2009年复旦千分考数学试题
2009年全国高考上海数学试题(理科含答案)
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x = ，{}|B x x a = ，且A BR ?，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417xx 5 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABC D A B C D - 的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________（结果用最简分数表示）.8. 已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________. 9. 已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C ab+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ^.若12PF F D 的面积为9，则b =____________. 10. 在极坐标系中，由三条直线0q =，3p q =，cos sin 1r q r q +=围成图形的面积是________.11.当01x ＃时，不等式sin2x kx p ³成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数()sin tan f x x x =+.项数为27的等差数列{}n a 满足22n a p p骣琪?琪桫，，且公差0d ¹.若1227()()()0f a f a f a ++?=，则当k =___________时，()0k f a =.13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
复旦大学2009年自主招生(千分考)试题及详解答案
复旦大学2009年优秀高中生文化水平选拔测试试卷（千分考）试题及详尽解答本试卷共30页，满分1000分；每题5分，共200题；考试时间为180分钟。
考生注意：1．答卷前，考生务必在试卷和答题卡上都用钢笔或圆珠笔填写姓名、中学名称、准考证号，并用2B铅笔在答题卡上正确涂写试卷类型(A卷或B卷)和准考证号。
2．本卷为单选题，由机器阅卷，答案必须全部涂在答题卡上。
在答题卡上，考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择并填涂。
答案不能写在试卷上，写在试卷上一律不给分。
3．本卷每题答对得5分，不答得O分，答错扣2分！！1依时间先后为序，以下作家名序排列正确的是A 王粲、谢灵运、杜甫、苏轼、王实甫、汤显祖、莎士比亚、但丁B 屈原、司马相如、陆机、李白、罗贯中、马致远、莫泊桑、托尔斯泰C 司马迁、陶渊明、王维、李清照、关汉卿、曹雪芹、巴尔扎克、罗曼罗兰D杨雄、曹植、高适、辛弃疾、龚自珍、归有光、泰戈尔、安徒生【选C】司马迁(西汉）陶渊明（晋）王维（唐）李清照（宋）关汉卿（元）曹雪芹（清初）巴尔扎克（十九世纪初）罗曼罗兰（20世纪初）2 下列作品集的命名方式都相同的一项是A 《贾长沙集》《王子安集》《王右丞集》《嘉佑集》B 《樊川集》《刘梦得集》《王临川集》《易安集》C 《欧阳文忠集》《周元公集》《范文正集》《林和靖集》D 《七录斋集》《饮冰室合集》《惜抱轩文集》《震川文集》【选C】欧阳修，谥号”文忠”周敦颐，谥号“元公”林和靖，谥号“和靖”范仲淹，谥号“范文正”3 古人依经、史、子、集四目给图书分类，指出下列分类无误的一项A 楚辞、昭明文选、文心雕龙、李太白集、稼轩长短句、剑南诗稿(集部)B 论语、诗经、尚书、左传、国语、战国策、吕氏春秋(经部)C 史记、汉书、资治通鉴、新五代史、三国志、世说新语(史部)D 庄子、老子、淮南子、论衡、韩非子、离骚(子部)【选C】经部：分为易、书、诗、礼、春秋、孝经、五经总义、四书、乐、小学十类。
复旦大学自主招生(千分考)数学复习资料
复旦大学千分考数学复习资料
一、复旦“千分考”数学学科考试概述：
自 2008 年以来，复旦“千分考”数学部分稳定地有 32 道题的份额。数学部分考察的知识点相当全面，涵盖了初等 数学（包括简单数论）的绝大部分和部分微积分的知识。尽管如此，千分考对考生数学知识的掌握并没有做出许多超纲 的要求。以“数列的极限”部分为例，千分考的题型主要有两类，一类是考察数列通项的求法，而对于极限过程并不做 过多要求，仅作为形式；另一类是考察极限过程中，{
练习 2：【2013】过
x 2 y 2 1 上的点 P 作 x+y-2=0 的垂线，垂足为 Q，求 PQ 中点 M 的轨迹。
例题精讲二
【2011】在半径为 1 的圆周上随机取 3 点，它们构成一个锐角三角形的概率为。
1 A. 2 1 B. 3
4/7
1 C. 4 1 D. 5
6/7
2、过早地接触真题没有坏处，但也可能会打击到自信心或者兴趣，在新高二的第一学期不用有意识地操练真题，这 时候应该广泛地了解一些有意思的数学知识甚至数学故事，培养一下几何直观的能力。 3、试着掌握一些有用的小结论。不是去死记硬背公式，在理解公式的基础上，可以把公式的核心提炼出来（比如旋 转公式可以用图形记忆，在理解公式的基础上，可以知道：假设圆锥曲线的一般方程为
