表面涂色的正方体
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表面涂色的正方体
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2) 2 个 1面涂色的小正方体。
6个面有 1面涂色的小正方体。
(n－2) 2 ×6 个
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
13
棱平均分的份数 没有涂色的个数
23
3 4
33
5
131 =1
238 =8
3327 =27
每条棱被平均分成n份 棱平均分的份数 没有涂色的个数
表面涂色的正方体
棱平均分的份数 小正方体的个数
3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
2
8 8 0 0
3面涂色 ?个
2面涂色?个
1面涂色 ?个
活动一：
仔细观察，找一找，3面涂色的小正方体
有多少个？它们在原正方体的什么位置?
3面涂色
顶点
பைடு நூலகம் 活动二：
2面涂色的是多少个？它们在原正方体的 什么位置？
3
4
5
n (n－2)3
13
23
33
棱平均分的份数 小正方体的个数 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
4
64 8
棱平均分的份数 小正方体的个数 3面涂色的个数
4
64 8
2面涂色的个数 2×12=24 1面涂色的个数
棱平均分的份数 小正方体的个数 3面涂色的个数
4
64 8
2面涂色的个数 2×12=24 1面涂色的个数
4×6=24
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数 小正方体个数 3面涂色的个数 2面涂色的个数
2 8 8
3 27 8
4 64 8
5 125 8
……
探索规律表面涂色的正方体
涂色技巧：在涂色 时，可以采用“跳 步涂色法”，即先 涂一个面，再跳过 一个面涂下一个面， 以此类推，直至涂 完所有的面。
涂色顺序：在涂色 时，可以采用“从 上到下”、“从左 到右”、“从外到 内”等顺序进行涂 色，以保证每个面 都有一个不同的颜 色。
正方体的表面涂色问题实例解析
3面涂色：只在棱 上出现，代表顶 点
涂色规律在其他形状上的推广：可添加标题
添加标题
添加标题
涂色规律在不同维度上的推广：可 以应用于三维、四维等更高维度的 正方体表面涂色问题。
涂色规律在其他领域的应用：可以 应用于计算机图形学、建筑学等领 域。
正方体的表面涂 色问题
正方体的表面涂色问题概述
感谢您的观看
汇报人：XX
计算机图形学： 涂色规律可以应 用于计算机图形 学中，实现更逼 真的三维模型渲 染效果。
物理学模拟：涂 色规律可以应用 于物理模拟中， 如量子力学和分 子动力学的模拟。
游戏开发：涂色 规律可以应用于 游戏开发中，如 角色皮肤和场景 的渲染。
涂色规律的推广
涂色规律的应用范围：适用于所有 正方体表面涂色问题，包括大、中、 小正方体。
涂色方法：可以采用递归、数学归纳法等方法证明涂色规律，并给出具体的涂色方案。
应用领域：表面涂色问题在计算机图形学、组合数学等领域有广泛应用，可以用于设 计图案、解决几何问题等。
对未来研究的展望
深入研究不同涂色方式对正方体表面涂色问题的影响 探索更高效的算法和计算模型，以解决大规模正方体表面涂色问题 结合其他领域的知识，如计算机图形学、统计学等，对正方体表面涂色问题进行多角度研究 拓展正方体表面涂色问题的应用场景，将其应用于实际问题的解决中
2面涂色：在棱上 出现，代表棱上 非顶点
【苏教版】数学六上：.《表面涂色的正方体》
三面涂色的小正方体个数
8
两面涂色的小正方体个数
一面涂色的小正方体个数
棱长平均分成 4份
三面涂色的小正方体个 数
8
两面涂色的小正方体个 数
(4-2)×12=24
一面涂色的小正方体个 数
三面涂色的小正方体个数
棱长平均分成 4份
8
两面涂色的小正方体个数 (4-2)×12=24
一面涂色的小正方体个数 (4-2）2 ×2×66==2244
份
份
3-2）3
（
4-2）3（
5-2）3（
n
-2）3
棱长平均分成
6份
各面无涂色的小正方体个 数
（6-2）3 =64
如果把每条棱平均分成6份，你能很快 算出各面无涂色的小正方体有多少个吗 ？
分类探究
面对复杂问题，怎么办？ —— 从简单问题入手研究
3面涂色的的小正方体的个数 2面涂色的的小正方体的个数 1面涂色的的小正方体的个数 各面无涂色的的小正方体的个数
棱长平均分成3份
棱长平均分成4份
棱长平均分成5份
三面涂色 两面涂色 一面涂色
8
8
8
（3-2）×12 （4-2）×12 （5-2）×12
（3-2）2×6 （4-2）2×6 （5-2）2×6
三面涂色的小正方体个数
棱长平均分成
6份
8
两面涂色的小正方体个数 (6-2)×12=48
如果把每条棱平均分成6份，你能很快算 出3面涂色和2面涂色的小正方体各有多 少个吗？
2面涂色的小正方体个数 1面涂色的小正方体个数
88个个
三面涂色
1212个个
两面涂色
66个个
一面涂色
表面涂色的正方体
3面涂色
顶点
活动二：
2面涂色的是多少个？它们在原正方体的 什么位置？
2面涂色
棱的中间
活动三：
1面涂色的是多少个？它们在原正方体的 什么位置？
1面涂色
面的中间
3面涂色
2面涂色 1面涂色
顶点
棱的中间 面的中间
若正方体的棱长被平均分成4份、5 份，其中3面、2面、1面涂色的小正 方体各有多少个？
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2)2 个 1面涂色的小正方体。 6个面有 (n－2) 2×6 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
