定积分的应用习题答案
高等数学化学专业-答案-课件-习题课六
du
故所求旋转体体积为 16 5 2 2 2 5π V π ( x 2 x) d x 75 5 0
O dx 2
x
例6. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?
的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做
2 g π [( 0 ) H 0 R]
2 2
0 ( R
R
2
x ) dx
2
H
d W1 ( 0 ) g π ( R x )( H R x) dx
O
x
y
d W2 g π ( R 2 x 2 )( R x) dx
x
例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
绕极轴
3 2 π 旋转而成的体积为 Vox r ( ) sin d . 3 r r ( ) 证: 先求 上微曲边扇形 dr d 绕极轴旋转而成的体积
体积元素
O
r
r
故
Vox
2π 3 r ( ) sin d 3
例5. 求由 y 2 x 与 y 4 x x 2 所围区域绕 y 2 x
π (2 Rh h 2 )
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功.
y
对应于
薄层所需的功元素
R
g π(2 Ry y )( R y ) d y
故所求功为
2
y
O
g π ( 2 R 2 y 3R y 2 y 3 ) d y 0
π 4 gR 4
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
高等数学第05章 定积分及其应用习题详解
0
x 1 sin tdt 0dt 1 ， 2
b a
f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y f ( x) ， 直 线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时，f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时 （即 n 时 ） ，由定积分的定义得： x d x = ． 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
4 3
1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式：
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n
b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .
x
0
(t 1)dt ，求 y 的极小值
解： 当 y x 1 0 ，得驻点 x 1 ， y '' 1 0. x 1 为极小值点， 极小值 y (1)
( x 1)dx - 2
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
高等数学定积分应用习题答案
第六章定积分的应用习题6-2(A) 1．求以下函数与x轴所围部分的面积：(1)y x26x8,[0,3](2)y2x x2,[0,3]2．求以下各图中暗影部分的面积：1.图6-13．求由以下各曲线围成的图形的面积：(1) y e x,y e x与 x1;(2)y lnx与x0,y lna,y lnb(ba0);(3)y2x x2与y x,y0;(4)y22x,y2(x1);(5)y24(1x)与y2x,y0;(6)y x2与y x,y2x;(7)y2sinx,y sin2x(0x);(8)y x2,x2y2（两部分都要计算）;2814．求由曲线y ln x与直线y0,x e1,x e所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y22px及其在点(p,p)处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a与两坐标轴所围成的图形的面积。
x2y21所围图形的面积。
8．求椭圆2b2a9．求由摆线x a(t sint),ya(1cost)的一拱（0t2)与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。
11．求由以下各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1)2asin(a0);(2)2a(2cos)(a0);(3)22cos2（双纽线）;12.把抛物线y24ax及直线x x(x00)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13.由y x3,x2,y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
14．求以下已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1)y achx0,x a,y0,绕x轴;与xa(2)y sinx与y2x,绕x轴;(3)y sin x与y cosx(0x),绕x轴;2(4)y lnx,与x2,y0绕y轴;(5)y2x x2与y x,y0绕y轴;(6)(x5)2y216,绕y轴;15.求由抛物线y24(1x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
定积分的应用习题答案
