最新江苏省高三数学一轮复习备考试题：导数及其应用(含答案解析)
江苏省20xx 年高考一轮复习备考试题
导数及其应用
一、填空题
1、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a x
b ax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ．
2、（20xx 年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
3、（20xx 届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132
f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲
4、（南京市20xx 届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对
任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2
a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、（苏锡常镇四市20xx 届高三5月调研（二））直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲
6、（南京、盐城市20xx 届高三第二次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲
7、（江苏省南京市第一中学20xx 届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11
-x e 的解是 ．
8、（江苏省阜宁中学20xx 届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且
()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ .
9、（江苏省如东县掘港高级中学20xx 届高三第三次调研考试）函数12ln y x x
=+的单调减区间为__________
10、（江苏省睢宁县菁华高级中学20xx 届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-⋅的图象在1x =处的切线方程为 ▲ .
11、曲线2(1)1()e (0)e 2
x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 12、过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ．
二、解答题
1、（20xx 年江苏高考）已知函数()f x =+ ，其中e 是自然对数的底数。
（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式m ()f x +m 1在（0，+）上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）已知正数a 满足:存在x 0 [1，+），使得0(x )f （x 0 3 +3x 0）成立，试比较 与
的大小，并证明你的结论。
2、（20xx 年江苏高考）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数。
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。
3、（20xx 年江苏高考）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。
已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．
4、（20xx 届江苏南京高三9月调研）已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R ．
（1）若a ＝－1，求函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程；
（2）若g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；
（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．
5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知函数()e x f x c
=-，3211()(,,).32
g x ax bx cx a b c =++∈R （1）若0ac <，求证：函数()y g x =有极值；
（2）若0a b ==，且函数()y f x =与()y g x =的图象有两个相异交点，求证： 1.c >
6、（南京市2014届高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．
（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程；
（2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．
7、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值．
（1）求实数a 的值；
（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；
若不存在，说明理由．
8、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．
（1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；
（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2
上的最小值；
（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为
线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．
9、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知函数f (x )＝ax ＋b x
e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数
f (x )的极值；
（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．
① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；
② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求b a
的取值范围．
10、（2014江苏百校联考一）已知函数()ln f x a b x =-(,a b R ∈)，其图像在x e =处的切线方程为0x ey e -+=．函数()(0)k g x k x =
>，()()1
f x h x x =-． (Ⅰ)求实数a 、b 的值； （Ⅱ）以函数()
g x 图像上一点为圆心，2为半径作圆C ，若圆C 上存在两个不同的点到原点O 的距离为1，求k 的取值范围；
（Ⅲ）求最大的正整数k ，对于任意的(1,)p ∈+∞，存在实数m 、n 满足0m n p <<<，使得()()()h p h m g n ==．。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题3.3导数的综合应用(测)(含答案解析)
班级 __________姓名 _____________学号 ___________得分 __________(满分100 分，测试时间 50分钟)一、填空题： 请把答案直接填写在答题卡相应的地点 上(共．．．．．．．．10 题，每题6 分，合计60 分)．1. 【2016 河北衡水四调，理11】设过曲线f xe xx （ e 为自然对数的底数）上随意一点处的切线为l 1 ，总存在过曲线g xax2cos x上一点处的切线l 2 ，使得l 1l 2 ，则实数a 的取值范围为 ________．【答案】1,22. 【 2016 云南统测一，理 16】已知实数 a, b 都是常数，若函数ya x 1 be2 x 1的图象x2在切点 0,1处的切线方程为 3x4 y 20, y a x 1 be2 x1与 yk x 3x 21 的图2象有三个公共点，则实数 k 的取值范围是.【答案】 (, 1)(0, )4【分析】当 x1时， ya | x 1| be 2 x 1a(1 x) be 2 x 1 ，则x 2x 2f ' (x)3a2be 2x 1 ，(x 2)2因为函数 ya x 11的图象在切点0,13x 4 y 2 0 ，xbe2 x处的切线方程为22f (0)1a b1a 1| x 1| ；22e 2，即 y所以，即，解得f ' (x)3 3a 2b 3 b 0 x 244 e4| x1|k (x 1)3，适当x1时，方程建立，x2当 x1时，得x1k (x1)3，即1( x2)( x1)2，x2k当 x1时，得(x1)k( x1)3，即1( x2)( x 1)2，x2k令 y 1， f ( x)( x2)( x1)2 , x13( x1)( x1), x1( x2)( x1)2 , x，则 f '( x)1)( x1), x，k13( x113.已知 y＝ f(x)是奇函数，当x∈ (0,2)时， f(x)＝ ln x－ ax a>2，当 x∈(－2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于 ________．【答案】 1【分析】由题意知，当x∈ (0,2)时， f(x)的最大值为－ 1.令 f′(x)＝1－ a＝ 0，得 x＝1，x a当 0<x<1a时，f′(x)>0 ；当 x>1时，f ′(x)<0.a1∴ f(x)max＝ f a＝－ ln a－ 1＝－ 1，解得 a＝ 1.4.函数 f(x)＝ x3－3x－ 1，若关于区间 [ － 3,2] 上的随意 x1，x2，都有 |f(x1) －f(x2)| ≤t，则实数 t 的最小值是 ________．【答案】 20【分析】因为f′(x)＝3x2－ 3＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)，令 f′(x)＝ 0，得 x＝±1，所以－ 1， 1 为函数的极值点．又 f(－ 3)＝－ 19，f(－ 1)＝ 1，f(1)＝－ 3，f(2)＝ 1，所以在区间 [－ 3,2] 上 f(x)max＝ 1，f(x) min＝－ 19.