解斜三角形教案

第11章 解三角形

课时1 §11.1正弦定理(一) 教学目标

掌握正弦定理的推导过程,并利用正弦定理，解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知两角与任一边，求其他两边和一角；

（２）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 教学重点

三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，即正弦定理（ｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）：

C

c

B b A a sin sin sin =

= 教学难点

已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角时解的个数的讨论. 教学过程:

通过下面的途径尝试证明正弦定理： （１）转化为直角三角形中的边角关系；

（２）建立直角坐标系，利用三角函数的定义；

（３）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题； （４）利用向量的投影或向量的数量积（产生三角函数）．

举一反三 1. 在

中，三个内角之比

，那么相对应的三边之比等于

（ ）．A ．

B ．

C ．

D ．

2. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 .

3.在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．

举一反三

1.、 不确定

　二解 一解 无解 是 （　），此三角形的解的情况，中，在D .C .B .A 45A ,32b 22a ABC 0

===? 2、根据下列情况，解三角形时，有两组解的是 （ ）

A. A ＝300，c ＝20 a=10

B. A ＝300，c ＝20 a=28

C. A ＝300，c ＝20 a=12

D. A ＝300，c ＝20 a=3

11

3．在△ABC 中，已知a ＝x cm ，b ＝2 cm ，B ＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．2＜x ＜22

B ．2＜x ≤22

C ．x ＞2

D ．x ＜2

拓展与延伸

例3．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．

(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．

例4．在ABC ?中，c b a ,,分别是ABC ?的三边长,若3

1cos =A . (1)求A C

B 2cos 2

sin 2

++的值; (2)若3=a ,求bc 的最大值.

教材练习

布置作业 一．选择题

1. 在△ABC 中,已知?

?

===75,60,8C B a ,则b 等于( ) A.24 B.34 C.64 D.3

32 2. 在△ABC 中,已知1,45,2===

?c B b ,则a 等于( )

A.

22

6- B. 2

2

6+ C.12+ D.23-

3. 在ABC ?中，根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.?=?==75,45,10C A b B .?===60,48,60C b a C.?===80,5,7A b a D.?===45,16,14A b a

4.已知ABC ?，面积2,32,3===

b a S ，则此三角形的内角C 的度数是( )

A.300

B.600

C.300

或1500

D. 600

或1200

5．在ABC ?中，,4,6,60==

=∠?

b a A 则满足条件的三角形有（ ）

（A ）一解 （B ）两解 （C ）无解 （D ）不能确定 二．填空题

6. 在ABC ?中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c= .

7. 在ABC ?中，4,15,120=?=?=a B A ,则b=

8. 在ABC ?中，8,30,120=?=?=a B A ,则c=

9. 已知ABC ?，面积26,32,33+=

=+=b a S ，则角C 的度数是

10.在△ABC 中,已知ab=60,sinA=cosB,S △ABC =15,则 △ABC 的三个内角度数等于 . 三．解答题

11．解△ABC ，(1)已知

45=∠A , a=100,c=502;

(2) 已知

18=∠A ,a=4, b=4(15+).

12.解△ABC ，(1)已知32=a ，6=b ，?=30A

(2) 已知?===

45,2,3B b a

13.在△ABC 中，已知b ＝2c sin B ，求∠C 的度数．

14．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．

15. 已知△ABC 中，tanA=2,tanB=3, a=1. (1)求∠C 的度数; (2)求△ABC 的面积. 16. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若COS 2

(2

π

+A)+cosA=45，

b+c=3a ，求A 、B 、C 的大小。

课时2 §11.1正弦定理(二) 教学目标

学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形形状.掌握转化与化归的数学思想.

教学重点

利用正弦定理判断三角形形状. 教学难点

灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式. 教学过程:

举一反三

1．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

2．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(

c

1

)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

3. 在△ABC 中，已知cos2B+cos2C=1+cos2A, sinA=2sinBcosC, cosC=sinB. 求证：△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形.

