初二数学培优之配方法
八年级数学下册《配方法》教案、教学设计
（1）探究配方法在解决其他类型问题中的应用，如不等式的求解等。
（2）查阅资料，了解配方法在数学发展史上的地位和作用，撰写一篇小论文。
3.创新题：
（1）结合生活实际，设计一个具有挑战性的问题，运用配方法解决，并与同学分享解题过程。
（2）尝试对配方法进行拓展，如解决含有两个变量的方程组问题。
（2）课后反思自己的教学效果，找出存在的问题，不断优化教学设计，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：以一个与学生生活密切相关的问题为背景，如“小明家的花园是一个正方形，边长比小明身高多2米，如果小明身高1.6米，那么花园的面积是多少？”引发学生思考。
2.提出问题：引导学生从问题中提炼出一元二次方程，如x^2 - 3.2x + 2.56 = 0，让学生思考如何解这个方程。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选择一个典型例题，如x^2 - 6x + 9 = 0，进行讨论。
2.小组成员共同探讨配方法的步骤，尝试用配方法解方程。
3.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和讨论。
4.教师引导学生总结讨论过程中的优点和不足，给出改进建议。
（四）课堂练习
1.设计具有梯度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
注意事项：
1.学生在完成作业过程中，要注意规范书写，养成良好的学习习惯。
2.鼓励学生独立思考，遇到问题时可以与同学讨论，提高解决问题的能力。
3.做题过程中，要求学生注重细节，避免出现计算错误。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，给予有针对性的评价和指导。
5.鼓励学生在完成作业后进行自我反思，总结学习过程中的优点和不足，不断提高。
初中数学方法篇一：配方法
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。
例4、解方程052422=+-++y x y x 。
点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们求出所要求的最值。
例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。
初二升初三数学培优教材(培训学校专用)
第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
初中数学解题方法-配方法课件
配方法在方程中的应用
在解方程的过程中，配方法 能够帮助我们找到方程的特 点，并通过变形和运算来求 解方程。
配方法在函数中的应用
通过配方法，我们可以分析 函数的性质和图像，并运用 相关的方法来解决与函数相 关的问题。
常见错误及解决办法
1 配方法使用错误的情况
有时候学生在使用配方法时会犯一些常见的错误，比如选择错误的配方法或者在计算过 程中出现错误。
2 配方法修正错误的方法
当我们发现使用了错误的配方法时，可以通过调整和修正的方法来纠正错误，并重新进 行解题。
3 沟通交流技巧
在配方法的应用过程中，良好的沟通和交流能够帮助我们更好地理解问题，并与他人分 享和学习配方法的经验。
总结
1 配方法的重要性
配方法是初中数学解 题的重要方法之一， 能够帮助学生发现问 题的规律和解题的思 路，提高数学解题的 效率。
初中数学解题方法-配方 法ppt课件
在这个课件中，我们将介绍初中数学解题方法中的一种重要方法——配方法。 通过理解配方法的概念、应用场景以及解题流程，帮助学生更好地应对各种 数学问题。
理解配方法的概念
1 什么是配方法
配方法是一种数学解 题技巧，通过配合适 当的方法和思路来解 决复杂的数学问题。
2 配方法的应用场景 3 配方法的解题流程
公式配方法
运用数学公式和定理，将问题转化为符合 公式特点的形式，简化问题求解的过程。
其他配方法
除了上述常见的配方法外，还有一些特殊 的配方法，根据不同的情况选择合适的方 法来解决问题。
实例分析
配方法在代数式中的应 用
通过配方法，我们可以将复 杂的代数式转化为更简单的 形式，从而更容易理解和计 算。
配方法适用于解决代 数式、方程和函数等 领域的问题，能够帮 助学生发现问题的规 律和解题的思路。
著名机构数学讲义暑假07-八年级培优版-一元二次方程的解法(2)-教师版
教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称一元二次方程的解法（2）知识点Ⅰ： 配方法解一元二次方程1.定义：先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方形式，然后直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法。
2.理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3.步骤：二次项系数化为1；移项；配方：配上一次项系数一半的平方；直接开平方法解。
【例1】 (1) 2x ++x 8 = (+x )2;一元二次方程的解法（2）(2) _2a 6+a = (-a )2; (3) 2y 32-+y = (-y )2. 【答案】（1）164（2）93（3）1193【例2】（1）x x 252-+____=2___)(-x ; (2)px x -2+_____=2__)(-x ; (3)x ab x +2+ ______=2___)(+x . 【答案】（1）255164（2）242p p （3）2242b baa【例3】用配方法解方程（1）2610x x --= （2）22330x x --=（3）22410x x --= （4）22370x x +-= 【答案】（1）12310310x x =+=-（2）1233333344x x +-==（3）12262622x x +-==（4）1236536544x x -+--==知识点Ⅱ：一元二次方程的解法公式法1.求根公式推导：（3）23102x x --= （4）()441t t -=（5）2102x x --= （6）2243220x x +-= 【答案】（1）1242242233y y +-==（2）12513x x ==-（3）12122x x ==-（4）12235235x x =+=-（5）12131322x x +-==（6）12622622x x =-+=--知识点Ⅲ： 用适当的方法求一元二次方程先观察形式，在看是否需要整理成一般形式；考虑十字相乘法，在考虑公式法。
上海沪科版初中数学八年级下册17.2.1 配方法
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！17.2 一元二次方程的解法1.配方法学习目标：1.理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．通过对配方法的探究渗透转化的数学思想，经历从特殊到一般的认知过程，培养观察能力和归纳能力.3．激发学生学数学的兴趣，主动探究知识、自主学习和合作交流的意识，体会学数学的快乐。
学习重点：会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．学习难点：难点是发现与理解配方法.学习过程：知识回顾:1、某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？解：设无公害蔬菜产量的年增长率为x ，2005年的产量为，则可得方a 程：整理后，得：a x a 2)1(2=+0122=-+x x 到这里，问题还没有得到完全解决，我们认识了一种新的方程——一元二次方程，但是这样的方程，我们怎样来求它的解呢？2、用直接开平方法解下列方程：（1）、 （2）、22=x 75)1(32=+x 自学探究:1、如何解方程呢？0122=-+x x 显然，无法使用直接开平方法，观察上面的方程求解过程不难发现，如果能够将方程左边变形成一个完全平方式，而右边是一个非负数，问题便可以得到解决。
我们来做下面一组练习：（1）； （2）22____)(____4+=++x x x 22____)(____8-=+-x x x （3）； （4） 22____)(____3-=+-x x x 22____)(____5+=++y y y 通过上面一组练习的启发，我们对方程做如下尝试变形： 0122=-+x x 移项：122=+x x 两边同时：1+11122+=++x x 即：2)1(2=+x 此时，发现可以适用直接开平方法，得：_______. 2)1(2=+x =+1x 所以，原方程的根是：______________ ， _____________ .=1x =2x 2、从而得出：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法进行求解,这种解法叫做配方法。
