07东南大学高等数学试卷 期中试卷
东南大学考试卷(A)2009-2010学年高等数学期末试卷(后附答案)
东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。
（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。
东南大学高等数学B期中考试试卷
1 / 407-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)1x ⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n nn a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线22234x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 .2 / 4三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.3 / 413. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。
东南大学07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案
07-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ A ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ C ] (A)31r c t a n d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ B ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ B ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分) 5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为4π； 6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是2222324x y z ++=；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是2210y z x ⎧+=⎨=⎩； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为3； 9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为[1,3]. 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.解 1121(1,2,3)111=-=---ij k s ，平面方程为1211230011x y z -----=--， 即 0x y z -+=11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程. 解 设所求直线与直线113325x y z -+-==-的交点为000(,,)x y z ，0013x t =+， 000012,35y t z t =-+=-，于是00000006(4)2(6)3(2)6(53)2(72)3(55)29(1)0x y z t t t t +---+=+--+--=+=，得01t =-，交点为(2,3,8)--，所求直线方程为4622910x y z +-+==- 12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 解 ()232()ln 23ln(1)(23)ln18ln 1ln 1(3)29x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=+-=-+=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(1)12ln18(3)29nn n n n x n -∞=⎛⎫-⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，15x <≤ 13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.解 令2y x =，21211222111(1)(1)(1)1(1)(1)n nn n n n n n n y y x nxny y y y y y x ∞∞∞---===''⎛⎫⎛⎫-=-=-=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，11x -<<四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.解 设000(,,1)M x y 是准线上一点，则010x x y y z -=-=-，则0x x =， 01y y z =-+，代入准线方程即得所求的柱面方程224(1)1x y z --+=五（15）。
07-08-2高数AB期末试卷 东南大学大一上学期高等数学试卷
六（16）．（本题满分 8 分）设 f (x) 、 g(x) 满足 f (x) g(x) , g(x) 2ex f (x) ，且
f (0) 0, g(0) 2 ，求
0
g(x) 1 x
f (x) (1 x)2
dx
七（17）．（本题满分 8 分）设直线 y ax (0 a 1) 与抛物线 y x2 所围成的图形面积 为 S1 ，它们与直线 x 1 所围成的图形面积为 S2 （1）试确定 a 的值，使 S1 S2 达到最小， 并求出最小值（2）求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
止 于 至 善
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07-08-2高数AB期末试卷
一.填空题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）
1
1． lim ex x x2
；
x0
sin 1
2．设 y x x ，则 dy
；
3．已知 f (3) 2，则 lim f (3 h) f (3)
n
n n2
3
n2
n 12
n2
n 3n2
；
8． 1 cos 2x cos x2 sin3 x dx
；
9．二阶常系数线性非齐次微分方程 y y 2sin x 的特解形式为
y*
.
二.计算下列积分（本题共 3 小题，每小题 7 分，满分 21 分）
10. 2 x2 2x x2 dx 0
；
h0 sin 2h
4．对数螺线 e 在 对应的点处的切线方程是
；
2
5．设 y y(x)
x 2
07-08-3高等数学B期中试卷 东南大学高等数学试卷
e n1 x dx 的敛散性.
n
n1
六（16）.（本题满分 10 分）将函数 f (x) 2x (0 x ) 展开成正弦级数，并求级 4
数 (1)n1 的和.
n1 2n 1
止 于 至 善
线方程.
12．将函数 f (x) ln 2x2 x 3 展开为 x 3 的幂级数，并求收敛域.
13. 求幂级数 (1)n1nx2n 的和函数，并指明收敛域 n1
四（14）．（本题满分
9
分）求母线平行于向量
j
k
，准线为
4
x
2
y2
1 的柱面方程.
z 1
五（15）。（本题满分 9 分）判断级数
1
) ，则 S 3
(A) 1 2
(B) 1
(C) 0
二．填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
[]
(D) 2
5. 若 2a 3b 垂直于 a b ，且 a 2 b ，则 a 与 b 的夹角为
；
6.
曲线
2
x
2
3y2
4绕
y 轴旋转一周所成的曲面方程是
z 0
7.
曲线
2x2 3
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止 于 至 善
07-08-3 高 数 B 期 中 试 卷
一.单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)
1.
