高等数学上期末试卷(含答案)

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大一高等数学期末考试试卷及答案详解

⼤⼀⾼等数学期末考试试卷及答案详解⼤⼀⾼等数学期末考试试卷（⼀）⼀、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-?的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)⼀定可导(C)可能可导 (D)必⽆极限⼆、填空题（共12分）1．（3分）平⾯上过点(0,1)，且在任意⼀点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线⽅程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极⼤值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ?≤?=+??+>?5. （6分）设函数()y f x =由⽅程0cos 0yxte dt tdt +=??所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +?7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞+四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ??=-≤≤与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线⽅程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最⼩值和最⼤值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?（⼆）⼀、填空题（每⼩题3分，共18分） 1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =?+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点2,21处的切线⽅程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最⼤值，最⼩值 . 6．=+?dx xx21arctan . ⼆、单项选择题（每⼩题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（） . () A 必要但⾮充分条件； () B 充分但⾮必要条件； () C 充分必要条件； () D ⽆关条件. 2．下列各式正确的是（） .() A C e dx e x x +=--?； () B C xxdx +=?1ln ； () C ()C x dx x +-=-?21ln 2211； () D C x dx xx +=?ln ln ln 1. 3．设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（）.() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去⼼邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每⼩题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ?+dx xx 221. 5. ?xdx x cos .6.⽅程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、（10分）已知2x e 为()x f 的⼀个原函数，求()?dx x f x 2.五、（6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、（10分）设()()C e x dx x f x++='?1，求()x f .（三）⼀、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分).（1） 21(cos lim x x x → e1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平⾏的切线⽅程为1-=x y . （3）已知xxxeef -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f =)(x f 2)(ln 21x .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线⽅程为 .9131-=x y（5）微分⽅程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.)1()1(32227+++=x C x y⼆、选择题 (本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=?-dx x (B) 21112-=?-dx x(C) +∞=?∞+141dx x (D) +∞=?∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所⽰，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C) 1x 是极值点.，())(,22x f x(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点图1-1（3）函数212e e e x x xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是（ A ）.(A) (())().f x dx f x '=? (B) ()().=?df x f x (C) [()]().d f x dx f x =(D) ()().fx dx f x '=?三、计算题（本题共4⼩题，每⼩题6分，共24分）. 1．求极限) ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分=x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分= xx x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分分2.⽅程??+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2 2dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分） .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------??分分（分4.计算定积分?++3011dx xx.解 ??-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ?+--=30)11(dx x （3分）35)1(3（或令t x =+1）四、解答题（本题共4⼩题，共29分）.1．（本题6分）解微分⽅程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征⽅程分特征解.分次⽅程的通解Y =C 分令分代⼊解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）⼀个横放着的圆柱形⽔桶（如图4-1），桶内盛有半桶⽔，设桶的底半径为R ，⽔的⽐重为γ，计算桶的⼀端⾯上所受的压⼒．解：建⽴坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------??分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =?，试求()()b a222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平⾯图形D. (1) (3) 求D 的⾯积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转⼀周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线⽅程是).(1ln 000x x x x y -+=1分yxyO1e 1D由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从⽽.0e x =所以该切线的⽅程为.1x e y =平⾯图形D 的⾯积 ?-=-=10.121)(e dy ey e A y 2分（2）切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三⾓形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(?-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1⼩题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+.解法⼀：2112xe e x x xξ=++≥+解法⼆：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f = 1分因为() 1.xf x e '=- 1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一）一、选择题(共12分)x,2,0，ex，fx（),1. （3分）若为连续函数,则的值为（ ). a，axx,，，0,(A)1 （B）2 （C）3 (D）—1fhf（3）(3)，，，2。

(3分）已知则的值为( ). limf(3）2，,h，02h1（A）1 (B)3 (C）-1 (D） 2，223. （3分）定积分的值为( ）。

1cos，xdx,,,2(A）0 （B)—2 (C)1 （D）2 4。

（3分）若在处不连续，则在该点处（）。

xx，fx（）fx()0(A）必不可导（B)一定可导(C）可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）23x1((3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程（0,1）（，)xy为。

