画法几何与工程制图_第二章_点的投影
●
Z a
●
b
● ●
●
b YW
a
b
●
YH
例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。 Z a 9 a
b X 8 b 5 a
b
O
YW
中英文日报导航站 H
Y
17
两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影 面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐 标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐 标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、 前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作 出其三面投影。
向右翻
V
a
●
az
O
●
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
A O
●
a W
ay
Y
a 向下翻
中英文日报导航站
●
ay
Y
H
7
Z
a ●
X
Z
az
O
a ●
Y
X
V
a
●
az
●
ax
ay
ax
A O
●
a
W
a
点 的 投 影 规 律:
●
Y
ay
a
●
ay
H Y
① aa⊥OX轴
19
重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则 这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影 面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投 影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的 投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看 重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可 见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离
aay= aaz中英文日报导航站 =x=A到W面的距离
8
Z
点的三面投影和坐标
的关系为： 水平投影 a 反映A 点X和Y的坐标； 正面投影 a'反映A 点X和Z的坐标； 侧面投影a"反映A
中英文日报导航站 13
点的投影与直角坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面
的距离.
中英文日报导航站
4
三、点的三面投影
Z
◆正面投影面（简称 正面或V面） 投 影 ◆水平投影面（简称水 X 平面或H面） 面
V
o
W
◆侧面投影面（简称 侧面或W面）
H
Y
投 OX轴 V面与H面的交线 影 OY轴 H面与W面的交线 轴 OZ轴 V面与W面的交线 中英文日报导航站
中英文日报导航站 20
中英文日报导航站 14
各种位置点的投影
空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个 投影都不在投影轴上。
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影 与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。
投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与 所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都 与原点重合。
第二章 点的投影
中英文日报导航站
1
3· 点的投影 1
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投影 面P的交点即为点A在P面上的 A 投影。
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
解决办法？
B3
●
P
●
a
●
P
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
中英文日报导航站 2
三个投影面互 相垂直
5
空间点A在三个投影面上的投影
Z
a 点A的正面投影
V
a ●
●
a
点A的水平投影
A o
●
X
a W
a 点A的侧面投影
a●
H
Y
空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。
中英文日报导航站 6
投影面展开
不动
Z Z
中英文日报导航站 15
四、两点的相对位置
两点的相对位置指 两点在空间的上下、前后、 左右位置关系。 判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、 之右、之下。
中英文日报导航站 16
a
中英文日报导航站 18
重影点：
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
中英文日报导航站
ax
a●
10
特殊位置点求其第三投影
z
d’ f’ d’’ f’’ e’’
YW
x
d
a’ e’ a
a’’ 0
f
e
YH
中英文日报导航站
12
点的投影规律
一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一 个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相 邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时，应保证做到:点的V面投 影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a'a上0X ；点 的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a' a"上 0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。
