空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
空间向量的正交分解及其坐标表示 .ppt
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
跟踪训练
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
祝
您
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任 意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是唯一的．
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一 空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
基础梳理
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )
空间向量正交分解及坐标表示
例1、已知空间四边形OABC中， M,N分别是OA,BC 的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量
OA , OB , OC 表示 OP , OQ .
O
M
A
P
Q
B
N
C
例 2．已知空间四边形 OABC，M，N 分别是 OA，BC 的中 点， → ＝a，→ ＝b，→ ＝c， a， c 表示向量 MN 为( 且OA OB OC 用 b， 1 1 1 A.2a＋2b＋2c 1 1 1 C．－2a＋2b＋2c 1 1 1 B.2a－2b＋2c 1 1 1 D．－2a＋2b－2c )
x, y, p k j O i
x
P
y Q
p xi y j zk .
P ( x, y, z)
空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空 间任一点A,对应一个向量 O A ,于是存在唯 z a 一的有序实数组 x, y, z,使
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
3.1.5空间向量的标准正交分解与坐标表示
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3) 1 5 (4) 29 a (2a b) (2, 3,5) (1, 5,6) 2 1 (3) (5) 5 6 47
a, b, c 都叫做基向量
注：任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，即 不是基底的三个向量必共面。
例1、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量OA， OB，OC表示OP和OQ。
O M
A
Q P N B
C
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。 则空间中任意一个向量p可表示为
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
【温故知新】
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 {x,y,z}， p，存在一个唯一的有序实数组 使 p xa yb zc.
一、空间向量基本定理：
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
第二章 空间向量与立体几何第三节 向量的坐标表示和空间向量基本定理第3课时 ３.１空间向量的标准正交分解与坐标表示【课堂互动】新知1 空间向量的坐标表示例1. 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标笔记：新知2 坐标运算例2. 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =-- ，求a b + ，a b - ，||a,8a笔记：【堂中精炼】3.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x =21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =234在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ）A.0B.1C.2D.35已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1B.51 C.53 D.576设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为A.（41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32）7已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________.8已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________.点睛：求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴要交E‘点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标点睛：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则1122(,,a b a ba b+=++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈【反馈测评】1.给出下列命题：①若点（x ，y ，z ）在xoy 平面内，则z=0 ②若点（x ，y ，z ）在yoz 平面内，则x=0③若点（x ，y ，z ）在zox 平面内，则y=0 ④若点（x ，y ，z ）在y 轴上，则y ≠0其中正确的命题个数是： ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 2.下列命题错误的是； ( )A 点（x ，y ，z ）关于xoy 平面的对称点是（x ，y ，-z ）B 点（x ，y ，z ）关于yoz 平面的对称点是（-x ，y ，z ）C 点（x ，y ，z ）关于zox 平面的对称点是（x ，-y ，z ）D 点（x ，y ，z ）关于原点的对称点是（-x ，-y ，z ） 3．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或4. 下列叙述:①在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定是),,0(c b ;②在空间直角坐标系中,在yoz 平面上的点的坐标一定可写成),,0(c b ;③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标一定可写成),0,0(c ;④在空间直角坐标系中,在xoz 平面上的点的坐标是),0,(c a ;其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4 ５.已知点A （3，-5，7），点B （1，-4，2），则→--AB 的坐标是___ _______，AB 中点坐标是__________。
空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理课件
如果向量e1、e2、e3是空间三个 不共面 的向量，a是
空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 .
其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个 基底 ．
a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
表示向量a关于基底e1，e2，e3
的分解．
空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知 向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是 不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向 量的基底．
解：如图，过 A 点作 AM⊥平面 xOy 于
M，则直线 AM 过点 C，且 CM＝AM， uuur
则 点 C 的 坐标 为 (1,2,1)， 此 时 OC ＝ uuur
(1,2,1)，该向量与OA＝(1,2，－1)关于平
面 xOy 对称．
过 A 点作 AN⊥x 轴于 N，则直线 AN 过点 B，且 BN＝AN， uuur
直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．
(2)若表示向量
uuur AB
的坐标，只要写出向量
uuur AB
关于i，
j，k的标准正 交分解式，即可得坐标．
1.在如图所示的空间直角坐标系中，正方体
ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，B1E1＝14 uuuur
A1B1，则 DE1 的坐标为________．
D1D 上，且 BE＝13BB1，DF＝23DD1.