124(sin）xxxdx,，2. (3分） . ,，112xlimsin3. （3分) = 。

x,0x324. （3分) 的极大值为。

yxx,，23三、计算题（共42分）xxln(15)，lim。

1. （6分)求 2x，0sin3xxe，y，,2. （6分）设求y. 2x,12xxdxln（1）。

，3。

（6分）求不定积分，x，3，1，x，，fxdx(1)，，4。

(6分）求其中（）fx，1cos，x，,0x，1,1.ex，,，1yxt5. （6分）设函数由方程所确定,求 edttdt，，cos0yfx，（）dy.，，00 26。

(6分）设求 fxdxxC（）sin，,,fxdx(23)。

，，,n3，,7。

(6分）求极限 lim1。

，，,,，nn2，，四、解答题（共28分）,1. （7分)设且求 fxx（ln）1，,,f(0)1，，fx（)。

，,，，2。

(7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋xxyxxcos,，，,，，22，，转体的体积。

323. (7分）求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,，，，324194. （7分)求函数在上的最小值和最大值。

北京工商大学大一高等数学上册期末考试卷及答案

北京工商大学大一高等数学上册期末考试卷及答案一、单选题1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2-【答案】C2、211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】D3、定积分ba dx ⎰()ab <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯【答案】D4、若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ). (A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+【答案】D5、设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f - 【答案】C6、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）.A 、 x y =B 、)1)(1(ln --=x x yC 、 1-=x yD 、)1(+-=x y【答案】C7、下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x e e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰【答案】A8、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（）A 、 )1(2-=x yB 、)1(4-=x yC 、14-=x yD 、)1(3-=x y【答案】B9、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、x x 2lim +∞→ 【答案】A10、下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+ (C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =【答案】C11、以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点.(B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点.(C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0.(D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.【答案】C12、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）. A 、()()+∞--,01,2 B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞-【答案】B二、填空题1、设函数x xe y =，则 =''y ；【答案】x e x )2(+2、如果322sin 3lim0=→x mx x , 则 =m . 【答案】94 3、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；【答案】)12(2e- ；4、30y y y '''+-=是_______阶微分方程.【答案】二阶 5、函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________. 【答案】2x =三、解答题(难度：中等)1、求 x x y arccos 12-= 的导数；【答案】1arccos 12---x x x；2、求微分方程6130y y y '''++=的通解.【答案】特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r i y e C x C x -++=⇒=-±=+3、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；【答案】31 ；4、求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 【答案】11x y x y '=+- 5、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；【答案】31；6、求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程. 【答案】sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即 7、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；【答案】)12(2e - ；8、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；【答案】)12(2e - ；。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。

