2007年复旦千分考数学试题
2007年复旦大学(经济学基础综合)真题试卷
2007年复旦大学（经济学基础综合）真题试卷(总分：32.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.假设消费者的效用函数为u(x,y)=ln(x 0.5 +y)，同时消费者所面临的商品空间由商品x和商品y构成。
在二维的商品空间中．如果我们以y的数量为纵轴，以x的数量为横轴，那么消费者在此商品空间中的无差异曲线的斜率为( )（分数：2.00）A.一1/(2x 0.5 ) √B.-(y+x 0.5 )/(2x)C.一1／(2x 0.5 +1)D.—(y+x 0.5 )/(2yx 0.5 )解析：解析：无差异曲线的斜率等于两种商品边际效用比值的负数。
用数学公式表示为：根据题目给出的效用函数，可以得到代入上式，可以得到：2.地主A拥有一块土地的所有权，他雇佣农民B和C在其土地上进行生产。
地主A和农民B、C订有合约，根据合约，地主A每年支付农民B和C一个固定工资w。
对此，经济学家Qheung认为，固定工资加土地产出提成的合约形式能更好地激励农民努力劳动，同时还有助于地主和农民之间进行恰当的风险分担．请问Cheung所提出的合约形式期望解决以下的哪种问题?( )（分数：2.00）A.道德风险(Moral Hezard) √B.搭便车问题(Free Rider)C.信号甄别(Information Screening)D.逆向选择(Adverse Selection)解析：解析：农业生产的一个特性是：地主监督农民生产过程中的劳动投入非常困难。
如果以固定工资形式雇用农民，农民很可能在生产过程中不努力劳动，因为无论他投入多少劳动，他得到的报酬是一样多的，并且他还不会被地主发觉他不努力劳动。
因此，这就产生了道德风险，因为地主无法监督农民生产中的行为。
如果采用固定工资加土地产出提成的合约形式，那么农民的收入就与他的劳动付出相关了。
农民投入劳动多一点，产出多一点，提成也就多一点。
因此，农民会更努力劳动。
2007年复旦
2007年复旦59．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 D 个。
A.20 B.26 C.30 D.3660．若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb ，则lg(a-1)+lg(b-1)= D 。
A.lg2B.1C.不是与a 、b 无关的常数D.0 61．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则z1的值是 DA ．3＋4i B.i 5453+ C.i 154153+ D.i 254253-62．已知函数f(x)=cos(x k 2316++π)+cos(x k 2316--)=23sin(x 23+π),其中x 为实数且k 为整数。
则f(x)的最小正周期为 C A ．3πB.2πC.πD.2π63．已知A ＝｛（x,y ）∣y ≥x 2｝,B={(x,y)∣x 2+(y-a)2≤1}。
则使A ∩B ＝B 成立的充分必要条件为 B A.a=45 B.a ≥45 C.0<a<1 D.a ≥164．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝3a ，连接A ，E 两点以及C ，D 两点。
则AE 和CD 之间的最小夹角为 CA.9πa B. 3πa C.3πD.以上均不对65．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4,(n ≥1),且a 1=9, 其前n 项之和为S n ,则满足不等式∣S n -n-6∣<1251的最小整数是45 BA.6 b.7 C.8 D.966．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 DA.120B.260C.340D.42067．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3。
已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32。
2007年高考上海卷数学理科试卷含答案.doc
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ．3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -∙-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ． 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AAＣ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m m m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围； （3的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且 2． 32-3．）（11≠-x x x4．7log 3 5．161 6． π 7． 3.0 8． )3(122+=x y 9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51t a n11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan ． 解法二： 由题意，可得CB1B1A A1C体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，；④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ． 对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm ．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm ．21． 解：（1） ()()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤． （2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ．45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a c t x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得 122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x ka b y 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
复旦大学自主招生(千分考)数学复习资料
复旦大学千分考数学复习资料
一、复旦“千分考”数学学科考试概述：
自 2008 年以来，复旦“千分考”数学部分稳定地有 32 道题的份额。数学部分考察的知识点相当全面，涵盖了初等 数学（包括简单数论）的绝大部分和部分微积分的知识。尽管如此，千分考对考生数学知识的掌握并没有做出许多超纲 的要求。以“数列的极限”部分为例，千分考的题型主要有两类，一类是考察数列通项的求法，而对于极限过程并不做 过多要求，仅作为形式；另一类是考察极限过程中，{
练习 2：【2013】过
x 2 y 2 1 上的点 P 作 x+y-2=0 的垂线，垂足为 Q，求 PQ 中点 M 的轨迹。
例题精讲二
【2011】在半径为 1 的圆周上随机取 3 点，它们构成一个锐角三角形的概率为。
1 A. 2 1 B. 3
4/7
1 C. 4 1 D. 5
6/7
2、过早地接触真题没有坏处，但也可能会打击到自信心或者兴趣，在新高二的第一学期不用有意识地操练真题，这 时候应该广泛地了解一些有意思的数学知识甚至数学故事，培养一下几何直观的能力。 3、试着掌握一些有用的小结论。不是去死记硬背公式，在理解公式的基础上，可以把公式的核心提炼出来（比如旋 转公式可以用图形记忆，在理解公式的基础上，可以知道：假设圆锥曲线的一般方程为
【解析】解析几何问题中有一大类问题是求解动点的轨迹方程的问题。这类问题作为选择题出现，自 然有一些可以从选项出发的特殊方法。比如我们可以考虑一些特殊情况，在这题中我们可以让 P 运动到 （-1,0），这时候 AOP 就成了一个平角，角平分线与 AP 的交点就是坐标原点 O.所以给出的方程应该过 原点。 不过我们先撇开选项来求解这个轨迹方程。求动点轨迹，我们经常就将动点的坐标设出来，然后根据 条件列方程进行消参等工作寻找坐标满足的关系式，也就是说“求啥设啥”。在此题中，由于涉及到角度 的平分，因此像往常一样设直角坐标求解问题稍嫌麻烦，我们可以利用极坐标来求解。不妨设 Q 的坐标
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.理)含答案 (2)
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -•-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是 ．6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ．10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件：． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，1C 1B1A13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mm m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ， 114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1“果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且2． 32-3． ）（11≠-x x x 4．7log 35． 161 6． π 7． 3.08． )3(122+=x y9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题 号12131415答 案ACBD三、解答题（第16题至第21题）16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ， 51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二： 由题意，可得 体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，，1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin ． 17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ， 10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数． 当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数，xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值． 12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是：① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ． 对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ．当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ． 对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-m m ． 对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．21． 解：（1）()()012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222． 2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2007年上海高考理科数学真题及答案