又由题设知在区间[ － 3,2] 上 f(x)max－ f(x) min≤t，进而 t≥ 20，所以 t 的最小值是20.5.f(x)是定义在 (0，＋∞)上的非负可导函数，且知足 xf′(x)＋ f( x) ≤0，对随意正数 a，b，若 a<b，则 af(b)与 bf(a)的大小关系为________．【答案】 af(b) ≤bf(a)【分析】∵ xf′(x)≤－ f(x) ，f(x) ≥0，∴f x′＝xf x － f x－2f x x2≤2≤ 0.x x则函数f x在(0，＋∞)上是单一递减的，因为0<a<b，则f a f b.即 af(b) ≤bf(a)．x a≥b6.设 D 是函数 y＝ f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈ D，使 f(x0)＝－ x0，则称 x0是 f(x)的一个“次不动点”，也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－ a＋52在区间[1,4] 上存在“次不动点”，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】－∞，12133927.电动自行车的耗电量y 与速度 x 之间相关系y＝3x －2 x － 40x(x>0) ，为使耗电量最小，则速度应定为 ________．【答案】 40【分析】由y′＝ x2－ 39x－ 40＝0，得 x＝－ 1 或x＝ 40，因为0<x<40 时， y′<0；当x>40时， y′>0.所以当x＝40 时， y 有最小值．8. 【 2015 济南模拟】函数f(x)＝ ax3＋ x 恰有三个单一区间，则 a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【分析】 f(x)＝ ax3＋ x 恰有三个单一区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即 f ′(x)＝ 0 有两个不等实根．∵ f(x)＝ ax3＋ x，∴ f′(x)＝ 3ax2＋ 1.要使f′(x)＝ 0 有两个不等实根，则a<0.9.函数y＝x2 (x>0)的图象在点(a k， a2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，此中k∈ N* .若 a1＝ 16，则a1＋ a3＋ a5的值是 ________．【答案】2122212e x ＋ 1 e xf xg x10.设函数 f(x)＝x， g(x)＝e x，对随意 x1、 x2∈ (0，＋∞)，不等式k≤k＋ 1恒成立，则正数k 的取值范围是________．【答案】 [1，＋∞)分析】因为对随意x1、x2∈ (0，＋∞)，不等式g x1f x2恒建立，所以kg x1max.k≤k＋1k＋ 1≥f x2因为 g(x)＝e2x x ，e所以 g′(x)＝( xe2－x) ＝′ e2－x＋ xe2－x·(－ 1)＝ e2－x(1－ x)．当 0<x<1 时， g′(x)>0 ；当 x>1 时， g′(x)<0 ，所以 g(x)在 (0,1] 上单一递加，在[1，＋∞)上单一递减．所以当 x＝1 时， g(x)取到最大值，即g(x) max＝ g(1) ＝e；e2 x2＋ 1因为 f( x)＝，当x∈ (0，＋∞)时，x2121，f(x)＝ e x＋x≥ 2e，当且仅当e x＝x1即 x ＝ e 时取等号，故 f(x)min ＝ 2e. 所以 g x 1 max ＝ e ＝ 1.f x 2 2e 2所以 k 1≥ .又因为 k 为正数，所以 k ≥ 1.k ＋ 1 2 二、解答题：解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地区内 。
(江苏专用)高三数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数的应用 第一课时 导数与函数的单调
课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
江苏版2020年高考数学一轮复习(讲练测)：专题3.3导数的综合应用含解析
文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑:•欢迎下载支持.专题3. 3导数的综合应用含解析_________________ 姓名 _____________ 学号 ___________ 得分(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分).1. [2017课标3.理11改编】已知函数f(x) = x 1 2-2x + a(e^l+e^1)有唯一零点，则/?(x) = min{/(.r),c?(x)}(x>0)恰有三个零点，则实数加的取值范围是 ▲ 【答案】(弓t 【解析】试题分析:f ，(x) = 3x 2+m,因为 g(l) = 0,所以要使 /I (A )= min{/(x),S (A-)}(A>0)恰有三个3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数y = f(x)的左义域为R, 对于V AC /?, 且/(A + 1)为偶函数，/⑵=1，则不等式f(x)<e x的解集为 ___________ • 【答案】(。
,+8) 【解析】试题分析：令g(x) = ^l 9则g(x)= f Cv)；/Cv)<0,因为/(X + 1)为偶函数，所以 e e/(X + I) = /(-X+1) n/(0) = f(2) = 1 =>g(0) = 1,因此fM < e x => g(x) < 1 = g(0) =>x>04. (2017届髙三七校联考期中考试】/(x) = x-l-«lnx^(x) = —/ <0,且对任意e【答案】-2f (A ) = x 3 +"tv + *,g(x) = -lnx ・min {a.b}表示a.b 中的最小值, 若函数班级零点，须满足f(l)>0,/(^)<0./n <0文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑:•欢迎下载支持.速度应定为 ■-2 -word 版本可编辑•欢迎下载支持.e ［3,41(xI/(X ］)-/g)l<!―! ------------------ !—I 的恒成立，则实数a 的取值范围为・ g3) g (£)▲_.【答案】［3- =孑,0) 【解析】则〃(劝'=1一上一》(*「1)50在xw(3,4)上恒成立,・・・anx — *J+以*丘［玄4］恒成立x * xX —1 令 H(x) = x 一 e x ~}+ -——、x w [3,4],2 值为“(3) = 3-一e 27 ［3-卅 0) 综上.实数a 的取值范围为 35. f(0是宦义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足G)+f(£W0,对任意正数⑦b 、 若a< b,则af(t>)与bf{ a)的大小关系为 _______ . 【答案】af(b)Wbf(a)【解析】°・° xf (x) W — f(x) , f C Y ) M 0,\ X J X X则函数 J —在(0, +8)上是单调递减的，由于o<a<^则丄亠.即 x ab6. 设D 是函数尸f(x)定义域内的一个区间，若存在.YO GP,使fCv°)=—及，则称弘是f(x) 的一个“次不动点”，也称在区间Q 上存在“次不动点”,若函数f^=ay-3x-a+- 在区间［1,4］上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是 _______ . 【答案】［一 8, J1 397•电动自行车的耗电量y 与速度*之间有关系y=yV ― Y —40.Y (-Y >0),为使耗电量最小，则 【答案】40【解析】由” =¥_39%—40=0,(1 1V 3 i — — — + ——\x 2) 4 3>-e 2 > 1,/. u \x)<09 4 ・・吩)为减函数,・・"心)在XV ［3,4］的最大得x= —1 或.¥=40,由于0<A<40时，/ <0；当x>40 时，y' >0.所以当f=40时，p有最小值.8. 函数f(x)=ax'+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是____________ .【答案】(一8, 0)【解析】f(x)=af+x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f' C Y)= 0有两个不等实根.*.* f{x) = ax + x,二f' (x) = 3 +1.要使f (x)= 0有两个不等实根，则*0.9. 函数y=2(x>0)的图象在点成处的切线与X轴的交点的横坐标为a…，其中圧肛若^1 = 16.则ai + as+娄的值是_________ .【答案】2110・设函数g(x)=字，对任意出、走G(0, +8),不等式T-w—兰T旦x e k k+1成立，则正数R的取值范围是 _______ .【答案】［1, +8)解析】因为对任意X、A-G (0, +8),不等式恒成立，所以召2［宁亠匚・k k+1&+1 Lf 及_r因为g(x) =¥，所以 $ 3 =(卅9 =e: x4-.ve: x•(一1) =e3_x(l-j0 .当0<Xl 时，孑(x)>0：当01 时，g' C Y)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减.所以当攵=1时,&(£取到最大值,即g(x)适=&(l)=e：e : v:+1因为fCv)= —•当丄€(0, +8)时，XX-Y)=e\v+-^2e> 当且仅当X X即尸丄时取等号，故f3也=2e・ek 1所以—^9-又因为&为正数，所以心L二.解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指■ 定区域内。
创新设计数学文江苏专用一轮复习 第三章 导学案 导数及其应用 含答案
