东南大学高等数学试卷 期中试卷
08东南大学高等数学试卷 期中试卷
f (x, y)
f (x, y)
（A）
在原点处取得极大值
（B）
在原点处取得极小值
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
（C）不能断定 f (x, y) 在原点处是否取得极值 （D）原点一定不是 f (x, y) 的极值点
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
7 设 D (x, y) x2 y2 1 , D1 为 D 在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[ ]
（A） 1 x2 y2 dxdy 4 1 x2 y2 dxdy （B） xydxdy 4 xydxdy
D
D1
D
D1
（C） (x x3 y2 )dxdy 0
D
（D） x2 y3dxdy x3 y2dxdy
， Im z
； ；
止 于 至 善
3．设 z z(x, y) 是由方程 y z xf ( y2 z2 ) 所确定的隐函数，其中 f 可微，则全微分
dz
；
4．设 C 为由 x y 与 x 轴, y 轴围成的三角形的边界, exyds
。
C
5．设 f (x, y) 连续， D (x, y) 0 x 1, 0 y x2 ，且 f (x, y) xy f (x, y)dxdy
f
(x,
y)
具有二阶连续偏导数，且
a2
2 f x2
b2
2 f y 2
0，
f (ax,bx) ax ， fx (ax,bx) bx2 ，求 fxx (ax,bx) ， fxy (ax,bx) ， fyy (ax,bx)
10．计算二重积分
高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
东南大学高等数学期中期末试卷
共19 页第1 页共 19 页 第 2 页4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x tt t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x xx . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .xln共 19 页 第 3 页04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=共 19 页 第 4 页四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分共 19 页 第 5 页()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f共 19 页 第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟4.下列结论正确的是 [ ]3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x共 19 页 第 7 页(A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()((D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx xx 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx x x5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。
东南大学高等数学B期中考试试卷
1 / 407-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)1x ⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n nn a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线22234x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 .2 / 4三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.3 / 413. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。
东南大学《高等数学》2010-2011学年期中试卷B卷 (1)
东南大学成贤学院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B(下)期中 适 用 专 业 工科各专业考试学期 10 - 11 - 3 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、选择题(每题 3 分,共 5 题)1、点 M (−3,−7,− 1) 关于（ ）的对称点是 M ′ 3(,7,− 1)。
（A ） 原点 O ； （B ） Oxy 平面； （C ） z 轴； （D ）平面 x + y − z = 0。
2、直线 = = 与直线 = = 的夹角是（ ）。
1 − 4 12 − 2 − 1 （A ） ； 6 （B ） ； 4 （C ） ；3 （D ） 。
43、为使二元函数 f (x , y ) = 当 (x , y ) 沿着某一特殊路线趋于 0(,0) 时的极限为 2， 这条路x − y线应选择（ ）。
（A ） y = ；（B ） y = ；（C ） y =4、二元函数 z = 3(x + y ) − x 3 − y 3 的极值点是（（A ） 1(,− 1)； （B ） (− 1,1)； （C ） (− 1,− 1)；； （D ） y = 。
）（D ） 0(,0)。
5、设 D = {(x , y ) 1≤ x ≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 4 }，则积分的值为（ ）。
4（A ） ln ；3 （B ） ln ； 2 （C ） ln ； 3（D ） ln 。
二、填空题(每题 3 分,共 5 题)1、直线 = = 在 Oxy 平面上的投影直线为 。
- 1 -x = 0 sin(xy )(x ,y )→0(,0)2 −。
4、设z = x y ，则 dz 1(,1) = 。
5、交换积分次序： ∫dy∫yf (x , y )dx = 。
三、计算题(每题 7 分,共 5 题)1、已知某球面的中心在 3(,−5,2) 且与平面 2x − y +3z = 3相切，求球面方程。
02-03-3非电期中试卷答案 东南大学高等数学试卷
，
PAa
9，d
PAa
9
3
2。
a 32 2
解法 2：过点 P 垂直于直线L的平面方程为0(x 3) 0(y 1) 3(z 2) 0 ，
即 y z 10，把 直线L的方程代入平面方程得： 3t 23t 410 ， t 5 。 6
∴平面与直线 L 的交点为 B(1, 1 , 3) ， PB {2, 1 , 1} ， d PB 3 2 。
PM1a1 {3, 5, 0}{1, 1, 1}{5, 3, 8}， ∴ 由 点 P 与 L1 所 确 定 的 平 面 为 1 ： 5(x 3) 3( y 1) 8(z 2) 0 ， 即
5x 3y 8z 34 0 。
3
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L2的参数方程为 x 5t 4, y 2t 3, z t ，代入平面 1，得 t 1，
L2 与 1 的交点为M (9,1,1) ，PM {6, 2, 3}，∴ L的方程为x
3 y 1 z 2 。 6 2 3
解 法 2 ： M 2 (4, 3, 0)L2 ， PM 2 {1, 4, 2} ， L2的方向向量a2 {5, 2,1} ，
2
y2 b2
1；（C）z
x2 a2
y2 b2
；（D）z
x2 a2
y2 b2
1 。
3．设
a
{1,
2,
1} ， b {1,
1,
2}
，
c
{3,
4,
5}，则（
D
）
（A）
a
b
；
（B）
b
c
；
07-08-3高等数学B期中试卷 东南大学高等数学试卷
e n1 x dx 的敛散性.
n
n1
六（16）.（本题满分 10 分）将函数 f (x) 2x (0 x ) 展开成正弦级数，并求级 4
数 (1)n1 的和.
n1 2n 1
止 于 至 善
线方程.