2007年上海高考理科数学真题及答案考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的定义域是 ．3)4lg(--=x x y 2．若直线与直线平行，则 ． 1210l x my ++=：231l y x =-：=m 3．函数的反函数 ．1)(-=x xx f =-)(1x f 4．方程 的解是 ．96370x x -∙-=5．若，且，则的最大值是 ． x y ∈+R ，14=+y x x y ∙6．函数的最小正周期 ． ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y =T 7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 12345，，，， （结果用数值表示）．8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是15422=-y x ． 9．对于非零实数，以下四个命题都成立： a b ， ① ； ② ； 01≠+aa 2222)(b ab a b a ++=+ ③ 若，则； ④ 若，则．||||b a =b a ±=ab a =2b a =那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ． a b ，10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个 αβ， 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是12l l ，α12s s ，12l l ，β直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 12t t ，1s 2s 1t 2t 1l 2l 面直线的充分条件：．11．已知为圆上任意 P 1)1(22=-+y x 一点（原点除外），直线 O OP 的倾斜角为弧度，记． θ||OP d = 在右侧的坐标系中，画出以 ()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程a b ∈R ，i ,i 2++b a i 的两个根，那么的值分别是（ ） 02=++q px x p q ， Ａ． Ｂ． 45p q =-=，43p q =-=， Ｃ．Ｄ．45p q ==，43p q ==，13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ） a b ，b a < Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ． 22b a <b a ab 22<ba ab 2211<b a a b <14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形xOy i j，x y ， 中，若，则的可能值个数是（ ）ABC j k i AC j i AB+=+=3,2k Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 )(x f )(x f 2()f k k ≥ 出成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） (1)f k +≥2)1(+k Ａ．若成立，则当时，均有成立 (3)9f ≥1k ≥2()f k k ≥ Ｂ．若成立，则当时，均有成立(5)25f ≥5k ≤2()f k k ≥CB1C 1B 1A AＣ．若成立，则当时，均有成立 49)7(<f 8k ≥2)(k k f < Ｄ．若成立，则当时，均有成立25)4(=f 4k ≥2()f k k ≥三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱中，．求111C B A ABC -1,90===∠BC AC ACB直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． B A 1C C BB 11 17．（本题满分14分）在中，分别是三个内角的对边．若，ABC △a b c ，，A B C ，，4π,2==C a ，求的面积． 5522cos=B ABC △S18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数，常数．0()(2≠+=x xax x f )a ∈R （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；)(x f （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． )(x f [2)x ∈+∞，a20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，123n a a a a ，，，，n n a a =112-=n a a ，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的1a a n =1+-=i n i a a 12i n = ，，，数列就是“对称数列”．