第1讲 导数的概念及其运算考试要求 1.导数概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意义，B 级要求；3.根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求；知 识 梳 理1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)称函数f ′(x )＝ f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a xf ′(x )＝a x ln a (a >0)3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (3)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×)(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝2.( ×) 2．(2015·镇江调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .答案 1e3．(苏教版选修1－1P82T4改编)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于______．解析依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝33×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1. 答案 14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案 25．(2014·江西卷)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析令f (x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，∴点P的坐标为(e，e)．答案(e，e)考点一利用定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导数．解Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，∴ΔyΔx＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，∴f′(x)＝ΔyΔx＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.规律方法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．二比：求平均变化率ΔyΔx ＝f(x＋Δx)－f(x)Δx.三极限：取极限，得导数y′＝f′(x)＝ΔyΔx.【训练1】函数y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x＝1处的导数是________．答案 1－1x (x ＋Δx )考点二 导数的计算【例2】分别求下列函数的导数：(1)(2015·苏州调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x ，则f ′(2 014)＝________. 解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 014)＋2 014x ， 所以f ′(2 014)＝2 014＋2f ′(2 014)＋2 0142 014， 即f ′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015. 答案 －2 015(2)分别求下列函数的导数： ①y ＝e x ·cos x ；②y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；③y ＝x －sin x 2cos x 2；④y ＝ln xe x解 ①y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . ②∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. ③∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .④y ′＝错误!＝错误! ＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .规律方法 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量． 【训练2】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝11＋x ＋11－x；(2)y ＝sin 2x2；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)． 解 (1)∵y ＝11＋x ＋11－x ＝21－x， ∴y ′＝0－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.(2)∵y ＝sin 2x 2＝12(1－cos x )，∴y ′＝－12(cos x )′＝－12·(－sin x )＝12sin x .(3)法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.考点三 导数的几何意义【例3】 (2013·北京卷改编)已知曲线C ：y ＝ln xx . (1)求曲线C 在点(1,0)处的切线l 1的方程； (2)求过原点与曲线C 相切的直线l 2的方程． 解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. (1)∴f ′(1)＝1－ln 112＝1，即切线l 1的斜率k ＝1.由l 1过点(1,0)，得l 1的方程为y ＝x －1. (2)设l 2与曲线C 切于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0x 0，则切线l 2方程为y －ln x 0x 0＝1－ln x 0x 20(x －x 0)，∵l 2过原点．∴－ln x 0x 0＝1－ln x 0x 20·(－x 0)，化简得ln x 0＝12，∴x 0＝e ， ∴l 2：y －12e＝12e (x －e)，整理得y ＝12e x .即为l 2的方程.规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【训练3】 (1)(2015·南京调研)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________． (2)(2015·惠州调研)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．解析 (1)∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，即2x －y ＝0.(2)先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线y 0＝x 30－3x 0上．①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， 又切线l 过点A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.答案 (1)2x －y ＝0 (2)9[思想方法]1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，即f′(x)在x＝x0处的函数值．(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．[易错防范]1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n)′＝nx n－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a x ln x混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线与直线相切并不一定只有一个公共点．例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y ＝x3的图象还有一个交点(－2，－8).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·苏北四市模拟)曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为________．解析根据导数运算法则可得y′＝e x＋x e x＋2＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x＝1＋2＝3.故曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1在点(0，－1)处的切线斜率为y′|x＝0－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.答案3x－y－1＝02．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)直线y＝kx与曲线y＝2e x相切，则实数k＝________. 解析设直线y＝kx与曲线y＝2e x相切的切点坐标为(x0,2e x0)，且y′＝2e x，则切线方程为y－2e x0＝2e x0(x－x0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x0＝1，则实数k＝2e x0＝2e.答案2e3．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 14．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为________． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0)，∵y ′＝12x －3x ，∴y ′|x ＝x 0＝12x 0－3x 0＝－12，即x 20＋x 0－6＝0，解得x 0＝2或－3(舍)． 答案 25．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案 －3 6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2.答案 27．(2015·扬州调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(x ＞0)．答案 [2，＋∞)8．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )＝________.解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 答案 －sin x －cos x 二、解答题9．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.10．设抛物线C: y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1.