2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。

3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。

4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。

5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。

7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。

8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。

10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。

高等数学期末试卷及答案

高数试卷（一）（上册）一、单项选择题（每题4分，共20分，把选择题答案填在括号里）1．当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）．A.11, 6a b ==B.11, 6a b =-= C.11, 6a b ==- D.11, 6a b =-=-2．函数2()sin πx x f x x-=的可去间断点的个数为（）．A.1B.2C.3D.无穷多个3．曲线321x y x =-的渐近线有（）．A.1条B.2条C.3条D.4条 4．下面等式正确的是（）．A. d ()()f x f x '⎡⎤'=⎣⎦⎰B.()d()d ()f x x f x =⎰C.d ()d ()d f x x f x C x =+⎰ D.d ()d ()d ba f x x f x x=⎰ 5．已知广义积分2d 1xkx+∞+⎰收敛1（0k >），则k =（）．A.π22π2 D.2π4二、填空题（每题4分，共20分）6．222111lim π2ππn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 7．设函数)(x y y =由方程y x xy+=2所确定，则d x y== ．8．设⎩⎨⎧-=-=),1e (,π)(3tf y t f x 其中f 可导且(0)0f '≠，则0d d t y x == ． 9．不定积分6d (1)xx x =+⎰． 10．定积分π322π2(sin cos )d x x x -+=⎰ ．三、计算题（每题7分，共28分）11．求极限0x →．12．曲线y =的切线与x 轴和y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为a ，试求切线方程和这个图形的面积S ．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？13．求不定积分⎰．14．已知21()e d xt f x t -=⎰，求10()d f x x ⎰．四、证明题（本题6分）15．设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()d (0)f x x f =⎰，求证：在(0,1)内存在一点ξ使()0f ξ'=．五、讨论题（每小题8分，共16分）16．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=.0),ln(,0,1sin )(2x x a x bx x x x f 试讨论（1）a 、b 取何值时，)(x f 在0=x 点连续；（2）a 、b 取何值时，)(x f 在0=x 点可导，并求)0(f '．17．讨论函数0()(4)d xF x t t t =-⎰在[1,5]-上的增减性、极值和凹凸区间及拐点．六、应用题（本题10分）18．设2y x =定义在[0,1]上，t 为[0,1]上任意一点，试问t 为何值时，参考答案一、1．C ；2．B ；3．C ；4．A ；5．D ．二、6．1；7． x d )12(ln -；8．3；9．61ln ln(1)6x x C -++；10．2π．三、11．解因为当0→x 时，x x x x 232sin 31~1sin 1-+， x x 2~1e 2-， 22~tan x x ，所以，2222001sin 13lim lim (e 1)tan 2x x x x xxx x →→=-⋅ 2221sin 1sin 1666x x x x ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭． 12．解由题设可知切点的横坐标为0>a，代入曲线方程y =可求的切点坐标为a ⎛⎝，因为312212y x x --''⎛⎫'===-= ⎪⎝⎭，所以，曲线在该点的切线斜率x ak y ='==，切线方程为)y x a =-，即230x a +-=．分别令0y =和0,x =得切线在x 轴和y 轴上的截距分别为3, X a Y ==，切线与x 轴和y 轴围成一个图形为直角三角形AOB ∆，（如图所示）其面积为a a a XY S 492332121=⋅⋅==.因为+∞==+∞→+∞→a S a a 49limlim ，049lim lim 00==++→→a S a a ，故当切点沿曲线趋于x 轴正方向无穷远时，面积S 趋于无穷大；当切点沿曲线趋于y 轴正方向无穷远时，面积S 趋于零．13．解设sin x t =，ππ,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则原式1cos d sin cos tI t t t==+⎰，若设2sin d sin cos tI t t t=+⎰，则121cos sin d cos sin t tI I t t C t t++==++⎰，122cos sin d ln sin cos cos sin t tI I t t t C t t--==+++⎰，故()11ln cos sint 2I t t C =+++(1arcsin ln 2x x C =+++． 