裂项相消法(微课堂)PPT课件
合集下载
裂项相消法课件(微课堂)
寻找相邻项
在分式中寻找相邻的项，特别是那些 具有相反符号的项，它们是裂项相消 的关键。
裂项相消法的注意事项
验证因式
在应用裂项相消法之前，要确保 分母中的因式是正确的。错误的
因式会导致后续计算出错。
保持代数恒等性
在应用裂项相消法时，要确保等式 的两边在经过变换后仍然保持恒等， 即等式的两边在变换后具有相同的 值。
3
分数裂项相消法的练习题
如求$frac{1}{2} + frac{1}{6} + frac{1}{12} + frac{1}{20} + ldots$的和，可以通过裂项相消法 快速得出结果。
代数表达式的裂项相消法练习
代数表达式裂项相消法的原理
将代数表达式拆分成多个部分，使得在求和或求积的过程中某些项相互抵消，简化计算过 程。
消法快速得出结果。
06Biblioteka 总结与展望裂项相消法的总结
裂项相消法是一种重要的数学方 法，主要用于解决数列求和问题。
它通过将一个数列拆分成若干个 子数列，然后利用相邻子数列的 相消性质，简化了数列求和的过
程。
裂项相消法在数学中有着广泛的 应用，不仅在数列求和中有用， 还可以用于解决一些组合数学问
题。
裂项相消法的应用前景与展望
02
裂项相消法的原理
分数的裂项
01 分数裂项法
将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以 便于计算。
02 常见裂项形式
如$frac{1}{n(n+1)}$可以拆分为$frac{1}{n}frac{1}{n+1}$。
03 裂项技巧
根据分数的分子和分母特点，选择合适的拆分方 式，简化计算。
第4节 第2课时 裂项相消法--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
(2)由(1)知an=3n-1-1,则an+1=3n-1,an+2=3n+1-1,
所以
2·3
bn=
+1 +2
=
2·3
+1
(3 -1)(3
1
-1)
1
=
1
1
− +1 ,
3 -1
3
-1
1
1
1
1
则 Tn=b1+b2+…+bn= 1 − 2 + 2 − 3 +…+ − +1
3 -1
3 -1
3 -1
3 -1
3 -1
3
-1
1
1
1
1
= 1 − +1 = − +1 .
2
3 -1
3
-1
3
-1
[对点训练
1
3](2024·山东滨州模拟)已知在数列{an}中,a1=3,2an+1-an=anan+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
1
n
2
(2)证明:2a1a2+2 a2a3+…+2 anan+1< .
1 + 3 + 1 + 6 = 20,
则
9×8
91 + 2 = 27(1 + ),
21 + 9 = 20,
1 = 1,
即
解得
181 = 9,
= 2,
所以 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)证明 bn=
2
所以
2·3
bn=
+1 +2
=
2·3
+1
(3 -1)(3
1
-1)
1
=
1
1
− +1 ,
3 -1
3
-1
1
1
1
1
则 Tn=b1+b2+…+bn= 1 − 2 + 2 − 3 +…+ − +1
3 -1
3 -1
3 -1
3 -1
3 -1
3
-1
1
1
1
1
= 1 − +1 = − +1 .
2
3 -1
3
-1
3
-1
[对点训练
1
3](2024·山东滨州模拟)已知在数列{an}中,a1=3,2an+1-an=anan+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
1
n
2
(2)证明:2a1a2+2 a2a3+…+2 anan+1< .
1 + 3 + 1 + 6 = 20,
则
9×8
91 + 2 = 27(1 + ),
21 + 9 = 20,
1 = 1,
即
解得
181 = 9,
= 2,
所以 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)证明 bn=
2
数列求和之裂项相消法 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性第二册
目标及重难点
• 1.能够熟练掌握应用裂项相消法给数列求和。 • 2.能够准确辨认出这类问题（应用裂项相消法求和）的形式，
知道什么时候用。 • 3.掌握如何拆项，如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么
用。
重点：应用裂项相消法解决如下形式的给数列求和的问题，其中 为等差数列。
难点：如何裂项，裂项后是否与原式相等。
课堂总结
数列求和初步
新教材《选择性必修二》
➢裂项相消法求和：
将数列中的每项（通项）分解，使之能消去一些项， 最终达到求和的目的。
➢裂项相消法求和的一般步骤：
求通项——裂项——相消——求和。 ➢常见裂项相消法的类型：
5个
作业布置
数列求和初步
1、已知
an
(3n
1 1)(3n
2)
，求数列{an}的前项和 S n
；
④
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n；
②2n－112n＋1＝12
2
1 −1
−
2
1 +1
；
③nn＋11n＋2＝12
1− 1
( +1) ( +1)( +2)
⑤ln
1＋1 n
＝ln(n＋1)－ln
n.