设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2016x 2 015的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1. 答案 －13．已知f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.解析 令g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f (x )＝xg (x )，∴f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )．∴f ′(0)＝g (0)＝(－1)·(－2)·(－3)·(－4)·(－5)＝－120. 答案 －1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 考试要求 1.函数单调性与导数的关系，A 级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B 级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A 级要求；4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B 级要求．知 识 梳 理1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数3.(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．诊断自测1．思考辨析(在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(×)(2)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)2.(2015·北京海淀区模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．解析∵f′(x)＝2x－2x＝2(x＋1)(x－1)x(x＞0)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为递减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为递增函数．答案(0,1)3．(苏教版选修2－2P34T8(2)改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．解析∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案 24．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________．解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号左负右正．答案 15．(2014·新课标全国Ⅱ卷改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．解析依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k≥1.答案[1，＋∞)考点一利用导数研究函数单调性【例1】已知f(x)＝ln x－ax. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f (x )在(1,2)上单调递减，求实数a 的范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a .①当a ≤0时，∵x ＞0，∴f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0，＋∞)， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)法一 ∵f (x )在(1,2)上为减函数， 由(1)知a ＞0，且(1,2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a≤1，∴a ≥1.法二 f (x )在(1,2)上单调递减， ∴f ′(x )＝1x －a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥1x 在(1,2)上恒成立， ∵x ∈(1,2)时，1x ＜1，∴a ≥1，即a 的范围为[1，＋∞)．规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 【训练1】 (2014·山东卷)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，此时f ′(x )＝2(x ＋1)2. 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 考点二 利用导数求函数的极值【例2】 (2014·重庆卷)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1)处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.规律方法 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【训练2】 设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ＞0)． (1)当a ＝1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值； (2)若f (x )在R 上无极值点，求a 的取值范围． 解 由题得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1. (1)函数图象过(0,1)时，有f (0)＝c ＝1. 当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1； 令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0， 即16－12a ≤0，解得a ≥43. 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点三 利用导数求函数的最值【例3】 (2014·江西卷)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值． 解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x＝0得x ＝25或x ＝2， 由f ′(x ) ＞0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.深度思考 对于第(2)小问，已知函数f (x )在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f (x )的最值再解方程求参数)①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1＜－a 2≤4，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4，即a ＜－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上，a ＝－10.规律方法(1)不含参数求f(x)在[a，b]上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较．其中最大的是最大值，最小的是最小值．(2)含参数时，应注意讨论f(x)在相应区间上的单调性，进而求最值．【训练3】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↓－e k－1↑所以f(x))．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1＜k＜2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[思想方法]1．最值与极值的区别与联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．2．求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[易错防范]1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________．解析f(x)＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＝x2－1x，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)的递增区间是(1，＋∞)，递减区间是(0,1)．答案(0,1)2．(2015·扬州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －73．f (x )＝x 3－12x ，x ∈[－3,3]的最大值为________，最小值为________． 解析 f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±2， ∵f (－3)＝9，f (3)＝－9， f (－2)＝16，f (2)＝－16， ∴f (x )最大值为16，最小值为－16. 答案 16 －164．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)5．(2013·福建卷改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________(填序号)． ①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点；④－x 0是－f (－x )的极小值点．解析 ①错，因为极大值未必是最大值；②错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝ f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；③错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；④正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点． 答案 ④6．