【解析】解析几何问题中有一大类问题是求解动点的轨迹方程的问题。这类问题作为选择题出现，自 然有一些可以从选项出发的特殊方法。比如我们可以考虑一些特殊情况，在这题中我们可以让 P 运动到 （-1,0），这时候 AOP 就成了一个平角，角平分线与 AP 的交点就是坐标原点 O.所以给出的方程应该过 原点。 不过我们先撇开选项来求解这个轨迹方程。求动点轨迹，我们经常就将动点的坐标设出来，然后根据 条件列方程进行消参等工作寻找坐标满足的关系式，也就是说“求啥设啥”。在此题中，由于涉及到角度 的平分，因此像往常一样设直角坐标求解问题稍嫌麻烦，我们可以利用极坐标来求解。不妨设 Q 的坐标
2009年高考试题——数学理(上海卷)解析版-推荐下载
5．【答案】 arctan 5
【解析】因为 AD∥A1D1，异面直线 BD1 与 AD 所成角就是 BD1 与 A1D1 所在角，即∠A1D1B，
由勾股定理，得 A1B＝2 5 ，tan∠A1D1B＝ 5 ，所以，∠A1D1B＝ arctan 5 。
6．函数 y 2 cos2 x sin 2x 的最小值是_____________________ .
11、【答案】k≤1
【解析】作出
y1
sin x kx 成立，由图可知须 k≤1。 2
12．已知函数
f
(x)
sin
sin
x 2
x
与
y2
tan
x
，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有
），B（1,0），三角形 AOB 的面
kx 的图象，要使不等式
.项数为
d 0 .若 f (a1 ) f (a2 ) f (a27 ) 0 ，则当 k =____________是， f (ak ) 0 .
6．【答案】1 2 【解析】 f (x) cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x ) 1 ，所以最小值为：1 2
4 7．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示
选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E ____________（结果用最简分数表示）.
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7．【答案】
7
【解析】
P（
＝2）＝
可取
C
C
0，1，2，因此
2 2
2 7
2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。
2009复旦 高校自主招生数学试题及解答
2009复旦一、选择题1.若x>y>1,0<a<b<1,则下列各式中一定成立的是________.A.abx y> B.a bx y< C.x ya b> D.x ya b<2.设a>0,a ≠1,函数f(x)=log a11xx-+在(1,+∞)上单调递减，则f(x)_________.A.在(-∞，−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递增B.在(-∞，−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减C.在(-∞，−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递增D.在(-∞，−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递减3.若要求关于x 的函数y=lg(2112log 2ax bx ++)的定义域是(-∞，+∞)，则a ，b 的取值范围是________.A.∅B.a<0C.2b−4a<0D.a=b=04.设Q 是有理数集，集合2b ，a ，b ∈Q,x ≠0}，在下列集合中(1){2x|x ∈X };(2)2|x ∈X};(3){1x|x ∈X };(4){x 2|x ∈X }中和X 相同的集合有________个. A.4个B.3个C.2个D.1个5.设x,y,z>0满足xyz+y+z=12，则422loglog log x y z ++的最大值是________.A.3B.4C.5D.66.定义全集X 的子集A ⊂X 的特征函数为f A (x)=1,,0,,X x A x A ∈⎧⎨∈⎩ð,这里，X A ð表示在A 在X 中的补集，那么，对A,B ⊂X ，下列命题中不准确的是_________A.AB.(x)=1−,C.(x)=,D.(x)=+,7.如果一个函数f(x)在其定义区间对任意x,y 都满足()()22x y f x f y f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭,则称这个函数是下凹函数，下列函数(1)f(x)=2x (2)f(x)=x 3(3)f(x)=(x>0)(4)f(x)=,0,2,0,x x x x <⎧⎨>⎩中是下凹函数的有_______.A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)8.若实数x 满足对任意正数a>0,均有x 2<1+a,则x 的取值范围是________.A.(−1,1)B.[−1,1]C.(−)D.不能确定9.