复旦大学2015～2016学年《高等数学B上》第一学期期末考试试卷及答案
2015-2016高等数学(上)期末试题A卷解答与评分标准
2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分） （6 分）
2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分） （2 分）
解 设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页 西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解 原式 x 2 x arctanx
x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x
由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。
（8 分）
高数期末考试题及答案复旦
停车场停车券活动方案一. 活动目标本次停车场停车券活动的目标是吸引更多的用户使用停车场服务，增加停车场的收入。
通过发行停车券，提供优惠价位的停车服务，提高用户的体验及满意度，同时提升停车场的知名度和竞争力。
二. 活动时间活动时间为2022年1月1日至2022年3月31日，共计三个月。
三. 活动内容1. 停车券发行在活动期间，停车场将发行特定面额的停车券，用户可以在购买时获得相应的折扣或免费停车时间。
停车券的发行方式包括：•定期会员赠送：停车场会定期向会员赠送停车券，以奖励他们的忠诚度和支持。
•社交媒体活动：通过停车场的社交媒体平台，开展相关活动，让用户有机会赢得免费停车券。
•合作伙伴赞助：与合作伙伴合作，通过赞助方式提供免费或折扣停车券，吸引更多用户关注和使用停车场服务。
2. 会员特权为增加用户粘性和提高会员参与度，停车场将为定期会员提供特殊服务和特权，例如：•优先停车位：为会员提供专门的VIP停车区域或优先选择的停车位，方便会员快速进出停车场。
•免费车辆清洗：定期会员在停车期间，停车场将提供免费的车辆清洗服务，提升会员的停车体验。
3. 推荐奖励通过推荐活动，停车场将为用户提供额外的停车券作为奖励。
当用户成功推荐朋友或家人使用停车场服务时，推荐者将获得相应面额的停车券作为奖励。
4. 良性竞争在活动期间，停车场将与周边的其他停车场进行良性竞争。
通过提供更好的服务和更有竞争力的价格，吸引更多用户选择停车场停车券，并增加停车场的使用率。
四. 活动宣传为确保活动的成功，停车场将进行全方位的宣传推广。
宣传渠道和方式包括但不限于：•广告投放：通过户外广告牌、公交车身广告等方式进行线下宣传；•线上宣传：通过停车场官方网站、社交媒体平台、电子邮件等进行线上宣传；•合作推广：与相关合作伙伴进行合作推广，如APP推广、OTA平台推广等。
五. 活动效果评估活动结束后，停车场将根据以下指标对活动的效果进行评估：•停车场的总收入增长情况；•会员数量的增加情况；•用户对停车场服务的评价及满意度提升情况。
复旦大学2011 ～2012学年《高等数学C上》第一学期期末考试试真题及答案
3. 设 y f x由方程 xy2 sin x3 y 3x 确定，求 dy 。
4． y arctan 3ex ，求 dy 。 d sin x 1, x 0
5. 设 f x x 1,0 x 1 ，求 f xdx 。
2x, x 1
1 1 2x
6. 2
dx
0 1 2x
xf
x
0
，则
lim
x 0
6
f x2
x
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
3．
A
0
0
2
1
0
，则
A
1
=
0 0 3 2 0
0
0
0
0
3
。 。 。
4． lim n 2n 3n
。
n
5．
x cos x
2
2
1
sin
2
x
dx
。
二、单选题（ 3 5 ）
1． lim xx0
f x 是
f x 在 x0 的某空心邻域内无界的（
1 x ln
x
dx
5． x ，有 f x f x，且 f x0 k 0 ，则 f x0 （ ）。
A．
1 k
B.
1 k
C. k
D. k
三、计算题( 68 )
x 1 t 2 1 t 2 dt
1． lim 0 x0
x2 sin x
2．
cos2 x sin x dx
cos x 1 cos xesin x
A．
1 k
B.
1 k
答案：C
C. k
D. k
三、计算题( 68 )
复旦大学16年高数C(上)(A)期末考试试题
复旦大学数学科学学院
2016～2017学年第一学期期末考试试卷
A卷
1.(本题满分42分, 每小题6分) 计算下列各题:
(1)设函数由参数方程, 给出, 求
和.
(2) 请确定常数, 使得在点可
导.
（
装
订
线
内
不
要
答
题
）
(3) 计算积分
(4) 计算由() 绕轴一周所得的旋转体的体积.
(5) 设过原点的直线同曲线相切, 求此直线的斜率。
(6) 设, 求.
(7) 设, 问在什么范围内时积分收敛.
2. (本题满分10分) 证明当时.
3.(本题满分12分) (1) 求函数的极值点(需指
出是极大值点还是极小值点); (2) 求曲线的渐近线.
4. (本题满分12分) 设.
(1) 证明存在使得; (2) 计算
5.(本题满分12分) (1) 计算;
(2) 计算.