V a'
W
y A x
X
a"
O
z
H
中英文日报导航站
a
9
Y
点Y和Z的坐标。
画出A点投影图和举例
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二:
a● az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
中英文日报导航站
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
2、点在两投影面体系中的投影 V
a
Z
A
X Y
X H
O
a
中英文日报导航站 3
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
3、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴
2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的 水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。
《画法几何及土木工程制图》(第3版)2.2 直线的投影
水平线
Z
a’ A
a
b’ B b” b
β
a’ X
b’ Z
b”
a’ YW
X
a”
γ Y a
β
b
γ
水平线的投影特性：
反映真长TL YH
1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β；与 OY轴的夹角为γ；α= 0°。
2.水平线的V投影 a’b’∥OX；W投影 a”b”∥OY；
正平线
b′ Z B α γ A
【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？
b′ k′
Z
b″
a′
a″
X O
k″
YW
a
k b YH
K 点 在 直 线 AB 上
【例题2】判断点K是否在直线AB上。 a′
Z a″
k′ b′ X O
k″ b″ YW
a
k b
K 点 不 在 直 线 AB 上
YH
【例题3】已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。 V b c a X A a B C O X b c cb
2.2 直线的投影
• 直线的投影
• 直线上的点
a′ V b′ β A b aH Y γ
Z B b″
W a″
• 直线的真长及其倾角
• 两直线间的相对位置 X • 一边平行于投影面的直 角投影规律
α
1、直线的投影
直线的投影特性： 一般来说，直线的投影 仍然为直线。当直线垂直于 投影面时，直线的投影则积 聚为一点。
a
如何判断？
求出侧面投影后可知：
“画法几何及工程制图”复习题(含答案)
“画法几何及工程制图”复习资料“画法几何及工程制图”课程是培养绘制和阅读工程图样基本能力的技术基础课。
土木工程图样是土木工程建设中的重要技术文件，工程图纸表达了有关工程建筑物的形状、构造、尺寸、工程数量以及各项技术要求和建造工艺，在设计和施工建造中起着记载、传达技术思想和指导生产实践的作用。
作为工程技术人员，必须精通工程制图的原理，熟练掌握图形技术。
本课程的主要任务就是帮助学习制图原理和方法，教会绘制工程图的初步技术，培养绘制和阅读工程图的基本能力，为后续课程的学习和专业技术工作打下必要的基础。
复习重点：第1章制图基本知识与技术掌握制图基本知识：制图标准、图纸幅面、字体、绘图比例、图线、尺寸的标注形式。
第2章投影法和点的多面正投影1.掌握投影法的基本知识：投影的形成及分类、工程上常用的四种图示方法2.掌握二面投影图和三面投影图的投影规律3.掌握作辅助正投影的方法第3章平面立体的投影及线面投影分析1.掌握基本平面立体的三面投影图的投影特性2.掌握立体上直线的投影特性3.掌握立体上平面的投影特性4.掌握点、线、面间的相对几何关系第4章平面立体构形及轴测图画法1.掌握基本平面体的叠加、切割、交接2.掌握平面立体的尺寸标注方法3.掌握轴测投影原理及平面立体的轴测投影画法第5章规则曲线、曲面及曲面立体1.了解曲线的形成与分类2.掌握圆的投影的画法，了解圆柱螺旋线投影的画法3.了解曲面的形成、分类4.掌握曲面投影的表达方法，主要是圆柱面、圆锥面、球面投影的画法5.掌握基本曲面立体（圆柱、圆锥）的投影特性6.掌握平面与曲面体或曲表面相交的投影画法7.了解两曲面体或曲表面相交的投影画法8.掌握圆柱与圆锥的轴测图画法第6章组合体1.学会使用形体分析法对组合体的形成进行分析2.掌握根据实物绘制组合体的三视图的方法3.掌握组合体的尺寸注法4.掌握组合体三视图的阅读方法，根据组合体的两视图作第三视图5.掌握组合体轴测图的画法第7章图样画法1.掌握六个基本视图的画法2.掌握剖视图的表达方法3.掌握断面图的表达方法4.掌握在组合体轴测图中进行剖切的画法5.了解常用的简化画法6.了解第三角画法的概念第12章钢筋混凝土结构图（了解）1.了解钢筋混凝土结构的基本知识2.掌握钢筋混凝土结构的图示方法3.掌握钢筋混凝土结构图的阅读方法第13章房屋建筑图（了解）1.了解房屋的组成和各部分的作用，了解房屋的一般设计方法2.了解房屋施工图的分类及有关规定3.了解房屋总平面图的绘制方法4.掌握建筑平面图、建筑立面图、建筑剖面图的绘制方法5.了解建筑详图的绘制方法第14章桥梁、涵洞工程图（了解）了解桥涵工程图的基本知识，了解桥墩图、桥台图、涵洞图的图示方法本课程的考核方法：本课程在教学方式上的一个显著特点是突出强调它的实践性环节。
工程制图作业及部分答案
2-15试求两条直线AB、CD之间的距离
2-16已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影
2-17求下列平面的第三投影，并判定它们与投影面的相对位置