01mm m m C C C ，，，（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，{}n b 1234b b b b ，，，21=b ．依次写出的每一项；114=b {}n b （2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项{}n c 12-k 1>k 121k k k c c c +- ，，，为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大504-{}n c 12-k S k 12-k S 值？并求出的最大值；12-k S （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得1>m m 2依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前211222m - ，，，，m 1500>2008项的和． 2008S21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作12222=+b y a x (0)x ≥12222=+cx b y (0)x ≤“果圆”，其中，，．222c b a +=0>a 0>>c b 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，0F 1F 2F 1A 2A 1B 2B x y轴的交点．（1）若是边长为1的等边三角形，求 012F F F △“果圆”的方程；（2）当时，求的取值范围；21A A >21B B ab（3的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”k k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理k 由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 2． 3．4． {}34≠<x x x 且32-）（11≠-x x x7log 35．6． 7． 8． 9．②④161π3.0)3(122+=x y 10． ，并且与相交（，并且与相交）21//s s 1t 2t //1t 2t 1s 2s 11．二、选择题（第12题至第15题）题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积，11111122ABC V CC S CC AC BC CC ==== △ ．∴211==CC AA 连接． ，1BC 1111111A C B C A C CC ⊥⊥ ，平面，⊥∴11C A C C BB 11 是直线与平面所成的角． 11BC A ∠∴B A 1C C BB 11 ，52211=+=BC CC BC ，则 ＝． 51tan 11111==∠∴BC C A BC A 11BC A ∠55arctan CB1B 1A A1C即直线与平面所成角的大小为． B A 1C C BB 1155arctan解法二： 由题意，可得体积，11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆==== ，21=∴CC 如图，建立空间直角坐标系． 得点， (010)B ，，，． 则，1(002)C ，，1(102)A ，，1(112)A B =-- ，，平面的法向量为．C C BB 11(100)n =，， 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， B A 1C C BB 11θB A 1nϕ 则 ， 11cos A B n A B nϕ==66arcsin,66|cos |sin ===∴θϕθ 即直线与平面所成角的大小为． B A 1C C BB 1166arcsin17．解： 由题意，得为锐角，，3cos 5B B =，54sin =B ， 10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A 由正弦定理得 ， ．710=c ∴111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= 18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，，，．%36%38%40%42则2006年全球太阳电池的年生产量为(兆瓦)．8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯ （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则． x 441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥解得．0.615x ≥ 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． %5.6119．解：（1）当时，，0=a 2)(x x f = 对任意，， 为偶函数．(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，)()()(22x f x x x f ==-=-)(x f ∴当时，， 0≠a 2()(00)af x x a x x=+≠≠， 取，得 ， 1±=x (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠， ，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠， 函数既不是奇函数，也不是偶函数． ∴)(x f （2）解法一：设， 122x x <≤ ， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121要使函数在上为增函数，必须恒成立． )(x f [2)x ∈+∞，0)()(21<-x f x f ，即恒成立． 