探索规律表面涂色的正方体
表面涂色的正方体规律
表面涂色的正方体规律学完立方体表面积这一课，有同学问我这个问题:把一个长3cm的立方体涂成黄色，然后把它剪成一个长1cm的小立方体。
请观察有多少个立方体两面都涂成黄色？有多少立方体的三面被涂成黄色？有多少立方体被涂成黄色？我觉得这个话题很有意思。
如果用得好，对学生的动手能力、思维发展能力、激发学生的学习兴趣都有很好的作用。
对于这个问题，我没有及时给同学们讲解方法，而是专门花了一节课的时间让全班同学一起讨论这类问题的解决方法。
在此之前，我安排同学回家自己做实验。
他们用胡萝卜和橡皮泥做成一个立方体，然后给它上色。
他们用刀切开，试着分成三等份、四等份、五等份，然后统计结果。
第二天，为了激发学生们的兴趣，上课我用电脑的模型来演示来这种规律，把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体，得到结论：①三面涂色都有8个（8个顶点）；②一面涂色的原正方体每个面上有1个，共1×6＝6个；③二面涂色的原正方体每条棱上有1个，共1×12＝12个；④没有涂色就是最中间的1个。
以此类推，我们仍然得到边长为4cm，边长为5cm的特征。
由此我们得出结论：在小学数学课堂教学中，学生的潜力是无限的。
要充分利用点、线、面、体及其关系，提高学生的空间概念和解决实际问题的能力。
任何一个大正方体可以切成5³＝125块小正方体。
把一个涂色的大正方形切成125块小正方形后：涂不到色的有：（5-2）³＝27块（在大正方体的内部）一面涂色的有：（5-2）²×6＝54块（在六个面的中间）二面涂色的有：（5-2）×12＝36块（在12条棱上）三面涂色的有：8块（八个角）一共有：27+54+36+8＝125块。
人教版数学五年级下册《3.6 探索表面涂色的正方体的有关规律》优质教学课件
三面涂色的 两面涂色的 一面涂色的 没有涂色的
块数
块数 a 块数 b 块数 c
n=2
8
0
0
0
n=3
8
12
6
1
n=4
8
24
24
8
在大正方体 12的倍数 6的倍数 与大正方体棱长上的
顶点的位置
小正方体个数有关系
a=(n-2)×12 b=(n-三面涂色的 两面涂色的 一面涂色的 没有涂色的
活动探究 2.把27个棱长为1厘米的正方体拼成1个大正方体。
一面涂色的小正方体在原正方 体每个面的中间位置，每个正 方体有6个面，所以共有6个。
活动探究 2.把27个棱长为1厘米的正方体拼成1个大正方体。
没有涂色的小正方体在原 正方体的中心位置，所以
有1个。
活动探究 3.把64个棱长为1厘米的正方体拼成1个大正方体。
三面涂色的小正方 体在顶点处，所以
共有8个。
活动探究 2.把27个棱长为1厘米的正方体拼成1个大正方体。
三面涂色的小正方 体在顶点处，所以
共有8个。
活动探究 2.把27个棱长为1厘米的正方体拼成1个大正方体。
两面涂色的小正方体在原正方体 的每条棱的中间位置。每个正方 体有12条棱，所以共有12个。
人教版 数学 五年级 下册
3 长方体和正方体
探索表面涂色的正方体 的有关规律
情境导入
用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后，把它 们的表面分别涂上颜色。①②③中,三面、两面、一 面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少块？按这样 的规律摆下去，第④⑤个正方体的结果会是怎样的呢？
活动探究
1.把8个棱长为1厘米的正方体拼成1个大正方体。
探索规律表面涂色的正方体
涂色技巧：在涂色 时，可以采用“跳 步涂色法”，即先 涂一个面，再跳过 一个面涂下一个面， 以此类推，直至涂 完所有的面。
涂色顺序：在涂色 时，可以采用“从 上到下”、“从左 到右”、“从外到 内”等顺序进行涂 色，以保证每个面 都有一个不同的颜 色。
正方体的表面涂色问题实例解析
3面涂色：只在棱 上出现，代表顶 点
涂色规律在其他形状上的推广：可添加标题
添加标题
添加标题
涂色规律在不同维度上的推广：可 以应用于三维、四维等更高维度的 正方体表面涂色问题。
涂色规律在其他领域的应用：可以 应用于计算机图形学、建筑学等领 域。
正方体的表面涂 色问题
正方体的表面涂色问题概述
感谢您的观看
汇报人：XX
计算机图形学： 涂色规律可以应 用于计算机图形 学中，实现更逼 真的三维模型渲 染效果。
物理学模拟：涂 色规律可以应用 于物理模拟中， 如量子力学和分 子动力学的模拟。
游戏开发：涂色 规律可以应用于 游戏开发中，如 角色皮肤和场景 的渲染。
涂色规律的推广
涂色规律的应用范围：适用于所有 正方体表面涂色问题，包括大、中、 小正方体。
涂色方法：可以采用递归、数学归纳法等方法证明涂色规律，并给出具体的涂色方案。
应用领域：表面涂色问题在计算机图形学、组合数学等领域有广泛应用，可以用于设 计图案、解决几何问题等。
