[整理]东南大学高等数学期中期末试卷.
东南大学高等数学期中期末试卷15页
第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学（非电） 考试学期 04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()=x f . 3.()()=-+⎰--x x x x xd e e1112005.4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,()x f 取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是[ ] (A)()()x x βα2 (B)()()xx x 1sin22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln(D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane 212+-++=x x x x y x的渐近线共有[ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条第 2 页3. 下列级数中收敛的级数是[ ] (A)∑∞=121n n(B) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n (C) ()nn nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=111(D)∑⎰∞=+1104d 1n n x xx4. 下列结论正确的是[ ](A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln limx t t t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x x x .5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设b a <<0,求证()ba ab a b +->2ln. xln第 3 页六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111<=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn n n n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分2 3. 原式=()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x第 4 页4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x xx=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x x π5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x xy -=,原方程的通解为x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e ),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e =ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f第 5 页()1,0112≥≥-=''t tt t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证. 分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时, ())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xtt f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式 闭考试时间长度 150分钟第 7 页4.下列结论正确的是 [ ]一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝ 。
资料：08-09-2A、B期中
模板资料 资源共享东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学A 、B （期中） 考试学期 08-09-2得分适用专业工科类考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟题号 一二三四五六七得分一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．2lim ln 121x xx x →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭；2．当0x →时，1cos(1cos )x --与kx α是等价无穷小，则k = ，α= ；3．设sin x y x =，则2d x yπ==______________；4．设()y y x =是由方程e tan()xyxy y +=所确定的隐函数，则(0)y '= ；5．()ln f x x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为_____ ______；6．已知曲线2y x ax b =--和242y x y =-+在点(1,1)-处相切，则a = ，b = .二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．设()()()()()f x x a x b x c x d =----,其中常数a 、b 、c 、d 互不相等,且()()()()f k k a k b k c '=---, 则k 的值等于 [ ](A ) a (B ) b (C ) c (D ) d 8．若极限0lim ()x x f x →存在，则下列极限一定存在的是 [ ](A ) ()0lim ()x x f x α→（α为实常数） (B )0lim ()x x f x →(C) 0lim ln ()x x f x → (D ) 0lim arcsin ()x x f x →9． 已知()f a '存在,则220(2)()limh f a h f a h h→+--= [ ] 学号 姓名模板资料 资源共享(A )()2()f a ' (B ) 2()()f a f a ' (C ) 6()()f a f a ' (D ) 3()()f a f a ' 三.计算题（本题满分27分） 10．（7分） 21sin e xx x x →+- 11. （6分） 2ln sin limln cos x x xx x→+∞++12．（7分）设123arctan e 6x t t y t tπ+⎧⎪=++⎨⎪=+⎩，求212d d t y x =.13. （7分）设()2sin ()y f x =，其中函数f 具有二阶连续导数，求22d d yx.四(14).（7分）已知函数2e cos,0()sin(),0xa x xf x bxx xx⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩可导，试求常数a和b的值.五(15).（7分）试求函数3e()lime sintxtxtx xf xx→+∞-=-的间断点，并指出间断点的类型（需说明理由）.模板资料资源共享模板资料 资源共享六(16). (9分)设1,0,1()ln 1,1x x x L x x x -⎧>≠⎪=⎨⎪=⎩1()(0)2x x L x x +≤≤>.七(17)．(6分) 设函数f 在区间[,]a b 上二阶可导，且()()f a f b =，证明：对于任意的0α>，都存在(,)a b ξ∈，使得 ()()f f b αξξξ'''=-.。
高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
东南大学高等数学B期中考试试卷
1 / 407-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)1x ⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n nn a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线22234x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 .2 / 4三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.3 / 413. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。
东南大学高数试卷及答案-09-10-2高数期末(有答)-1
共 4 页 第 1 页09-10-2高 数 试 卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．函数1()[]f x x x =-的定义域是 \R Z ，值域是 ()1,+∞ 。
2．设ln ,0,1(), 1, 11xx x f x a x a x ⎧>≠⎪==-⎩-⎨⎪=当时，()1f x x =在连续。
3．曲线22(1)x y x =+的斜渐近线的方程是 1122y x =- 。
4．(211d x x -=⎰2 ；5．函数22(1)x t y t e dt =-⎰的极大值点是 0 x =；6．a rcs n(21i )C x C +=-⎰或 ；7．设21()0x yt y y x x e dt +-=-=⎰是由所确定的函数，则1 x e dy dx=-=；8．曲线族1212(,)x xxy C e C e C C -=+是常数所确定的微分方程是 20xy y xy '''+-= ；9．11lim sin 2n n k k n n ππ→∞==∑。
二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分） 10．2ln sin sin xdx x ⎰ cot lnsin cot x x x x C =---+11.23π+∞=⎰12．20cossin cos lim(1cos )x x x x x →-- 13=共 4 页 第 2 页13．2cos 2dxx π+⎰=14。
设2()arcsin(1),(0)0f x x f '=-=，计算1()f x dx ⎰142π=- 三（15）．（本题满分8分）求微分方程22xy y x e '''-=+满足初始条件01x y ==，54x y ='=的特解. 2221222211()421111()2242x xx xy C C e x x xe y e x x xe =+-++=+-++特解四（16）．（本题满分7分）设函数()y f x =在区间[0,1]上可导，在(0,1)内恒取正值，且满足2()()3xf x f x x '=+，又由曲线()y f x =与直线1,0x y ==所围图形S 的面积为2，求()f x 的表达式，并计算图形S 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
07-08-3高等数学B期中试卷 东南大学高等数学试卷
e n1 x dx 的敛散性.