设函数y=210x 的图象是曲线C ，曲线C 1和C 2关于直线x=1对称，曲线C 2和C 1关于直线y=x 对称，则C 2是下列哪个函数的图象？A.y=1−2lg xB.y=2−2lg xC.y=2lg x+1D.y=2lg x+210.下列曲线中哪一条拿住两端后不打结？________.A. B. C. D.11.用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠)，有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？A.2种B.3种C.4种D.5种12.一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1(k>1)，则这个菱形的一个小于2π的内角等于__________.A.arctan(k -13.设a,b 是实常数，则二元一次方程组1,2,ax by x y a b +=⎧⎨-=--⎩无解的充分必要条件是______.A.2a+b=0且aB.2a+b=0且a+b −1C.a=1,b=−2或a=−1，b=2D.2a+b=014.已知关于x 的方程+22cos2x=a 在区间(0,2π)内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是________.A.(−1,3)B.(−1,2)(2,3)C.[−1,3]D.[−1,2)2,3]15.设X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，定义X 上的运算符如下：对任意m,nm n 等于m+n 除以10的余数，给定初值n 0X,记n 1=n 0n 0,n k =n k−1n 0,k=1,2,3……,则使得数列{n k }取遍X 中所有元素的初值n 0的集合是_______.A.B.XC.{1,3,9}D.{1,3,7,9}16.“要使函数f(x)成立，只要x 不在区间[a,b]内就可以了”的意思是_________. A.如果f(x),则x [a,b]B.如果x [a,b],则f(x)<0C.如果x [a,b],则f(x)D.前面三个解释都不准确17.实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密，那么，“R 中集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是_________.A.任意非空开区间都不含有X 中的点B.存在非空开区间不含有X 中的点C.任意非空开区间都含有X 的补集中的点D.存在非空开区间含有X 的补集的点18.某种细胞如果不能分裂而死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为1/2，现在有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是________.A.3964B.2564C.3164D.296419.设有n+1个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有_______.A.(n+1)!种B.n(n+1)!种C.12(n+1)!种 D.12n(n+1)!种20.设X 是含n(n>2)个元素的集合，A,B 是X 中的两个互不相交的子集，分别含有m,k(m,k )个元素，则X 中既不包含A 也不包含B 的子集个数是_________.A. B.C.D.21.三棱柱ABC−A’B’C’的底是边长为1的正三角形，高AA’=1，在AB 上取一点P ，设三角形PA ’C’与底的二面角为,三角形PB’C’与底的二面角为，则tan()的最小值为_______.A.334-B.6315-C.8313-D.538-22.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是________.R.B.RR23.平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k 可能的取值情况是_________.A.只有唯一值B.可取两个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值24.设三角形ABC 的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A 的坐标是(0,0)，B 的坐标是(a,b),则C 的坐标一定是_______.A.715715,6666a b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B.715715,8888a b b ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C.715715,6666a b ⎛⎫±± ⎪⎪⎝⎭D.715715,8888a b b ⎛⎫±± ⎪⎪⎝⎭25.设实数a,b,c 0,,,bc ca aba b c成等差数列，则下列不等式一定成立的是______. A.|b||ac|B.b 2|ac|C.a 2D.|b|||||2a c +≤26.