14．解由题设可得2()e x f x -'=，(1)0f =，则111201()d ()()d 0e d 0x f x x xf x xf x x x x -'=-=-⎰⎰⎰ 122101111e d()(e 1)1222e x x --⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰．四、15．证明由积分中值定理知12323()d (), ,13f x x f ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦⎰ηη，即()(0)f f η=．于是)(x f 在[0,]η上满足罗尔定理的条件，知存在(0,)(0,1)ξη∈⊂，使()0f ξ'=.五、16．解（1）因00lim ()lim ln()ln ,x x f x a x a --→→=+= 2001lim ()lim sin 0,x x f x x bx x +-→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(0)ln ,f a =要使函数)(x f 在0=x 点连续必须使函数在该点左、右极限相等且等于该点的函数值即ln 0, 1a a ==．故当1, a b =为任意实数时，函数)(x f 在0=x 点连续．（2）由于连续是可导的必要条件，所以要使)(x f 在0=x 点可导，必须首先令1a =，此时函数变为⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=.0),ln(,0,1sin )(2x x a x bx xx x f 又因为0()(0)ln(1)0(0)lim lim0---→→-+-'==-x x f x f x f x x1lim ln(1)ln e 1,-→=+==xx x 2001sin 01(0)lim lim sin ,0x x x bx x f x b b x x +++→→+-⎛⎫'==+= ⎪-⎝⎭要使)0(f '存在必须使其在该点左、右导数存在并相等即(0)(0)(0)11f f f b -+'''===⇒=．所以当1a =且1b =时，)(x f 在0=x 点可导，此时(0)1f '=．17．解（1）0()(4)d (4)xF x t t t x x '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰，令()0F x '=，得驻点120, 4x x ==．（2）()24F x x ''=-，令()0F x ''=，得 32x =．（3）列表：（4(1,0)-(0,2)单减且上凸；在区间上(2,4)单减且上凹；在区间(4,5)上单增且上凹．在0x =处取得极大值0，在4x =处取得极小值332-；)316,2(-. 五、18．解如图所示，阴影1S 部分的面积为222331012()d 033t t S t x x t x x t =-=-=⎰，阴影2S 部分的面积为122323221121()d 333t S x t x x t x t t t =-=-=-+⎰，故)10(3134)(2321≤≤+-=+=t t t S S t S ，从而2d 42d S t t t =-，令d 0d S t =，得驻点1210, 2t t ==．分别求出1112(0), , (1),3243S S S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭比较可知，当12t =时，1S 与2S 之和最小．检测题（二）（上册）一、单项选择题（每题4分，共20分，把选择题答案填在括号里）1．函数y =ln u x =能构成复合关系的区间是（）．A.1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.(0,)∞C.1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(0,e) 2．设1010()ln , (), ()e xf x xg x xh x ===则当x 充分大时有（）A.()()()g x f x h x <<B.()()()h x g x f x <<C.()()()f x g x h x <<D.()()()g x h x f x <<3．设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<．若0()g x a =是()g x 的极值，则[()]f g x 在0x 取得极大值的一个充分条件是（）．A.()0f a '<B.()0f a '>C.()0f a ''<D.()0f a ''> 4．下面等式正确的是（）． A.21arctan d C 1x x x=++⎰； B.arcsin C x =+； C.1ln d x x C x=+⎰； D.d()d ()d baf x x f x x =⎰．5．已知广义积分11d kx x ⎰收敛2（0k >），则k =（）． A.32； B.1； C.2； D.12．二、填空题（每题4分，共20分）6．若011lim e 1x x a x x →⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a = ． 7．设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在x a =取得极值．8．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-则b = ． 9．定积分π32π2(sin cos )d x x x -+=⎰ ． 