对未来研究的展望
深入研究不同涂色方式对正方体表面涂色问题的影响 探索更高效的算法和计算模型，以解决大规模正方体表面涂色问题 结合其他领域的知识，如计算机图形学、统计学等，对正方体表面涂色问题进行多角度研究 拓展正方体表面涂色问题的应用场景，将其应用于实际问题的解决中
2面涂色：在棱上 出现，代表棱上 非顶点
表面涂色正方体探索规律
8
27
三面涂色的小正方体个数 8
8
二面涂色的小正方体个数 0
12
一面涂色的小正方体个数 0
6
0面涂色的小正方体个数 PPT课0件整理 1
64
125
n3
8
8
8
24
36 (n-2)×12
24
54 (n-2)2×6
8
27 (n-228 )3
有一个棱长a分米的正方体，它的6个面都涂 有黄色，把它切成棱长1分米的小正方体。
表面 涂色 的正 方体 探 索 规 律
合肥市**小学 刘**
棱长3厘米
PPT课件整理
2
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棱长2厘米
三面涂色 8
二面涂色 0
一面涂色 0
0面涂色
0
3
棱长3厘米
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4
顶 点
棱长3厘米
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5
棱长3厘米
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6
每 条 棱 的 中 间
棱长3厘米
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三面涂色 8
二面涂色 24
一面涂色 24
0面涂色
8
23
棱长5厘米 PPT课件整理
24
PPT课件整理
25
PPT课件整理
26
PPT课件整理
棱长5厘米 三面涂色 8 二面涂色 36 一面涂色 54 0面涂色 27
探索
规律
棱长 棱长 棱长 棱长 棱长 2厘米 3厘米 4厘米 5厘米 n厘米
切成正方体的总个数
（1） 3面涂黄色的的 小正方体的个数 =
8
（2） 2面涂黄色的的 小正方体的个 数 =
(棱长-2)×12
表面涂色的正方体4
表面涂色的正方体(探索规律)教学内容:教科书P26~27探索规律“表面涂色的正方体”。
教学目标:1.使学生通过自主探究，发现表面涂色大正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。
2.使学生在探究规律的过程中，经历观察、想象、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。
3.使学生进一步感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心。
教学重点：探究并发现表面涂色大正方体切成若干个相同小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。
教学难点：理解大正方体的棱平均分的份数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体个数之间的关系。
教学准备：多媒体课件。
教学过程：一、回顾旧知，激趣导入1.(课件呈现一个正方体)提问：我们对正方体已经有了哪些认识？小结：是的，我们是从面、棱、顶点这三方面来研究正方体的特征的。
或者：我们在研究正方体的特征的时候是从它面、棱、顶点这方面来研究的。
师:现在将正方体的表面涂上一层颜色。
（媒体演示）把它竖着切、横着切、拦腰切，切成若干个完全一样的小正方体，切成的小正方体又藏着哪些奥秘呢？今天这节课我们就来研究表面涂色的正方体。
（揭题并板书：表面涂色的正方体）二、自主探究，发现规律1.探究切成8个小正方体的涂色情况师：我们首先从最简单的情况入手。
把一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成2份，（贴：大正方体的棱平均分的份数：2）照右图这样把它切开，能切成多少个同样大的小正方体呢？你是怎么知道的？预设：（1）数一数：还可以怎么想？（2）算一算：4×2=8，解释一下算式的意思？这里的4还可以像每几个一排，每层切成了几排，算式是2×2再×2＝8（个），谁再来说说这种想法。
（贴：切成小正方体的总个数：板书 8）小结：像这样切，我们能得到8个小正方体。
问：每个小正方体有几个面涂色？（3个面）指着课件上的1个：这一个是哪个面涂色？2,3.4,5,6,7,8.现在我们可以肯定: 每个小正方体有3个面涂色,那3面涂色的小正方体有几个？（贴：3面涂色的小正方体的个数：8）交流、板书表格小结：把一个大正方体的每条棱平均分成2份，可以切成8个小正方体，3个面涂色的有8个。
《探索表面涂色的正方体的有关规律》课件