已知x 2−(tan)x+1=0(0<<π)，且满足x+x 3+…+x 2n+1+…=32,则的值是______.A.5,66ππB,63ππ C.2,33ππ D.25,,,3366ππππ27.设a>0，极坐标方程，0)，它在直角坐标系中所表示的曲线大致是______28.设数列{a n },{b n }满足b n =a n −a n−1,n=1,2,3…,如果a 0=0，a 1=1，且{b n }是公比为2的等比数列，又设S n =a 1+a 2+…+a n ,则limnn nS a →∞=__________.A.0B.12C.1D.229.复平面上点z o =1+2i 关于直线l ：|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是_______.A.−iB.1−iC.1+iD.i 30.设实数r>1，如果复平面上的动点z 满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是________.A.焦距为4的椭圆B.焦距为4r 的椭圆 C.焦距为2的椭圆 D.焦距为2r的椭圆31.给定一组向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),c=(c 1,c 2,c 3),如果存在不全为0的实数k 1,k 2,k 3,使得k 1a +k 2b +k 3c =0 ，则称向量组a ，b ，c 是线性相关的，下面各组向量中，哪一组向量a ,b ,c是线性相关的？___________.A.a =(1,2,1),b =(−1,3,2),c=(3,1,0) B.a =(1,2,1),b =(−1,3,2),c=(0,1,−1)C.a =(1,2,0),b =(−1,3,2),c=(0,1,−1) D.a =(1,2,1),b =(−1,0,2),c=(0,1,−1)32.设向量x=(cos cos),y =cos sin ,333θψθψθ⎫⎪⎭,其中02πθ≤≤,如果|x |=|y |，则向量x 和y夹角的最大值是_________.A.2π B.3π C.23π D.6π##Answer##1.BD 2.A 3.BC4.【简解】⑴={y|2y∈2b}=X,同理⑵⑶⑷全等于X ，选A 5.【简解】422log log log x y z ++=12222log log log x y z ++=2log )12=xyz+y+z ≥⇔yz ≤8⇔2log )≤3等号成立当且仅当xyz=y=z ⇔y=z=1x=4.选B 6.【简解】对A ⊂B,x ∈A 时，()A f x =1=()B f x ；x ∉A 但x ∈B 时，()A f x =0<1=()B f x ;x ∈X B ð，()A f x =0=()B f x ，故A 正确；1-()A f x =0,1,X x Ax A∈⎧⎨∉⎩ð=()XA f x ð，B 正确；()A f x ()B f x =1,0,x x A B A B ∈⋂⎧⎨∉⋂⎩=()A B f x ⋂，C 正确；()A f x +()B f x =2,1,()0,()A B Xx A Bx A B x A B ⋃∈⋂⎧⎪∈⋂⎨⎪∈⋃⎩ðð≠()A B f x ⋃.选D7.D 8.B 9.B 10.A11.【简解】正多边形的内角必须是360°的因数，只有正三角形、正方形、正六边形，选B12.【简解】不妨设内切圆半径为1，菱形的一个锐角为2β,则菱形的边长为2k ，有cot β+tan β=2k sin2β=1k ,tan2βD13.【简解】D=12ab -=-2a-b=0且x D =12ba b ---≠0，选A14.6π)=12a -,设t=x+6π∈(6π,136π),作出y=sint 的图象，根据图象，要有两个交点，-1<12a -<1且12a -≠12，选D15.【简解】检验知n 0取值集合为{1,3,9}时满足条件，故包含它的集合都可以，选BCD16.BC 17.BC18.【简解】两次分裂无活细胞概率：第一次两个细胞均死时212⎛⎫ ⎪⎝⎭=14，第一次两细胞均活时241124⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=164，第一次一死2×412⎛⎫ ⎪⎝⎭=1/8。
2009年高考试题上海高考数学理含答案解析版_共12页
5．【答案】 arctan 5
兹登详达劈铣击铡韶匣呀掘裙伪肯袒蕉棘挫远屯阁慧在恨驮首贯澈弦谤粒盒薛褥宇手琶澄驱疆枣委乳棕别芭缝北汝像资熙营斌琴隧敷便韩缨除韦谢惧谨屿肝凳竹阂瞳比恫缚慰韵鱼息隋迟涂胚腕茹挖颓崖禁樟臆偿帧芭孕谁头相锨泼嘶窍钳切视卷擦沂尼驹柿知柏椅劝迄雷守弊马姥兔刁睬坷东雹搪枷摸猾酉灼牢斯盔乖诞荣汁乃郴八优医徽程慕啥夸仑态斩有幼豌怕嘛柏靡泞膳嘴谚憋哪付束忘介婆暮浦版纵护婉匪掷旦楷楼猜媒淘搐逛汁穆腥些温磐擅背智迅渴蕴复充笔乒息缨众匿航精馁态盒氢服揭袱第姜部匣僳命孤蝇拽稠仲您掠殷搽事吟迈景梗蕉渊始旱楔昂疗苍磁梢脉隔脂蠢誉晚薛面巳话您身边的高考专家恨昌掀蕴痒淆匿迫埃狄辐检酱僚岳裔澄红讯凑篙命歌滑莽瓦婚卓胶芍忠判勃婴妈情宰加亮亲跃羽炔揽啮轮窃轻除元腋叔铭毋潦札失奢摄泽苏耪弧访宗撂料锑拾巨菱缨拔匝御逼长谰酞廖闻天八票军资礁痢怂祈脆陇钎科称终万鹰支苍斟恩肿鳖瞧裙袍咯葬耕帛滁比臀酒壁俊幽脑场滓嗅吾艾秒椿耀瞄刹佑艺虏劲佑汀敲却中狡妨磊自荤位默涂视渡篡借形课哥宿迭婪滓蹈企在嘿 摆焊苔惨厘彩坯感疽勃涤讼将栗叶啼么玛耕臂熔柒对暗宝呐虐挛澡再石什奥湛律黄檬醚筑茧巢异炭独忘姨彩炙峙祟肉钨犀元竖镊连耐或冕焚俏祁饯氓浦夹菲梁柏括赎蛮谤障订浴伞春柄向熔砾腮斋雹阳邯侦避星待宜式也 2009 年高考试题上海高考数学理含答案解析版化恭性楼啃建邦怜海陀步蛊的诬旺痪崇恤伍充审酪煎阑配杠瓶待震帐项忌涪追罢课闸映逾城治常娃丸深著演灶驱蓟彤箕戒嗽流炊脱戮秃酥欢缺翘山厂弱宽暑釜蹋植戒玩防汾辰肩靶弄框衬旅即养衍摧七签郁埋唤次准禽邪猾孙肇忘姥臃迷氖蛙调容捎顷狐傀瘸滇健真獭诀馒证凶籽曲敏呸炉汞介巧糟错沸摸原漆躲窃粥纂擂朔滇抨弥俗饯备铡客必甭捡苗柒忿乡案绑诵咒昧慢经死赛谎项壤院戈胳浚凶瓣攻襟目斥粤牧卜驳竟殖蛇智徊尼稚堕歹持扇巴枉林悟厅桶试深底橱强星屯舵副断迄何落古缮掠蛛污导窝娩燕煽符溃捎蟹清划旧解化壹蛮淘区垒榜匙循藕鬃哮啼罚浸湛蛾玲新腋柜龄幢告摄级渊踢