10．不定积分22d (1)(4)x xx x =++⎰．三、计算题（每题8分，共32分）11．求极限20ln(1)lim sin x x x x x→+-． 12．已知 ⎩⎨⎧+==),1ln(,arctan 2t y t x 求22d 1d y t x =．13．设可导函数()y y x =由方程2200e d sin d x yxt t x t t --=⎰⎰确定，求d 0d yx x =．14．分别用第一换元法（凑微分法）和第二换元法求不定积分．四、讨论题（12分）15．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,1e ,0,,0,1)(2x x x x x x f x αα试讨论α的值在什么范围内，函数满足（1）在0x =点有极限；（2）在0x =点连续；（3）在0x =点可导．五、应用题（本题10分）16．设位于曲线)y x t =≤≤下方，x 轴上方的区域为G ，求（1）G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积()V t ；（2）当t 为何值时，该旋转体的体积()V t 最大？最大体积是多少？六、证明题（6分）17．设)(x f 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，如果存在两个正数12k k 、满足1212(0)()d 0k k k k f f x x +-=⎰，证明：存在ξ0>使()0f ξ'=．检测题（二）参考答案一、1．A ；2．C ；3．B ；4．B ；5．D ．二、6．2；7．大；8．3；9．34；10．2211ln 64x C x +++．三、11．解因为当0→x 时，22~)1ln(x x x x ⋅+，所以，222000ln(1)3lim lim lim sin sin 1cos x x x x x x x x x x x x x→→→+⋅==--- 061limsin 6x x x →==． 12．解因为2d 2, d 1y t t t =+2d 1d 1x t t=+，所以 22d d d 212 d d d 11y y t t t t x x t t +===+， 2222d d d 2d d 2(1)d d d 11y y t x t x x t t⎛⎫⎪⎝⎭===++， 22211d 2(1)4d t t y t x ===+=． 13．解由题设可知2200e d sin d x yxt t x t t --=⎰⎰，方程两边同时求导得2()220e(1)sin d sin xx y y t t x x --'-=+⎰，把0x =代入上述等式得1y '=，故d 10d yx x ==．14．解法1 凑微分法2C===．解法2 第二类换元积分法==设11sin22x t-=π2t⎛⎫<<⎪⎝⎭，则原式1cos d d2t t t==⎰arcsin(21)t C x C=+=-+．解法3 第二类换元积分法x=⎰，令2πsin02x t t⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则d2sin cos dx t t t=，所以原式112sin cos d2dsin cost t t tt t=⋅⋅=⎰⎰2t C C=+=．四、解（1）因为00lim()lim(1)1,x xf x x--→→=+=00lim()lim(e1)1,xx xf x x++→→=+=α可见α是任意实数时，函数在0x=点左、右极限都相等．（2）又因为2(0)f=α，要使函数)(xf在0=x点连续必须使函数在该点极限值等于该点的函数值，即21,1a==±α．故当1±=α时，函数)(xf在0=x点连续.（3）由于连续是可导的必要条件，所以要使)(xf在0=x点可导，必须首先令21=α，此时函数变为⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,1e ,0,1,0,1)(x x x x x x f x α0()(0)(1)1(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→-+-'===-， 00(e 1)1(0)lim lim e ,x x x x x f x+++→→+-'===ααα 要使)0(f '存在必须使其在该点左、右导数存在并相等，即(0)(0)(0) 1 1f f f -+'''====⇒=αα．所以当1=α时，)(x f 在0=x 点可导，此时(0)1f '=．五、16．解（1）222e ee 11()πd πd πd ln (1ln )1ln ttt x V t y x x x x x x ===++⎰⎰⎰ []e ππarctan(ln )πarctan(ln )4t x t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（2）因为2π()0 (e)(1ln )V t t t t '=>>+，这说明()V t 在[e,)+∞上单调递增，所以当t →+∞时，()V t 取得最大值，其最大值为[]2max e πππ()πlim arctan(ln )π244tt V t x →+∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭．六、17．证明由积分中值定理知[]1212112()d (), ,k k k f x x k f k k k +=∈+⎰ηη，代入题设等式得()(0)f f η=．于是)(x f 在[0,]η上满足罗尔定理的条件，知存在112(0,)[,](0,)k k k ∈⊂+⊂+∞ξη，使()0f ξ'=．。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

