 r
)
=
0
∫ ∇ ⋅ B
=
µ0 4π
V′
∇
⋅J
( x′,
y′,
z′) × ∇(
1 r
)dV
′
=
0
∇⋅B =0
表表明明BB是是无无头头无无尾尾的的闭闭合合线线，，恒恒定定磁磁场场是是无无源源场场，， 散散度度为为零零可可以以作作为为判判断断一一个个矢矢量量场场能能否否成成为为恒恒定定磁磁 场场的的必必要要条条件件。。
磁通连续性原理 安培环路定律
作业: 要求：推导过程要详细清晰
恒定磁场的散度
从 Biot-Savart Law 直接导出 恒定磁场 B 的散度。
∫ B(x,
y,
z)
=
µ0 4π
V′
J ( x′,
y′, z′)× er r2
dV ′
两边取散度
∫ ∇ ⋅ B ( x,
y, z)
=
µ0 4π
V
′
∇
⋅
J
(
x ′,
取安培环路r < R1 交链的部分电流为
I′
=
I πR12
⋅ πρ 2
=
I
ρ2 R12
应用安培环路定律,得
∫ ∫ B⋅dl = l
2π 0
Bρdφ
=
µ0
Iρ 2 R12
B
=
µ0Iρ 2πR12
eφ
2) R1 ≤ ρ < R2
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
6.2磁感应强度和毕奥-萨伐尔定律
解
dB =
µ0 Idy sin θ
4π r′2
Idy sin θ B = ∫ dB = 4π ∫ r ′ 2 3 dy µ 0 Idy sin θ = ∫ r2 4π
µ0
电流元
=
=
∫θ 4πr
µ0 I
4πr
µ0 I
θ2
1
sin θdθ
(cosθ1 − cosθ2 )
B=Βιβλιοθήκη µ0 I4πr(cosθ1 − cosθ2 )
r r r µ 0 Id l × r dB = 3 4π r
dB⊥dl，dB⊥r， 感 应 ⊥ ， ⊥， 磁 线是一系列以dl 线是一系列以 的延长线 为中心轴的同心圆。 为中心轴的同心圆。
dB 的大小： 的大小：
dB =
µ0 Idl sin θ
4π r
2
µ 0＝4π×10−7 T·m·A−1 π
2. 磁通连续定理 定义： 定义：通过磁场中任一曲面 S 的磁通量 r r Φm = ∫ B ⋅ dS
S
电流元磁场的磁感应线是一系列圆， 电流元磁场的磁感应线是一系列圆 ， 它们 通过任一闭合面的磁通量等于零。 通过任一闭合面的磁通量等于零。 根据磁场叠加原 载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量， 理 ， 载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量 ， 等于各个电流元磁场通过该闭合面磁通量的代 数和， 因此在稳恒磁场中， 数和， 因此在稳恒磁场中，通过任一闭合面 的磁通量都等于零： 的磁通量都等于零：
为形象地描绘磁场， 为形象地描绘磁场，类比引入电场线的方法 引入磁感应线（ 线 引入磁感应线（B线）。 在画法上， 在画法上 ， 磁感应线的 规定与电场线一样。 在实验上， 可用铁粉（ 规定与电场线一样 。 在实验上 ， 可用铁粉 （ 小 磁针） 线的分布。 磁针）在磁场中的排列显示 B 线的分布。
磁通连续性定理
——磁场的高斯定理
B（又叫磁通ຫໍສະໝຸດ 续性方程）SsBds0
说明了磁场是无源场.
3、 sBds的0一个重要的推论
以任意闭合曲线 L为边线的所有曲面上有 相同的磁通。
证明：以任意闭合曲线 L 为边线的所有曲面上
有相同的磁通。
证：如图，以闭合曲线
面元的单位法矢量用 e n
L
0
为边任取一曲面 表示。
S
0
，其上
B//S
dΦBdS0I ldx
2πx
ΦSB dS 20 πIld d12dxx
Φ 0Il lnd2
2π d1
作业： 例
B
dS
B
s
闭合曲面 S的磁通量
sBds
单位 1 W 1 b T 1 m 2
B
dS
S B
规定闭合曲面上所有矢量面元的单位法矢量一律指 向外，且实验表明：磁感应线是无头无尾的。所以 如果有磁感应线穿过闭合曲面的话，一定会出现某 些地方穿出、另一些地方穿进
2、 磁场的高斯定理
通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零
§12.3 磁通连续性定理
知识点： ①磁场的高斯定理；
②“穿过某闭合曲线L 的磁通量”的计算
1、磁通量
磁感应强度 在B 空间构成矢量场，为了研究该矢 量场的性质，类比第一章所讲的电通量，引入磁场
的磁感应通量，简称“磁通”。 矢量面元 d S的磁通
en
dS
B
dBdS 曲面 S的磁通量
sBds
dS
则 S 0 S1 够成一个高斯 面高；斯S面0 。 S 2 构成另一个
根据磁场的高斯定理，有
0 10 ; 0 20
故： 1 2
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
B, r
BH
r H
0
H
单向电流励磁
B Br
Hc 0
Hc
H
正反电流励磁和退磁
3.2 磁通连续性原理
为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。
➢ 磁力线有以下特点: (1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无 穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2) 磁力线与载流电路互相铰链(即每条磁力线都 围绕着载流导线)。 (3) 任两条磁力线都不相交。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1
I dz
L2 ( 2 z 2 )3 2
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
安培力定律公式可改写为：
F
Id l ( μ0
l
4π
l
I
d
l R2
eR
磁通连续性和安培环路定理
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36
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度
DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS
穿进的磁通量必定等于穿出的磁通量，亦即通过任
意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零：
SB dS 0
(2.3-3)
这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连 续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.