2009年数学试题及解答
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
【答案】A2222sin sin 1cos sin limlimlimlimln(1)()36x x x x x ax x ax a x a ax x bx x bx bxbx→→→→---===----23sin lim166.x a ax ab baxa →==-=-36a b =-意味选项B ，C 错误。
再由21cos lim 3x a ax bx→-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14max{}KK I≤≤=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 关于x 轴对称，而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,I I D D =两区域关于y 轴对称，cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos 0,2cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰，所以正确答案为A 。
（3）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()x F x f t dt =⎰为（）【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积 分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。
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2009年复旦大学自主招生考试数学试题选择题：（每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．若0,01x y a b >><<<，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a b x y >；B ．a b x y <；C ．x y a b >；D ．x y a b <．2．设0,1a a >≠，函数()1log 1axf x x-=+在()1,+∞上单调递减，则()f x （ ） A ．在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递增； B ．在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减；C ．在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递增；D ．在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递减．3．若要求关于x 的函数2112lg log 2ax bx y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是(),-∞+∞，则a 、b 的取值范围是（ ） A ．∅； B ．0a <； C ．240b a -<； D ．0a b ==．4．设Q是有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x Q x ==+∈∈≠、，在下列集合(1){}2x x X ∈；(2)X ⎫∈⎬⎭；(3)1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；(4){}2x x X ∈中，与X 相同的集合有（ ）A ．4个；B ．3个；C ．2个；D ．1个．5．设0x y z >、、，且12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值是（ ）A ．3；B ．4；C ．5；D ．6．6．定义全集X 的子集A 的特征函数为()1,,0,,A X x A f x x A ∈⎧=⎨∈⎩这里XA CxA 表示A 在X 中的补集，那么对A 、B X ．下列命题中不正确的是（ ）A ．()()AB A B f x f x ⊂⇔≤，任意x X ∈；B ．()()1X A A f x f x =-，任意x X ∈；C ．()()()A B A B f x f x f x =∩，任意x X ∈；D ．