8
0
0
0
8
12
6
1
8
24
24
8
836ຫໍສະໝຸດ 54278
48
96
64
你能继续写出第⑥⑦⑧个大正方体中4类小 正方体的块数吗？
三面涂色 两面涂色 一面涂色
的块数 的块数 的块数
n＝7 8
60
150
n＝8 8
72
216
n＝9 8
84
294
没有涂色 的块数 125 216 343
如果摆成下面的几何体，你会数吗？
0
0
0
n＝3 8
12
6
1
n＝4 8
24
24
8
在大正方体 12的倍数 6的倍数 与大正方体棱长上的
顶点的位置
小正方体个数有关系
b＝(n－2)²×6
a＝(n－2)×12
c＝(n－2)³
4.总结规律。
n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6
三面涂色 两面涂色 一面涂色的 没有涂色的
的块数 的块数 块数
块数
1+(1+2)＝4(个) 1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+4)＝20(个)
1+(1+2)+(1+2+3)＝10(个)
这节课你们都学会了哪些知识？
把棱长为1厘米的小正方体拼成棱长为n的大
正方体后涂色，涂色面的规律：
（1）三面涂色的小正方体个数＝正方体的顶 点个数＝8。
（2）两面涂色的小正方体个数＝12×(n－2)。 （3）一面涂色的小正方体个数＝6×(n－2)²。 （4）没有涂色的小正方体个数＝(n－2)³。
2023六年级数学上册一长方体和正方体探索规律表面涂色的正方体教案苏教版
答案：假设一个长方体水果箱的长为60cm、宽为40cm、高为20cm，求该水果箱的体积。解答：体积为60*40*20 = 48000cm³。
5.请总结本节课所学的长方体和正方体的性质，并用自己的话进行描述。
答案：长方体有六个面，每个面都是矩形，相对的面面积相等；长方体的体积计算方法为lwh；正方体是一种特殊的长方体，其六个面都是正方形，相对的面面积相等；正方体的体积计算方法为a³。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括长方体和正方体的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调长方体和正方体在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用长方体和正方体。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于长方体和正方体的短文或报告，以巩固学习效果。
拓展与延伸
1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，设置分组讨论区和实验操作台。每个小组配备一套正方体模型和长方体模型，以及必要的测量工具和记录表格。
5.教学工具：准备黑板、投影仪、电脑、投影屏幕等教学工具，以便进行多媒体演示和讲解。
6.学习任务单：设计学习任务单，包括问题探究、实践操作和总结反思等环节，引导学生积极参与学习过程。
7.教学评价表学生的学习情况进行全面评估。
8.教学指导手册：准备教学指导手册，包括教学目标、教学内容、教学步骤、教学策略等，以便教师在教学过程中进行参考。
9.备课资料：收集与本节课相关的备课资料，包括教学设计、教学反思、学生作业等，以便教师进行备课和教学反思。
过程：
讲解长方体和正方体的定义，包括其主要组成元素或结构。
详细介绍长方体和正方体的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。
《探索表面涂色的正方体的有关规律》教案方案
同学们，今天我们将要学习的是《探索表面涂色的正方体的有关规律》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否注意过正方体玩具或物品的表面涂色？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方体表面涂色规律的奥秘。
反思今天的教学过程，我认为在以下几个环节可以做出改进：
1.在新课导入环节，可以增加一些与生活密切相关的例子，让学生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ感受到正方体表面涂色规律在生活中的广泛应用，从而提高他们的学习兴趣。
2.在新课讲授环节，要注意讲解与示范相结合，让学生在听讲的同时，能够直观地看到正方体表面涂色的过程，加深他们对规律的理解。
2.培养学生的逻辑推理能力，通过分析正方体表面涂色规律，学会运用归纳和推理的方法，解决相关问题。
3.培养学生的团队合作意识和动手操作能力，通过小组合作探讨表面涂色规律，提高沟通协作和实际操作能力，增强解决实际问题的实践素养。这些目标与新教材要求相符合，有助于提升学生的立体几何学科核心素养。