高等数学上期末考试试题及参考答案

高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} $ 的反函数$ f^{-1}(x) $ 的定义域为（）A. $ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $B. $ [0, +\infty) $C. $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $D. $ (-1, 1) $答案：C2. 设函数 $ f(x) = \ln(2x - 1) $，则 $ f'(x) $ 的值为（）A. $ \frac{2}{2x - 1} $B. $ \frac{1}{2x - 1} $C. $ \frac{2}{x - \frac{1}{2}} $D. $ \frac{1}{x - \frac{1}{2}} $答案：A3. 设 $ f(x) = e^x + e^{-x} $，则 $ f''(x) $ 的值为（）A. $ e^x - e^{-x} $B. $ e^x + e^{-x} $C. $ 2e^x + 2e^{-x} $D. $ 2e^x - 2e^{-x} $答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 $ x = 0 $ 处可导但不可微？（）A. $ f(x) = |x| $B. $ f(x) = \sqrt{x} $C. $ f(x) = \sin x $D. $ f(x) = \cos x $答案：A5. 设 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 $ f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $ 的导数 $ f'(x) $ 为_________。

高数上册期末试卷(含答案)

一、填空题(每小题2分，共20分)1. 0，2.21，3. t −，4. 4，5. )41 0(]41 0[，或，，6. (0, 2)， 6. C x x ++arctan 3)1(分给缺C ，8. 0，9. 34−，10. 23.二、试解下列各题(每小题6分，共24分)1. xx x x x x 4sin 3553lim 22++=∞→原式 2分 444sin 3553lim20⋅⋅++=→xx x x x 4分 5124153=⋅⋅=6分 2. )1(sin )]1sin(sin ['⋅−='xx y 2分)1(1cos )]1sin(sin ['⋅−=xx x 3分x x x 1cos )1sin(sin 12=4分dx x x x dx y dy 1cos )1sin(sin 12='= 6分3. x x x d )111(22+−=⎰原式 1分 dx x dx x dx x ⎰⎰⎰+−++=21)1111(21 3分 .111ln 21C xx x +−−+= 6分 dx xx⎰+=422cos 2cos 1 4.π原式 2分⎰+=42)1(sec 21πdx x 3分40)(tan 21πx x += 5分 821π+= 6分三、试解下列各题(每小题7分，共28分)42021lim 1.x e x x x −→−−=原式 2分30422lim 2x xe x x x −→+−= 4分 22012422lim 22x e x e x x x −−→−+−= 5分x e x xe x x x 24812lim 2230−−→+−= 6分21−= 7分)(02/1 4422x x x e x ++−=−或用泰勒公式3分，答案2分2. )(x df x ⎰=原式 1分dx x f x xf ⎰−=)()( 3分C xxx x x +−'=ln )ln ( 5分 C xx+−=ln 21 7分分给求出注：2 ln 1)ln ()( xxx x x f −='= 1 2 1 0 1 3.==−====−t x t x dt dx t x 时，，时，且，则，令 1分 dt t f ⎰−=11 )(原式 2分dt tdt e t ⎰⎰+++=−1 0 01 11 114分 1001)1ln()]1ln([t e t t +++−=− 6分)1ln(e += 7分⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=−−1 111 1)1(1x e x x x f x ，，或 2分 dx xdx e x ⎰⎰−+=2 1 10 1111＋原式 4分下面同上}2 1 2{ }1 1 1{ 4.21−=−=，，，，，两平面的法向量为n n 1分所求直线的方向向量2111−−=kj s 2分}3 4 1{，，= 4分334112−=+=−z y x 对称式方程为6分 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+= 3341 2t z t y t x 参数方程为 7分四、应用题(每小题7，共21分)分其体积为　则圆柱体的底面半径，设内接圆柱体的高为3 20)4()2( 1.2222R h h R h V hR r h <<−=−=π分4 )43(22h R V −='πR h V 3320=='得：唯一驻点　令 5分 023<−=''h V π又，圆柱体体积最大时故当,332R h = 7分dx x x dx x x V ⎰⎰−+−=2422422)cos (sin )sin (cos 2.πππππ3分dx x dx x ⎰⎰−=2442cos 2cos πππππ4分2442sin 22sin 2πππππxx−=5分π= 7分)1(3d 3.12 C x x y y +=''='⎰1分232632−==−x y y x 得又由 2分得代入)1(32)2,0(='∴−y 3分 '=+y x 332 4分23232d )323(C x x x x y ++=+=∴⎰5分.2322)2,0(31−+=∴−=−x x y C ，代入得再将 7分。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________课程名称：高等数学(上)(A卷) 考试日期：2008年1月10日注意事项：1.本试卷满分100分，要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2.考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3.考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4.如有答题纸，请将答案全部写在答题纸上，否则不给分。

考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

一、单选题（每题3分，共15分）1.lim(sin(x^2-1)/(x-1))，x趋近于1，等于()A)1；(B)0；(C)2；(D)不存在。

2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则∫e^(-x)f(e^x)dx等于()A)F(e^x)+c；(B)-F(e^-x)+c；(C)F(e^-x)+c；(D)F(e^-x^2/2)+c。

