复旦大学2011～2012学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
复旦大学2014～2015学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
上，曲线上凸；在区间
e
3 2
,
上，曲线下凸。拐点为
e
3 2
,
3 2
e
3
；
（
装 订
（5） cos x
1 cos3
xC
；（6） ln 2 2
π
；（7）
X
5 8
1 1
；
线
3
2
6 1
内
不
（8）一定有解。
要
2．（本题满分 8 分） a 1 ， b 1。
答
2
题
3．（本题满分 8 分）（1） 4 ；（2）是极小值点。
x1 x2 a1,
（8）已知
a1
a2
a3
0
，问线性方程组
x2
x3
a2 ,
是否一定有解？请说明理由。
x3 x1 a3
3
2．（本题满分
8
分）
设函数
f
(x)
asixnxb,
cos x
x
1,
x 0, x 0 在 x 0 点可导，求常数
a 、 b 的值。
3．（本题满分
8
分）设函数
f
在 x 0 点附近有定义，且满足
6
复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 A》（I）A 卷试题答案
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） t ；（2）0； 2
（3）在 (, 1]上单调减少，在[1, ) 上单调增加。 f (1) 17 为极小值； 12
（4）在在区间
0,
e
3 2
x
(t
1)(t
2)
复旦大学《高等数学》2011-2012学年第一学期期末试卷A卷
1 060 31□A 卷高等数学 C （上）05数学科学学院医学试验班、八年制临床医学题号 一二 三四五六七八总分得分一、 填充题（3 5 ） 1 ．设 sin x是f x 的一个原函数，答案： 1则为 xf x dx = 。
22 ．设0 ，则。
答案： 361 0 3 ． A 0 0 01 6 0答案： 00 0 2 0 0 00 1 3 0 00 0 023 00 13 12 0 0 0 0 01 0 ，则 A 1= 。
2 0 0 30 0 0 01 0 2x 44 ． lim。
n答案： 35 ． 1 sin 2 x dx 。
答案：2二、 单选题（3 5 ）1 ． lim f x 是f x 在x 0 的某空心邻域内无界的（ ）条件。
xx 0A ．充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关 答案： A2 ．lim f x 2 ， x 0 x32答案： C23sin 2x x 0 f 3x 1 3 （ ）。
4 3x 1 x 2 x 3 03 ．设 A 为齐次线性方程组 x 1 tx 2 x 3 0 的系数矩阵，若有三阶方阵B 0 ，且 AB 0 ，则（ ）。
x 1x 2 tx 3 0A. t 2, 且B 0B. t 2, 且B 0C. t 1, 且B 0D. t 1, 且B 0答案： C4 ．下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（6x 3B. 11dx C.60dx答案： A ）。
e1e x ln x5 ． x ，有f x f x ，且 fx 0k 0 ，则 f x 0（）。
A ． 0 1 x 2 dxx cos x A ．D. B. C. D.1dx 则lim1k答案：CC. kD. k 1．lim0答案：32 ．dx答案：lnsinC3. 设y f x 由方程xy2 sin x3 y3x 确定，求dy。
答案：dx4 ．y arctan3e x，求dy。
3e x(19e2x)cos x1,x 05.设f x x 1,0x1，求f x dx。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高等数学试卷A上2011
复旦大学数学科学学院2011～2012学年第一学期期末考试试卷A 卷数学科学学院1．（本题满分48分，每小题6分）计算下列各题：（1）求曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点)1,0(处的切线方程；（2）求极限)1ln(13lim ++∞→xx x ；（装 订 线 内 不 要 答 题 ）（3）设函数2)(23+++=cx bx ax x f 在1=x 点取极小值0，且该函数的图像以)2,0(为拐点，求a ，b ，c 的值。
（4）设一元函数f 满足C x dx x xf +=⎰arcsin )(（C 是任意常数），求dx x f ⎰)(1；（5）求定积分⎰-++ππdx x x x )sin ||2cos 1(3；（6）若⎰∞-+∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x xx dx xe a x a x 2lim ，求常数a ；（7）已知)0,4,2(1=a ，)1,1,2(2-=a ，),1,4(3t -=a ，问t 为何值时，1a ，2a ，3a 线性相关？（8）已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1-=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,1,1(1=b ，T )1,1,0(2=b ，T )1,0,0(3=b ，求从基{1a ，2a ，3a }到基{1b ，2b ，3b }的过渡矩阵。
2．（本题满分8分）求点)1,0(到曲线x x y -=2的最短距离。
3．（本题满分8分）求曲线nxnx nx n e x e e x y 32)1()sin (6lim +-=+∞→（),(∞+-∞∈x ）与两条直线x y 21=和1=x 所围平面图形的面积。
4．（本题满分9分）问λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无穷多解、无解？请说明理由。
《高等数学(一)》期末复习题(答案)
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。
11-高数期末(1)试题答案
Dxz={(x,z)|0≤z≤H,-R≤x≤R}. 于是有
1
x2
dS y2 z2
1 Dxz R 2 z 2
1
(x)2 R2 x2
dxdz
H dz 0 R2 z2
R R
R dx
R2 x2
[1 R
arctan
z R
]0H
[R arcsin
x R
0
h
r
3 dr
2
h2 4
2
h
2
12. 设一个密度均匀的半球体占有空间区域 : x2 y2 z2 R2 , z 0, 试求该半球体质心的坐标.
