2016-2017学年高中数学 第一章《集合与函数的概念》1.3函数的奇偶性第1课时教学设计 新人教版必修1(精品)
2016-2017学年高一数学必修1课件：第1章 集合与函数概念1.2.1
B 选项,y=2 4 =2x2,其定义域、对应关系与函数 y=2x2 均相同,
所以它们表示同一函数;
C 选项,y= 4 2 与函数 y=2x2 的对应关系不同,所以它们不表示
同一函数;
2 3
D 选项,y=
的定义域为{x|x≠0}与函数 y=2x2 的定义域不同,所
以它们不表示同一函数.
(2)求 f(x)的值域.
解:(1)当 x=3 时,f(3)= 3 + 1 = 4=2.
(2)∵x+1≥0,∴ + 1≥0,
故函数的值域为[0,+∞).
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即
||- ≠ 0,
≠ -2,
解得 x<0,且 x≠-2.
|| ≠ ,
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
[推荐学习]高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性教学设计新人教A版必修1
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1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究 提出问题(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1(3)(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]是偶函数吗？ (6)偶函数的定义域有什么特征？(7)观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生： (1)观察图象的对称性．(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．(3)利用函数的解析式来描述． (4)偶函数的性质：图象关于y 轴对称．(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．(2)表1f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数的图象关于y轴对称．(5)不是偶函数．(6)偶函数的定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．应用示例思路1例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4； (2)f (x )＝x 5； (3)f (x )＝x ＋1x；(4)f (x )＝1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )．解：(1)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝x 4是偶函数．(2)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x 5是奇函数．(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－x ＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝1(－x )2＝1x ＝f (x )，所以函数f (x )＝1x是偶函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论：若f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0，则f (x )是偶函数； 若f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0，则f (x )是奇函数．x －x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]；(2)f (x )＝x 3－x 2x －1；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2； (4)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1. 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x ∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x |≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R .解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵它的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，并不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f (x )的定义域是{－2,2}． ∵f (2)＝0，f (－2)＝0， ∴f (2)＝f (－2)，f (2)＝－f (2)． ∴f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )． ∴f (x )既是奇函数也是偶函数． (4)函数的定义域是R . ∵f (－x )＋f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋1＋1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1 ＝1＋x 2－(x ＋1)2＋1＋x 2－(x －1)2(1＋x 2－x ＋1)(1＋x 2＋x ＋1)＝1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1 (1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x)来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．1212)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x ＞1时f (x )＞0，f (2)＝1，(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74的大小．活动：(1)转化为证明f (－x )＝f (x )，利用赋值法证明f (－x )＝f (x )；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74转化为同一个单调区间上的函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，∴2f (－1)＝0. ∴f (－1)＝0.∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0. ∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74. 点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．课本本节练习，1,2. 【补充练习】1．设函数y ＝f (x )是奇函数．若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝__________.解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)．∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3.∴2[f (1)＋f (2)]＝－6.∴f (1)＋f (2)＝－3. 答案：－32．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又∵f (x )是偶函数，∴b ＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2)＝f (2)＝f (2＋0)＝－f (0)． 又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∴f (6)＝0.故选B. 答案：B拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y ＝kx (k ≠0)是奇函数； 反比例函数y ＝k x(k ≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本习题1.3A 组 6，B 组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立． (3)f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数． (4)f (－x )＝f (x )⇔f (x )－f (－x )＝0，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )＋f (－x )＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f [g (x )]是偶函数，如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f [g (x )]生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相同的单调性；如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f (x )＝f (x )－f (－x )2＋f (x )＋f (－x )2. (8)若f (x )是(－a ，a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0；若函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)＝f (－|x |)．若函数y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )＝0.。
精选-人教版必修一高中数学第一章集合与函数概念1.3_1.3.2奇偶性课件
[变式训练] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
x≥0 时，f(x)＝x2－2x，则函数在 f(x)在 R 上的解析式是
() A．f(x)＝－x(x－2)
B．f(x)＝－x(|x|－2)
C．f(x)＝－|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
解析：因为 f(x)在 R 上是偶函数，且 x≥0 时，f(x)
类型 3 利用函数奇偶性求解析式 [典例 3] 已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x) ＋g(x)＝x2＋x－2，求 f(x)，g(x)的解析式． 解：因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由 f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①
|x＋2|－2≠0，
解得－1≤x≤1 且 x≠0，
所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，
1－x· 1＋x
所以解析式化简为 f(x)＝
x
，
满足 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为 R，当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当 x＝0 时，f(－x)＝f(x)＝1； 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－x＋1＝f(x)． 综上知，对任意 x∈R，都有 f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)是偶函数．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据， 为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化 简，或应用定义的等价形式 f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝
0⇔f（f（－x） x）＝±1(f(x)≠0)．
3．(1)若 f(x)＝0 且 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x) 既是奇函数又是偶函数．
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性教学设计新人教A版必修
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究 提出问题(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1(3)(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]是偶函数吗？ (6)偶函数的定义域有什么特征？(7)观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生： (1)观察图象的对称性．(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．(3)利用函数的解析式来描述． (4)偶函数的性质：图象关于y 轴对称．(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．(2)表1f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数的图象关于y轴对称．(5)不是偶函数．(6)偶函数的定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．应用示例思路1例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4； (2)f (x )＝x 5； (3)f (x )＝x ＋1x；(4)f (x )＝1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )．解：(1)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝x 4是偶函数．(2)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x 5是奇函数．(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－x ＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝1(－x )2＝1x ＝f (x )，所以函数f (x )＝1x是偶函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论：若f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0，则f (x )是偶函数； 若f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0，则f (x )是奇函数．x －x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]；(2)f (x )＝x 3－x 2x －1；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2； (4)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1. 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x ∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x |≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R .解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵它的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，并不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f (x )的定义域是{－2,2}． ∵f (2)＝0，f (－2)＝0， ∴f (2)＝f (－2)，f (2)＝－f (2)． ∴f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )． ∴f (x )既是奇函数也是偶函数． (4)函数的定义域是R . ∵f (－x )＋f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋1＋1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1 ＝1＋x 2－(x ＋1)2＋1＋x 2－(x －1)2(1＋x 2－x ＋1)(1＋x 2＋x ＋1)＝1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1 (1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x)来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．1212)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x ＞1时f (x )＞0，f (2)＝1，(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74的大小．活动：(1)转化为证明f (－x )＝f (x )，利用赋值法证明f (－x )＝f (x )；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74转化为同一个单调区间上的函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，∴2f (－1)＝0. ∴f (－1)＝0.∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0. ∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74. 点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．课本本节练习，1,2. 【补充练习】1．设函数y ＝f (x )是奇函数．若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝__________.解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)．∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3.∴2[f (1)＋f (2)]＝－6.∴f (1)＋f (2)＝－3. 答案：－32．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又∵f (x )是偶函数，∴b ＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2)＝f (2)＝f (2＋0)＝－f (0)． 又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∴f (6)＝0.故选B. 答案：B拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y ＝kx (k ≠0)是奇函数； 反比例函数y ＝k x(k ≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本习题1.3A 组 6，B 组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立． (3)f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数． (4)f (－x )＝f (x )⇔f (x )－f (－x )＝0，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )＋f (－x )＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f [g (x )]是偶函数，如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f [g (x )]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相同的单调性；如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f (x )＝f (x )－f (－x )2＋f (x )＋f (－x )2. (8)若f (x )是(－a ，a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0；若函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)＝f (－|x |)．若函数y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )＝0.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性教学设计新人教A版必修1201710
1.3.2奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x31的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课Error!Error!(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝x2表2x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝|x|(3)请给出偶函数的定义．(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？(6)偶函数的定义域有什么特征？1(7)观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和x性质？活动：教师从以下几点引导学生：(1)观察图象的对称性．(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．(3)利用函数的解析式来描述．(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称．(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)2不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x) 不恒成立．(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．(2)表1x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝x2 9 4 1 0 1 4 9表2x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝3 2 1 0 1 2 3|x|这两个函数的解析式都满足：f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数的图象关于y轴对称．(5)不是偶函数．(6)偶函数的定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函3数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．Error!思路1例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；1(3)f(x)＝x＋；x1(4)f(x)＝.x2活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数f(x)＝x4是偶函数．(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以函数f(x)＝x5是奇函数．