数列专题五构造法求通项公式
高三用构造法求数列通项公式
用构造法求数列通项公式已知数列的递推公式，求其通项公式是数列中重要的题型之一，在近年的高考试卷中也经常出现此类题型，解决这个问题除验算—猜想—证明的方法外；利用公式的变形构造一个新数列来求解也是重要的手段，下面通过例题分析阐述常用的变形方法，供参考。
一、配凑构造例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·n S n ，故数列{n S n }是以11S=a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n =2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.二、相除构造例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得n S 1- 11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{n S 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21,n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.三、平方构造例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.解析:(1)f -1(x)=- 42+x (x ≥0),(2)由a n =-f -1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得a n 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .四、开方构造例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得n S =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即n S =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *).五、待定系数法例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n -21),则数列{a n -21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n -21=21·3n-1,即a n =21·3n-1+21. 六、公式变形例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +na 1)，求通项a n . 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)= 21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n =n -1-n .七、取倒数例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{n a 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n =n 2.。
数列构造法
构造法求数列的通项公式在数列求通项的有关问题中,经常遇到即非等差数列,又非等比数列的求通项问题,特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型,在老教材中,可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想,然后借助于数学归纳法予以证明,但新教材中,由于删除了数学归纳法,因而我们遇到这类问题,就要避免用数学归纳法;这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式;构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的辅助模型,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考;1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法.例1设各项均为正数的数列的前n项和为S,对于任意正整数n,都有等式：n成立,求的通项a n.解：, ∴,∵,∴.即是以2为公差的等差数列,且.∴例2数列中前n项的和,求数列的通项公式.解：∵当n≥2时,令,则,且是以为公比的等比数列,∴.2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例3设是首项为1的正项数列,且,n∈N,求数列的通项公式a n.解：由题设得.∵,,∴.∴.例4数列中,,且,n∈N,求通项公式a n.解：∵∴n∈N3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例5数列中,,前n项的和,求.解：,∴∴4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.例6设正项数列满足,n≥2.求数列的通项公式.解：两边取对数得：,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,∴例7已知数列中,,n≥2时,求通项公式.解：∵,两边取倒数得.可化为等差数列关系式.∴。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
构造法求数列通项公式系列图表
专题：构造法求数列通项公式系列图表已知数列{a n }的首项a 1及如下的递推公式，求此数列的通项公式。
方法：①常数列；②等差数列公式法；③等比数列公式法；④叠加法；⑤叠乘法；⑥构造法（构造等比数列）；⑦构造法（待定系数）；⑧迭代法（递推法）；⑨迭代法（更多由特殊情 注：⑦中f (n )常见的是一次函数（待定系数构造等比）、指数函数（两边同除构造等比）一、公式法：1、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=a n +3，求此数列的通项公式a n .2、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=3a n ，求此数列的通项公式a n .二、叠加法、叠乘法：3、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=a n +n +1，求此数列的通项公式a n .4、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1= n +1n a n ，求此数列的通项公式a n .三、构造法（待定系数法）：5、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=2a n +3，求此数列的通项公式a n .6、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=3a n +3n ，求此数列的通项公式a n .7、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=2a n +3n ，求此数列的通项公式a n .8、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=2a n +n +1，求此数列的通项公式a n .四、取倒数法：⑨9、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1= 3a n 3+a n，求此数列的通项公式a n . 10、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1= 3a n 2+a n，求此数列的通项公式a n . 五、方程（或方程组）法：11、已知数列{a n }满足：a n ≥0，a n = 3na n+1 ，求此数列的通项公式a n . 12、已知正项数列{a n }中，a 1=2， (n+1)a n +12+a n a n -1－na n 2=0, 求此数列的通项公式a n .六、a n 与S n 的关系法：a n = ⎩⎨⎧S 1 (n=1)，S n -S n-1 (n ≥2)，13、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =－n 2+3n ，求此数列的通项公式a n .14、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =－n 2+3n +4，求此数列的通项公式a n .15、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =2·3n -2求此数列的通项公式a n .16、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1=2，a n +1 =2S n +n ，求此数列的通项公式a n .七、能力提升：17、（必修五课本第69页第6题：已知数列{a n }中，a 1=5，a 2=2，a n =2a n -1+3a n -2 ,(n ≥3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？。
