高三数学第一轮复习试卷及答案

2013-2014学年度第一学期高三期中考联考理科数学试题命题人：潮州金山中学本试卷共4页，21题，满分150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（满分40分）1.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意 2.已知aR 且0a ，则“11<a”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 右3.设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）5. 若,x y 满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为（ )A ．20B ．22C ．24D ．286. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-7. 已知定义在R 上的周期为2的偶函数)(x f ，当[]1,0∈x 时,22)(x x x f -=,则 )(x f 在区间[]2014,0内零点的个数为（ ） A ．3019B ．2020C ．3021D ．30228．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－32D ．32二、填空题（满分30分）ks5u（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．在====∠∆AC BC AB A ABC 则中，若,7,5,120010．函数46y x x =-+-的最小值为11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_____12．若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的解析式为__________________13．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点。

例如4x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点。

现有函数1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。

14．以极坐标系中的点 1 , 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆的方程是15．如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CD =_______.三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 16．（本题满分12分）ks5u已知)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数1)(-⋅=→-→-b a x f ，1)(2-=→-b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的零点的集合；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小正周期及其单调增区间. 17．（本题满分14分）在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =，ABC ∆的面积为y .（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求函数()y f x =的值域.18．（本小题满分12分）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足565150,5S S S +==，（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}2n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19．（本小题满分14分）在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当200≤≤x 时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 20.（本小题满分14分）已知函数()xf x ae =，()ln lng x x a =-，其中a 为常数， 2.718e =，函数()yf x =和()y g x =的图像在它们与坐标轴交点处的切线分别为1l ，2l ，且12//l l（Ⅰ）求常数a 的值及1l ，2l 的方程；（Ⅱ）求证：对于函数()f x 和()g x 公共定义域内的任意实数x ，有|()()|2f x g x ->；（Ⅲ）若存在x 使不等式()x mf x ->m 的取值范围。

21．（本小题满分14分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间 （Ⅱ）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：12'()02x x f +> ks5u 2013-2014学年度第一学期高三期中考联考理科数学试题参考答案二、填空题：9、 3 10、 2 11、 35 12、 4log x y = 13、 ()2,014、 2cos 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 15、 4.8 ks5u三、解答题：16（本小题满分12分）解：（Ⅰ）x b x g 2sin 1)(22=-=→- …………3分 由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π…………5分 故函数)(x g 的零点的集合为{()}Z k k x x ∈=2π…………6分 （Ⅱ）12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x …………8分∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T …………9分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63……11分故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3 …………12分17（本小题满分14分）ks5u解：（Ⅰ）ABC ∆的内角和A B C π++=3A π=sin 4sin sin BC AC B x A == 2sin 4sin()sin 3BC AB C x A π∴==-………5分 12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<< ……………7分（Ⅱ）y=21sin()(cos sin )322x x x x x π-=+26sin cos xx x =+)6x π=-+ ………………………11分72666x πππ-<-< …………………12分 1sin 2126x π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭…………………13分 0y ∴<≤ 即值域为 (………………………14分18（本小题满分12分）ks5u解：（1）由56150S S +=及55S =，有63S =- ………………………1分有1151056153a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得173a d =⎧⎨=-⎩ ………………………4分∴7(1)(3)310n a n n =+--=-+ ……………………………5分 ∴27(310)317222n n S n n n +-+==-+ …………………………6分（2）由题意有123n n n b a --=，又由（1）有13206n n b n -=+- ………8分∴12n n T b b b =+++112(12)(32)(32)n n a a a -=++++++1121332()n n a a a -=+++++++13213n n S -=+-2313172n n n -=-+ …12分19（本小题满分14分）（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=， ……………2分显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x ……………6分（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 最大值为12002060=⨯； ……………9分当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值3333310000≈ …………13分 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值约为3333辆/小时．…………14分 20(本小题满分14分)（Ⅰ）()f x 与坐标轴的交点为(0,)a ，'(0)f a =，()g x 与坐标轴交点为(,0)a ，1'()g a a=∴1a a=，解得1a =±，又0a >，故1a = …………………………………3分 ∴1l 方程：1y x =+，2l 方程：1y x =- …………………………………5分（Ⅱ）函数()f x 和()g x 公共定义域为(0,)+∞， …………………………………6分|()()||ln |ln x x f x g x e x e x -=-=-.令()1x h x e x =--，则'()10x h x e =->∴()h x 在(0,)+∞上是增函数.故()(0)0h x h >=，即1x e x -> ① ……………8分令()ln 1m x x x =-+，则1'()1m x x=- 当1x >时，'()0m x <；当01x <<时，'()0m x > ∴()m x 有最大值(1)0m =，因此ln 1x x +< ② 由①②，得1ln 1xe x ->+，即ln 2xe x ->∴|()()|2f x g x -> ……………………………… 10分（Ⅲ）()x mf x ->x m x <- ……………………………… 11分令()x h x x =，则'()1x h x e =-+0x >，∴≥1x e >，故'()0h x <∴()h x 在(0,)+∞是减函数，因此()(0)0h x h <=∴实数m 的取值范围是(,0)-∞ …………………………………………14分21（本小题满分14分）ks5u（Ⅰ）'()2(2)a f x x a x=---22(2)x a x a x ---=(2)(1)x a x x -+=(0)x > ……2分当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ …………………………4分当0a >时，由'()0f x >，得2a x >；由'()0f x <，得02a x << 所以函数的单调增区间为(,)2a+∞，单调减区间为(0,)2a ……………ks5u……6分（Ⅱ）因为12,x x 是函数()f x 的两个零点，有120,0x x a <<>则2111(2)ln 0x a x a x ---=，2222(2)ln 0x a x a x ---= 两式相减得22111222(2)ln (2)ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=即221122112222ln ln x x x x ax a x ax a x +--=+--1122(ln ln )a x x x x =+--所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+-- ……………………………8分又因为'()02a f =，当(0,)2a x ∈时，'()0f x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0f x >故只要证1222x x a +>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+-- …………………10分即证明22221212121122()(ln ln )22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222lnx x x x x x -<+， ……………………………………12分 设12x t x =(01)t <<.令22()ln 1t g t t t -=-+， 则214'()(1)g t t t =-+22(1)(1)t t t -=+，因为0t >，所以'()0g t ≥，当且仅当1t =时，'()0g t = 所以()g t 在(0,)+∞是增函数；又因为(1)0g =，所以当(0,1)t ∈时，()0g t <总成立. 所以原题得证. ……………………………………14分。