三、教学难点与重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方体的基本概念及其特性。正方体是一种特殊的立体几何图形，具有6个相同的正方形面、12条相等的棱和8个顶点。正方体的表面涂色规律对于理解空间几何和对称性具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们通过一个具体的案例来分析正方体表面涂色规律。这个案例将展示如何利用规律解决实际问题，如设计独特的正方体表面图案。
举例2：针对逻辑推理能力的应用，教师可以设计一些具有引导性的问题，如“如何确定正方体每个面的颜色？”、“三种颜色在顶点、边和面上的分布有何规律？”等，引导学生通过思考和分析，找出答案。
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棱 长 3 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
棱 长 厘 米 4
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
• 我是小小辩论家 • 分小组讨论上面几个形体的 三面涂颜色所在的位置和个数 各有什么特点？ • 我们的答案是：
1、位置都在正方体的顶点， 2、个数都是 8 个
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
回顾探索和发现规律的过程， 说说你的体会。
找各种小正方体时， 要注意它们在大正方 体上的位置。
各种小正方体的个数与 正方体顶点、面和棱的 个（条）数有关。
要把找、数、算等方 法结合起来，并根据 图形的特征进行思考。
• • • • • •
我讨论，我参与。 没有涂色的小正方体所在的位置？ 计算没有涂色的小正方体个数与什么有关系？ 我们的答案是: 1、在大正方体的内部 2、（棱长所分份数-2）3
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 每面有4个，共有6×4=24 。
一面涂红色的： 3×3=9 6×9=54
一面涂红色的：8×8=64 6×64=384
• 我讨论，我参与。 • 一面涂色的小正方体所在的位置？ • 计算一面涂色的小正方体个数与什 么有关系？ • 我们的答案是: • 1、在大正方体的每个面上的中间 （6 个面） • 2、（棱长所分份数-2）2×6
5
125 8 36 54
…
观察填出的表格，你能发现什么规律？
3面涂色的小正方体 都在大正方体顶点的 位置，都是8个。
2面涂色的小正方体 1面涂色的小正方体 的个数都是12的倍数。 的个数都是6的倍数。
如果用n表示大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示2 面涂色和1面涂色的小正方体个数，你能用式子分别表示n和a、b 的关系吗？ a= b=（n－2）2×6 （n－2）×12
每个小正方体都有 3个面涂色。
如果像下图这样把正方体切开，能切成多少个小正方体？像这样 切开后小正方体表面的涂色情况一定有几种？分别是哪几种？
观察猜想动手实验： NhomakorabeaA.找一找：三面涂色、2面涂色、一面 涂色的小正方体分别在什么位置？ B.每种小正方体各有几个？ C.填一填：（课本27页表格） D.说一说：是怎么找到的？
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
共有12×3=36个
两面涂红色的还是在每条棱的中间位置处， 共有12×8=96个
• • • • • •
我讨论，我参与。 两面涂色的小正方体所在的位置？ 计算两面涂色的小正方体个数与什么有关系？ 我们的答案是: 1、在大正方体的每条棱上（12条棱） 2、（棱长所分份数-2）×12
如果把这个正方体的每条棱平均分成4份、5份……再切成同 样大的小正方体，结果会怎样？先在图中找一找，再把结果填入 下表，与同学交流。
大正方体的棱平均分的份数 切成小正方体的总个数 3面涂色的小正方体个数 2面涂色的小正方体个数 1面涂色的小正方体个数
2 8 8
0 0
3 27 8
12 6
4
64 8 24 24
表面涂色的正方体
长风小学 赵小芳
填一填
6 12 18 24 30 (36 ) ( 42 )
6n
1
4
9
16
( 25 )
2 n
1
8
27
( 64 )
3 n
一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分 成2份。如果照右图的样子把它切开，能切成 多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几 个面涂色？
2×2×2=8（个）， 能切成8个小正方体。