(2015·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析 由已知可得f ′(x )＝2x －ax 2，要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时， f ′(x )≥0恒成立，即2x －ax 2≥0，则a ≤2x 3恒成立，又当x ≥2时，2x 3≥16， 故当a ≤16时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数． 答案 (－∞，16]7．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4的大小关系为________(用“<”连接)．解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，4π3上为减函数，∵5π4<4<4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3<f (4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，又函数f (x )为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3<f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4.答案 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3<f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π48．若函数y ＝x 3－3ax 在区间[1,2]上单调，则实数a 的范围为________． 解析 y ′＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 由题意x 2－a ＝0在(1,2)内无解． 即a ＝x 2，x ∈(1,2)无解， ∵x ∈(1,2)时，1＜x 2＜4，∴a ＝x 2无解的a 范围为a ≤1或a ≥4. 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 二、解答题9．(2014·湘潭检测)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的解析式； (2)函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3，所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3， 即2a ＋b ＝0 ①，又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2得a ＋b ＋c ＝－1 ②.(1)函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0 ③，由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，则⎩⎨⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，得b ≥4，所以实数b 的取值范围是[4，＋∞)． 10．设函数f (x )＝x －1x －a ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4，①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ＜－2时，Δ＞0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a ＞2时，Δ＞0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42＞0，x 2＝a ＋a 2－42＞1，当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；当x ＞x 2时，f ′(x )＞0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减． (2)由(1)知，a ＞2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2，又由(1)知，x 1x 2＝1， 于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2，若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1，即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2， 即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2＞1)，(*)令h (t )＝t －1t －2ln t ，t ＞1，易知函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(1，＋∞)上单调递增，则h (t )＞h (1)，即x 2－1x 2－2ln x 2＞1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．(2014·泰州检测)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________． 解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)令f ′(x )＝0得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 答案 202．已知f (x )＝x 22＋ln x －ax ，x ∈(0,2)，若f (x )存在两个极值点，则实数a 的范围为________．解析 f ′(x )＝x ＋1x －a ，由题意，f ′(x )有两个变号零点，即x ＋1x －a ＝0在(0,2)内有两不等根， 亦即a ＝x ＋1x 在x ∈(0,2)内时有两不等根，所以动直线y ＝a 与曲线y ＝x ＋1x ，x ∈(0,2)有两不同交点，结合y ＝x ＋1x ，x ∈(0,2)的图象可知a 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，523．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 当a ＞0时，2a ＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0， 即1＜0，不成立．当a ＜0时，2a ＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞， －2)．答案 (－∞，－2)4．(2014·安徽卷)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2. 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第3讲导数的综合应用考试要求 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，解决与之有关的方程(不等式)问题，B级要求；2.利用导数解决某些简单的实际问题，B级要求．知识梳理1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3．不等式的证明与不等式恒成立问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．诊 断 自 测1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．(√) (2)f (x )＝x －sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上有3个零点．(×)(3)对R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有f (0)＋f (2)＞2f (1)．(×) (4)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√) 2．若函数 f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)＜0，即(a ＋2)(a －2)＜0，故a ∈(－2,2)． 答案 (－2,2)3．设直线x ＝t ，与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________． 解析 当x ＝t 时，f (t )＝t 2，g (t )＝ln t ， ∴y ＝MN ＝t 2－ln t (t ＞0)．∴y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0＜t ＜22时，y ′＜0；当t ＞22时，y ′＞0. ∴y ＝MN ＝t 2－ln t 在t ＝22时有最小值． 答案 224．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则f (a )，f (b )的大小关系为________． 解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，e)上为增函数，又∵0<a <b <e ，∴f (a )<f (b )． 答案 f (a )<f (b )5．(苏教版选修2－2P35例1改编)从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm 3. 解析 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则x ∈(0,5)．则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160 x ，∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144 (cm 3)． 答案 144考点一 利用导数解决不等式问题【例1】 (2014·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0. (1)若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； (2)设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．①当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值； ②设g ′(x )为g (x )的导函数，若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．