举一反三

1.在△ＡＢＣ中，∠Ａ的外角平分线交ＢＣ 的延长线于Ｄ，用正弦定理证明：

DC

BD

AC AB =

. 2. ceva 定理:P 是ABC ?外的一点,直线PC PB PA ,,依次与ABC ?的三边AB CA BC ,,或者它们的延长线相交于,,,F E D 求证:

.1=??EA

CE

DC BD FB AF 3．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手 以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，根据经 验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这 样布置，游击手能否接着球？

拓展与延伸

例3．(2004年全国高考试题)已知锐角三角形ABC 中，5

1)sin(,53)sin(=-=+B A B A . (1)求证: B A tan 2tan =; (2)设AB=3,求AB 边上的高;

例4．(1)△ABC 中， B =600，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．

(2)在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．

教材练习

布置作业 一．选择题

1．三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若A=60°,B=75°,a = 32，则c 的值（ ）A ．等于2 B ．等于4 C ．等于22

D ．不确定

2．在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是 （ ）

A ．

2

3 B ．

4

3 C ．

2

3 D ．

4

3 3. 在△ABC 中, 已知,10,25==c a ，∠A=30°, 则∠B=( ) A.1050 B. 1350或450 C.450 D. 1050或150

4.R 是△ABC 的外接圆半径,若B A R ab cos cos 42

<,则它的外心在( ) A. 三角形一边的中点 B.三角形的内部 C.三角形的外部 D.无法判断 5.已知△ABC 满足B A B A cos cos sin sin +=+,则它的形状是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等腰或直角三角形

D. 等腰直角三角形

二．填空题

6. 在△ABC 中, 已知?===30,6,32A b a ,则B= .

7. 在△ABC 中, 已知34,3

1

cos ,23==

=?ABC S C a ,则b= . 8. 在△ABC 中,已知?=?==+45,60,12B A b a ,则a= ,b= 9. 在△ABC 中,已知35,20==?ABC S bc ,△ABC 的外接圆半径为3,则a= 10．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三．解答题

11.在ABC ?中，已知2:1:=∠∠B A ，求证：

c

b a b

a b a +++=

； 12.如图,,60?=∠XOY M 是XOY ∠内一点,它到两边的距离分 别为2和11,求OM 的长.

13. (1)请你用正弦定理证明(Menelaus 定理):直线l 与ABC ?的在三边CA BC AB ,,或它们的延长线依

次相交于F E D ,,,则1=??FA

CF

EC BE DB AD .

(2)如图所示,直线BE 分别与△ADF 的三边的延长线相交于B 、C 、E ，请你写出Menelaus 定理的表达式.

14．在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？

15.在ABC ?中，已知)sin()()sin()(2

2

2

2

B A b a B A b a -+=+-，判定AB

C ?的形状． 16. 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若a+c=2b, (1)求证:2

cos

2cos 2C A C A -=+ (2)若B=3π

，试确定△ABC 形状

第12题

A

B C

E

D

F

第13题

课时3 §11.2余弦定理(一) 教学目标

掌握余弦定理的推导过程,并利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知三边，求三个角；

（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 教学重点

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理: 教学难点

利用余弦定理判断锐角、钝角. 教学过程:

利用向量的有关知识证明余弦定理.

举一反三

1．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°

2. 在△ABC 中，最大角A 为最小角C 的2倍 ，且三边a 、b 、c 为三个连续整数， 求a 、b 、c 的值.

3．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝14

13

，则最大角的余弦值是________．

举一反三

1、已知锐角三角形的边长分别是1、3、a ，则a 的取值范围是 （ ）

A. (8,10)

B. (10,8)

C. (10,8)

D. (8,10)

2．已知钝角三角形ABC 中，B ＞90°，a ＝2x -5，b ＝x ＋1，c ＝4，求x 的取值范围． 3．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

拓展与延伸

例3.在ABC ?中，c b a ,,分别是ABC ?的三边长,若3

1cos =A . (1)求A C

B 2cos 2

sin 2

++的值; (2)若3=a ,求bc 的最大值.

教材练习

教材习题

布置作业 一．选择题

1．在ABC ?中，三边之比为19:3:2::=c b a ，则ABC ?最大角的大小是( ) A.600 B.1200 C.300 D.1500

2. 在?ABC 中，c b a ,,分别是∠∠∠A B C ，，的对边长,则满足下列条件时,是钝角三角形的是( )

A.a:b:c=2:3:4

B. a=4,b=5,c=6

C. a=2k,b=k 2-1, c=k 2+1 (k 是正整数)

D.C B A 3

121== 3.在?ABC 中,若C B A 2

2

2

sin 2sin sin =+,则角C 是( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.600 4.在△ABC 中，

4

222c b a S -+=

,则角C 的度数是( )

A.600

B.450

C.300

D. 450或1350

5．某人向正东走x 千米后，再向右转150°，然后沿新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，那么x 值为( )

（A ）3 （B ）32 （C ）32或3 （D ）3 二．填空题

6.已知ABC ?，?===60,4,3C b a ，则c=

7.边长为5、7、8的三角形中，则最大角与最小角的和 。

8.在?ABC 中，c b a ,,分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知b 是a 、c 的比例中项,

a c ac bc 22-=-，则∠A 的大小

9.在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=7，则△ABC 的面积为 ，△ABC 的外 接圆的面积为 .