n
n1
六（16）.（本题满分 10 分）将函数 f (x) 2x (0 x ) 展开成正弦级数，并求级 4
数 (1)n1 的和.
n1 2n 1
止 于 至 善
线方程.
12．将函数 f (x) ln 2x2 x 3 展开为 x 3 的幂级数，并求收敛域.
13. 求幂级数 (1)n1nx2n 的和函数，并指明收敛域 n1
四（14）．（本题满分
9
分）求母线平行于向量
j
k
，准线为
4
x
2
y2
1 的柱面方程.
z 1
五（15）。（本题满分 9 分）判断级数
1
) ，则 S 3
(A) 1 2
(B) 1
(C) 0
二．填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
[]
(D) 2
5. 若 2a 3b 垂直于 a b ，且 a 2 b ，则 a 与 b 的夹角为
；
6.
曲线
2
x
2
3y2
4绕
y 轴旋转一周所成的曲面方程是
z 0
7.
曲线
2x2 3
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
止 于 至 善
07-08-3 高 数 B 期 中 试 卷
一.单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)
1.
级数
(1)n
ln
1
a
（常数 a 0 ）
n1
n3
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 2. 下列反常积分发散的是
东南大学高等数学(A,B)(上册)期中试卷及答案(2003_～2009)
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.0=x ,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()--x xy e xy dx x xy e5.(1)!--n6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e2.lim 0→+∞=x3. 212()24(1)'=+-y e πππ 4.设222sin , 1=-=-dy d yt dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。
六、（8分）2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。
七、（6分）设3()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。
八、（8分）所求点为(, )22P a 。
2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. ()10(0)90=f4.1(1,)2-- 5. ()()()()()211, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D2三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 0111lim cot sin 6→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭x x x x2. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x yx yx dy x y y x 4. 2222322d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==-++y y t x t t x t t . 5. 1,1,12===a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。
高数电(期中)考试试题
1 / 4东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（A ）考试学期 05-06-3得分适用专业 选学高数（A ）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y xy x y +≤+=⎰⎰ ；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y t π=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ]2 / 4(A)π (B)π- (C)0 (D)π2 （第2页） 9． 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续； （B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界； （C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。
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-------------------------- -------------(A)∑∞=121n n(B) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n (C) ()nn n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=111 (D) ∑⎰∞=+1104d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x t t t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x x x .5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,xln--------------------------证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为--------------------------()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x--------------------------这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f-------------东南大学考试卷（A卷）课程名称工科数学分析考试学期 04－05－2（期末）得分适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度150分钟--------------------------4.下列结论正确的是 [ ](A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()(一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝ 。
2．设⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x tdt du u 0sin 141，则='')0(f 。
3．设⎰>+=x xx dt tx f 23)0(11)(,则当=x 时,)(x f 取得最大值。
4．设)(x f 满足1)(1)(-=+'x f xx f ，则)(x f ＝ 。
5．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，且21)()(xx xF x f +=，则=)(x f 。
二．选择题（每小题4分，共16分）1．设,sin )(3xxx x f π-=则)(x f [ ] (A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点 (C )有两个跳跃间断点 ( D)有三个可去间断点2．设当0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小量（0)(≠x β），则当0x x →时，下列 表达式不一定是无穷小量的是 [ ](A))()(2x x βα (B)xx x 1sin )()(22βα+ (C)))()(1ln(x x βα+ (D)|)(||)(|x x βα+3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x--------------------------(D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx x x 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx xx5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。
六.(7分)设b a <<0,求证:ba ab a b +->)(2ln . 七．（7分）求极限)1sin 31sin 21sin 11(sinlim nn n n n n ++++++++∞→东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析考试学期 04－05－3（期末） 得分xln =--------------------------适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟．空2.设∑为上半球面224y x z --=，则曲面积分⎰⎰∑+++1222z y x dS 值为[ ]（A ）π4 (B)π516 (C) π316 (D) π383.设力场j y x i y x F )24()43(++-=，将一质点在力场内沿xoy 平面内的椭圆191622=+y x 正向运动一周，场力所做的功W 为 [ ]--------------------------(A) π96 (B) π48 (C) π24 (D) π124．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ）充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三.计算下列各题(每小题7分,共35分) 1. 计算积分⎰=+-2||22)1()1(z dz z z z。