12．将函数 f (x) ln 2x2 x 3 展开为 x 3 的幂级数，并求收敛域.
13. 求幂级数 (1)n1nx2n 的和函数，并指明收敛域 n1
四（14）．（本题满分
9
分）求母线平行于向量
j
k
，准线为
4
x
2
y2
1 的柱面方程.
z 1
五（15）。（本题满分 9 分）判断级数
1
) ，则 S 3
(A) 1 2
(B) 1
(C) 0
二．填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
[]
(D) 2
5. 若 2a 3b 垂直于 a b ，且 a 2 b ，则 a 与 b 的夹角为
；
6.
曲线
2
x
2
3y2
4绕
y 轴旋转一周所成的曲面方程是
z 0
7.
曲线
2x2 3
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止 于 至 善
07-08-3 高 数 B 期 中 试 卷
一.单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)
1.
级数
(1)n
ln
1
a
（常数 a 0 ）
n1
n3
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 2. 下列反常积分发散的是
06-07-3高等数学B期中试卷及答案 东南大学高等数学试卷
12．解
d dx
f1
f2
(g1 2xg2 ) （3
分）
d2 dx2
f11 2 f12 (g1 2xg2 )
f22 (g1 2xg2 )2
f2 (g11 4xg12
4x2g22
2g2 )（5 分）
13.解 f (x) 1 2
1
2
（3 分） (1)n 2 (x 1)n （4 分）
n1 n(2n 1)
n1
x2
n1
2 1 x2
,
x (1,1) ,（2 分）S(0) S(0) 0 ，S(x) 2arctan x ，S(x) 2x arctan x ln 1 x2
（3
分）
n1
(1)n1 n(2n 1)
1
n
3
S
1 3
3
）. （本题满分 8 分）
.
二．单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
6． [ C ] 7． [ B ] 8． [ C ] 9. [ C ]
止 于 至 善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10． 解 L 的方向向量 a 2,5, 6 ，（2 分） 的法向量 n 7,8,9，所求直线的方向向
1 收敛. （4 分）收敛域为 (, 1) (1, ) （1 分）
n1 1 x2n
1
止 于 至 善
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四（15）．（本题满分 8 分）
解 首先对 f (x) 在 x 0 上作奇延拓,再以 2 为周期作周期延拓,得
n1
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再经 B（1，0）到 C（1，1）的折线。
2 计算
(2x z)dv 其中积分区域由曲线 y2 2z(x 0)
绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=1 和 z=2 围成。
四、设 是曲面 y a2 x2 y2 被柱面 x2 y2 ax 截
下的部分， 上任一点处的密度与该点到原点的距离平
C
:
x
y
11取逆时针方向。
x2 22
2 2 8x2
3、交换积分次序 dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy =----
00
0
0
4、设 ez 3 4i 0 ，则 Re(z)=(
)
5、设 c:|z-1|=1 取逆时针方向, 则 c(z 1)(z 1)3 =(
)
6、设 c： x2 y2 1的周长为 a, 则 (xy x2 4 y2 )ds
是从点
A（a,0,0）
出发沿着螺线
x
a cost,
y
a sin
t, z
h 2
t
到
B(a,0,h)的一
段曲线。
止 于 至 善
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2、 计算
ydx (ey2 x)dy 其中 c 是从 D（0，1）经 A（0，0）
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02-03-3高A期中试卷
止 于 至 善
一．
1、
A(x
,y
,z
)
xy 2,yez ,x
ln(1
z 2) 在点
P(1,1,0)处的散度
divA=______________
2、
c
dx x
dy y
=_______,其中
4
c
二、1、D 由 y 1 x2 与 y=0 为成， D1 是第一象限部分，
则 (x2 y xy2 ) _____________( x2 y xy2 )
D
D1
1
2、
1
0 dy
y
y dx的值是（
1 x3
）
三、1、计算
(x2 yz)dx ( y2 xz)dy (z2 xy)dz ，c c
方成正比，比例系数 k 大于零。求 的质量。
五 、 求 I x3dy dz y3dz dx z3dx dy, 是 锥 面 z x2 y2 在 1 z 0 的部分取上侧。