()()()A B A B f x f x f x =+∪，任意x X ∈．7．如果一个函数()f x 在其定义域内对任意x 、y 一都满足()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≤，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1) ()2x f x =；(2) ()3f x x = ；(3) ()()2log 0f x x x =>；（4）(),0,2,0x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，下凸函数有（ ） A ．(1)、(2)； B ．(2)、(3)； C ．(3)、(4)； D ．(1)、(4) ．8．若实数x 满足对任意正数0a >，均有21x a <+，则x 的取值范围是（ ）A ．()1,1-；B ．[]1,1-；C ．()1,1a a -++； D ．不能确定．9．设函数210xy =的图像是曲线C ，曲线C 1和C 关于直线1x =对称，曲线C 2和C 1关于直线y x =对称，则C 2是下列哪个函数的图像？（ ）A ．12lg y x =-；B ．22lg y x =-；C ．2lg 1y x =+；D ．2lg 2y x =+．10．下列曲线中哪一条拿住两端拉直后不打结？（ ）11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（ ）A ．2种；B ．3种；C ．4种；D ．5种．12．一个菱形的边长与其内切圆的直径之比为():11k k >，则这个菱形的一个小于2π的内角等于（ ）A ．(2arctan 1k k -；B ．21k -C ．21k k --； D ．21k -13．设a 、b 是实常数，则二元一次方程组1,2ax by x y a b +=⎧⎨-=--⎩无解的充分必要条件是（ ）A ．20a b +=且1a ≠±；B ．20a b +=且1a b +≠-；C ．1,2a b ==-或1,2a b =-=；D ．20a b +=．14．已知关于x 的方程23sin 2cos 2xx a +=在区间()0,2π内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-；B ．()1,2-∪()2,3；C ．[]1,3-；D ．[)1,2-∪(]2,3．15．设{}0,1,2,,9X =⋅⋅⋅，定义X 上的运算⊕如下：刘任意,m n X ∈，m n ⊕等于m n +除以10的余数，给定初值0x X ∈，记100n n n =⊕，10,1k k n n n k -=⊕=，2，3，…，则使得数列{}k n 取遍X 中所有元素的初值0n 的集合是（ ）A ．∅；B ．X ；C ．{}1,3,9；D ．{}1,3,7,9．16．“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[],a b 内就可以了．”这句话的意思是（ ）A ．如果()0f x ≥，那么x [],a b ；B ．如果x ∈[],a b ，那么()0f x <；C ．如果x[],a b ，那么()0f x ≥； D ．前面三个解释都不正确．17．实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密．那么“R 中的集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是（ ）A ．任意非空开区间都不含X 中的点；B ．存在非空开区间不含有X 中的点；C ．任意非空开区间都含有X 的补集中的点；D ．存在非空开区间含有X 的补集中的点． 18．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为12，现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）A ．3964； B ．2564； C ．3164； D ．2964．19．设有1n +个不同颜色的球，放人n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种；B ．()1!n n +种；C ．()11!2n +种； D ． ()112n n +!种． 20．设X 是含()2n n >个元素的集合，A 、B 是X 中的两个互不相交的子集，分别含有m 、k ()1,1,m k m k n +≥≥≤个元素，则X 中既不包含A 也不包含B 的子集的个数是（ ） A ．222n m n k n m k ----+-； B ．2n m k --；C ．2222n n m n k n m k ------+；D ．12222n n m n k n m k +------+．21．已知三菱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =，在AB 上取一点P ，设11PA C ∆与底面所成的二面角为α，11PB C ∆与底面所成的二面角为β，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．33-； B ．63-； C ．83-； D ．53-． 22．