6.(本题满分12分) (1) 设是正整数, 计算;
(2) 证明对任何正实数, 函数极限存在.。
复旦大学2009～2010学年《高等数学C下》第二学期期末考试试卷及答案
七、（8
分）求幂级数
n1
n xn 的和函数，并计算数项级数 (n 1)
n1
(1)n1 n (n 1)2n
的和。
八、（8 分）设函数 f (x) 在 (0, ) 上连续，并满足
f (t) 2
(x2 y2 ) f ( x2 y2 )dxdy t4 ，
x2 y2 t2
求 f (t) 。
使面积最大。
四、（8
分）计算 I
D
x (1 x2
dxdy ，其中 D 由 y2 )2
y
x2 2
，x
0 及 y 1所围。
五、（8 分）试证：[ n f (x)dx]2 (n m) n f 2 (x)dx （ m 、 n 均为常数）。
m
m
六、（6 分）判别级数
an
的敛散性（ a 0 ）。
n1 an n2
C
(
x)
x
2
0
x 4000 其它
（1）求常数 C ；
（2）计算 P(X 4800 4500 X 5000) ；
（3）已知一设备装有 3 个这样的 LED 灯，每个 LED 灯能否正常工作相互独立， 求在使用的最初 4500 天只有一个损坏的概率。
复旦大学数学科学学院 2009～2010 学年第二学期期末考试试卷
A 卷答案
一、（15 分）1、0； 2、 1 ； 3、0。
2
二、（8
分） dz
z xF1
yF2 (F1dx
F2dy) 。
三、（8 分）当三角形的三个顶点为 (0, 2),(3, 1),(3, 1) ； (0, 2),(3,1),(3,1) 时，
三角形面积一定存在最大值，且为 Smax 9 。
第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。
复旦数学分析期末试题.
注:式中a的取值范围可结合分析判定
(
装订
线
内不要答题3.
计算:
1
11
1
1
lim1
n
n
n
n n
+
→+∞
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
+-+
⎢⎥
⎪ ⎪
+
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
4.
推导:反双曲正旋函数(
sinh ln
ar x x
=+在零点的高阶多项式逼近。注:获得一般阶数的表达式
0lim x x f x l g x →∈∃=∈。②证明:设{}n x为无穷小量且单调趋于零,{}n y为无穷小量,如有11lim n n n n
n y y l x x →∞++-∃=∈- ,则有:lim n n n
y l x →∞∃=∈
(装
订线内不
要答题五(12分定性研究函数图像
研究函数y=
①设定0
四(10分Bernoulli-L’Hospital法则与Stolez定理的内在相似性①证明:设(f x ,g(x在(0B x λ上可导,0x ∈ ,设有((00lim li 00m x x x x f x g x →∈→∈⎧∃=⎪⎨∃=⎪⎩ ,且
((0'lim 'x x f x l g x →∈∃=∈ ,则有:((
一、严格表述题(每题3分,共3题,共9分注:需给出具体内容,但无需证明
1.叙述:函数连续性的Cauchy收敛原理/振幅刻画与区间上一致连续性的定义。
高等数学试卷及答案
《高等数学》试卷及答案填空题（本大题共10小题, 每小题2分, 共20分）1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. 已知 , 则 ;7. 函数 的单调增区间为 ;8. ; 9. (-5) ;10. 微分方. 的通解. y=C1ex+C.......... ...单项选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分）1. 函数 的定义域是（ A ）。
A. （-1 , 1 ]B. [ -1 , 1 ]C. （-1 , 2 ]D. [-1 , 2 ]2．当 时, 是 的（ D ）。
A. 低阶无穷小B. 等阶无穷小C. 同阶但不等阶无穷小D. 高阶无穷小3．设 在 上连续, 则 的值为（ ）。
A. -1B. 0C. 1D. 24. 函数 在 点（ D ）。
A. 连续且可导B. 连续但不可导C. 不连续但可导D. 不连续且不可导5. 下列论述正确的是（ C ）。
A. 驻点必是极值点B. 极值点必是最值点C. 可导的极值点必是驻点D. 极值点必是拐点6. 下列凑微分正确的是（ ）。
A. B.C. D.7．设 是 的一个原函数, 则有下面成立的是（ C ）。
A. B.C. D.8. 下列那一项不是常微分方程（ A ）。
A. B.一． C . D.1．计算题（本大题共5小题, 每小题6分, 共30分）2．011lim cot sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 设 , 求3.4．40d x e x ⎰5．求微分方程)(e d d 3x x xy y +=-的通解。
应用题（本大题共3小题, 每小题7分, 共21分）已知曲线 满足方程 , 试求曲线在点(0, 0)处的切线方程。
2. 计算抛物线与所围成的图形的面积。
要制作一个容积为V的圆柱形带盖铁罐, 问圆柱的高h和底半径r各为多少时, 可使所用材料最少？二．证明题（本大题共5分）当时, .。
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5．（本题满分 10 分）证明：当 x 0 时成立
ln 1 x x 1 x2 1 x3 1 x4 。
234