解 (1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表如下：x (－∞，－1) －1(－1,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ f ′(x )＋－－＋↑↑由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4 e.(2)①因为g (x )＝(ax －a )e x－f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ， 当a ＝1时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b x －2e x .因为g (x )≥1在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．记h (x )＝x 2－2x －xe x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x.当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1. 所以b 的最大值为－1－e －1. ②因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ， 所以g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b x 2＋ax －b x －a e x .由g (x )＋g ′(x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bx 2＋ax －b x －a e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0. 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． 因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x 22x －1.设u (x )＝2x 3－3x 22x －1(x ＞1)，则u ′(x )＝8x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －342＋316(2x －1)2.因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为(－1，＋∞).规律方法 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．【训练1】 (2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－x ， f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1 ＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)．①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1＞a a －1，所以不合题意．③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜aa －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． 考点二 导数在方程(函数零点)中的应用 【例2】 设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2(x ＞0)， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)． 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点． ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点． (3)对任意的b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a＜1恒成立， 等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x ＞0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)， ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.规律方法 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的单调性、极值、最值等性质．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合建立所含参数的方程(或不等式)来解决．【训练2】(2013·北京卷)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋x sin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2b sin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y ＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．。
最新江苏专用高考数学一轮复习第四章导数及其应用热点探究训练2函数导数与不等式
[ 解]
a (1) f ′（x) ＝
1－x x
( x>0) ．
当 a>0 时， f ( x) 的单调增区间为 (0,1] ，减区间为 [1 ，＋∞ ) ；
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精品文档 当 a<0 时， f ( x) 的单调增区间为 [1 ，＋∞ ) ，减区间为 (0,1] ；
当 a＝0 时， f ( x) 不是单调函数 .
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第四章 导数及其应用 热点探究训练 2 函数、导数与不等式
3x2＋ ax 1. 设函数 f ( x) ＝ ex ( a∈ R) ．
(1) 若 f ( x) 在 x＝ 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y＝ f ( x) 在点 (1 ， f (1)) 处
的切线方程；
(2) 若 f ( x) 在 [3 ，＋∞ ) 上为减函数，求 a 的取值范围 . 【导学号： 62172116】
[ 解 ] (1) 对 f ( x) 求导得 f ′（x) ＝
6x＋a ex－ 3x2＋ ax ex ex 2
－ 3x2＋ 6－ a x＋ a
＝
ex
.
3分
因为 f ( x) 在 x＝0 处取得极值，所以 f ′(0) ＝ 0，即 a＝0.
3x2
－ 3x2＋ 6x
3
3
当 a＝0 时， f ( x) ＝ ex ， f ′（x) ＝ ex ，故 f (1) ＝e， f ′(1) ＝ e，从而 f ( x) 在点
7分
(2)( ⅰ) 设 a＞ 0，则由 (1) 知，f ( x) 在 ( －∞，1) 上单调递减， 在 (1 ，＋∞ ) 上单调递增． 又
f (1)
＝－ e，f (2)
＝ a，取
江苏版高考数学一轮复习：专题3.1导数概念及其运算巩固检测题附答案.doc
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】专题3.1 导数概念及其运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cos y x x =-在点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为___________． 【答案】2【解析】'1sin y x =+，2x π=时，'1sin22y π=+=，即切线斜率为2．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线xe y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ．【答案】1+=x y【解析】因为xy e '=，所以在0=x 处的切线斜率为01k e ==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】1ln 2 【解析】()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 4. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ．【答案】1-【解析】设切点11(,)x y ，则111ln 1ln 11101 1.y x x x y b b '=+⇒+=⇒=⇒==+⇒=- 5. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ． 【答案】2-【解析】设切点为111111111(,),,1,112ln 2x y y x y x x a a a x x '=∴==∴=+==-=-⇒=- 6. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线方程为____________．【答案】440x y -+=【解析】设αx x f =)(,则24=α,即21=α,所以21)(x x f =,则21/21)(-=x x f ,故切线的斜率为4142121=⨯=-k ,由点斜式方程可得切线的方程为)4(412-=-x y ,即440x y -+=.故应填答案440x y -+=.7. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________. 【答案】0【解析】因为xax y -=2/,所以切线的斜率是a k -=2,由题设22=-a ,解之得0=a ,故应填答案0.8.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2. 9.在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是________． 【答案】0【解析】依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是010.已知函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1，其导函数记为f ′(x )，则f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝________.【答案】2【解析】由已知得f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，则f ′(x )＝2＋cos xx 2＋1－2x ＋sin x ·2xx 2＋12令g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，显然g (x )为奇函数，f ′(x )为偶函数，所以f ′(2 012)－f ′(－2 012)＝0，f (2 012)＋f (－2 012)＝g (2 012)＋1＋g (－2 012)＋1＝2，所以f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝2.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习3.4导数的综合应用(含答案详析)