1填空题［解答］犁（对=2-亍，令”5=0，可得注二;当0-时，严工；0＜：0,〕单调递减.4所以 F （町的单调递减区间是 （Q-）或（4才］.⑵曲线丿★—与其在r 处的切线所围成的部分被.轴分成两部分，这两部分面积之比是日n 2 2 尸3 272 2两直线的交点可求得=—，即求解27护- 9穿+ 2 = 0方法一：已知其一根为勺二齐设方程为 （T -J 十 = 0通过比较可得 盘二27,占=2 C = —6，可解得另外一根为 E =-彳方法二：分解方程有27卞弓—了誥―6斗+ 2= 0弘+2(3JT-1)=0(我-1)〔弘2 -3H -2) = 0 即(软-ly (致+ 2) = 0所以= (；［(*- ©+(红+厶］必=P^(Z^-iT+—)^X= — ］43274 3 27 27A 弘―亠◎诗吩農则虽仝 & 1⑶设/（工）在［一兀兀］上连续，当门=_时，片何訂［于⑺―毗C ■旳讦必取最 小值.［解答］L/S) -口 COSM 阳;r=[[f^(X)- 2(^(X)COE + cP CCS^ ^jr](2/z J-J=I2&J /(jc) cosKxdx + J coE^ MZtiz令F3=Q ，则［解答］直线方程为⑴函数片何=（工＞ 0）的单调减少区间__2『/(JT)匚0$/3兀C/Y二2口J COS，戶jcdxJ /(TT)cos松兀国兀=2(3] UOE'MJT心=12(1 + cos 2?ix)dyi = aTT1所以a =—了〔X J COSMK M X⑷+ b三a°绕疋=-i (& ＞说＞O旋转所成旋转体体积—[解答]令:= a = asin 0，则当A ＞0时，卩I =TTp (z + 占)2 如=/r[[ (/ cof 妒+ 2i3buo汐+护加cos 饵© = jr(£/ + f 口°血十2脑)I 3 2当X €0时，空 4 X=可,(说'gJ G CM 沖竝畢-汀(-—+—/力-2^护)所以2卩平-比=4J血珅+2肿)JT⑸ 求心脏线p = 4(l + cos^和直线3 = 0及日=-围成的图形绕极轴旋转所成旋转体£-a体积［解答］将极坐标化为直角坐标形式为X =4(1+ cos, y= 4(1 + cc>s^)sin & 则血=即抵=64/7(1 + cos 軒 gmS •[-血0 cog 却一(1 + cos sin 吕弹0 =&47r(l + cos + 2 cos siti^ 田吕所以卩-斜可;(1 + cg&)气I + 2 &)(1 - GG/&)詞(g30) (x= 3S&)二64可；(1 + T)\l + 2x)(1- P沖=64 巴fci +讦(1 + 2町(1—町必 (f = l + x)=也兀Q 广一站-2?）； =1607r 2.计算题⑴ 在直线 卞一y+l=O 与抛物线 》二疋2-4工+ 5的交点上引抛物线的法线， 求由两法线 及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 ［解答］由题意可计算两法线的方程为尸一2二一（工一1）,即卩恵一2卩+3=0匚/-5 = --(jc-4)，l 卩 x + 4y-24=09壮，则 … 卢K + 3. ,.24-Fs+l -丁如[(〒 1 f 4 1 rS.= -[b —1)必 +aJjlS-3；C 血_ 15-- 斗丿=一;^'+4工一 1所围成的面积最小.［解答］直线的斜率 k = 2x=2a ，则直线方程为即 工'+（2盘一 4）jr + l-/二0，设方程的两根为 且天［也，则片］+兀2 = 4 - 2口， 町殆=1 - 从而X] — 尤]=+ 尤2尸 一4天1兀2 = 2J2屮-Aa-^3工；-看二（兀-工1）（乂2 +兀J = 4（2 -小4加-4盘+3£ 二［'（一兀‘十4兀 一 1一 2心十二 f一 1 一 J?十（4 一=—』2(^ ' — 4C 3(十 了 • (2，_ 斗£2 + 3)42二-(时-4卫 +3)1两直线的交点为 ⑵ 过抛物线 护=兀2上的一点 血&2］作切线,问 曲为何值时所作的切线与抛物线y-以二2口 （x-a ），与抛物线相交,E（呛-4）=0卩=2开|：开（7? - 2点一 血十衍L 巩F 一 F 十2力必又 2^2—41 + 3> 0,所以 A =⑶求通过点〔口）的直线F = #（工）中使得畑环 为最小的直线方程. ［解答］设y-1 =七（盂-1）,贝y 卩=/（盂）=£i + l-七=七盂+£则 rnW 訂:［/—了W 卩必二J ：［/ —严2=［［十 一 2£严 +〔P - 2巧 J + 2^加 + a 的 号？ R=丁一號+亍（沪一2办）+ 4妊+ 2护斗7一軒匕严⑷求函数了⑴=］；（U 必 的最大值与最小值 ［解答］f ⑴=2尢（2-内昇■令n ，可得同尸0） = 2（2- 3押）茁* 一4心-齐"当x = C 时，/%0）:＞0，即/（畫）在z = 0取最小值，此时 /（R = 0 当"忑时，/"（血）=-牝J 丈0，即/（舟在"忑取最大值此时/（砧=（（2-0尹处"十/ ⑸ 求曲线y " - 2x 与y" 所围阴影部分面积 & ,并将此面积绕歹轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.Q ?［解答］S = J 1（丘一 2A - ”）必十［（，一 F 十2五乂兀，宀討町-”=誇3=1 — 土）由叫円可得亠呼一心。
高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0
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1填空题
［解答］- -L ，令宀”—.］，可得丁 —］
当 ■- - ■- 时，广- 一， T 单调递减• 4
分面积之比是
，即"
z 3 27
两直线的交点可求得 亠…厂-
方法一：已知其一根为，〔，设方程为 （X — *）（说》+加+ ◎ — Q
2
通过比较可得 丿- I - .'J . ： - ，可解得另外一根为 ：.:一-
3x(3^-1)(3^ + !)- 2(3r-l>0
… "… i- | 即 … ■ ： - ■ ：. - |
所以
禺士 I j+（?+令申訂尹叙"吕
F ［（护乍"（寻斗备）的=農
⑶设/0）在［一兀.兀］上连续，当门=—时，片何=J 小值•
［解答］'■ - J.丿］-「■ / -1 : ■ ■
所以一'」「•.的单调递减区间是 ⑵曲线- ■-与其在 「：或•,.