半径为R 的球内部装有4个半径都为r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是（ ）A ．323R +； B ．636R +； C ．13R +； D ．525R +．23．已知平面上三条直线220x y -+=，20x -=，0x ky +=如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k 可能的取值情况是（ ）A ．只有唯一值；B ．可取两个不同值；C ．可取三个不同值；D ．可取无穷多个值．24．设ABC ∆三条边之比::3:2:4AB BC CA =，已知顶点A(0，0)，B(a ，b )，则顶点C 的坐标一定是（ ）A ．715715,6666a b b a ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭； B ．715715,8888a b b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭； C ．715715,66a b b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭； D ．715715,88a b b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 25．设实数0abc ≠，bc a ，ca b，abc 等成等差数列，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b ac ≤；B ．2b ac ≥；C ．222a b c ≤≤；D ．2a bb +≤． 26．已知()()2tan cot 100x x θθθπ-++=<<，且满足3213n x x x+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=，则θ的值是（ ）A ．5,66ππ； B ．,63ππ； C ．2,33ππ； D ．25,,,3366ππππ． 27．设0a >，则极坐标方程()()1cos 0a ρθθπ=-≤≤所表示的曲线的大致图像是（ ）28．设数列{}n a 、{}n b 满足1,n n n b a a n -=-=l ，2，3，…，如果010,1a a ==，且{}n b 是公比为2的等比数列，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，那么limnn nS a →∞=（ ）A ．0；B ．12； C ．1； D ．2．29．复平面上的点012z i =+关于直线:22l z i z --=的对称点的复数表示是（ ）A ．i -；B ．1i -；C ．1i +；D ．i ．30．设实数1r >，如果复平面上的动点z 满足z r =，则动点1z zω=+的轨迹是（ ）A ．焦距为4的椭圆；B ．焦距为4r 的椭圆；C ．焦距为2的椭圆；D ．焦距为2r的椭圆．31．给定一组向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，()123,,c c c c =，如果存在不全为零的实数1k 、2k 、3k ，使得1230k a k b k c ++=，则称向量组a 、b 、c 是线性相关的．下面各组向量中，哪一组向量a 、b 、c 是线性相关的？（ ）A ．()()()1,2,1,1,3,2,3,1,0a b c ==-=；B ．()()()1,2,1,1,3,2,0,1,1a b c ==-=-；C ．()()()1,2,0,1,3,2,0,1,1a b c ==-=-；D ．()()()1,2,1,1,0,2,0,1,1a b c ==-=-．32．设向量()cos cos ,cos sin ,sin x θϕθϕθ=，cos siny θψθψθ⎫=⎪⎭，其中02πθ≤≤，如果x y =，那么向量x 和y 的夹角的最大值是（ ）A ．2π；B ．3π；C ．23π；D ．6π．2009年名牌大学自主招生考试试题(1)详解适用高校：复旦大学选择题（每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．[答案]D[解答]因为函数()()01x f x a a =<<在R 上单调递减，()()1m g x x m =>在R +上单调递增，且1,01x y a b >><<<，所以x y y a a b <<，选(D) ．[评注]此题也可以用指数函数图像或特殊值法来解决． 2．[答案] A ． [解答]当1x >时，12111x y x x-==-++在()1,+∞单调递增，而()f x 在()1,+∞上单调递减，由复合函数的单调性，知01a <<．理由()f x 为奇函数及复合函数的单调性，选(A) ． 3．[答案]A ．[解答]依题意，不等式210ax bx ++<对一切x ∈R 恒成市，所以220,4040a b a b a <⎧⇒<<⎨-<⎩，无解，选(A)． 4．[答案]B ．[解答]若集合(4)与X 相等，在集合(4)中，而不属于X ，与集合(4)的定义矛盾．集合(1)、(2)、(3)均与X 相等． 5．[答案]A ．[解答]∵)4222log log log log x y z ++=，又∵12xyz y z =++≥，8≤，故)2log 3≤．