10.．给出问题：已知ABC ?中，满足cos cos a A b B =，试判定ABC ?的形状．某学生

的解答如下：由条件可得22222222b c a a c b a b bc ac

+-+-?=?

，去分母整理可得 2222222()()()a b c a b a b -=-+，2

22c

a b ∴=+．故ABC ?是直角三角形．该学生的解答是

否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填在

下面横线上．_______________________________________________________________ 三．解答题

11.在ABC ?中，已知5,3,7===c b a ,求最大角及C sin

12. 在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为

120,求三边的长 13. 在△ABC 中,A 为钝角,14

35sin =

B ,1275=-b

a . (1)求A; (2) c

b a ::. 14.在ABC ?中，b AC a BC ==,，且b a ,是方程02322

=+-x x 的两根，又

()1cos 2=+B A ，（1）求角C 的度数;（2）求AB 的长; （3）ABC ?的面积

15.已知ABC ?的三边a,b,c 和面积S 有如下关系：2

2

)(c b a S --=，且8=+c b ，求

ABC ?的面积S 最大值。

16. 设c b a ,,分别是ABC ?的三边长，且222mc b a =+(m 为常数), 若1004cot cot cot =+B

A C

,求m 的值

课时4 §11.2余弦定理(二) 教学目标

学会利用余弦定理解决有关平几问题以及判断三角形形状.掌握转化与化归的数学思想.

教学重点

利用余弦定理判断三角形形状. 教学难点

灵活利用余弦定理以及三角恒等变换公式. 教学过程:

举一反三

1.已知方程0)cos (2

=-+a x B c x 的两根之和等于两根之积，其中a, c 、B 是△ABC 的两边一角,则△ABC 形状是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等腰或直角三角形

D. 等腰直角三角形

2．在△ABC 中，若

22

tan tan b

a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形

3．在△ABC 中，若,1cos cos cos 2

2

2

=++C B A 则△ABC 的形状是______________。

举一反三

1. 已知A=600, b=8, a 边上的中线1292

1

=

a m ,解△ABC (精确到00), 2. 在△ABC 中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；

|＋|＝________． 3．在△ABC 中，cos 2

10

922=+=c c b A ，c ＝5，求△ABC 的内切圆半径．

拓展与延伸

例3．半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a -b )sin B ． (1)求角C ；

(2)求△ABC 面积的最大值．

教材练习

教材习题

布置作业 一．选择题

1. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,则下列各式正确的是( ) A.

A b

B a sin sin = B. B

b

A a cos cos =

C. A b B a sin sin =

D. B c C a sin sin = 2. △ABC 中，b

a B

A =--cos 1cos 1，则确定△ABC 的形状是( )。

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等腰或直角三角形

D. 等腰直角三角形

3．在△ABC 中，∠A=60°，b=1，这个三角形的面积为3，则ABC 外接圆的直径是（ ）

（A ）

3392 （B ）3326 （C ）33 （D ）2

29

4. △ABC 中,a=2,b=1,则角C 的取值范围是( ) A.)6,

0(π

B.)2,6(ππ

C. )3,6(ππ

D. )2

,0(π

5. 若b a c b a lg 2lg 22lg )lg(22

2

2

++=-+,则∠C 的度数是( ) A.450 B.1350 C.450或1350 D.300

二．填空题

6.在ABC ?中13:6:2::+=c b a ，则三个角度数分别等于

7.在△ABC 中，已知

60=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则a

c b

c b a ++

+ 的值等于 .

8.已知△ABC 中,S=35,a=4,b=5,则c= .

9.等腰三角形的一边为4,一边为7,则其顶角的余弦为 .

10．△ABC 中，C B A ∠>∠>∠，三边的长为连续自然数，且C c a cos 2?=，则C B A sin :sin :sin = 三．解答题

11.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？

12.已知三角形一个内角为

60,周长为20,面积为310,求三角形三边长

13. 已知6,13=+=

b a , a 边上的中线2

3

38-=

a m ,利用教材例6”三角形中线公式”解△ABC.