121204x x x x -<> ，)(2121x x x x a +< 又，． 421>+x x 16)(2121>+∴x x x x 的取值范围是．a ∴(16]-∞， 解法二：当时，，显然在为增函数．0=a 2)(x x f =[2)+∞，当时，反比例函数在为增函数， 0<a xa[2)+∞，在为增函数． xax x f +=∴2)([2)+∞， 当时，同解法一．0>a 20．解：（1）设的公差为，则，解得 ， {}n b d 1132314=+=+=d d b b 3=d 数列为．∴{}n b 25811852，，，，，， （2） 12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S ， k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k 当时，取得最大值．∴13=k 12-k S 的最大值为626． 12-k S （3）所有可能的“对称数列”是：① ； 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，， ② ； 2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，， ③ ； 122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，， ④ ． 1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，， 对于①，当时，．2008m ≥1222212008200722008-=++++= S 当时，15002007m <≤200922122008222221----+++++++=m m m m S ．2009212212---+-=m m m1222200921--+=--m m m 对于②，当时，．2008m ≥1220082008-=S 当时，．15002007m <≤2008S 122200821--=-+m m 对于③，当时，．2008m ≥2008200822--=m mS 当时，．15002007m <≤2008S 3222009-+=-mm对于④，当时，．2008m ≥2008200822--=m m S 当时，．15002007m <≤2008S 2222008-+=-mm21． 解：（1） ，()()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====， 于是，所求“果圆”方程为22223744c a b c ==+=， ，．2241(0)7x y x +=≥2241(0)3y x x +=≤（2）由题意，得 ，即． b c a 2>+a b b a ->-222 ，，得． 2222)2(a c b b =+> 222)2(a b b a ->-∴54<a b 又． ． 21,222222>∴-=>a b b a c b 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎭， （3）设“果圆”的方程为，．C 22221(0)x y x a b +=≥22221(0)y x x b c+=≤ 记平行弦的斜率为．k当时，直线与半椭圆的交点是0=k ()y t b t b =-≤≤22221(0)x y x a b+=≥，与半椭圆的交点是． P t ⎛⎫⎪⎪⎝⎭22221(0)y x x b c +=≤Q t ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭的中点满足∴P Q ，M ()x y ，2a c x y t ⎧-⎪=⎨⎪=⎩，得． 122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ， ． b a 2<∴22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 0=k 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是0>k k 1B l 22221(0)x y x a b+=≥． 22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在l k x kab y 22-=某一椭圆上． 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．0<k。
2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)
通过了三个星期的学习使我对视听语言有了进一步的认识，熟话说：“内行看门道，外行看热闹。
”以前看东西很肤浅，而现在开始思考为什么会这样或者那样，这些东西我能学到什么。
以前的学生上视听语言课没有配备的机子条件没有我们好，所以没有了实践的机会只得自己课下去探索，在这里我要感谢老师，是他争取到的机器能让我们得到课堂上的实践。
在这三星期的学习里我也学到了一些技巧，比如要避免大全景少用推拉，拍摄时间不宜超过六秒除非是要特殊表达的，要三级或二级跳，内反拍外反拍等。
除了实用技巧外还学到了以四要素为基础去评定那些不成熟的作品。
在剪辑音乐MV时要先把音乐放进去后再跟着节拍进行适当的调整，且画面与声音一定要协调，在剪辑中也可简慢或放快运动中的动作使之更能体现出运动之美，在谈论要素时千万不能把要素说成元素，因为视听语言也只发展了一百多年而已在学术界还没有元素这一说。
我今后也要特别注意的就是拍摄时避免完全以肩部视角去看“世界”，在贴近拍运动特写的同时还要保护好机子放灵活些，讲的体会也就这些了。
黄少郁经过这几个星期的学习，感慨颇深，却不知如何说起。
起初以为视听语言一如平常的专业课，放放动画片，讲讲理论知识，然后就枯燥的结束这门课程。
一切却出乎我的意料之外。
