第四章 电磁波的传播

− iωt
1 一般电磁波的时谐展开（傅里叶分析 ）： E ( x , t ) = 2π 1 H ( x, t ) = 2π
∞
−∞ ∞
∫
E ( x , ω )eiωt d ω
iωt
−∞
∫ H ( x , ω )e
dω
2．时谐电磁波的场方程：
⎧ ⎪D = ε E ⎨ ⎪ ⎩B = μ H
− iω t ⎧ ⎪ E ( x , t ) = E ( x )e ⎨ − iω t ⎪ ⎩ B ( x , t ) = B ( x )e
⎧ ⎪∇ × E = iωμ H ⎨ ⎪ ⎩∇ × H = −iωε E
e −iωt :
∂ → −iω ∂t
ω≠0 ∇ ⋅ (∇ × E ) = ∇ ⋅ (iωμ H ) = 0 ⇒ ∇ ⋅ H = 0
3．时谐电磁波的波动方程：
∇ × E = iωμ H
∇ × H = −iωε E
2
1 ∂2 E ∇ E − 2 2 = 0 (v = v ∂t
2
1
∇ × (∇ × E ) = iωμ∇ × H = ω με E ∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = −∇ 2 E
με
)
∇ 2 E + k 2 E = 0 ( k = ω με )
（亥姆霍兹方程）
∇⋅E = 0
波模：∇ 2 E + k 2 E = 0 的满足 ∇ ⋅ E = 0 的解代表时谐电磁波场强在空间的分 布情况，每一种可能的分布形式称为一种波模。
实际场强 E ( x, t ) = E0 cos(kx − ωt )
∇ ⋅ E = 0 ⇒ ikex ⋅ E = 0 ⇒ E0 x , Ex = 0 ⇒ E0 , E ⊥ x轴
B=−
i
ω
∇× E = −
i
ω
(ikex × E ) =
1 ex × E = με ex × E = ex × E ω v
k
B ⊥ x轴
B⊥E
2．几个概念和参数：
E0 振幅：
E ( x, t ) = E0 ei ( kx −ωt )
(k = ω με )
相位因子： e i ( kx −ωt )
kx − ωt 相位：
等相位面：kx − ωt = 常数 相速度（等相位面的传播速度）：v = 真空中的相速度：c =
2π = 2π f T 1 1
⎧ ⎪∇ 2 E + k 2 E = 0 k = ω με ⎪ ⎪ ⎨∇ ⋅ E = 0 ⎪ ⎪ B = − i ∇ × E = − i με ∇ × E ⎪ ω k ⎩
或
⎧ ⎪∇ 2 B + k 2 B = 0 k = ω με ⎪ ⎪ ⎨∇ ⋅ B = 0 ⎪ i i ⎪E = ∇× B = ∇× B ωμε k με ⎪ ⎩
1 2 2 2 2 w = ε E = ε E cos ( k ⋅ x − ω t ) = εE0 [1 + cos 2(k ⋅ x − ωt )] 能量密度瞬时值： 0 2
2．能流密度 S
S = E× H = E×( B = με n × E
二次式求瞬时值须带场强的实数表示
ε ε ε 2 1 n × E) = [( E ⋅ E )n − ( E ⋅ n ) E = E n= wn = vwn μ μ μ με
Copyright by Beilei Xu
第四章 电磁波的传播
主要内容

电磁场波动方程、时谐电磁波的亥姆霍兹方程、平面电磁波、 偏振波 反射和折射定律、振幅相位关系、全反射 导体内的电磁波、良导体条件、趋肤效应和穿透深度、导体 表面的反射 谐振腔和波导管中电磁波的运动形式