解：因为密度均匀，故该半球体对 z 轴对称，可知质心在 z 轴上，故有 x y 0 ， 所以只要计算 z .
运用球面坐标有
M(2,-1,-1)；直线
l
的对称式方程为
x 0
y 1
z 1
，
知方向向量 s=(0,-1,-1)，故平面
方程：y-z=0，从而平面
与该球面的交线为
( y
x z
2)
2
0
(
y
1)
2
(z 1)2
6
，
于是该交线向 xOy 面的投影柱面为
(x-2)2+2(y+1)2=6，从而投影曲线为
f
(x
1) x
f
y(x
1 )(x x
1) x
f
2xf
y(x2
高等数学上复旦大学出版习题1答案.pdf
x1
=
sin
x2
,即 A 中不同的元素
x1,
x2
有相同的
像,∴f 不是单射.
综上所述, f 为满射,但不是单射.
(3)∵∀x1, x2 ∈ A , 且 x1 ≠ x2 ,有 ex1 ≠ ex2 ,即 A 中不同的元素有不同的像,∴f 是单射.
又∵ 0 ∈ B,∀x ∈ A, ex ≠ 0 ,即 B 中的元素 0 没有原像,∴f 不是满射.
2. 设 X = {1, 2,3, 4,5, 6}, A = {1, 2,3}, B = {2, 4, 6},C = {1,3,5} ,求 A∪ B ∪ C, A ∩ B ∩C , CXA，CXA∪CXB,
CXA∩CXB.
解: A∪ B ∪ C = {1, 2,3}∪{2, 4, 6}∪{1,3,5} = X
⎨ ⎩
x
≠
0
所以函数的定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, 4].
(2)要使函数有意义,必须
所以函数的定义域是[-3,0) ∪(0,1) . (3)要使函数有意义,必须
⎧ x+3≥0
⎧x ≥ −3
⎪⎨lg(1− x) ≠ 0
即
⎪ ⎨
x
≠
0
⎪⎩ 1− x > 0
⎪⎩ x < 1
x2 −1≠ 0 即 x ≠ ±1
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有 A∩B=A∩C={1},但 B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞), f : x ∈ A |→ y = x3 ∈ B ;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1], f : x ∈ A |→ y = sin x ∈ B ;
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f (x)
1
(t
t
2
)
sin
2n
tdt
1
(t
t2
)t 2ndt
1
，x 0。
0
0
(2n 2)(2n 3)
7．（本题满分 8 分）证明：显然 f (x) x 1 。由 Lagrange 中值定理得 x2
f
(b)
f
(a)
2
1
(b
a)
0，1
a
b。
为证明右面的不等式，考察函数 g(x) x 1 。易知 g(x) 2 x ，令 g(x) 0
(2 )x1 2x2 2x3 1,
2x1 (5 )x2 4x3 2,
2x1
4x2 (5 )x3 1
有唯一解、无穷多解、无解？请说明理由。
5
5．（本题满分
10
分）设
A
2 0
0 0
0 1
，
B
1 0
0 1
0 0
。
0 1 0
0 6 2
（1）求 A 的特征值和特征向量；
（2）问 A 是否相似于对角矩阵？若是，求正交矩阵 S ，使得 S T AS 为对角矩阵；
（3）问 A 和 B 是否相似？请说明理由。
6
6．（本题满分 9 分）设 f (x)
x
(t
t
2
)
sin
2n
tdt
（
n
是正整数），证明：当
x
0
时成
0
立
f (x)
1
。
(2n 2)(2n 3)
7
7．（本题满分 8 分）设1 a b ， f (x) 1 ln x ，证明 x
题
2
ห้องสมุดไป่ตู้
）
4．（本题满分 9 分）