13
23
33
棱平均分的份数
3
没有涂色的个数 131=1
4
5
238=8 332=727
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数
棱平均分的份数 4 小正方体的个数 64 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
棱平均分的份数 4
小正方体的个数 64
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数
1面涂色的个数
棱平均分的份数 4
小正方体的个数 64
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数 2×12=24
1面涂色的个数
棱平均分的份数 4
小正方体的个数 64
8
2面涂色的个数 3×12=36
1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
小正方体的个数 125
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数 3×12=36
1面涂色的个数 9×6=54
如果棱长被平均分成6份呢？
棱平均分的份数 2
小正方体个数
探索图形表面涂色的正方体课件
活动二：想一想，算一算，大正方体的棱长平均分 成5份时，每类小正方体各有多少个？把算式和结果 填入表格中。
棱平均分的份数 5 小正方体的个数 125 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
小正方体的个数 125
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数
1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
1面涂色的个数 1×6=6
2
4×6=24 9×6=54 (n－2)×6
1×1
2×2
39×个3
每个面有 (n－2)×(n－2) 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2)2 个 1面涂色的小正方体。 6个面有 (n－2) 2×6 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
8
88
2面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36
1面涂色的个数 1×6=6 4×6=24 9×6=54
棱平均分的份数 3 小正方体个数 27 3面涂色的个数 8
4
5n
64 125 n 3
8
88
2面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36（n－2）×12
1面涂色的个数 1×6=6 4×6=24 9×6=54
13
23
33
原正方体棱等分的份数 现正方体棱等分的份数（列式） 没涂色的正方体个数（列式）
3
3-2=1
1x1x1=1³
4
4-2=2
2x2x2=2³
5
5-2=3
3x3x3=3³
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数
3
数学_表面涂色的正方体_课件
……
8
六年级数学名师课程
……
大正方体的棱平均分的份数 2 3 4 5 …
切成小正方体的总个数
8 27 64 125
3面涂色的小正方体个数
8 8 88
2面涂色的小正方体个数
0 12 24 36
1面涂色的小正方体个数
0 6 24 54
六年级数学名师课程
12
2面涂色的小正方体 的个数都是12的倍数。
……
六年级数学名师课程
4×4×4=64（个）
大正方体的棱平均分的份数 4
切成小正方体的总个数
64
3面涂色的小正方体个数
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
顶点的位置
大正方体的棱平均分的份数 4
切成小正方体的总个数
64
3面涂色的小正方体个数
8
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
大正方体的棱平均分的份数 3
切成小正方体的总个数
27
3面涂色的小正方体个数
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
3面涂色
顶点的位置
大正方体的棱平均分的份数 3
切成小正方体的总个数
27
3面涂色的小正方体个数
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
2面涂色
棱的中间
大正方体的棱平均分的份数 3
切成小正方体的总个数
27
3面涂色的小正方体个数
8
2面涂色的小正方体个数
12
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
1公开课《表面涂色的正方体》PPT
与感。
小游戏环节
设计一些与正方体相关的小游戏， 如“找出涂色面数最多的正方体” 等，让观众在游戏中学习和巩固知 识。
现场实践
提供绘画材料和纸张，让观众尝试 自己制作表面涂色的正方体，加深 对正方体结构和涂色方式的理解。
05 表面涂色正方体 在数学中的应用
几何图形认知
正方体的基本性质
通过表面涂色的正方体，学生可以 直观地了解到正方体的面、棱、顶 点等基本元素，以及它们之间的关 系和性质。
06 课程总结与拓展
课程知识点回顾
01
02
03
04
正方体的基本性质与特点
表面涂色的基本概念与技巧
正方体表面涂色的方法与步骤
涂色正方体的视觉效果与美感
学生作品欣赏与点评
01
02
03
04
作品1