2-18试判定A、B两点是否在下列平面内
2-19完成平面五边形的正面投影
6-15求两正交圆柱的相贯线
6-16求圆柱和圆锥的相贯线
第七章轴测投影
7-1求下列物体的正等轴测图
（1）
（2）
3）
（4）
第八章组合体
8-1完成下列物体的第三投影，并在投影图中标出平面P和R的其余投影
8-2根据物体的轴测图绘出三面投影图（比例1：1）
8-3表注下列物体的尺寸（尺寸大小从图中量取，图的比例为1：1，取整数）
3．在A3幅面的图纸上，用1：100的比例抄绘1―1剖面图(p246)
说明：以上布置的作业都来自于《画法几何及工程制图习题集》。
9-8画出下面梁所指定的剖面图和断面图
（1）
（2）
9-9根据给出的二投影图，画出适当剖切的三面投影图并标注尺寸（画在一张A4幅面的图纸上
第十章 房屋施工图
10-1根据教材《画法几何及工程制图》中所给定的房屋施工图，绘制下列图样
1．在A3幅面的图纸上，用1：100的比例抄绘底层平面图（p238）
2．在A3幅面的图纸上，用1：100的比例抄绘①―⑨立面图(p243)
4-10用换面法求直线MN与⊿ABC的交点，并判定其可见性
第五章 平面体
5-1画出三棱锥的侧面投影，并补全其表面上点、线的投影
5-2画出五棱柱的侧面投影，并补全其表面上点、线的投影
5-3画出该平面体的侧面投影，并补全其表面上点、线的投影
《画法几何与工程制图》第二单元的形考题及答案
《画法几何与工程制图》第二单元的形考题及答案注意：选项（abcd）后面数字是一道题对这题的的评分，也就是答案，如果是0，是错误的，就不要选择。
绿色为：单选题紫色为：判断题蓝色为：多选题第2章、投影的基本原理单项选择根据投影中心距离投影面远近的不同，投影可分为中心投影和（）两类。
A. 垂直投影0B. 斜投影0C. 平行投影100D. 水平投影0单项选择投影线互相平行，所得投影的（）与物体离投影中心的远近无关。
A. 高度0B. 大小100C. 长度0D. 横竖0单项选择工程中常用的投影图有四种：透视投影图、轴测投影图、（）和标高投影图。
A. 斜投影图0B. 正投影图100C. 水平投影图0D. 垂直投影图0单项选择正投影的特性有（）、定比性、度量性、类似性、积聚性等。
A. 平行性100B. 垂直性0C. 水平性0D. 尺寸0单项选择铅垂面的水平投影与投影轴X轴的夹角反映该平面（）。
A. 与H面的倾角0B. 与V面的倾角100C. 与W面的倾角0D. 与V面和W面的倾角0单项选择水平线的水平投影与投影轴X轴的夹角反映该直线（）。
A. 与H面倾角0B. 与V面倾角100C. 与W面倾角0D. 与V面和W面倾角0单项选择（）投影法一般不用于绘制工程图样，一般用在绘制直观性较强的透视图。
A. 换面0B. 透视0C. 正0D. 中心100单项选择将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为（）法。
A. 投影100B. 透视0C. 换面0D. 斜影0单项选择H面上产生的投影叫作（）。
A. 水平投影面100B. 正立投影面0C. 侧立投影面0D. 斜投影面0单项选择V面上产生的投影叫作（）。
A. 水平投影面0B. 正立投影面100C. 侧立投影面0D. 斜投影面0单项选择W面上产生的投影叫作（）。
A. 水平投影面0B. 正立投影面0C. 侧立投影面100D. 斜投影面0单项选择H、V、W面的位置是固定的，投影面的大小与（）无关。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
点的投影
[例2] 已知点A(6,3,4),B点在A点的右、前、上方各2个
的投影
单位，C点在B点的正下方3个单位，求各点的投影。
b
a c
2
X
6
2
3
Z
4
a"
0
b" c"
YW
a b (c)
2
3
YH
[ ]
[例3] 已知点A(10,15,20),点B距W、V、H面分别为20mm、 影投的点求 3例 10mm、15mm，点C在点A之左15mm，之前5mm、 之下10mm，求各点的投影。
点A到W面的距离为：
Aa"=a’az=aayH =X坐标；
点A到V面的距离为：
Aa’=a"az=aax =Y坐标；
点A到H面的距离为：
Aa=a"ayW=a’ax=Z坐标；
Z A到W面
A到V面 Va' aZ
距离
距离
A
A到H面X ax
O
a" W
距离
a
aY
H
Y
A到W面
距离 Z
点的H面投影反映点的X、Y坐标；
水平投影面（水平面、H面） 正立投影面（正面、V面） 投影轴：X轴。
四个分角：H、V两投影面将空间划分为四个分角。
A点的投影：H面投影a , V面投影a’。
投影面的展开：V面不动，H面绕X轴向下旋转与V面重合。
实际画图不画外框线
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
a' V
X X ax H
a
V第
Ⅰ
A
分
角
aH H
V a'
X ax
a H
画法几何及工程制图-电子教案
ab
X
O
YW
a
b
Y
投影特性： 1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
一般位置直线
Z b B a X A a b X b a O b YW
b
Z
a
O
b
a Y a
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
YH
1.3.3 直线上的点
b
c
C X a A 直线上的点具有两个特性： a
B
O c b c
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判 断已知点是否在侧平线上。
5. V
特殊位置点的投影 Bb a
b Cc c
Aa H
X b
O
a
X b a
c c
O
投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
1.2.3 两点的相对位置和重影点
1.两点的相对位置
2.重影点
1. 两点的相对位置
Z
Z a b a b b X
a b O
a
A
X b a B O