(1)证明 A、E、C1、F 四点共面；
uuur
uuur uuur
(2)若 EF ＝x＋y AD＋z AA1 ，求 x＋y＋z uuuur
uuur
[思路点拨] 要证明四点共面只需证明 AC1 可用 AE ，
uuur
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示1
精彩互动
例1、已知PA垂直于正方形ABCD所表示的平面，M,N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1.求 、 的坐标
例2、在棱长为1的正方体 中，M,N分别是面 和面 的中心。
（1）求点M、N的坐标，及 关于 的分解式；
（2）求向量 在 上的投影.
检测案
1、在空间四边形 中 是 的重心，若 ，则 等于（）
二、预习自测
1.设 ，则向量 的坐标为.
探究案
一、基础知识探究
新知：
1空间向量的正交分解：
2空间向量基本定理：
反思：空间任意一个向量的基底有个.
3单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
4空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序实数组 为向量a的坐标，记着 .
(A) (B) (C) (D)
2、设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组① ② ③ ④ 其中可作为空间基底的有_____________
4、已知 是两两垂直的单位向量， 则 等于（）
(A) -2 (B)-1 (C) (D) 2
5、已知单位正方体 ，求：
（1）求向量 在 上的投影；
（2）求向量 在 上的投影。
课题
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
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目标
1、掌握空间向量的正交分解及坐标表示。
2、了解投影的概念与坐标的意义
重点
空间向量的标准正交分解
难点
空间向量的标准正交分解
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在空间直角坐标系中 , 点P的坐标为( x, y, z ), 向量OP的坐标也是( x, y, z ).
例1.如图, 在直角坐标系中有长方体 ABCD A1 B1C1 D1 , AB 2, BC 3, AA1 5. (1)写出C1的坐标, 给出AC1关于i, j , k的分解式; (2)求AD的坐标.
A
B
小结
空间向量的坐标表示
向量a在向量b上的投影
B y
(2) (3,-2,5)
设a xi y j z k , 那么 a i ( xi y j z k ) i xi i y j i z k i
由于i i | i | 1,
2
而i j , i j 0同理k i 0
所以a i x同理a j y, a k z
A1
D1
C1
B1
D C B
(1)向量CA1在CB上的投影;
解 : (1)向量CA1在CB上的投影; | CA1 | cosA1CB | CB | 1
A
D1
C1
B1
例2.如图,已知单位正方体
A1 D
ABCD-A1B1C1D1,求
(2) BC是单位向量, 且垂直于平面
A
C
B
ABB1 A1 , 求向量CA1在BC上的投影.
存在唯一一组三元有序实数 ( x, y, z ), 使得a xi y j zk。
我们把a xi y j z k叫做a的标准正交分解 , 把i, j, k叫做标准正交基 .
( x, y, z )叫做空间向量a的坐标. 记作a ( x, y, z ). a ( x, y, z )叫做向量a的坐标表示 .
我们学习过平面向量的 标准正交分解和坐标表示.
在空间中,如何确定向量的坐标呢?
在给定的坐标系中 , 令i, j, k为直角坐标系中 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量 , 设a是空间任意向量 , 作OP a.
z
C P O
a
B y
k
j
D
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
解 : (2)向量CA1在BC上的投影为 | CA1 | cos( A1CB) | CB | 1
D1
C1
B1
练习2.如图,已知单位正方体
A1 D
ABCD-A1B1C1D1,求
C
向量CA1在CA上的投影。
解 :向量CA1在CA上的投影： | CA1 | cos A1CB | CA | 2。
我们把a i x, a j y, a k z分别称为 向量a在x轴, y轴, z轴正方向上的投影.
向量的坐标等于它在坐 标轴正方向上的投影 .
一般地, 若b0为b的单位向量, 称a b0 | a | cos a, b 为向量a在向量b上的投影 .
例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求
A x
i
z
C P O
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
B D y
k
j
A x
i
OA OB OC
根据向量共线定理 OA xi, OB y j, OC z k
所以OP xi y j z k
在给定的空间直角坐标系中, 令i, j , k分别为 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量, 对于空间任意向量a,
练习 1.如图, 在直角坐标系中有长方体 ABCD A1 B1C1 D1 , AB 2, BC 3, AA1 5. (1)写出B1的坐标, 给出AB1关于i, j , k的分解式; (2)求 BD1的坐标. (1) B1为(0,2,5)
AB1 2 j 5k
(A) O D x C D1 z A1 B1 C1
(A) O D x C B y D1 z A1 B1 C1
解: (1)
因为AB=2,BC=3,AA1=5
D1
z A1 C1
B1
所以C1为(3,2,5)
从而 AC1 (3,2,5) 3i 2 j 5k
(2)因为点D1为(3,0,5)
(A) O
D x C
B y
所以AD 1 (3,0,5)