第4讲 导数的综合应用一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析 ∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x ＝9时，函数取得最大值．答案 9万件2．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx 有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 解析 因为函数y ＝e x ＋2mx 有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 3．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q的________条件．解析 ∵f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m .由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥43.故为充分必要条件．答案充分必要4．若函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x ＋4的解集为________．解析令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0.∴g(x)＞0⇒x＞－1.答案(－1，＋∞)5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1<a<0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案(－1,0)6．有一长为16 m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析设矩形的长为x m，则宽为：16－2x2＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案167．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．解析S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案304058．挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)， 如果截面积为20 m 2，当宽为________时，使截面周长最小．解析：如图所示，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20，截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr ＝2r ＋20－πr 22r ＋πr ＝2r ＋20r －πr 2＋πr＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r . 设C ′(r )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2－20r 2， 令C ′(r )＝0，解得r ＝2 104＋π. 故当r ＝2 104＋π时，周长C 最小，即宽为4 104＋π时，截面周长最小． 答案：4 104＋π 9．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 解析 如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝xm ，∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，又S △ADE ＝34x 2(m 2)， ∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x2(0＜x ＜1)， ∴s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2， 令s ′＝0得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′＜0，s 递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.答案 323310．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4.答案 4二、解答题11．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800.所以当x ＝15 cm 时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .解 (1)设容器为V ，则由题意，得V ＝πr 2l ＋43πr 3.又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，所以0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2. (2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，所以c －2>0，故当r 3－20c －2＝0，即r ＝ 320c －2时． 令 320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①当0<m <2即c >92时，若r ∈(0，m )，则y ′<0；若r ∈(m,2)，则y ′>0所以当r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2即3<c ≤92时，若r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调减，所以当r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2. 13．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x (x ＞0)，当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0. 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立， ∴⎩⎨⎧ g ′(1)＜0，g ′(2)＜0，g ′(3)＞0，∴－373＜m ＜－9.14． 设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于k<x＋1e x－1＋x(x>0)①令g(x)＝x＋1e x－1＋x，则g′(x)＝－x e x－1(e x－1)2＋1＝e x(e x－x－2)(e x－1)2.由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.。
江苏专用2020年高考数学一轮复习考点导数的应用必刷题含解析
考点14 导数的应用1．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知e 为自然对数的底数，函数()2x f x e ax =-的图像恒在直线32y ax=上方，则实数a 的取值范围为_______．【答案】(12,0e -⎤-⎦【解析】因为函数()2x f x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，所以x R ∀∈，232x e ax ax >-恒成立，即：232x e a x x >+⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立.当0a >时，若x →-∞，0x e →，232a x x ⎛⎫→+∞ ⎪⎝⎭+， 不满足232x e a x x >+⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立.当0a =时，23020x e x x ⎛⎫⨯ ⎝>=⎪⎭+恒成立.当0a <时，不等式232x e a x x >+⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立等价于：2min312x x xa e ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭<，记()232x x x e h x +=，则()()312xh x e x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-，此时，()h x 在(),1-∞-上递减，在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，其简图如下：所以()()()()12min 131122e h x h e -+-⨯-=-==-， 所以12a e <-，又0a <， 解得：02e a -<<. 综上所述：02e a -<≤． 2．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为_____.【答案】【解析】当x≤0时，f （x ）＝x+2x ，单调递增，f （﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f （0）＝1＞0，由零点存在定理，可得f （x ）在（﹣1，0）有且只有一个零点； 则由题意可得x ＞0时，f （x ）＝ax ﹣lnx 有且只有一个零点， 即有a 有且只有一个实根．令g （x ），g′（x ），当x ＞e 时，g′（x ）＜0，g （x ）递减；当0＜x ＜e 时，g′（x ）＞0，g （x ）递增．即有x ＝e 处取得极大值，也为最大值，且为，当x如图g （x ）的图象，当直线y ＝a （a ＞0）与g （x ）的图象。