延伸探究
裂项相消法求和
新教材《选择性必修二》
求和： 22 ＋ 32 ＋ 42 ＋…＋ n2 ，n≥2，n∈N*.
数列 求和
复习回顾 1.公式法求和
新教材《选择性必修二》
等差、等比数列；
2.分组求和法 (1)一般情况下形如cn＝an±bn ； (2)数列{an}与{bn}是已知求和方法的数列； 3.倒序相加法 数列{an}与首末两端等“距离”的两项和相等,则用倒序相加法求和.
高三理科数学数列求和裂项相消法.ppt
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 a 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
2n 2n b 2n1 b
1 1 2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
1 22
b
1 23 b
1 2n b
1 2n1 b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、 第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
知识点——裂项相消法PPT课件
第16页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
bn
(1 n 1
1 ) 3n1 3n
裂项即逆用分式减法
3n1 3n
bn
n 1
n
Tn
3n1 3 n 1
点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项 之间的“轮转”， 即前一项的减数与后一项被 减数相同.
第17页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
变式：已知数列数列{an}的首项、公差都是1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(Ⅱ)令bn
n 1 Sn Sn1
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
答案：(1)an
n, Sn
点评：该解法应用了三个思想: ①放大； ②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高 算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.
问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？
首先改造通项公式：
bn
1 2n(2n 1)
1 4
1 n(n
1)
2
第25页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
n(n 1) ; 2
2 (2) Tn 2 (n 1)(n 2) .
第18页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
例6.设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn ,
且Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0(n N *).
(1 1 )] n n 1
裂项相消求和+课件-2025届高三数学一轮复习
数列求和 裂项相消求和
一、学习目标
1.掌握裂项相消求和的基本方法和形式. 2.在用裂项相消法求数列和的过程中，掌 握适用题型的特征及相消后所余项的判断.
一、复习数列相关知识：
12、、等等差比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式和和前前nn项项和和公公式式：：
二、裂项相消法定义：
裂项相消求和法是把数列的通项 拆开（一般拆成两项之差），正负相 消，剩下首尾若干项，再求和。
三、常见的几种裂项变形：
典型例题：
学生练习:
链接高考
拓展提升：
课堂小结: 通过这节课的学习你有什么收货？
作业布置：
不去耕耘，不去播种，再肥 沃的土也长不出庄稼，不去奋斗， 不去创造，再美的青春也结不
一、学习目标
1.掌握裂项相消求和的基本方法和形式. 2.在用裂项相消法求数列和的过程中，掌 握适用题型的特征及相消后所余项的判断.
一、复习数列相关知识：
12、、等等差比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式和和前前nn项项和和公公式式：：
二、裂项相消法定义：
裂项相消求和法是把数列的通项 拆开（一般拆成两项之差），正负相 消，剩下首尾若干项，再求和。
三、常见的几种裂项变形：
典型例题：
学生练习:
链接高考
拓展提升：
课堂小结: 通过这节课的学习你有什么收货？
作业布置：
不去耕耘，不去播种，再肥 沃的土也长不出庄稼，不去奋斗， 不去创造，再美的青春也结不
裂项相消法求和ppt课件
(4)an
log
a (1
1) n
__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝ ｛的n前 项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的 列通项 （2）若 bn an1an1,求数列bn｝ ｛的n前 项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝ ｛的n前 项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式 （2）设 bn ana1n1,求数列bn｝ ｛的n前 项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n
1 n(n
k)
( )
__k___n__ nk
(2)an
1 4n2 1
___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝ ｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛ ｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT
常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
10
归纳小结 裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k
)
=
1（ k
1 n
－
1 n+k
）
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n 11
1 , 1 ,, 23 34
1 n(n 1)
的和
（1）解：数列的通项公式
11 an n n 1
数列的和为
Sn
1
n
1 1
n
n
1
3
（2）解：
4
你能说“裂项相消求和法”的特征吗？
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的 前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
5
数学运用 练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
6
2019/10/27
7
【解析】
=
8
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
ห้องสมุดไป่ตู้
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
微课堂
1
复习引入
首先回忆前面学习过的数列求和的几种方法？ 1、公式法：等差数列和等比数列 2、分组求和 ： 通项为等差加减等比
例如 an 2n n2
2
接下来请同学看下面两个问题：
（1）1 1 1 1 1 1 1 1
22334
n n1
（2）求数列
1, 1 2
2019/10/27
12
2)
1 2
(1 n
n
1
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
1) n2
1 (1 1 1 1 ) 3
2n 3
2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
9
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