也许是我起初想的太肤浅，毕竟从来没接触过。
从接触摄象机那一刹那开始，我知道我之前想的纯属我个人的主观想法而已，老师通过让我们实际操作，自己动手，让同学自己从中体会，而不是按照书本上的内容死板的教课。
这是我第一次去面对镜头诠释我们自己想的东西，可是事与原违。
拍出来的东西与我们想象的相差甚远，第一次体会到理想与现实的背离，我才知道，拍摄并不是我们想象的那么简单，我们这一组虽然拍的不是很好，但是我们从中学到了很多，让我们知道了团结做一件事情的意义与快乐。
也给我们自己的大学生活灌注了一份快乐与回忆。
其实，让我感触最深的是我们班那群热爱摄影的男生，他们的作品与刻苦让我们为之叫好。
通过这门课的拍摄与认识，让我对视听语言一无所知到略懂一些，虽然不知道自己以后的方向，但是这门课确实让我受益匪浅。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(上海)
4 3 【解析】由题意，得 cos B ， B 为锐角， sin B ， 5 5
3π 7 2 ， sin A sin( π B C ) sin B 4 10
由正弦定理得 c
10 1 1 10 4 8 ， S ac sin B 2 ． 2 2 7 5 7 7
（结果用数值表示） ． 【答案】 0.3 【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的
2 1 C2 C3 3 0.3 。 概率是 P 3 C5 10
10．对于非零实数 a，b ，以下四个命题都成立： ① a
1 0； a
② (a b) a 2ab b ；
不成立；②显然成立；对于③：在复数集 C 中，|1|=|i|，则 a b a b ，所以③不成 立；④显然成立。则对于任意非零复数 a, b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 11．如图， A，B 是直线 l 上的两点，且 AB 2 ．两个半径相等的动圆分别与 l 相切于
A，B 点， C 是这两个圆的公共点，则圆弧 AC ， CB 与
18． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%． 以后四年 中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%） ． （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦） ；[来源:][来 源:学|科|网 Z|X|X|K]
§K] 5．以双曲线
x2 y2 1 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 4 5
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2007年复旦大学自主招生考试数学试题选择题（共150分，每题5分，答对得5分，答错倒扣2分，不答得0分）1.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）A ．20个；B ．26个；C ．30个；D ．36个．2.若1,1,a b >>且lg()lg lg ,a b a b +=+则lg(1)lg(1)a b -+-=（ ）A ．lg 2；B ．1；C ．不是与a b 、无关的常数；D ．03.已知z C ∈，若||24z z i -=-，则1z的值是（ ）A ．34i +；B ．3455i +；C ．341515i +；D ．342525i -．4．已知函数6161()cos(2)cos(2))333k k f x x x x πππ+-=++-++，其中x 为实数且k 为整数，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．3π；B ．2π； C ．π； D ．2π．5.已知集合()222{(,)|},{(,)|1}A x y y x B x y x y a =≥=+-≤，则使A B B =成立的充分必要条件为（ ）A ．54a =； B ．54a ≥； C ．01a <<； D ．1a ≥． 6.已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D E 、两点使得3aAD BE ==，联结A E 、两点以及C D 、两点，则AE 和CD 之间的最小夹角为（ ）A ．9a π；B ．3a π；C ．3π； D ．以上均不对． 7.已知数列{}n a 满足134(1),n n a a n ++=≥且19a =，且前n 项的和为n S ，则满足不等式1|6|125nS n --<的最小整数n 是（ ）A ．6 ；B ．7；C ．8；D ．9．8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）A ．120；B ．260；C ．340 ；D ．420.9．设甲乙两个袋子中各装有若干个均匀的白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为3:1.已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）A ．97；B ．4519；C ．3013；D ．4522．210．方程0543423322212321)(=---------=x x x x x x x x x x f 的实根的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个．11．已知a 、b 为实数，满足,1)(,1)(6059=--=+b a b a 则=-∑=601)(n n n b a （ ）A ．121；B ．49-；C ．0；D ．23．12．"21"=a 是“直线013)2(=+++ay x a 与直线03)2()2(=-++-y a x a 互相垂直”的（ ）A ．充分必要条件；B ．充分非必要条件；C ．必要非充分条件；D ．既非充分也非必要条件．13．