(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－x＋1 1－x(x＋x)＝－＝－f(x)，1 所以函数f(x)＝x＋是奇函数．x1(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)21 1＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数．x2 x2点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．变式训练设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()4A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：A中设F(x)＝f(x)f(－x)，则F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数；B中设F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时F(x)与F(－x)的关系不能确定，即函数F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函数F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数；D中设F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数．答案：D例2 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．变式训练已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋3 x，求f(x)．解：当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3 －x]＝－x2＋3 x，综上所得，f(x)＝23x x,x0,0,x0,23x x x,0.5思路2例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]；x3－x2(2)f(x)＝；x－1(3)f(x)＝x2－4＋4－x2；1＋x2＋x－1(4)f(x)＝.1＋x2＋x＋1活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1＋x 2＞x2＝|x|≥－x，则1＋x2＋x＞0.则函数的定义域是R.解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．x3－x2(2)∵它的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，并不关于原点对称，∴函数f(x)＝既不是x－1奇函数也不是偶函数．(3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2，即f(x)的定义域是{－2,2}．∵f(2)＝0，f(－2)＝0，∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)．∴f(x)既是奇函数也是偶函数．(4)函数的定义域是R.∵f(－x)＋f(x)1＋x2－x－1 ＝＋1＋x2－x＋1 1＋x2＋x－1 1＋x2＋x＋11＋x2－(x＋1)2＋1＋x2－(x－1)2＝(\r(1＋x2)－x＋1)(\r(1＋x2)＋x＋1)1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1 ＝(\r(1＋x2)－x＋1)(\r(1＋x2)＋x＋1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则6此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x) 是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x) 来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．变式训练f(x) 函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋x ∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，f(x) a即a＜1.g(x)＝＝x＋－2，x x下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x1＜x2，a a则g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2)－x1 (x2＋－2)x2a a＝(x1－x2)＋(x2)－x1a ＝(x1－x2)(1－x1x2)x1x2－a＝(x1－x2) .x1x2∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0.又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.∴g(x1)－g(x2)＜0.∴g(x1)＜g(x2)．∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．答案：D例2 已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2) ＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，7(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；5 7(－2 )与f(4 )的大小．(3)试比较f活动：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用5 7(－2 )和f(4 )转化为同一个单调区间上的函数值．函数的奇偶性，将函数值f(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0.∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)证明：设x2＞x1＞0，则x2 x2 x2f(x2)－f(x1)＝f(x－f(x1)＝f(x1)＋f x1 )－f(x1)＝f(x1 ).1·x1)(x2 x2∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴f＞0，即f(x2)－f(x1)＞0.x1 (x1 )∴f(x2)＞f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．5 5(－2 )＝f(2 ).(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f5 7 5 7 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(2 )＞f(4 ).∴f(－2 )＞f(4 ).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．变式训练已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．分析：(1)利用赋值法，令x＝y＝1得f(1)的值，令x＝y＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(－x)＝－f(x)．解：(1)∵f(x)对任意x，y都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，∴令x＝y＝1时，有f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)．∴f(1)＝0.∴令x＝y＝－1时，有f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)．∴f(－1)＝0.8(2)是奇函数．∵f(x)对任意x，y都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．将f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数.Error!课本本节练习，1,2.【补充练习】1．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3.答案：－32．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.1解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝.31∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.31答案：033．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.故选B.答案：BError!问题：基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得9正比例函数y＝kx(k≠0)是奇函数；k反比例函数y＝(k≠0)是奇函数；x一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．Error!本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．Error!课本习题1.3A组6，B组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立．(3)f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数．(4)f(－x)＝f(x)⇔f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y＝f[g(x)]是偶函数，如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y＝f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性；如果函数y＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)－f(－x) f(x)＋f(－x)f(x)＝＋.2 2(8)若f(x)是(－a，a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)．10若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)＝0.11。
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的奇偶性课件 新人教A版必修1
❖ (3)判断奇偶性 ❖ ①f(x)＝|x|；
②f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
❖ ③f(x)＝x2 (x≥1)； ❖ ④f(x)＝|x＋1|－|x－1|. ❖ [答案] ①偶 ②既是奇函数，又是偶函
数 ③非奇非偶 ④奇
❖ 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是： ❖ (1)(2求)定定义义域关域于，原点看对定称义时，域看是f(－否x)关＝±于f(x)原(或点f(x对)±f(称－x，) ＝若数0 或．定f(f－(义x)x)域＝±关1(用于此原式时点，不f(x)对≠0称对定，义则域为内任非意奇x 都非成偶立)函)
❖ ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函 数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函 数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函 数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数 f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是 偶函数，须特别注意定义域是否关于原点 对称这一限制条件．
❖ ④奇函数y＝f(x)若在x＝0处有定义，则一 定有f(0)＝0.
