第12讲 一次函数

【即时应用】
若直线y=x+3与直线y=2x-1的交点坐标为(4，7)，
x 4， x y 3， 则方程组 的解为______ y 7. 2x y 1
【核心点拨】
1.理解一次函数的定义应注意以下三个方面：
(1)形式：y=kx+b;(2)条件：k≠0;(3)实质：函数y是自变量x 的一次式. 2.正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 3.一次函数的增减性由k的符号决定，与b的符号无关.
2
3.①y=x2+5x；②y=2π r；③y=
②⑤⑥ ⑤y=( 2 3 )x+1；⑥s=30t.其中是一次函数的是_______，是 ②⑥ 正比例函数的是_____.(只填序号)
10 ；④y=kx+b； x
二、一次函数的图象和性质
1.一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象和性质
k,b符号
4.(2012·怀化中考)如果点P1(3,y1),P2(2,y2)在一次函数y=2x-
1的图象上，则y1_______y2(填“>”“<”或“=”).
【解析】∵一次函数关系式为y=2x-1，∴y随x的增大而增大， 又∵3>2,∴y1>y2. 答案：>
5.如图，直线y=- 3 x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，则△AOB
【即时应用】 0 1.一次函数y=-2x+b的图象过原点，则b=__.
2.在直线y=2x+1上有两个点(x1,y1)和(x2,y2)，且x1＞x2，则 ＞ y1___y2. 3.将直线y=-x+1向下平移两个单位后，所得直线的解析式为 y=-x-1 _______. ＞ ＞ 4.直线y=(k-2)x+b+1经过第一、二、三象限，则k___2,b___-1.
第十二讲
一次函数
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1.理解：一次函数、正比例函数的概念. 2.掌握：一次函数的图象和性质，一次函数的图象的画法，求 一次函数的解析式，利用一次函数解决实际问题. 3.能：根据一次函数的图象求一次方程(组)的解及一元一次不 等式的解集.
一、一次函数与正比例函数的概念
一次式 1.一次函数的定义：如果函数的解析式是自变量的_______，
三、待定系数法 解析式 方程组 通过确定函数模型，先设出函数_______，然后列_______求待 函数的解析式 定系数，从而求出_____________，这种方法称为待定系数法.
【即时应用】
1.已知某条直线经过点(1,2)和点(3,0)，那么这条直线的解析 y=-x+3 式为_______.
函数图象
图象的位置
图象过 一、二、三 ___________ 象限 一、三 图象过_______ 象限
性质
b＞0
k＞0
b=0
y随x 的增 大而 增大 ____
b＜0 _____
图象过 一、三、四 ___________ 象限
k,b符号
函数图象
图象的位置
图象过一、二、 四象限
性质
b＞0
k＜0
b=0
二、四 图象过_______ y随x的 增大而 象限 减小 _____ 图象过二、三、 四象限
y=kx+b 形如_______(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数. 2.正比例函数的定义：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫 做x的正比例函数.
【即时应用】
2 1.若y=2x+k-2是正比例函数，则k=__. -1 2.当k=___时，y=(k-1)x k +5是一次函数.
x 2， 因此交点坐标是(2，1)， y 1 ，
)
y x 3， 【解析】选D 解得 y 3x 5，
故选D.
2.(2012·永州中考)一次函数y=-x+1的图象不经过第_______
象限.
【解析】在y=-x+1中由k=-1<0和b=1>0可知函数图象经过第一、 二、四象限，即不经过第三象限. 答案：三
一次函数与方程(组)
◆中考指数:★★★★☆
b 是一元一次方 k 程kx+b=0(k≠0)的解, 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解- b k
1.直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的横坐标-
知 识 是直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的横坐标. 点 2.两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的 睛 二元一次方程组的解;以二元一次方程组的解为坐标的点是 两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.
【例2】(2012·岳阳中考)游泳池常需进行换水清洗.图中折线表 示的是游泳池换水清洗过程“排水―清洗－灌水”中水量y(m3) 与时间t(min)之间的函数关系.
