可靠性试验分析及设计

ji 第四章(44) 可靠性试验与设计

四、最小二乘法

用图估法在概率纸上描出[],()i i t F t 点后,凭目视作分布检验判别所作的回归直线往往因人而异，因此最好再通过数值计算求出精确的分布检验结论和求出数学拟合的回归直线。通常用相关系数作分布检验，用最小二乘法求回归直线。

相关系数由下式求得：

()()

n

i

i X

X Y Y γ--=

∑

其中X,Y 是回归直线的横坐标和纵坐标，它随分布的不同而不同。下表是不同分布的

坐标转换

只有相关系数γ 大于临界值0γ时，才能判定所假设的分布成立。0γ临界系数可查相应的临界相关系数表，如给定显著水平0.05α=，n=10,可查表得00.576γ=。若计算的0γγ，则假设的分布成

立。

如果回归的线性方程为 Y mX B =- 则由最小二乘法得到系数为

1

1

111

221

1ˆˆ1ˆ1

()n

n

i i i i n

n

n i i i i

i i i n n

i i i i Y m

X B

N

X Y X Y N m X X N =======-+=-=-∑∑∑∑∑∑∑ 代入上表中的不同的分布，就可以得到相应分布的参数估计值。

五、最好线性无偏估计与简单线性无偏估计 1、无偏估计

不同子样有不同的参数估计值ˆq

，希望ˆq 在真值q 附近徘徊。若ˆ()E q q =，则ˆq 为q 的无偏估计。如平均寿命的估计为ˆi

t n

q

=å

，是否为无偏估计？

Q 1

[]

ˆ()[]n

i i

i i t E t E E n

n

n

q q

q ===

=

=å

邋

\ ˆq

为q 的无偏估计 2、最好无偏估计定义

若ˆk q 的方差比其它无偏估计量的方差都小，即ˆ()min ()k k D D q q =，则ˆk

q 为最好无偏估计。

3、线性估计定义

若估计量ˆq

是子样的一个线性函数，即1

ˆn

i i i a q ==C å

，则称ˆq

为线性估计。 4、最好线性无偏估计

当子样数25n £时，通过变换具有()F m

s

C -形式的寿命分布函数，其,m s 的最好线性无偏估计为：

1

ˆ(,,)r

j i D n r j X m

==å

ˆ(,,)j C n r j X s

=å

其中(,,),(,,)D n r j C n r j 分别为,m s 的无偏估计，有了,,n r j 后，可有专门表格查无偏系数(,,),(,,)D n r j C n r j 。

常用的寿命分布均可通过下表转换为(

)F m

s

C - (

)X F μ

-分布转换表

表中,x n g 为m 的修偏系数，可根据子样数n 和截尾数r 查《可靠性试验用表》得到。 5、简单线性无偏估计

当25n >时，简单线性无偏估计的方法具有计算简单，估计精度高的特点，适用于大子样，对具有(

)F m

s

C -形式的分布参数,m s 的简单线性无偏估计值为： ..1

1

ˆ[(2)]()s r

s j

j s r n j j s s r X X

X n k s ==+=--+

?邋

式中：[0.892]1

r

s n ìïï=í

ï+ïî 20.9

0.9r n r n ，0.892n 表示整数部分，..s r n k 是s 的无偏系数。

n 、..s r n k 可按子样数n 与截尾数r 从《可靠性试验用表》中查出。

..ˆˆ()s n s n X E z m

s =- .s n X 是定数截尾时的次序统计量。 2.()n E z 是标准极小值分布容量为n 的子样中第s 个次序

量的数学期望值，同样可查《简单线性无偏估计表》得出。

§4.3.2 分布参数的区间估计简介

点估计中给出的是参数的一个估计值，不同样本的点估计值一般是不同的。同一样本不同点估计量估计出的点估计值也不同，因此点估计是一个随机变量，它有一定的变动范围，

因此应该将ˆq

与q 间的误差大小考虑进去，所用的方法就是给出参数的估计区间。在这个区间中包含有真值q 是有一定概率的。因此给出的区间是在一定的置信水平要求下的曲线，称

其为置信区间，即：

()1L u P q q q a ＃=- （*）

,L u q q 分别为置信下限和置信上限，1a -为置信水平或置信系数。α是不包含真值的概率，

称为风险度（显著水平）。 (*)式为双侧置信区间，而 ()

1u P q q a ?-

()1L P q q a >=-

分别表示单置信区间。可靠性分析中，通常对单侧置信下限更感兴趣。求未知参数的置信区

间必须掌握样本函数的分布，其计算也较点估计复杂和困难。

一． 指数分布的区间估计

可以证明，对指数分布，其统计量

2()s t q

是服从自由度z 的2c 分布：

22()

()S t Z χθ

S(t)是总的试验时间，q 是平均寿命的真值，z 是2

c 分布的自由度，由不同截尾寿命试验方法的故障数r 确定。在给定置信度1a -下，双侧置信区间有： 2

2

12

2

2()

2()

{

}1()

()

s t s t P z z a a q a c c -＃=- 其中： 22

2()()()L L s t C s t z a q c =

=，2

12

2()

()()

u u s t C s t z a q c -== 单侧置信下限为：

22()()()L L s t C s t z a q c ¢=

=，2

12()

()()

u u s t C s t z a q c -¢== ,L u C C 为双侧置信系数，,L u C C ⅱ为单侧置信系数。可见下表。

例。有20件产品进行可靠性试验，试验在100h 截尾，观测到故障次数为7次，试