色彩搭配和谐，涂色技巧熟练， 展现出强烈的视觉冲击力。
作品2
创意独特，将正方体表面涂色 与图案设计相结合，极具艺术
学生发展的需要
通过解决正方体表面涂色问题，可以培 养学生的空间想象能力、观察能力和解 决问题的能力，为后续的数学学习打下 基础。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
使学生掌握正方体表面涂色的基本方 法，理解涂色与正方体面、棱、顶点 之间的关系，能够运用所学知识解决 简单的实际问题。
培养学生学习数学的兴趣和自信心， 感受数学与生活的密切联系，体会数 学的应用价值。
数学问题解决策略
数学建模
表面涂色的正方体可以作为数学 建模的工具，帮助学生将实际问 题抽象为数学模型，进而利用数
学方法解决问题。
逻辑推理
通过观察表面涂色的正方体，学 生可以锻炼自己的逻辑推理能力， 学会从已知条件出发，推导出未
小游戏环节
设计一些与正方体相关的小游戏， 如“找出涂色面数最多的正方体” 等，让观众在游戏中学习和巩固知 识。
现场实践
提供绘画材料和纸张，让观众尝试 自己制作表面涂色的正方体，加深 对正方体结构和涂色方式的理解。
05 表面涂色正方体 在数学中的应用
几何图形认知
正方体的基本性质
通过表面涂色的正方体，学生可以 直观地了解到正方体的面、棱、顶 点等基本元素，以及它们之间的关 系和性质。
06 课程总结与拓展
课程知识点回顾
01
02
03
04
正方体的基本性质与特点
表面涂色的基本概念与技巧
正方体表面涂色的方法与步骤
涂色正方体的视觉效果与美感
学生作品欣赏与点评
01
02
03
04
作品1
色彩搭配和谐，涂色技巧熟练， 展现出强烈的视觉冲击力。
作品2
创意独特，将正方体表面涂色 与图案设计相结合，极具艺术
学生发展的需要
通过解决正方体表面涂色问题，可以培 养学生的空间想象能力、观察能力和解 决问题的能力，为后续的数学学习打下 基础。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
使学生掌握正方体表面涂色的基本方 法，理解涂色与正方体面、棱、顶点 之间的关系，能够运用所学知识解决 简单的实际问题。
培养学生学习数学的兴趣和自信心， 感受数学与生活的密切联系，体会数 学的应用价值。
数学问题解决策略
数学建模
表面涂色的正方体可以作为数学 建模的工具，帮助学生将实际问 题抽象为数学模型，进而利用数
学方法解决问题。
逻辑推理
通过观察表面涂色的正方体，学 生可以锻炼自己的逻辑推理能力， 学会从已知条件出发，推导出未
表面涂色的正方体规律1
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 有6×1=6个。
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 每面有4个，共有6×4=24 。
一面涂红色的： 3×3=9 6×9=54
一面涂红色的：8×8=64 6×64=384
一面涂色的 (n-2) 的平方× 6
3
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
表面涂色的正方体
正方体有哪些特征？
3
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
4
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
5
棱 长 厘 米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
10
棱 长 厘 米
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
共有12×3=36个
两面涂红色的还是在每条棱的中间位置处， 共有12×8=96个
两面涂色的 (n-2) ×12
合作要求
1.看一看，想一想，说一说，一面 涂色的小正方体都在原正方体的什 么位置？有几个？怎样列式？
2.你们能得出怎样的规律？
4
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
5
棱 长 厘 米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
10
棱 长 厘 米
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
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原来正方体的体积是多少???
按照如图所示的方式切割: ➢ 一共得到______个小正方体. ➢ 三面涂色的小正方体有_______个. ➢ 两面涂色的小正方体有_______个. ➢ 只有一面涂色的小正方体有______个. ➢ 各面都没有涂色的小正方体有_____个.
28 3 27
三面 涂色数
8 8
二面 一面
涂色数 涂色 数
0
0
12 6
各面无 涂色数
0 1
4
小正方体表面涂色情况表
每条棱 三面 二面 一面 各面无 涂色的面积占 等分数 涂色数 涂色数 涂色数 涂色数 总面积的百分
比(%)
2 8 0 0 0 50% 3 8 12 6 1 33.3% 4 8 24 24 8 25%
体的每条棱三等分，然后沿等分 线把正方体切开? . .
..
把表面涂色的正方体的每条棱
三等分，然后沿等分线把正方体
切开(如图):
就这样啦!
按照如图所示的方式切割: 一共得到__2_7__个小正方体. 三面涂色的小正方体有__8___个.
两面涂色的小正方体有__1_2___个. 只有一面涂色的小正方体有___6__个. 各面都没有涂色的小正方体有__1__个.
那么其中两面涂有红色的小正方体 有几块?三面的呢?