()
❖ (1)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)＋f(－x) ❖ ＝(2)0对(则3)f对(f(xx)f()的x是)的定奇定义义函域域数内内的的任意任x意，都x有，f(都f－(x)x有)＝f－(x1)，－则f(f(－x) x)
是＝奇0函，数则f(x)是偶函数
(4)对 f(x)的定义域内的任意 x，都有f(f－(x)x)＝1，则 f(x)
❖ [例3] 已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区 间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x) 在区间[a，b]上是增函数还是减函数？
❖ [分析] 由函数的奇偶性进行转化．
❖ [解析] 设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－ x1≤ － a.∵f(x) 在 [ － b ， － a] 上 是 增 函 数．∴f(－x2)＜f(－x1)
【精编文档】高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2函数的奇偶性学案1新人教版必修1.doc
函数的奇偶性
【学习目标】
1、 理解奇函数与偶函数概念
2、 根据定义和图像特点掌握函数奇偶性的判断方法
学习任务：
1观察教材第33页图1.3-7两个函数图像都关于什么对称？
2 观察图1.3-7下面的两表，我们发现它们关于什么对称？
3 对于函数2)(x x f =，取R 内的任意一个x ，都有)()()(22x f x x x f ==-=-我们称2)(x x f =是什么函数？仿照这个过程，写出偶函数的定义？
4 1.3-8的图像关于什么对称？你能用偶函数的定义证明它是偶函数吗？
5 偶函数关于什么对称？
6 观察教材第34页图1.3-9，回答观察部分的问题。
7 奇函数定义是什么？它关于什么对称？
8 解决35页思考题。
9 解决例5，并谈谈心得体会
必做题：1. 课本36页1,2题
2. 课本39页A 组6题, B 组3题
选做题：1. 设2
2
11)(x x x f -+=,求证:)()(x f x f =- 2.如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____
3. 已知函数()-=a x f 121
+x
，若()x f 为奇函数，则____=a。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1
函数单调性与奇偶性的综合
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大
小关系为
()
A．f(1)＞f(－10)
B．f(1)＜f(－10)
C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和 f(－10)关系不定
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又 f(x)在[0，＋∞)
(× )
(2)奇函数的图象一定通过原点．
(× )
(3)函数 f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．
(× )
(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0. ( √ )
2．函数 y＝f(x)，x∈[－1，aห้องสมุดไป่ตู้(a＞－1)是奇函数，则 a 等于 ( )
A．－1
B．0
C．1
1．3.2 奇偶性
预习课本 P33～36，思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？ (2)奇、偶函数的定义域有什么特点？ (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
[新知初探]
函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件 定
义 结论
对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有
f(－x)＝ f(x)
利用函数的奇偶性求解析式
[例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x) ＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式．
[解] 当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是奇函 数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3. 即当 x＜0 时，f(x)＝－x2－2x－3.
2016-2017学年高一数学必修1课件：第1章 集合与函数概念第一章本章整合
∴2a<a+1.
∴B≠⌀ .
在数轴上表示集合 A,B,如图所示.
由 B⊆A 知,a+1<-1 或 2a≥1,
1
即 a<-2 或 a≥ .
2
又 a<1,
1
∴a<-2 或 ≤a<1.
2
1
故所求 a 的取值范围是(-∞,-2)∪ ,1 .
2
第六页，编辑于星期五：十五点 五十七分。
知识网络
专题一
第十四页，编辑于星期五：十五点 五十七分。
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
(2)证明:任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2,
则 f(x1)-f(x2)=
1
2
+
3
2 1
−
2
2
+
3
2 2
1
1 2 -3
2
1 2
= (x1-x2)·
.
因为 x1<x2,且 x1x2∈[2,+∞),
)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
第二十二页，编辑于星期五：十五点 五十七分。
知识网络
考点一
考点二
核心归纳
高考体验
考点三
解析:由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),
本章整合
-1-
第一页，编辑于星期五：十五点 五十七分。
2017版高中人教A版数学必修1课件：第一章 集合与函数概念1-3-2-1
解：(1)∵f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 又 f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又 f(－x)＝(－x)3＋－1x＝－x3＋1x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
第十五页，编辑于星期六：三点 二十二分。
(3)函数 f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
第十四页，编辑于星期六：三点 二十二分。
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 又 f(－x)＝－1x－(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是 R，关于原点对称， 又 f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．
第十六页，编辑于星期六：三点 二十二分。
[巧归纳] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数； 若函数的图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选 择题和填空题中．
第十七页，编辑于星期六：三点 二十二分。
(3)对于分段函数奇偶性的判断应对每一段定义域内的任意 自变量 x，检验 f(－x)与 f(x)的关系．