T - 1
处的切线所围成的部分被 严轴分成两部分, 这两部 ［解答］直线方程为 2 2
* ，即求解蕾护—9置+ 2 = 0
方法二：分解方程有 27^-3^-6r + 2=0
小、取最
（丁 > 0J 的单调减少区间__
cos3]dx =| /'(疋)必—2&J /(JT)cos^xdx+ J cos 令."ll..，则
⑷「• ； - ■-绕-V = -■：<■ - ./ - 1.1旋转所成旋转体体积［解答］令.■八.■一：辽I “二一 1，则
当T ：；''时,
=可［（o3 co?3卩+ 2必uw朝+护加CQS炉/级二血％十2应护）
S 3 2当上-:时，
£> 4 7T
=Jlj? （a2 cos3厘+2丑cow <P+护” ccs 阿@二Jr（一吁汁+—a2b -抵护）
所以
# = %—兀=巧血沪+£訂）
JT
⑸ 求心脏线•-| I ■-:'.和直线「- .及厂一围成的图形绕极轴旋转所成旋转体
体积—
［解答］将极坐标化为直角坐标形式为，：：1 J. '：! '- .■-: - --!--
贝y r】-.拧一._.「：-」! -I !- _ ： 1-1 - ■- !- ! 1- -_ r 一
=64TF(1 + eos (14- 2 cos 0) gin3豳m
J
所以.'■'■ ■ -| ■ I ■■ ；■' ：J| : I .-.]l' I ■ ■ 1.' !•• :1.. -
- - C.'
/(町CM拌忑曲：=coJ Mxdx —肚](1 + cos 2榔)必—a7T 所以/(A) COS 冲干"x
二64TT J：(1 + (14 2x)(1- F〕必
=64幵(0 + 耳)迫+ 2的(1 —町必(f = l + x)
=開zrf尸(2 —负玄―1)处
=647T(5f4- 2?-加)；=160TT
2 •计算题
⑴ 在直线…J. 一与抛物线：：- .：■ ? ■''的交点上引抛物线的法线，求由两法线
及连接两交点的弦所围成的三角形的面积•
［解答］由题意可计算两法线的方程为
；'-：-1 |： ' - J，即£ - 1 I - I
L—■
尸-5 二-*(x_4),即卩齐 +4尹一24=0
?
两直线的交点为卜-：，则
15
⑵过抛物线」-厂上的一点I；■. / 作切线，问上为何值时所作的切线与抛物线 :-:.- 所围成的面积
最小.
［解答］直线的斜率上二；X二4，则直线方程为■- - ■■ : T T .，与抛物线相交, 即J . *「)；
/ ： - 1，设方程的两根为",二;且1 --，贝U
，I 一I , l l 一■■■从而
x2-冋=』(心丰心『 _4耳光=2』2桂，一+ 3
工；一彳二(x2- x T)(z2 +z L) = 4(2 - a)^f2a2一4盘+ ?
£ 二J ' (―x2十4K一1一2口疋十/)么=j l［cc2- 1 —J14- (4 —禺=——4乞 + 3 -(2/ —+ 3)
住二 （4 戊-4） =0
又」！ I .. ;■'，所以.-:
⑶求通过点 …I 的直线| ■■' 一.中使得 T - I ■■'.■■为最小的直线方程. ［解答］设.•一 ■... 一：，则：…丨一.:一」i
*卜 J ］/ -/⑴］也二 J ：［* - 2//0）+ 严0）处 =［［『—+〔P —姑）f + 2t 曲斗
歹可忑 二 丁-豔 +亍（P -2b ） + 4局+ 2沪
善7 -軒肿HE 亦
由「’厂.可得-:：-，：，：'''-4--- I 即--=I 可得
3
又"：＜ -|则当：-：时为最小，此时「I ,方程为
［解答］7 — : n ：:- 令-〔「可得
y*Cr) = 2(2-张-4心一丹"
当，1 一 1时，JI '，即\ 在.【一 1取最小值，此时 当--v 时，+.「.一 ■- ，即/ 在厂一匕取最大值
此时.二］，X = !■■■■.
⑸ 求曲线- r 与」-，所围阴影部分面积 ・】，并将此面积绕 匸轴旋转所构成 的旋转体体积，如图所示.
Q J
［解答］二 | ］ 丁 •:" * 11 二 i ■■ ?■
V - 2可严- 2x — x a )dte 十 2忒 JT (F 一 F +2x)dtr
则卜 ⑷求函数- 的最大值与最小值.
/W = o
37
163
= -------- JT
30
⑹ 已知圆 ：•厂 "，其中■: > L ； > J ，求此圆绕 丁轴旋转所构成的旋转体 体积和表面积
［解答］令.•"•：：，如图所示，则
耳=匸打@ +于尸砂—J ：亞& -肿—丹妙
=4 =2a 7b7T l
£二匸2砲_析_卄11 + (
—P ----------------- a cos =4砧沪
、Q a cos &
⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，
① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？ ［解答］抛物线方程为 ：一 .’.T ，则在水下 工'到---；7-'这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受的静压力为
若下沉$，此时受到的静压力为
P 2 二 (6 十珅尹=U0/+1920
,2
4 4 5
十［2兀@?十 -y 2「
要使一_ _，解得
②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力
加倍？
［解答］建立如图坐标系，则抛物线方程为则在水下二至【I孟+让这一小块所受的静压力为
dP 二6(2：0_叫辭
所以整块薄板所受的静压力为
= ±f(2O-x)^ = ^f
= 3200-
1920 = 1280
若下沉/，此时受到的静压力为
曷=&] (20+J = 160/ +1280
要使二i - _ ,解得.二-.。