14．三角形有一个角是?60，夹这个角的两边之比是８：５，内切圆的面积是１２π，求这个三角形的面积．

15 已知△ABC 中,角B 所对的边b=7cm,外接圆半径3

3

7=R cm,三角形的面积S=310 cm 2

,求三角形其它两边之长.

16．在△ABC 中，a, b,c 分别为角A 、B 、C 的对边，且满足4sin 2

27

2cos 2=-+A C B .

(I)求角A 的度数； （II ）若a=3, b+c=3,且b

课时5 §11.3正弦定理、余弦定理的应用（一）

教学目标

正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，学会在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．培养学生空间想象能力和运算能力.

教学重点

建立三角模型,利用解三角形的知识解决实际问题.

教学难点

培养学生空间想象能力与化归转化的数学思想.

教学过程:

拓展与延伸

例3.在△ABC 中，22=c ,b a >,4

π=C ,6tan tan =B A ,试求a,b 及△ABC 的面积.

例4.在ABC ?中，C A B +=2,且32tan tan +=?C A . (1)求角C B A ,,的大小

(2)若AB 边上的高34=CD ,求c b a ,,三边

教材习题

布置作业 一．选择题

1.某次测量中,A 在B 的南偏东340

27’,则B 在A 的( )

A.北偏西34027’

B. .北偏东55033’

C. 北偏西55033’

D. 南偏西550

33’ 2. 在△ABC 中,已知下列三式:0>?AC AB ,0>?BC BA ,0>?CB CA 中,能够成立的个数有( ) A.至多一个 B.有且仅有一个 C.至多2个 D.至少2个

3. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成600的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成750的视角，则B 、C 间的距离是( ) A.310 海里 B.

3

6

10 海里 C.25 海里 D.35 海里 4.如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，

∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是（ ） A ．202 B ．203 C ．206 D ．402 5. 甲船在A 处观测到乙船在它的北偏东0

60方向,两船相距S 海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的3倍,

问甲船应取何方向前进才能在最短时间内追上乙船( )

A. 方位角3300

B. 方位角300

C. 方位角450

D. 方位角1350 二．填空题

6. 在△ABC 中,已知,2,1==BC AB 325)(2+=+BC AB ,则B ∠= .

7．一船以622km/h 的速度向正北方向航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东450,1小时30分钟后航行到B 处看灯塔S 在船的南偏东150,则灯塔S 与B 之间的距离为 .

第4题

8.我舰在敌岛A 南偏西

50的相距12海里的B 处发现敌舰由岛北偏西

10的方向以10海里/小时速度航行,问我舰要以速度为 航

行才能在2小时后追上敌舰.

9、如图，两条道路OA 、OB 相交成?60角，在道路OA 上有一盏路灯P ， 10=OP 米，若该灯的有效照明半径是9米，则道路OB 上被路灯有效 照明的路段长度是 米。

10.已知△ABC 中,BC=2,AB+AC=3,中线AD 的长为y,若以AB 的长为x,则y 与x 的函数关系式是 ,并指出自变量x 的取值范围 . 三．解答题

11. 货轮在海上以40km/h 的速度沿方位角为1400的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为1100,航行半小时后到达C 点,观测灯塔A 的方位角为650,问货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少? B 点与灯塔A 的距离是多少?

12.已知AB 两地相距100海里,B 在A 的北300东,甲船自A 以每小时50海里的速度向B 航行,同时乙船自B 以每小时30海里的速度沿方位角1500航行,问航行几小时后,两船之间的距离最小?

13.某观察站C 在城A 的南200西的方向,由城A 出发的一条公路,

走向是南400东,在C 处测得距C 为31千米的公路B 上有一人

正沿公路向A 城走去,走了20千米之后,到达D 处,此时C 、D 之间的距离为21千米,试问此人还要走几千米可到达A 城?

14.Ｐ，Ｑ是海上两个灯塔，从海图上测知，以ＰＱ为弦，含圆周角为?45的弓形弧内是危险区，内有许多暗礁，一海轮开始时见两灯塔的方位角都是?60，海轮向东航行一段距离后，见灯塔Ｐ恰在它的正北，灯塔Ｑ的方位是19

57

arcsin ，问海轮继续向东航行是否有触礁危险．

第9题

第14题

A C

B D 第13题