高中数学必修5用构造法求数列的通项公式
用结构法求数列的通项公式在高中数学教材中，有好多已知等差数列的首项、公比或公差 (或许经过计算能够求出数列的首项 ,公比 ),来求数列的通项公式。
但实质上有些数列其实不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。
而这些题目常常能够用结构法，依据递推公式结构出一个新数列，进而间接地求出原数列的通项公式。
关于不一样的递推公式，我们自然能够采纳不一样的方法结构不一样的种类的新数列。
下边给出几种我们常有的结构新数列的方法：一．利用倒数关系结构数列。
比如：数列 { a n } 中，若 a12,114(n N ), 求a n an 1an设b n 1 , 则b n 1b n+4,a n即 b n 1b n＝４，{b n｝是等差数列。
能够经过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。
练习： 1)数列 { a n } 中， a n≠0，且知足a111N ), 求a n , a n11, (n23a nn}中， a11, a n 2a n n通项公式。
2)数列 { a1a n, 求a 2n}中 , a11, a n0,且a n2a n a n 1a n1 0(nn3)数列 { a2, n N ), 求 a .二．结构形如 b n a n2的数列。
例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n 12a n24(n N ), 求a n解：设 b n a n 2 , 则b n1bn4,即b n1b n4数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1225 a1b n25(n 1)( 4)294n即 a n 24n29a n294n , (1n7, n N )练习：已知正数数列 { a n } 中， a1 2, a n 2 a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。
三．结构形如 b n lg a n的数列。
例：正数数列 { a} 中，若 a =10,且lg a n lg a n 1 , (n2, n N ), 求a .n11n2解：由题意得：lg a n1，可设 b n lg a n，lg a n 12即b n1,bn 12b n是等比数列，公比为1， b1 lg 10 12b n 1 (1) n 1(1)n 1 ,(n N) .22(1) n 1 , a n( 1 )n 1即 lg a n10 22练习：（选自 2002 年高考上海卷）数列 { a n } 中，若 a1=3, a n 1a n2 ,n 是正整数，求数列 { a n } 的通项公式。
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
专题05构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n na a a n +==⋅+,求n a .【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==,21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-.【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A.28 B.128C.28- D.128-【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数)则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。
构造法求数列通项公式专题讲座ppt课件
令 1 1 ( 1 ), 则 3 , 3
an1
2 an
22
1 3 1 ( 1 3), 又 1 3 5
an1
2 an
a1
2
1 an
3
是首项为 5
2
1 公比为 2 的等比数列
1 3 5 ( 1 )n1, 1 3 5 ( 1 )n1
an an
3
22 1 5 (1)n1
1 2
,
1 an
是首项为
1 2
公差3的等差数列。
1 an
1 (n 1) 3 3n 5
2
2
6n 2
5
,
a
n
2 6n 5
例6数列 an
中，a1
2, an1
2an 1 3an
，求 an
解： an1
2an 1 3an
1 ,
an1
1 3an 2an
3 11
2 2 an
构造法的定义
• 所谓构造法就是在解决某些数学问题中 通过对条件和结论的充分剖析，有时会 联想出一些适当的辅助模型，以促成命 题的转换，产生新的解题方法。下面就 构造法求数列的通项公式的分类和解题 方法分别进行论述。
类型1形如 an1 pa nq p 1, p 0,q 0 的递推式
• 基本思路：可用待定系数法,设an1 pan
•bn p(an An2 Bn C) ;
• (2)本题也可由 an 3an1 2n 1 • , an1 3an2 2(n 1) 1
• （ n 3 ）两式相减得
an an 1 3(an 1 an 2 ) 2
• 转化为 bn2 pbn1 qbn 求之.
练习1 数列 an 前 n 项和为 Sn
构造法求数列通项
构造法求数列通项
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”。
若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式。
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知f（n）是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与an，从而求出an的通项公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.已知数列{a n}中，a1 =1，a n+1＝2a n＋4，,求数列{a n}的通项公式。
2.已知数列{a n}中，a1 =1，a n+1＝3a n＋4n＋1,求数列{a n}的通项公式。
3.已知数列{a n}中，a1 =1，3a n a n+1+2a n+1- a n＝0, 求数列{a n}的通项公式。
4．[2012·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{a n}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有1
a1＋1
a2＋…＋
1
a n<
3
2.
5.2010全国(20)设数列满足且
. （1）求的通项公式；
(Ⅱ)设.
6.2011广东20. 设数列满足, (1)求数列的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n,.
{}n a 10a =111111n n a a +-=--{}n
a 1,1n n n k n k
b b S ==
=<∑记S 证明：0,b >{}n a 111=,(2)22
n n n nba a b a n a n --=
≥+-{}n a 1
112
n n n b a ++≤+
7.（2010全国）已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- . （Ⅰ）设51,22
n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .
8． [2012·全国卷] 函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3；
(2)求数列{x n }的通项公式．。