7
现在，我们从毕奥—萨伐尔定律出发，对(2.3-3)加 以证明.
我们考虑电流圈L中其中一个电流元Idl ，设它的流
我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：
B dS 0
磁场“高斯定理”
S
SB dS V BdV
B 0
安培环路定理
Bdl
L
0
J dS
S
LB dl S ( B)dS
B 0J
37
B 0 J 则表示在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁
场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，
而在J = 0的地方， ▽×B = 0，无涡旋. （静电场 E 0 ）
0 I 4
0 I 4
4
0 I
得证
14
如果有多个电流 I1、I2 …...In穿过积分回路L，根
据叠加原理，即可得:
n
B dl L
0
Ii
i 1
I5 L
当电流以一定的密度J 分布于
以积分回路L为边界的曲面S上，
安培环路定理就表示为
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Φ 0 + Φ1 = 0; Φ 0 + Φ 2 = 0
故： Φ 1 = Φ 2
6
例 如图载流长直导线的电流为 I , 磁通量. 磁通量.
试求通过矩形面积的
B
I
解：如图在坐标 x → x + dx 间取矢 量面元， 量面元，先求 dΦ ，再积分求 Φ
B=
µ0 I
2π x
B // S
µ0 I
2πx ld x
dS
dS⊥
θ
B
d Φ = B ⋅ dS 曲面 S 的磁通量
Φ = ∫∫ B ⋅ ds
s
B
dS
面 S 的磁通量
B
d S
S
Φ=
∫∫
s
B ⋅ ds
2
θ
B
单位 1Wb = 1T × 1m
规定闭合曲面上所有矢量面元的单位法矢量一律 指向外，且实验表明：磁感应线是无头无尾的。 指向外，且实验表明：磁感应线是无头无尾的。所 以如果有磁感应线穿过闭合曲面的话， 以如果有磁感应线穿过闭合曲面的话，一定会出现 某些地方穿出、 某些地方穿出、另一些地方穿进
§12.3 磁通连续性定理
知识点： 知识点： ①磁场的高斯定理； 磁场的高斯定理； L 的磁通量” ②“穿过某闭合曲线 的磁通量”的计算
1
1、磁通量
在空间构成矢量场， 磁感应强度 B 在空间构成矢量场，为了研究 该矢量场的性质，类比第一章所讲的电通量， 该矢量场的性质，类比第一章所讲的电通量，引入 磁场的磁感应通量，简称“磁通” 磁场的磁感应通量，简称“磁通”。 en 矢量面元 dS 的磁通
3
2、 磁场的高斯定理 通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零
——磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
B
S
（又叫磁通连续性方程） 又叫磁通连续性方程）
∫∫ B ⋅ ds = 0
s
说明了磁场是无源场. 说明了磁场是无源场.
4
3、
∫∫
s
B ⋅ ds = 0
的一个重要的推论
以任意闭合曲线 L 为边线的所有曲面上有 相同的磁通。 相同的磁通。
l
d1 d2
dΦ = B ⋅ dS =
o
Φ = ∫S B ⋅ dS =
µ0 Il
2π
d2 ∫d1
x
dx x
d2 Φ= ln 2π d1
µ 0 Il
7
作业： 作业： 例
8
5
证明： 证明：以任意闭合曲线 L 为边线的所有曲面上 有相同的磁通。 有相同的磁通。
证：如图，以闭合曲线 L 为边任取一曲面 S0 ，其上 如图， 表示。 面元的单位法矢量用 en 0 表示。 则 S0 + S1 够成一个高斯 面；S0 + S 2 构成另一个 高斯面。 高斯面。
根据磁场的高斯定理， 根据磁场的高斯定理，有