6．（本题满分 10 分）证明：
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
2n1 1 （ n 1
n
1,
2,
）；
1
（2）求极限
lim
n
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
n
。
6
7．（本题满分
7．（本题满分 10 分）（1） L 的方向向量可取为
i jk c 1 1 2cj (1 c2 ) j (1 c2 )k ，
1 c c
因此 L 的对称式方程为
x 1 2c
yc 1 c2
zc 1 c2
。
（2）在以上方程中令 z t ，得
x
2ct (c2 1 c2
1)
A
Bt,
y
2c (c2 1)t 1 c2
7
复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 B（I）》试题答案
1．（本题满分 40 分，每小题 5 分）（1） 16 ；（2） 2 ；（3）在 ( 1, e1 1] 上单 3
调减少，在[e1 1, ) 上单调增加； f (e1 1) e1 为极小值；
（4）
1 2
arcsin
x2 2
C
；（5） e2
1
1 e
2
；
（6）收敛；（7）
14 8
8 5
3 2
；（8）
x
2
y
z
0
。
（
3 2 1
装
2．（本题满分 10 分）3 个。
订 线
3．（本题满分 10 分）底面半径和高均为 3 V 。 π
内
不
4．（本题满分 10 分）（1） f (x) 28x6 cx （ c 为任意常数）；（2）无拐点；（3）
和 z 1所围立体的截面均为圆，其面积为
A(z) π(1 z2 ) ，
因此该立体的体积为
V
1
A(z)dx π
1 1 z2 dz = 4π 。
0
0
3
At
B,
其中
A
c2 1 1 c2
，B
2c 1 c2
。
显然 A2 B2 1，于是
x2 y2 A2 (1 t2 ) B2 (1 t2 ) 1 t2 ， 因此曲面 与平面 z t 的交线的方程为
x2 y2 1 t2， z t.
（3）由（2）知，过 (0, 0, z) 点且与 Oxy 平面平行的平面截由曲面 ，平面 z 0
10
分）设过点
(1,
c,
c)
的直线
L
的方程为
cx y x cy
z c, cz 1,
其中 c 为实
数。
（1）求直线 L 的对称式方程；
（2）当 c 连续变化时，L 随之移动而生成曲面 ，求曲面 与平面 z t 的交线的
方程，其中 t 为常数；
（3）求由曲面 ，平面 z 0和 z 1所围立体的体积。
（7）求矩阵
1 2
2 5
1 4的逆矩阵；来自1 4 6 （8）求经过原点，且与两平面 x 2 y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面的 方程。
3
2．（本题满分 10 分）问方程 2x3 3x2 1 0 有几个实根？请说明理由。 2
3．（本题满分 10 分）要制作一个体积为V 的圆柱形无盖铁桶，问如何确定其底面半 径和高才能用料最省？
复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷
A卷
数学科学学院
（
1．（本题满分 40 分，每小题 5 分）计算下列各题：
装
（1）确定常数 b，使得直线 y 9x b 为曲线 y x3 3x 的切线；
订
线
内
不
要
答
题
）
（2）求极限
lim
x
ln( ln(
x2 x3
3x 2x
要
答
不存在。
题
5．（本题满分 10 分）证： 作函数
）
f
(
x)
ln(1
x)
x
1 2
x2
1 3
x3
1 4
x4
，
x
1
，
则当 x (1, ) 时，
f (x) 1 1 x x2 x3 1 x
1 (1 x)(1 x2 ) 1 (1 x2 )(1 x2 )
1 x
1 x
x4 0 . 1 x
4
4．（本题满分 10 分）设函数 f 在 (, ) 上有连续二阶导数，且满足方程 x f (x) f (x) 140x6 。
（1）求 f (x) 的表达式； （2）问曲线 y f (x) 是否有拐点？请说明理由。 （3）是否存在函数 f ，它在开区间 (0, 1) 上大于零，并满足上面的方程，且曲线 y f (x) （ x [0, 1] ）与直线 x 1和 y 0 所围的图形 D 的面积为 2？请说明理由。
这说明函数 f 在[0, ) 上严格单调增加，从而当 x 0 时，
f (x) f (0) 0 ，
即
ln 1 x x 1 x2 1 x3 1 x4 。
234
6．（本题满分 10 分）（1）证；由 sin x 2 x（ 0 x π ）知 sin π x x（ 0 x 1），
π
2
1) 1)
；
1
（3）求函数 f (x) (x 1) ln(x 1) 的单调区间和极值；
（4）求不定积分
x dx ； 4 x4
（5）设
f
(x)
x, 2
x,
0 x 1, 求 4 f (x 2) ex dx ；
1 x,
2
2
（6）问反常积分
cos3 x
dx 是否收敛？请说明理由；
1 (x 2e3x ) 1 x
2
所以
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
11 xn dx = 1 1 x n1 1 2n1 1 。
0
n 1
0 n 1
（2）由于
2n 2n1 1
n1 n1
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
111n dx 2n ，
0
利用极限的夹逼性可得
1
lim n
1 0
1
sin
π 2
n
x
dx
n
=2
。