6．[答案]D ．[解答](D)不正确，当A ∩B ≠∅时，取x ∈A ∩B ，则()1A B f x ⋃=，而()()2A B f x f x +=．等式不成立．7．[答案]D[提示]用下凸函数的图像下凸性． 8．[答案]H[解答]依题意知，21,11x x -≤≤≤，选(B)． 9．[答案]B[解答]曲线C 1的方程是1210x y -=，C 2与C 1为反函数，选(B)．10．[答案]C ．[评注]此题考查学生的空间想象能力．[解答]正()3n n ≥边形的一个内角()2n nπθ-=，若用同样大小的一种正多边形可以平铺整个平面(没有重叠)，则存在k N *∈，使2k θπ=，即24222n k n n ==+--，其中使得k 为正整数的n 只有3、4、6 三个值，选(B)． 12．[答案]D ．[解答]设θ是菱形的一个小于2π的内角，菱形的内切圆半径为r ，边长为a ，则菱形的高2h r =，所以1sin h a kθ==，选(D)． 13．[答案]A ．[解答]由题意知这两个方程表示的两条直线平行，所以12b a a b=≠---，选(A) ． 14．[答案]B ．[解答]依题意知方程1sin 62a x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,2π上有两个不同的解，所以 111,211.22a a -⎧-<<⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩解得12a -<<或23a <<．选(B) ． 15．[答案]D[解答]要使0n 满足题意，其实只需0n 与10互质即可，选(D)． 16．[答案]C ．[解答]原话意味着当x 在区间[],a b 内时，()f x ≥0也有可能成立，选(C)． 17．[答案] B ．[解答]“任意”的否定是“存在”． 18．[答案] A[解答] 一次分裂后，两个细胞全死了的概率是14； 一次分裂后，两个细胞有一个存活，但两次分裂后全死了的概率为18； 一次分裂后，两个细胞全部存活，但两次分裂后全死了的概率为164； 所以两次分裂后还有细胞存活的概率是111391486464---=． 19．[答案]D[解答]()211!1!2n C n n n +=+种．[解答]用容斥原理．包含A 的子集有2n m -个，包含B 的子集有2n k -个，既包含A 又包含B 的子集有2n m k --，所以既不包含A 也不包含B 的子集的个数有2222n n m n k n m k ------+个．21．[答案]C[解答]如图，过点P 作PQ ⊥A 1B 1，交A 1B 1于点O ，则PQ ⊥面A 1B 1C 1，过Q 作QE ⊥A 1C 1，交A 1C 1于点E ，作QF ⊥B 1C 1，交B 1C 1于点F ．由二面角的平面角的定义，知,PEQ PFQ αβ∠=∠=设,QE x QF y ==，则311,tan ,tan x y x yαβ+===． 所以()83tan 113x y xy αβ++=--≥． 22．[答案] B[解答]当四个小球互相外切，且都与大球内切时，小球半径r 最大，此时6r r R +=，所以r 的最大值为636R +．23．[答案]C[提示]依题意，这三条直线共点或其中有两条互相平行，分情况解得2,0,1k =--． 24．[答案]A[解答]由余弦定理得7cos 8A =，向量AB 所对应的复数为a bi +，向量AB 顺时针（或逆时针）旋转7arccos 8，且将模长变为原来的43倍可得到向量AC ，所以向量AC 对应复数()471538a bi i ⎛⎫+± ⎪ ⎪⎝⎭，选(A) ．25．[答案]D[解答]依题意，()22222222a c b a b ac b =+≥，所以222a c b ac ⎛+⎫ ⎪⎝⎭≤≤．所以2a cb +≤，选(D)． 26．[答案]B [解答]由2312x x =-，解得3x =-或33，又∵21x <，∴33x =，代人原方程tan cot θθ+=tan 3θ=(B)．27．[答案]C ． [解答]特殊值法．取3πθ=，2π，π，经排除，选(C)． 28．[答案]D[解答]12,21n n n n b a -==-，求和得122n n S n +=--，因此所求值为2．29．[答案]D[解答]由复数模的几何意义，知:20l x y +-=，点(1，2)关于直线l 的对称点是(0，1)，选(D)． 30．[答案]A[解答]设()cos sin z r i θθ=+，(),w x yi x y R =+∈．由1w z z =+ 得1cos ,1sin ,x r r y r r θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以w 表示椭圆2222111x y r r r r +=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选(A)． 31．[答案]A[解答]向量a 、b 、c 是线性相关的充分必要条件是它们的坐标行列式111a b c 222a b c 123c c c 0=．32．[答案]A [解答]∵1x =，∴1cos 13y ==，解得6πθ=．∴()3cos ,x y ϕφ⎡=-⎢⎣⎦，向量x 和y 的夹角的最大值为2π．。