画法几何及工程制图2
§3.2 点的二面投影（two-plane projection of point）一、二面投影体系的建立及点的二面投影点是形体最基本的元素。
在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。
空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。
图 2设立一个投影面P，则A1、 A2、A3点在投影面P上的正投影是唯一的。
但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。
因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。
现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V（也称正面或V面）、水平投影面H（也称水平面或H面），从而构成二投影面体系。
V面和H面的交线OX称为投影轴。
A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’表示。
A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影，用a表示。
图 3我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。
保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合，从而得到点的二面投影图。
为简便起见，投影图中投影面的边框不必画出。
在点的二面投影体系中，X、Y、Z三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。
图4容易得出点在二面投影体系中的投影规律：⒈点的两投影的连线⊥投影轴。
证明。
⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。
二、点在四个象角中的投影平面本身是可以无限延长的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。
分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。
画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标记，也不用画边框。
⒈在四个象角内的点。
（1） A点在Ⅰ象角内。
其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。
（2） B点在Ⅱ象角内。
H面之上，V面之后。
正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。
《画法几何及土木工程制图》习题解答(第三版) 2经典版
【9-4】已知点A与直线BC的距离为10mm，求作点A的水平投影。
【9-5】作两交叉线AB、CD的公垂线，并注明它们之间的最短距离。
【9-6】已知两交叉直线AB、CD的距离为10mm，补全CD的正面投影。
【9-7】已知正方形ABCD的对角线BD在直线PQ上，补全正方形ABCD 的两面投影。
【9-8】已知等边△ABC的一边AB，平面的倾角β ＝30°，顶点C 在AB的前上方，补全△ABC的两面投影。
【15-4】 求作半球被平面截切后的正面投影。
【15-5】求作圆球被平面截切后的水平投影。
【15-6】具有同轴圆台、圆柱、半球构成的组合回转体被平面截 去上部，补全截断体的水平投影。
【15-7】求作鼓体与平面P相交的表面交线。
【16-1】求作四棱柱与五棱柱的相贯线，并作出其侧面投影。
【16-2】 补全穿孔四棱柱的水平投影，并作出其正面投影。
【11-4】已知轴线为正垂线的环以及环面上的点A、B、C、D、E、 F、G、P、Q、R、T的水平投影，求作环的正面投影以及 这些点的正面投影。
【11-7】已知由圆锥和圆柱所构成的组合回转体，完成它的正面 投影，并补全其表面上的线段SABCDEFGS的三面投影。
【11-8】已知由圆柱的左端面和同轴的圆柱面、内环面、球面所 围成的组合回转体，求作它的水平投影，并补全其表面 上的线段ABCDEFGA的三面投影。
【3-7】作两交叉线AB、CD的公垂线，并表明AB、CD之间的真实 距离。
【4-1】按下列平面对投影面的相对位置，分别填写它们的名称 和角度。
【4-2】过点A作正平面P;过点B作侧垂面Q和R，β ＝60°；过CD 作正垂面T。
β
【4-3】已知AB为正方形ABCD铅垂面的左后边，β ＝60°,补全 其两面投影；已知水平面正三角形EFG的顶点E的两面投影，后 边FG为侧垂线，边长为20mm，补全其两面投影。
画法几何及工程制图(东华大学)2、3章部分答案
13.10.2020
PPT课件
25
m’
P16 2-8（1）
c’
m’
b’
b’
n’
n’
a’
a’
c’
a
c n m
m a
c
n b
b
与正垂面垂直的是正平线，由此可延伸，与铅垂面垂直的是水平线，与侧垂面垂
直的是侧平线.
13.10.2020
PPT课件
26
2—8（3）
分析：到A、B两点距离相等 的点的轨迹是中垂面。
分析：1、ABC是等腰三角形，
AB是底边，所以AC=BC，所以
a’
C点轨迹是AB的中垂面；
2、过AB中点K作平面K12垂直
于AB；
3、求直线DE与平面K12的交
a
点。
b’
pv
k’
2’
e’
c’ d’
1’ 2
d
c
e
k
1
13.10.2020
PPT课件
b
30
2-10（1）
f’ b’
分析：（1）过一点
作平面的平行线有无 数条，其轨迹是与已 知平面平行的平面；
c’ c b
13.10.2020
PPT课件
6
a’
d’
1-8（2）
ΔZ
b’ c’
b
ΔZ
c
a
bc
d
13.10.2020
PPT课件
7
1-8（3）
B点与A或O或C 点的Y坐标差
13.10.2020
a’
d’ d
b’ 对角线一半
的实长等于 o’a’或o’c’
o’