最新江苏版高考数学一轮复习(讲+练+测)专题3.3导数的综合应用(讲)及解析
专题3.3 导数的综合应用【考纲解读】【知识清单】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围, (2)已知函数的单调性求参数的取值范围,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围．考点2 利用导数证明不等式问题利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)．【考点深度剖析】1.利用导数研究函数的零点与方程的根的问题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点,一般有两种形式考查:(1)确定函数零点、图像交点及方程根的个数问题.(2)应用函数零点、图像交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题. 2.利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题.(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性),求参数取值范围.(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立.(3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题.【重点难点突破】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解【1-1】设函数f(x)＝12x2＋e x－x e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) 单调减区间为(－∞，＋∞)．(2) (－∞，2－e2)．【1-2】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x)|≤t，则实数t的最小值是________．2【答案】20.【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.【思想方法】(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．【温馨提醒】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且 f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f (x )在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．考点2 利用导数证明不等式问题【2-1】已知函数f (x )＝12x 2－13ax 3(a >0)，函数g (x )＝f (x )＋e x (x －1)，函数g (x )的导函数为g ′(x )．(1)求函数f (x )的极值；(2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g (x )的单调区间；(ⅱ)求证：x >0时，不等式g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．【答案】(1) 极小值为f (0)＝0，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝16a 2. (2) (ⅰ) 单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． (ⅱ)详见解析g′(x)＝x(e x－e x＋1)．(ⅰ)记h(x)＝e x－e x＋1，则h′(x)＝e x－e，当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴h(x)≥h(1)＝1>0，则在(0，＋∞)上，g′(x)>0；在(－∞，0)上，g′(x)<0，【2-2】记函数f n(x)＝a·x n－1(a∈R，n∈N*)的导函数为f′n(x)，已知f′3(2)＝12.(1)求a的值；(2)设函数g n(x)＝f n(x)－n2ln x，试问：是否存在正整数n使得函数g n(x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；(3)若实数x0和m(m>0且m≠1)满足fnxf n＋1x＝fnmfn＋1m，试比较x0与m的大小，并加以证明．【答案】(1) a＝1. (2) n＝1，(3) 当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m. 【解析】(1)f3′(x)＝3ax2，由f3′(2)＝12得a＝1.(2)g n(x)＝x n－n2ln x－1，g′n (x)＝nx n－1－n2x＝n x n－nx.因为x>0，令g n′(x)＝0得x＝n n，当x>nn时，gn′(x)>0，g n(x)是增函数；当0<x<nn时，gn′(x)<0，g n(x)是减函数．所以当x＝nn时，gn(x)有极小值，也是最小值，g n (nn)＝n－n ln n－1.当x→0时，g n(x)→＋∞；当x→＋∞时，g n(x)→＋∞.当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m<0，所以x0<m.当0<m<1时，(n＋1)(m n－1)<0.设h(x)＝－x n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，则h ′(x )＝－(n ＋1)x n ＋n ＋1＝－(n ＋1)(x n －1)≥0，当且仅当x ＝1时取等号，所以h (x )在(0,1]上是增函数．又因为0<m <1，所以h (m )<h (1)＝0，所以x 0－m >0，所以x 0>m .综上所述，当m >1时，x 0<m ，当0<m <1时，x 0>m .【思想方法】利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【温馨提醒】构造函数是证明不等式常用方法，但要根据题意明确作一个差函数还是作左右两个函数．【易错试题常警惕】1、函数()f x 的单调性问题，一般是先确定函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间．如：设函数()ln f x x x =-，讨论()f x 的单调性．【分析】函数()f x 的定义域是()0,+∞，()11f x x'=-，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<，即01x <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．【易错点】用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误．。
【KS5U推荐】江苏省2022届高三数学一轮复习优题精练：导数及其应用 Word版含答案
江苏省2022年高考优题精练 导数及其应用一、填空题1、（2022年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a xbax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ．2、（2021年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
3、（南通、扬州、连云港2021届高三其次次调研（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．4、（盐城市2021届高三第三次模拟考试）若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ . 5、（苏锡常镇四市2021届高三教学状况调研（一））若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:e x C y =在1x =处的两条切线相互垂直，则实数a 的值为6、（2021届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲7、（常州市2021届高三上期末）曲线cos y x x =-在点22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲8、（常州市武进区2021届高三上学期期中考试）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)0f -=，且0x >时，()()0f x xf x '+>，则不等式()0>xf x 的解集是 ▲9、（南通市2021届高三第一次调研测）在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(,2)my x x R m x=-∈≠-1x =处的切线为直线l .若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为10、（南京市2022届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ▲11、曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 12、（通州高级中学等五校2021届高三12月联考）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为 ▲ 13、（南京、盐城市2022届高三其次次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ 14、（新海高级中学2021届高三上学期中考试）曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为____.15、（江苏省睢宁县菁华高级中学2022届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-⋅的图象在1x =处的切线方程为▲ .二、解答题1、（2021年江苏高考）已知函数32()f x x ax b =++(,)a b R ∈， （1）试争辩()f x 的单调性，（2）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有3个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞，求c 的值。