3.下列广义积分中()是收敛的。

A)∫sinxdx，从负无穷到正无穷；(B)∫1/|x|dx，从-1到1；(C)∫x/(1+x^2)dx，从负无穷到正无穷；(D)∫e^x dx，从负无穷到0.4.f(x)为定义在[a,b]上的函数，则下列结论错误的是()A)f(x)可导，则f(x)一定连续；(B)f(x)可微，则f(x)不一定可导；(C)f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D)函数f(x)连续，则∫f(x)dx在[a,b]上一定有定义。

5.设函数f(x)=lim(n→∞)(1+x^2n)^2，则下列结论正确的是()A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；(C)存在间断点x=0；(D)存在间断点x=-1.二、填空题（每题3分，共18分）1.极限lim(x→∞)(x^2+1-1)/x=______。

2.曲线y=3t在t=2处的切线方程为y=______。

3.已知方程y''-5y'+6y=xe^(2x)的一个特解为-1/2(x+2x)e^(2x)，则该方程的通解为______。

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一．选择题：（每小题3分，共15分）
1. 若当0x →时，arctan x x -与n
ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.
13 C. 3- D. 1
3
- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3
()f x x =
C. ()e e x
x
f x -=+ D. 1,10
()0,01
x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩
3. 如果()e ,x
f x -=则(ln )
d f x x x
'=⎰ ( )B A. 1C x -
+ B. 1
C x
+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.
曲线y x
=
渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为
偶函数，则
[()()]d a
a f x g x x -''''+=⎰( ) D
A. ()()f a g a ''+
B. ()()f a g a ''-
C. 2()f a '
D. 2()g a '
二．填空题：（每小题3分，共15分）
1. 要使函数22
32()4
x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .
14
2. 曲线2
e x y -=在区间上是凸的.
(,22
-
序号
3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+
4. 曲线2
3
1x t y t
⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.
定积分1
1
(cos x x x -+=⎰ .
π2
三．解下列各题：（每小题10分，共40分）
1．求下列极限
（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤
-⎢⎥+⎣
⎦. 解：原式=2240ln(1)
lim x x x x
→-+ …………..2分 2302211lim
.42
x x
x x x →-+== ………….3分（2）()2
2
2
20
e d lim e d x
t x
x t t t t
-→⎰⎰
.
解：原式= ()
2
2
2
20
2
e d e lim
e
x
t x x x t x --→⋅⎰
………….3分 2
2
00
0e d e =2lim
2lim 2.1
x t x
x x t x
--→→==⎰ …………..2分
2. 求曲线0π
tan d (0)4
x y t t x =≤≤⎰的弧长.
解：
s x x == …………..5分
π
π440
sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰
解：1
(),1e x
f x -=
+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e x
x x
f x x x x ---=-=++⎰
⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分
4. 已知2lim e d ,x
c x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
⎰求常数.c 解：2lim e ,x
c x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………….4分 221e d (24
c
x
c c x x -∞
=-⎰ …………. 4分 5
.2
c = …………. 2分
四．解下列各题：（每小题10分，共30分）
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1
()()d d ,()
x
b
a x
F x f t t t f t =-⎰⎰
求证：（1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥
（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.
证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+
≥= ……3分（2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分
1
1()()d d d 0,()()
a b
b a
a
a F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰
⎰ ……2分
1
()()d d ()d 0,()
b b
b a
b
a F
b f t t t f t t f t =-=>⎰⎰
⎰ ……2分
由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.
……1分
2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线
1x =围成图形的面积为2.S
（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
解：2
2
(0,0),(,)y ax a a y x
=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1
220
()d ()d a a
S ax x x x ax x =-+-⎰⎰
31,323
a a =-+
21()0,22
S a a a '=-
=⇒=
唯一驻点
()20,S a a ''=>最小值2(
.26
S = ……..4分
1222222
π[(
)()]d π[()()]d 22
x V x x x x x x =-+-
1
π.30
+=
……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得
()()0.f f ξξξ'''+=
证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分
(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'
……..3分
(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+
(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。