设函数)(x f y =对一切实数x 均满足)2()2(x f x f -=+，且方程0)(=x f 恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为（ ）A ．0；B ．10；C ．12；D ．14．14．已知γβα、、分别为某三角形中的三个内角且满足γβαsin 2tan =+，则下列四个表达式：（1）1cot tan =•βα；（2）2sin sin 0≤+<βα；（3）1sin sin 22=+βα；（4）γβα222cos cos cos =+中，恒成立的是（ ） A ．（1）（3）； B ．（1）（4）； C ．（2）（3）； D ．（2）（4）．15．设12,n S n n N =++⋯+∈.则1lim2(32)nn n nS n S→∞+=+（ ）A ．2；B ．321； C ．161； D ．64.16.复数iia z212+-=()a R ∈在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限.17.已知4sin )(3++=x b x a x f (,a b 为实数)且3(10)5f lg log =（）,则()(3)f lg lg =（ ）A ．-5；B ．-3；C ．3；D ．随,a b 取不同值而取不同值.18.已知四棱锥,P ABCD -底面ABCD 是菱形，,3DAB π∠=PD ⊥平面ABCD ，线段PB AD =,点E 是PD的中点，则二面角P AB E --的平面角的余弦值为（ ）A ．12； B．5； C．14； D．14．19.在50的展开式中有理数项有（ ）A ．10个；B ．11个；C ．12个 ；D ．36个．20.已知棱长为a 的正方体内有两球互外切，且两球都与正方体的三个面相切，则两球的半径之和为（ ）A ．无法确定B ．a ； C．32a ； D．52a -． 21．在集合{1,2,...,11}中任选两个元素作为椭圆方程22221x y a b+=中的a 和b ，则能组成落在矩形{(,)|||11,||9}x y x y <<内的椭圆个数是（ ）A ．70；B ．72；C ．80；D ．88.22．设a b 、、c为非负实数，且满足方程682560-⨯+=，则a b ++c 的最大值和最小值（ ）A ．互为倒数；B ．其和为13；C ．其乘积为4；D ．均不存在.23.给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式2211n a a a =+≤的所有等差数列123,,,...,a a a 和式211n ii n a==+∑的最大值为（ ）A．1)2n +； B．2n ； C．1)2n +； D．2n . 24.设00(0)z z ≠为复平面上一定点，1z 为复平面上的动点，其轨迹方程为101z z z -=，z 为复平面上另一个动点满足11z z =-.则z 在复平面上的轨迹形状是（ ）A ．一条直线；B ．以01z -为圆心，01z 为半径的圆；C ．焦距为012z 的双曲线； D ．以上均不对.25.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为（ ）A．312a ； B．34a ； C．324a ； D．324a .26.已知函数()f x 的定义域为02（，），则函数()()()g x f x c f x c =++-在210<<c 时的定义域为（ ） A ．()1,2c c -+； B ．(),2c c -； C ．()1,2c c --； D ．(),2c c +.27.设函数()sin(2),(0)f x x φπφ=+-<<,()y f x =图像的一条对称轴是直线8x π=.则ϕ的值为（ ）A ．4π； B ．34π； C ．34π-； D ．2π.28.设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。
已知当[]3,2∈x 时，()f x x =-，则当[]0,2-∈x 时，()f x 的表达式为（ ）A ．3x a -++；B ．21x -+；C ．31x -+；D ．21x ++.29.当a 和b 取遍所有实数时，则函数22)sin 2()cos 35(),(b a b a b a f -+-+=所能达到的最小值为（ ）4A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．30.对任意实数,x y ,定义运算x y 为x y ax by cxy =++,其中,,a b c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知123=，234=且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x d x =,则d =（ ）A ．4-；B ．2-；C ．1；D ．4．2007年复旦大学自主招生考试数学答案选择题（共150分，每题5分，答对得5分，答错倒扣2分，不答得0分） 1．【答案】D【解答】枚举可得答案 2．【答案】 D【解答】依题意，得111()a b ab a b +=--=，（），所以()() 1 10lg a lg b -+-=．3．【答案】D【解答】依题意，得 34x i =+，所以1342525i z =-. 4．【答案】C 【解答】() 2cos 223 242332()()()f x x k sin x sin x πππ=+++=+ ，()f x 的最小正周期为π．5．【答案】B【解答】由222,()1y x x y a ⎧=⎨+-=⎩消去x ，得()22 1 2 10y a y a +-+-=． 由 5 40a ∆=-=，解得54a = ．从图像知，当54a ≥ 时，A B B ⋂=.6．【答案】C【解答】如图，建立平面直角坐标系，有3000,266(23ak a a A E C D a ⎛⎫⎪⎭- ⎪- ⎝（，），（，），）AE k ∴=CD k =由夹角公式，得两直线的夹角3πθ=．