数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法

构造法求数列通项公式

一、构造等差数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =1

2

，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.

解析：由31

3n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，

=-+n n a a 11

1

31

，

设b n =n a 1

，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，

根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35

∴数列通项公式为a n =53

+n

例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1

2

22-n n S S (n ≥2)，

求S n 与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =12

22-n n S S 得，S n -S n-1=12

22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1？两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列

∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={2

11

3

8422

≥=+--n n n n

二、构造等比数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例3在数列｛a n ｝中，a 1=2，a n =a n-12(n ≥2)，求数列｛a n ｝通项公式。

解析：∵ a 1=2，a n =a n-12(n ≥2)＞0，两边同时取对数得，lg a n =2lg a n-1

∴1

lg lg -n n

a a =2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg a n ｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg a n =2n-1

lg2=1

22lg -n

∴数列通项公式为a n =1

22

-n

评析：本例通过两边取对数，变形成1log 2log -=n n a a 形式，构造等比数列

{}log n a ，先求出n a log 的通项公式，从而求出n a 的通项公式。

例4在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=4a n +3n+1，求数列｛a n ｝通项公式。 解析：设a n+1+A （n+1）+B=4（a n +An+B ），（A 、B 为待定系数），展开得a n+1=4a n +3An+3B-A ，与已知比较系数得{

1

333=-=A B A ∴{

3

2

1

==B A ∴a n+1+（n+1）+32=4（a n +n+32

），根据等比数列的定义知， 数列｛a n +n+32｝是首项为38，公比为q=3的等比数列，∴a n +n+32=

3

8

×

3n-1

∴数列通项公式为a n =

3

8×3n-1-n-32

例5 在数列｛a n ｝中，a 1=1 ，a n+1a n =4n ，求数列｛a n ｝通项公式。

解析：∵a n+1a n =4n ∴a n a n-1=4 n-1 两式相除得1

1

-+n n a a =4 ， ∴a 1，a 3，a 5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a 1，a 2 ，公比都是4的等比数列，

又∵a 1=1，a n+1a n =4n ，∴a 2=4 ∴a n ={

n

n n n 2

214

4

-

三、等差等比混合构造法

数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,1

1

-n n a a 先求出

.,1

n n

a a 再求得 例6．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=

+n a a a n n

n 求.n a 解：原条件变形为.311n n n n a a a a =?+?++两边同乘以

,1

1

+?n n a a 得

1

1131+=?

+n n a a . ∵1132

1

1,211)2113-+=+∴+=+n n n n a a a （

∴.1

322

1

-?=

-n n a 四、辅助数列法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例7.在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3

1

3212+=++，求n a 。

解析：在n n n a a a 313212+=++两边减去1+n a ，得)(3

1

112n n n n a a a a --=-+++

∴ {}n n a a -+1是以112=-a a 为首项，以3

1

-为公比的等比数列，

∴11)3

1

(-+-=-n n n a a ，由累加法得

n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+???+-+----

=+--2)31(n +--3

)3

1(n …11)31(++-=

3

11)31

(11

+---n =1])31(1[431+---n =

1)3

1(4347---n

练习

1、在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=3a n +2n （n ∈N *），求数列｛a n ｝通项公式。 解：由a n+1=3a n +2n （n ∈N *）得，a n+1+2n+1=3（a n +2n ）（n ∈N *），

设b n = a n +2n 则b n+1=3b n ，∴n

n b b 1+=3，根据等比数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=3，公比为q=3的等比数列， 根据等比数列的通项公式得b n =3n ，即a n +2n =3n ，

由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=11)31

()31()31()31(232++-+-++-+--- n n

=13

11)31(11

++---n =11)31(43471)31(143---?-=+??????--n n

6. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：

n n n S a a 422

=+成立，求{}n a 的通项an.

解：n n n

S a a 422

=+?112142---=+n n n S a a ， ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+---- 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差

的等差数列，且24211121=?=+a a a a . ∴n n a n 2)1(22=-+=

7. 设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，

（n ∈N*），求数列的通项公式an.

解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n . ∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1

2

)

1(321)()()(123121+=

++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 8. 数列{}n a 中，2

1

1=

a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 解：1221221)1()1()1(----=-?--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a

11

1+-=?-n n a a n n ，

∴112211a a a a a a a a n n n n n ??=--- )

1(1

2131211+=?-?+-=n n n n n n

∴)

2)(1(1

1++=+n n a n

9.设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a n b ， 则12-=n n b b

{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .

11221--=?=n n n b ，1221log -=+n a n ，12

log 12-=-n a n

， ∴1

21

2--=n n a

总结

而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为：()n f pa a n n +=+1；n n n q pa a +=+1

（1）通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1

-p q

，从而得等比数列{a n +k }。

（2）通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。这种方法适用于

n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：

设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。 3、构造法

构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.

（1）构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. （2）构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. （3）构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简 （4）构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

补充一般方法：

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，

2

5

5a S =．求数列}a {n 的通项公式

解：设数列}a {n 公差为)0d (d >

∵931a ,a ,a 成等比数列，∴912

3a a a =，

即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12

= ∵0d ≠，∴d a 1=……………………① ∵2

55S a =

∴211)d 4a (d 24

5a 5+=??+

…………②

由①②得：

53a 1=，53d =

∴

n

5353)1n (53a n =?-+= 二、累加法

求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n

}中，a 1

=1，对任意自然数n 都有11

(1)n n a a n n -=+

+，求n a ．

解：由已知得

11

(1)n n a a n n --=

+， 121

(1)n n a a n n ---=

-，

……，

321

34a a -=

?， 211

23a a -=

?，

以上式子累加，利用 111

(1)1n n n n =-

++得

n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++?---+=1121n -+，

31

21n a n ∴=

-

+

三、累乘法

对形如1

()n n a f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n —1得到

n —1个式子累乘求得通项。

例3．已知数列{}n a 中，311

=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求通项公式n a ．

解：由n n a n n S )12(-=得11(1)(23)n n S n n a --=--

两式相减得：1(21)(23),n n n a n a -+=-，

12321n n a n a n --∴=

+，

1221251

,,215n n a a n a n a ---∴

==-

将上面n —1个等式相乘得：

1(23)(25)(27)31(21)(21)(23)75n a n n n a n n n ---?=+--?3(21)(21)n n =

+-

1

.

(21(21)n a n n ∴=+-

四、公式法

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式??

?≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足

1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式；

解：由.1,121111=-==a a S a 得

当2≥n 时，有

,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,

)1(22221----?+=n n n a a

……，

.2212-=a a

11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-

].)1(2[3

2

3

])2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证1a 1=也满足上式，所以212

[2(1)]

3n n n a --=+-

点评：利用公式

??

?≥-==-21

1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并． 五、“归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

例5．若数列{}n a 满足：

,232,11

11-+?+==n n n a a a 计算a 2

，a 3

，a 4

的值，由此归纳出a n 的公式，并证明你的结论．

解：∵a 2=2 a 1+3×2°=2×1+3×2°，

a 3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21， a 4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22； 猜想a n =2n －1+（n －1）×3×2n －2=2n －2（3n －1）； 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a 1=2－1×=1，结论正确； 2°假设n=k 时，a k =2k －2（3k －1）正确， ∴当n=k+1时，

111123)13(2232---+?+-=?+=k k k k k k a a

=

)23(21

+-k k ],1)1(3[21)1(-+=-+k k 结论正确； 由1°、2°知对n ∈N*有

).13(22

-=-n a n n 点评：利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽

弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设．