人教版初中数学《配方法》全文课件
人教版初中数学《配方法》全文课件
(2)14x2＋3＝6x. 解：移项，得14x2－6x＝－3. 二次项系数化为 1，得 x2－24x＝－12. 配方，得 x2－24x＋144＝－12＋144，即(x－12)2＝132. 两边开平方，得 x－12＝± 132. x1＝12＋2 33，x2＝12－2 33.
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9．若 x2－4x＋p＝(x＋q)2，则 p，q 的值分别是
A．p＝4，q＝2
B．p＝4，q＝－2
C．p＝－4，q＝2
D．p＝－4，q＝－2
B
()
10．若方程 4x2－(m－2)x＋1＝0 的左边是一个完全平方式，则 m 的
值为
B
()
A．－2
B．－2 或 6
C．－2 或－6
(1)x2－8x＋ (－4)2
4
＝(x－
)2；
(2)x2－32x＋
－432
＝
x－342
．
知识点 2：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程
完全平方式
通过配成
来解一元二次方程的方法叫做配方
法，配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次
方程来解．
4．用配方法解一元二次方程 x2－6x－4＝0，下列变形正确的是
知识点 3：用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤：先将常数项移到方程右边，再将
1
方程二次项系数化为
，然后将方程两边同时加上一次项系数
平方
一半的
，即可将方程化为 (x＋n)2＝p(p≥0)
形式，最后求解．
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一元二次方程解法——配方法教案(初中数学培优)
一元二次方程的解法——配方法教案课程名称一元二次方程的解法——配方法
教学目标1.理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2.通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。
第一节课教学过程
教学流程
步骤一：进门考（复习巩固）时间分配：2’1.如果一个数的平方等于4，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2.直接开平方法可以解什么类型的一元二次方程。
步骤二：时间分配：5’教师活动: （问题探索）
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？请根据这一问题，列出方程。
分析：解决未知的问题可以运用方程思想，即可以先设出第一个数。
解：那么梯子的底端滑动x米，
由勾股定理可以得到原来梯子底端距墙为6m
那么移动后梯子的底端距墙为（x+6 ）米。
根据题意有：
72+（x+6）2 =102
化简得：
x2+12x－15=0
在这个阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
教案编写：张明军。
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初二数学培优之配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、222
2()a ab b a b ±+=±
2、2
a b ±=
3、2222
222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2
2
2
2221
[()()()]2
a b c ab bc ac a b b c a c ++---=
-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2
a = 能
联想起配方法.
(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
例题与求解
【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2
5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.
【例2】 若实数a ，b ， c 满足222
9a b c ++= ，则代数式2
2
2
()()()a b b c c a -+-+- 的
最大值是 ( )
A 、27
B 、18
C 、15
D 、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；
(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】 已知1
52
a b c +-=-， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.
【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：2
2
2
2
497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想
2
1
44448889(66661)n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+L 144244314243 ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.
几个有趣的结论：
(1) 21
444488889(66661)n n
n
+=+L L L 142431424314243
(2) 21
111155556(33331)n n
n
+=+L L L 1231424314243
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
【例6】 已知自然数n 使得2
1991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知2
2
2
2()30a b c a b c ++-+++= ，则3
3
3
3_________a b c abc ++-=.
3、x ，y 为实数，且2
2
422
y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.
4、当x ＞2，得___________.
5、已知2
2
4121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.
(全国通讯赛试题)
6、若2222
1076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )
A 、负数
B 、正数
C 、非负数
D 、可正可负
7的值为 ( )
A 、1
B
C 、
D 、
(全国初中数学联赛试题)
8、设a ，b , c 为实数，2
222,2,23
6
2
x a b y b c z c a π
π
π
=-+
=-+
=-+
，则x ，y ，z 中
至少有一个值 ( )
A 、大于零
B 、等于零
C 、不大于零
D 、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )
A 、2333n n -+
B 、2444n n ++
C 、2
555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2
111111n n -+
10、已知实数a ，b ， c 满足2
2
2
27,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.
(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.
11、解方程组2222
22212121z x z x y x y z y
⎧=⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)
12、能使2256n
+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)
13、已知b a >，且()()243a
a b a ab b b
+++-+
= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)
13、设a 为质数，b 为正整数，且2
9(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.
(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；
(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。