当 1且 10 时，方程组有唯一解；
当 10时，方程组无解；
当 1时，方程组有无穷多解。
5．（本题满分
10
分）（1）A
的特征值为
2
，1，
1。对应于
2
的特征向量为
1 c 0
，
0
对应于
1
的特征向量为
0 c 1
，对应于
1的特征向量为
c
0 1
复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷
A卷
数学科学学院
（
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）计算下列各题：
装
（1）求曲线 e2xy cos(xy) e 1在点 (0, 1) 处的切线方程；
订
线
内
不
要
答
题
）
1
（2）求极限 lim x ； ln(x31) x
1
（3）设函数 f (x) ax3 bx2 cx 2 在 x 1点取极小值 0，且该函数的图像以 (0, 2) 为 拐点，求 a ， b ， c 的值。
0 f (b) f (a) 1 (b a) 。 4
。
8
复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 A》（上）试题（答案）
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） y 2x 1 0 ；（2） 3 e ；
（3） a
1，b
0，c
3；（4）
1 (1
（4）设一元函数
f
满足 xf (x)dx
arcsin
x C （ C 是任意常数），求
1 dx ； f (x)
（5）求定积分 ( 1 cos 2x | x | sin 3 x)dx ；
2
（6）若 lim x a x a xe2xdx ，求常数 a ；
x x a
（7）已知 a1 (2, 4,0) ，a2 (2, 1,1) ，a3 (4, 1, t) ，问 t 为何值时，a1 ，a2 ，a3 线 性相关？
3
2．（本题满分 8 分）求点 (0, 1) 到曲线 y x2 x 的最短距离。
3．（本题满分
8
分）求曲线
y
lim
n
6 x(e nx (1
sin enx )（ x 2 )e3nx
x
(,
) ）与两条直线
y
1 2
x
和 x 1所围平面图形的面积。
4
4．（本题满分 9 分）问 为何值时，线性方程组
（8）已知 R 3 中的两组基为 a1 (1, 1, 1)T ， a2 (1, 1, 1)T ， a3 (1, 1, 1)T ，
和 b1 (1, 1, 1)T ， b2 (0, 1, 1)T ， b3 (0, 0, 1)T ，
求从基{ a1 ， a2 ， a3 }到基{ b1 ， b2 ， b3 }的过渡矩阵。
（
c
为任意非零常
1
1
数）；
1 0
0
2 0 0
（2）
S
0
1/
2
1/
2
，
S
T
AS
0
1
0
。
0 1/ 2 1/ 2
0 0 1
（3） A 与 B 相似。
6．（本题满分 9 分）证明：由于 f (x) (x x2 )sin 2n x ，则当 0 x 1时 f (x) 0 ，
当 x 1时 f (x) 0 ，因此 f 在 x 1点取[0, ) 上的最大值。于是
x2
x3
得驻点 x 2 。因为当1 x 2 时 g(x) 0 ；当 x 2 时 g(x) 0 ，所以 g(2) 1 为 4
极大值，且它是 g(x) 在 (1, ) 上的唯一极值，因此也是最大值，即
于是
g(x) x 1 1 ， x (1, ) 。 x2 4
f (b) f (a) 1 (b a) 1 (b a) 。
2
4
3
x2)2
C
；（5） 4
2 ；（6） 5 ；
3
2
（7）
9 5
；（8）
1 2
2 2 2
1 1 2
0 1
。
1
（ 装
2．（本题满分 8 分） 5 。 4
订
线
0,
x 0,
内 不
3．（本题满分
8
分）即求曲线
y
x 1 x 2
,
与两条直线 y 1 x 和 x 1所围
x0
2
要
答
平面图形的面积。答案： 1 ln 2 。