小正方体表面涂色情况表
每条棱 等分数
n
三面
二面
一面 各面无
涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
8 12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3
将一个棱长为整数(单位：分米)的正方 体6个面都涂上红色，然后把它全部切成 棱长为1分米的小正方体。在这些小正方 体中，6个面都没涂红色的有64块.
三面 涂色数
两面 涂色数
一面 涂色数
各面无 涂色数
n
8 12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3
当n=10时,三面涂色的小正方体有__8__个.
两面涂色的小正方体有__9_6_个. 一面涂色的小正方体有_3_8_4_个. 各面无涂色的小正方体有_5_1_2_个.
长方体和正方体有哪些不同点?
把长、宽、高分别为m、n、 p(均大于2)个单位长度的表面涂色 的正方体切割成边长为1的小正方 体,如何计算小正方体的总数、涂色 面数不同的小正方体个数呢？
南京外国语学校 -----吴晓荣
初一(9)班全体同学
你还记得正方体有 一些基本特征吗?
填空题:
1.正方体有___6___个面. 2.正方体有__1_2___条棱. 3.正方体有___8___个顶点.
正方体涂色
1.小心使用工具. 2.不能损坏公物. 3.各小组要团结合作.
想一想怎样把表面涂色的正方
28 3 27 4 64
80
00
8 12 6 1
8 24 24 8
5 125
n n3
8 36 54 27 8 12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3
归纳
像这样通过对现象的观察、分析， 从特殊到一般地探索这类现象规律(提 出猜想)的思想方法称为归纳。当然这 种猜想有时是正确的，有时是错误的。
各面无 涂色数
0
涂色的面积占 总面积的百分 比(%)
50%
3 8 12 6 1 33.3%
4 8 24 24 8 25%
n
8
12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3 1 100% n
小正方体表面涂色情况表
每条棱 小正方 三面 二面 一面 各面无 等分数 体总数 涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
小正方体表面涂色情况表
每条棱 小正方 等分数 体总数
三面 二面 一面 各面无 涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
28 8 0 00 3 27 8 12 6 1 4 64 8 24 24 8
5 125 8 36 54 27
小正方体表面涂色情况表
每条棱 等分数
2
三面 涂色数
8
二面 涂色数
0
一面 涂色数
0
p
n m
南京外国语学校 -----吴晓荣
初一(9)班全体同学
小正方体表面涂色情况表
每条棱 等分数
n
三面
二面
一面 各面无
涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
8 12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3
所有的小正方体中,涂色的面积 占总面积的百分比情况又如何呢?
小正方体表面涂色情况表
每条棱 小正方 等分数 体总数
如果把表面涂色的正方体的每
条棱两等分，然后沿等分线把正
方体切开.
得到的小正 方体面的涂色 情况怎样呢?
如果把表面涂色的正方体的每
条棱两等分，然后沿等分线把正
方体切开(如图)
得到的小正 方体面的涂色 情况怎样呢?
按照如图所示的方式切割: ➢ 一共得到___8___个小正方体. ➢ 三面涂色的小正方体有___8____个. ➢ 两面涂色的小正方体有___0____个. ➢ 只有一面涂色的小正方体有__0____个. ➢ 各面都没有涂色的小正方体有__0___个.
小正方体表面涂色情况表
每条棱 小正方 等分数 体总数
三面 两面 一面 各面无 涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
28 3 27 4 64
80
00
8 12 6 1
8 24 24 8
5 125
n n3
8 36 54 27 8 12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3
小正方体表面涂色情况表
每条棱 等分数
填表:
小正方体表面涂色情况表
每条棱 小正方 三面 两面 一面 各面无 等分数 体总数 涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
2
8
8
0
00
3 27 8 12 6 1
怎样把表面涂色的正方体的每
条棱四等分，然后沿等分线把正
方体切开?
把表面涂色的正方体的每条棱
四等分，然后沿等分线把正方体
切开(如图) ：
别急动手!
28 8 0 3 27 8 12
00 61
小正方体表面涂色情况表
每条棱 等分数
n
三面
二面
一面 各面无
涂色数 涂色数 涂色数 涂色数
8 12(n-2) 6(n-2)2 ( n-2)3
将一个棱长为整数(单位：分米)的正方 体6个面都涂上红色，然后把它全部切成 棱长为1分米的小正方体。在这些小正方 体中，6个面都没涂红色的有64块.
这样切割得到的小正 方体面的涂色情况又如 何呢?
小正方体表面涂色情况表来自每条棱 小正方 等分数 体总数
28 3 27
4 64
三面 涂色数
8
两面 一面 涂色数 涂色
数
00
8 12 6
8 24 24
各面无 涂色数
0 1
8
小正方体表面涂色情况表
每条棱 小正方 等分数 体总数
三面 两面 一面 各面无 涂色数 涂色数 涂色数 涂色数