Copyright by Beilei Xu
)
1）判断电场强度的方向和波传播的方向； 2）确定频率、波长和波速； −7 3）若介质的磁导率 μ = 4π × 10 (亨 米 ) ，求磁场强度； 4）求在单位时间内从一个与xy平面平行的单位面积通过的电磁场能量。
例2：考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ω + dω 和 ω − dω 的线 偏振平面波，它们都沿z轴方向传播。 1）求合成波，证明波的振幅不是常数而是一个波； 2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解：由于两个波的角频率不同，波数也不同，分别为 k + dk 和 k − dk 。 合成波： E = E0 cos[(k + dk ) z − (ω + dω )t ] + E0 cos[(k − dk ) z − (ω − d ω )t ] = 2E0 cos(dk ⋅ z − dω ⋅ t ) cos(kz − ωt ) 合成波的振幅随时间按余弦变化，是一调幅波，调制频率为dω 。 ω 合成波相速：v p =
ω
v
=
2π
λ
λ= 波长：
2π = vT k E H
η= 波阻抗（与传播方向垂直的横平面上 E 与H 的模之比 ）：
平面电磁波波阻抗：η =
μ ε
η0 =
μ0 = 120π ≈ 377Ω ε0
3．沿任意方向传播的平面电磁波：
E ( x , t ) = E0 ei ( k ⋅ x −ωt ) (k = ω με ) k ⋅E = 0
平面电磁波能量传播速度等于相速度。
ε 2 1 ε 2 E n= E0 [1 + cos 2(k ⋅ x − ωt )]n μ 2 μ
能流密度瞬时值：S =
能量密度和能流密度都是随时间波动的量，且波动频率是场强波动的二倍。
3．能量密度和能流密度的平均值：
二次式用复数表示求平均值的一般公式：
− iωt 设： f (t ) = f 0 e
⎧ ∂B ( x , t ) ∇ × = − E x t ( , ) ⎪ ∂t ⎪ ∂D ( x , t ) ⎪ ∇ × = H x t ( , ) ⎨ ∂t ⎪ ⎪∇ ⋅ D ( x , t ) = 0 ⎪ ⎩∇ ⋅ B ( x , t ) = 0
⎧∇ × E ( x ) = iωμ H ( x ) ⎪ ⎪∇ × H ( x ) = −iωε E ( x ) ⎨ ⎪∇ ⋅ E ( x ) = 0 ⎪∇ ⋅ H ( x ) = 0 ⎩
k
右旋 Ex
x
o Ex
x
端绕行方向 (四指)与电磁波 传播方向(拇指) 之间构成左(右) 手螺旋关系。
对每一波矢量 k 存在两个相互正交的独立的偏振方向( E 的取向)， E 可分解为这两个方向的线偏振波的叠加。
k = kez 设： E0 = Aeiα ex + Beiβ ey
2
1 ∂2 E ∇ E− 2 2 =0 c ∂t
2
c=
1
μ 0ε 0
1 ∂2 B ∇ B− 2 2 =0 c ∂t
2
介质中波动方程? μ0ε 0 → με ?
3．介质的色散： 介质的电容率 ε 和磁导率 μ 随电磁波频率 ω 而变的现
象称为介质的色散。 ε = ε (ω ) μ = μ (ω ) 线性介质: 若电磁波仅有一种频率成分ω ： ⎨ 若电磁波包含多种频率成分： ⎨
i ( kz −ωt )
(A, B为实数)
E ( z , t ) = E0 e 则：
= ( Aeiα ex + Beiβ ey )ei ( kz −ωt )
线极化波：α − β = 0或π
⎧ ⎪ Ex ( z , t ) = A cos(kz − ωt + α ) ⎨ ⎪ ⎩ E y ( z , t ) = B cos(kz − ωt + β )
三、平面电磁波：
平面电磁波：波阵面（等相位面、波前）是和传播方向垂直的平面。
1．沿x轴方向传播的平面电磁波
E ( x , t ) = E ( x, t )＝E ( x)e − iωt
y
o
z
x
∇2 E + k 2 E = 0 (k = ω με )
d2 ikx 2 E ( x ) = E e E ( x ) + k E ( x ) = 0 0 dx 2 复数表示 E ( x, t ) = E0 ei ( kx −ωt )
⎧ D(ω ) = ε (ω ) E (ω ) ⎩ B(ω ) = μ (ω ) H (ω )
⎧ ⎪ D (t ) ≠ ε E (t ) ⎪ ⎩ B (t ) ≠ μ H (t )
不同频率的电磁波在介质中的传播速度不同; 不同频率的电磁波在介质中的折射率不同。
4．均匀各向同性线性介质中，单一频率电磁波的波动方程：
1 1 2 2 w ε E B0 = = 能量密度平均值： 0 2 2μ 1 1 ε 2 能流密度的平均值： S = Re( E ∗ × H ) = E0 n = vwn 2 2 μ
例1：有一平面电磁波，其电场强度为 E ( x , t ) = 100π ex e (
i 2π ×10−2 z − 2π ×106 t
k 波矢量：方向沿电磁波传播方向， 大小 k 称为波数。
考虑与 k 垂直的任意平面S上的任意点P， 因为 k ⋅ x = kx′，所以S为等相位面， 上式表示沿 k 方向传播的平面电磁波。
B=− i
ω
∇× E = −
i
ω
ik × E =
k
ω
× E = με n × E =
1 n× E v
n：波传播方向单位矢量
2． 真空 ( D = ε 0 E , B = μ0 H ) 中的波动方程：
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = −∇ 2 E
∇⋅D = 0
∇ × (∇ × E ) = − ∇× E = − ∂B ∂t ∂ ∂ E ∇ × B = − μ0 ε 0 2 ∂t ∂t ∂D ∇× H = ∂t