(1)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y(m3)与时间
t(min)的函数解析式； (2)问：排水、清洗、灌水各花多少时间？
【思路点拨】利用数形结合，由“排水—清洗—灌水”三段图象， 找到图象中的关键点，根据待定系数法分段求得函数解析式. 【自主解答】(1)设排水过程的函数解析式为y1=k1t+b1，由点 (0,1 500)，(25,1 000)分别代入计算，求得k1=-20，b1=1 500, ∴y1=-20t+1 500，令y1=0，解得t=75，∴排水过程中自变量 的取值为0≤t<75；清洗过程的解析式为y2=0(75≤t<95)；同理，
， y 2x 1 所以方程组为 y x 2. y x 2, 答案： y 2x 1
【对点训练】
特 别 提 醒
y k1x b1 两直线y=k1x+b1,y=k2x+b2的交点与方程组 y k 2 x b2
的解的三种关系： 1.当k1=k2,b1=b2时两直线重合，方程组有无数组解； 2.当k1=k2,b1≠b2时两直线平行，方程组无解； 3.当k1≠k2时两直线相交，方程组有惟一解.
1 m＜ , 1 2m 1＜0, 2 从而m＜ . 【自主解答】由题意知 所以 2 3 2m＞0, 3 m＜ . 2 答案：m＜ 1 2
【对点训练】
1.(2012·陕西中考)在同一平面直角坐标系中，若一次函数
y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标为( (A)(-1,4) (C)(2,-1) (B)(-1,2) (D)(2,1)
【例3】(2012·威海中考)如图，直线l1,l2交于点A.观察图
象，点A的坐标可以看作方程组_________的解.
【思路点拨】
【自主解答】设l1,l2的直线解析式分别为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2.
1 k1 b1， 由图象可得 1 b1， k1 2， 1 k 2 b 2， 解得 ， b1 1 2 b 2， ， k 2 1 b 2 2，
(2)由(1)知排水的时间为75 min,清洗的时间为95－75＝ 20(min)，灌水的时间为245-95=150(min).
【对点训练】
6.(2012·上海中考)已知正比例函数y=kx(k≠0)，点(2,-3)在 函数上，则y随x的增大而________(增大或减小)． 【解析】把点(2，-3)代入函数解析式得k=- ＜0，所以y随x的 增大而减小. 答案：减小
b＜0时，直线与y轴的交点在y轴负半轴上.
2.一次函数的性质 (1)当k＞0时，y随x的增大而增大； (2)当k＜0时，y随x的增大而减小.
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐析式,以满足一次函数解析式的值为坐标的点都在 该一次函数的图象上. 2.根据一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过的象限可以判
3.(2012·长沙中考)如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、
四象限，则m的取值范围是___________.
【解析】本题考查一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b的图 象由k,b的符号决定，k>0,b>0,图象经过第一、二、三象限； k>0,b＜0，图象经过第一、三、四象限；k＜0,b>0，图象经过 第一、二、四象限；k＜0,b＜0，图象经过第二、三、四象限； 反之亦成立.y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，所以m＜0. 答案：m＜0
的面积是_________.
2
【解析】直线y=- 3 x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，则点 A(2，0)，B(0，3)，所以△AOB的面积为 答案：3
2 1 〓2〓3=3. 2
用待定系数法求一次函数的解析式
◆中考指数:★★★★★
知 识 点 睛 特 别 提 醒 待定系数法求一次函数解析式的四个步骤 一设,设出y=kx+b通式; 二代,代入所设关系式得出方程(组); 三求,求出k,b的值; 四写,写出一次函数的解析式. 确定直线的解析式一般分两种情况:题目中已给出直线解析 式y=kx+b(k≠0),直接代入求解;另一种情况是题目中没有 给出直线解析式,要先设出解析式,然后代入求解.
3 2
7.(2012·衡阳中考)如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函
数y=2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb＝_________．
【解析】∵直线y=2x与直线y=kx+b平行，∴k=2．∵直线 y=kx+b经过点(1，-2)，∴2+b=-2，
∴b=-4．∴kb=2〓(-4)=-8．
2.某条直线与直线y=2x+1平行，且过(2,3)，则该直线的解析
y=2x-1 为_______.
四、图象法解二元一次方程组的步骤 y=kx+b 1.把方程组中的每个方程化为_______的形式; 2.在同一坐标系中画出这两个一次函数的图象; 交点 3.确定两直线的_____坐标. 交点 两直线的_____坐标就是对应的二元一次方程组的解.