级数
(1)n
ln
1
a
（常数 a 0 ）
n1
n3
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 2. 下列反常积分发散的是
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
07-08-2高数AB期中试卷
2007级高等数学（A 、B ）（上）期中试卷一.填空题（每小题4分，满分24分）1．当时，n →∞111k k n n −−与1cos (0)a a n−>是等价无穷小，则k =，； a =2．已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎞+−−=⎜+⎝⎠⎟，则a =，b =； 3．函数1()1x f x x −=+带余项的阶公式是 Peano 4Maclaurin 4．()222e sin d d 31x x x π−⎛⎞++=⎜⎟+⎝⎠；5．当某质点沿曲线y =运动到点0M 处时, 该质点的x 坐标和y 坐标关于时间的变化率相等，点0M 的坐标为6．函数21()ln f x x=x 的单调增加区间为 ，极大值为 . 二.单项选择题（每题4分，满分12分） 7．设对, 有, x ∀∈R ()()()h x f x g x ≤≤lim[()()]0x g x h x →∞−=, 则lim ()x f x →∞ [ ] (A ) 存在且等于零 (B ) 存在且不等于零 (C ) 一定不存在 (D ) 不一定存在 8．极限1ln 1lim 2sin x x x x →−∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=−+ [ ] (A ) (B ) (C) 2−23− (D ) 39．函数3()sin f x x x =−x 的不可导点的个数为 [ ] (A ) 0 (B) 1 (C) (D ) 23三.计算题（每小题8分，满分32分） 10． 0cos lim sin ln(1)x x x x →−⋅+ 11. 设32ln(1)x t t y t t =−+⎧⎨=+⎩，求22d d y x . 12．设()2()sin 2f x x x =+x ，求(10)()f x . 13.试确定常数、的值，使得曲线a b 2y x ax b =++和321y xy =−+在点处相切，并求切线方程. (1,1)−四(14).（8分）讨论2()(0)n n f x x +=≥的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.止于至善五(15).（8分）设函数()f x 在(,)−∞+∞上定义，(0)1f ′=,并对任意实数x 和h ,恒有()()()2f x h f x f h +=+hx +, 证明()f x 在(,)−∞+∞上处处可导,并求()f x ′. 六(16). (8分) 设1p >, , 且1q >111p q+=，证明：当时，0x >11p x x p q +≥. 七(17)．(8分) 设()f x 在闭区间[,上具有一阶连续导数，在开区间内二阶可导，且]a b (,)a b ()()f a f b =，()f a ()f b +−0′′>， 试证：至少存在一点(,),a b ξ∈ 使得()0f ξ′′=.止于至善。
东南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
东南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
9．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
12．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
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的点，并求最远距离和最近距离.
六（16）.（本题满分 7 分）设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 为解析函数，其中实部与虚部的乘
积满足 u(x, y) v(x, y) 2xy x2 y2 ，试求 f 2 (z) 的表达式（必须用变量 z 表示）.
止 于 至 善
2. 设函数 z z(x, y) 由方程 F (x2 y2, y2 z2 ) 0 所确定，其中 F (u, v) 是可微函数，
且
zFv
0
，则
y
z x
x
z y
；
3. 二重积分
(x y)2 dxdy
；
x2 y2 1
4.
曲线
y z
2x x2
1, y2
,
在点
(1,
0,1)
处的切线方程为
；
5.
设曲线
L
:
x2
y2 z2
4 ，则曲线积分
z2 1 ds
z 1
L x2 y2 z2
.
二．单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)
2
6. 2 的主值为
[]
(A) e 2ln 2 cos 2 isin 2
(B) e 2 ln 2 cos 2 i sin 2
[]
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(A)
x y3
f11
ex y
(1
x)
f12
ye 2 x
f22
1 y2
f1 ex f2
(B)
x y3
f11
ex y
(1
x)
f12
ye 2 x
f 22
(C)
x y3
f11
ex y
f12
ye 2 x
f22
1 y2
f1
(D)
x y3
f11
ex y
f12 ye2x f22 ex f2
9. 设 f (x, y) 具有一阶连续偏导数,且 f (1,1) 2 , fx (m, n) m n , fy (m, n) m n ,
令 g(x) f (x, f (x, x)) ，则 g(1)
（A）3
x2 y2 Ry 0 (R 0) 内的部分.
四（14）．（本题满分 8 分）设曲线段 L : y x2 (0 x 1) 上任意一点 (x, y) 处的线密度函数
12x ，求该曲线段的质量.
五（15）。（本题满分
8
分）已知曲线 C
z :
x2
y2
，求 C 上距离原点最远的点和最近
x y z 4
（B）6
（C）9
[
]
（D）12
三. 计算下列各题(本题共 4 小题，每小题 9 分，满分 36 分)
10．计算二重积分 x2 y2 dxdy , D (x, y) 0 x 2 y y2 D
11．求函数 u(x, y, z) xy et2dt 在点 P(1,1,1)处沿曲面 x2 y2 z2 1 在该点处的法线
(C) e 2ln 2 cos 2 2 i sin 2 2 (D) e 2ln 2 cos 2 2 i sin 2 2
7. 设 I f (x2 y2 z2 )dV , : x2 y2 z2 4z ， f 为连续函数，则 I [ ]
(A)
d
2 d
4 cos
f
r2
r 2sin dr
2
(B) 2 d
2 d
4 cos
f
r2 r2sin dr
0
0
0
0
0
0
(C)
2
d
d
4cos
f
பைடு நூலகம்r2
r 2sin dr
(D)
2
d
2 d
4 cos
f
r2
r 2sin dr
0
0
0
0
0
0
8.
设z
f
x y
,
yex
，其中函数
f
具有二阶连续偏导数，则 2 z xy
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
07高A期中试卷
一.填空题(本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 2 5 分)
0
4x2
1
1 1 x2
1. 交换二次积分的次序 dx
f x, y dy dx
f x, y dy
2
0
0
1 1x2
z
236
方向的方向导数.
止 于 至 善
12．计算三重积分 (xy2 z2 )dV ,其中 是由旋转抛物面 x2 y2 z 与平面 z 1 和
z 4 围成的空间闭区域.
13. 计算曲面积分 x2 y2 R2 dA ，其中 为上半球面 z R2 x2 y2 含在圆柱面
x2 y2 z2