7．【答案】B【解答】由题意，变形得11()1?)3nn a a -=-•-（．6111111(1)()8()33n n n a a --∴-=--=⋅-．11118(),6[1()]33n n n n a S n -∴=+⋅-=+⋅--．11|6|6()73125n n S n n ∴--=⋅<⇒≥.8．【答案】D【解答】543354322420⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 9．【答案】A【解答】设从乙袋子中摸到红球的概率为y ，甲袋子中共有x 个球，则乙袋子中有3x 个球 13273339x y xy x x +⋅=⇒=+10．【答案】B【解答】由三阶行列式的运算性质，得() 1f x x x =-+（），所以原方程有两个实根． 11．【答案】C【解答】依题意，得1,1a b a b +=-⎧⎨-=±⎩则0,1a b =⎧⎨=-⎩或10a b =-⎧⎨=⎩，所以601()0n nn a b =-=∑ 12．【答案】B【解答】两直线互相垂直()()()122 32 022a a a a a a +-++=⇔⇔=-=或.13．【答案】D【解答】依题意，得()() 4f x f x =-，若0(f x =）有一根为0x ，则04x -也是方程的根，即方程的根成对出现且每对根之和为4．当方程()0f x =恰好有7个不同的实根时，必有一个 根为2，另外6个根可以按上述方式配对，所以所有根之和为14． 14．【答案】C【解答】由tan sin 2αβγ+=，推出sin22sin cos 22cos 2αβαβαβαβ+++=+.进而得22cos 102αβ+-=,即cos()0αβ+=.又因为0αβπ<+<，所以2παβ+=.所以0sin sin sin cos )4παβααα<+=+=+≤，(2)正确.所以2222sin sin sin cos 1,(3)αβαα+=+=正确. 15．【答案】A【解答】分式12(32)nn nS n S ++的分子、分母都是二次式，且二次项系数之比为2，故该分式豹极限等于2． 16．【答案】A【解答】(4)2(1),5a a iz --+=消去n ，得220y x ++=，该直线不经过第一象限，即z 在复平面上对应的点不可能位于第一象限．17．【答案】C 【解答】依题意，得()()8f x f x +-=．因为()()310 3lg log lg lg =-，所以3(((( 3))8f lg log f lg lg +=10))． 又由310))5((f lg log =，得 3))3((f lg lg =． 18．【答案】C【解答】如图，取AB 中点F ，联结EF ，易知AB PFD ⊥,所以PFE ∠ 为二面角P AB－的平面角，设2AD PD ==．则21EF PE PF ===，，PEF ∆中，由余弦定理得cos 14PFE ∠=19．【答案】D【解答】展开式的第1k ＋项为5021302((0,1,...,50)k kk k T C k -+==. 若第1k ＋项为有理数，则k 被4整除，这样的k 有13个．20．【答案】A【解答】当两球与正方体的过同一个顶点的三个面都相切，且互相外切（如图所示）时，两球的半径和无法确定．21．【答案】B 【解答】记12{}11A =⋯，，，，根据题意正数a b 、要满足11a ＜且9a Ab ∈，＜且b A a b ∈≠，,所以共有108872⨯=－个不同的椭圆． 22．【答案】94b c t =＋＋，代入原方程，得24264()(0)t t =－－，解得26t t ==或， 即 59426a b c =＋＋或 ．又因为a b c 、、为非负实数，所以当4594 2,45949999a b c a b c a b c a b c ==≤≥＋＋时＋＋＋＋，＋＋;当594 636 594444, 9a b c a b c a b c a b c ==≥≤＋＋时，＋＋＋＋＋＋. 23．【答案】A【解答】设{}n a 的公差为d ，依题意，得2112()a a nd a ≤＋＋，2112111()(1)(1)(23)22n n n ii n a a n n a nd a +++=+++++==∑.根据柯西不等式，得 2211112222313() 1023[()][()]a nd a a nd a a nd ≤=⇒＋－＋＋＋＋.8所以原式1(23)(1)(1)22a nd n n ++=≤+24．【答案】B【解答】因为101110100011 ?1|||||z z z z zz z z zz z z z =⇒=⇒=－＋＋＋，所以z 在复平面上的轨迹形状是以01z -为 圆心01||z 为半径的圆． 25．【答案】C【解答】依题意，球心在正四面体的中心，正四面体的中心到棱的距离等于球的半径， 易求得球的半径4r =，所以球的体积为324a . 26．【答案】B 【解答】依题意，得02,02x c x c <+<⎧⎨<-<⎩且01c ＜＜，解得2c x c ＜＜－． 27．【答案】C 【解答】当8x π=时，()4)1f x sin πϕ==±（＋，解得()4k k Z πϕπ=+∈．又因为0πϕ-<<，所以34πϕ=-. 28．【答案】A【解答】当21[]x ∈－，－时，()4(4f x f x x ==＋）－－；当1[]0x ∈－，时，()22f x f x f x x ===（－）（－＋）－；所以当2[]0x ∈－，时, ()| |31f x x =－＋＋. 29．【答案】B【解答】函数,f a b （）的几何意义是直线 5y x =－上的点到四分之一椭圆22()100x y x y =≥≥＋， 上的点的距离的平方．由图像易知22()100x y x y =≥≥＋，上的点(3)0，到 5y x =－的距离d =以min ()2f a b =，. 30．【答案】D【解答】53223,236412a ba b c b a b c c ⎧=-⎧++=⎪⎪⇒⎨⎨++==-+⎪⎪⎩⎩,1bd x d ax bd cdx x a cd =⎧=++≡⇒⎨+=⎩因为0d ≠，所以60 5114a c d ====，，，.。