扩展卡尔曼滤波原理及其应用
扩展卡尔曼滤波 调参
扩展卡尔曼滤波调参1. 什么是卡尔曼滤波？卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的递归滤波器。
它能够通过融合来自传感器的测量数据和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器的核心思想是通过不断迭代的方式，根据当前的观测值和先验估计值，计算出最优的后验估计值。
它的优点在于对于线性系统，能够得到最优解，并且具有较低的计算复杂度。
2. 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）扩展卡尔曼滤波是卡尔曼滤波的一种扩展，用于非线性系统的状态估计。
与传统的卡尔曼滤波相比，扩展卡尔曼滤波能够通过线性化非线性系统模型，将其转化为线性系统模型，从而实现状态的估计。
在扩展卡尔曼滤波中，通过使用泰勒级数展开，将非线性函数线性化为一阶导数的形式。
然后，使用线性卡尔曼滤波的方法进行状态估计。
这样一来，扩展卡尔曼滤波能够处理一些非线性系统，并提供对系统状态的最优估计。
3. 扩展卡尔曼滤波调参在使用扩展卡尔曼滤波进行状态估计时，需要对滤波器进行一些参数的调整，以获得更好的估计结果。
下面介绍一些常用的调参方法。
3.1 系统模型在使用扩展卡尔曼滤波进行状态估计时，首先需要定义系统的状态方程和观测方程。
系统的状态方程描述了系统状态的演化规律，而观测方程描述了观测值与系统状态之间的关系。
在调参时，需要根据实际情况对系统模型进行调整。
对于非线性系统，可以通过改变状态方程和观测方程的形式，使其更好地与实际系统相匹配。
3.2 过程噪声和观测噪声在卡尔曼滤波中，过程噪声和观测噪声是用来描述系统模型和观测模型中的不确定性的参数。
过程噪声表示系统状态的演化过程中的不确定性，观测噪声表示观测值的不确定性。
在调参时，需要根据实际情况对过程噪声和观测噪声进行调整。
过程噪声和观测噪声的大小与系统的动态特性和传感器的性能有关。
通过调整这两个参数，可以使滤波器更好地适应实际情况。
3.3 初始状态和协方差在卡尔曼滤波中，初始状态和协方差用来表示对系统状态的初始估计。
扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf)
Pkk_1 = Phikk_1*Pk_1*Phikk_1' + Qk;
Pxz = Pkk_1*Hk'; Pzz = Hk*Pxz + Rk;
Pxz*Pzz^-1;
Kk =
Xk = fXk_1 + Kk*Zk_hfX;
Pk = Pkk_1 - Kk*Pzz*Kk';
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
[Xk, Pk, Kk] = ekf(eye(4)+Ft*Ts, Qk, fX, Pk, Hk, Rk, Z(k,:)'-hfX);
X_est(k,:) = Xk';
Hale Waihona Puke end二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
figure(1), plot(X_est(:,1),X_est(:,3), '+r')
EKF与UKF
一、背景
普通卡尔曼滤波是在线性高斯情况下利用最小均方误差准则获得 目标的动态估计，适应于过程和测量都属于线性系统， 且误差符 合高斯分布的系统。 但是实际上很多系统都存在一定的非线性， 表现在过程方程 （状态方程）是非线性的，或者观测与状态之间 的关系（测量方程）是非线性的。这种情况下就不能使用一般的卡 尔曼滤波了。解决的方法是将非线性关系进行线性近似，将其转化 成线性问题。 对于非线性问题线性化常用的两大途径： （1） 将非线性环节线性化，对高阶项采用忽略或逼近措施；（EKF） （2）用采样方法近似非线性分布. ( UKF)
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
UKF是用确定的采样来近似状态的后验PDF,可以 有效解决由系统非线性的加剧而引起的滤波发散问 题，但UKF仍是用高斯分布来逼近系统状态的后验概 率密度，所以在系统状态的后验概率密度是非高斯 的情况下，滤波结果将有极大的误差。
扩展卡尔曼粒子滤波优化
扩展卡尔曼粒子滤波优化扩展卡尔曼粒子滤波优化扩展卡尔曼粒子滤波（Extended Kalman Particle Filter）是一种常用的非线性滤波器，用于在测量数据包含噪声的情况下对系统状态进行估计。
在本文中，我们将逐步介绍扩展卡尔曼粒子滤波的优化方法。
1. 了解卡尔曼滤波：在深入研究扩展卡尔曼粒子滤波之前，首先需要了解卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归滤波器，通过使用系统模型和测量模型来估计系统状态，其中系统模型和测量模型通常是线性的。
然而，实际应用中，我们经常遇到非线性问题，这就需要使用扩展卡尔曼滤波。
2. 扩展卡尔曼滤波：扩展卡尔曼滤波通过在线性化非线性系统模型和测量模型来处理非线性问题。
具体而言，它使用泰勒级数展开来近似非线性函数，并通过计算雅可比矩阵来线性化系统模型和测量模型。
然后，通过应用卡尔曼滤波来处理线性化的系统和测量模型。
3. 粒子滤波：粒子滤波是一种基于蒙特卡洛方法的滤波器，用于处理非线性和非高斯的系统。
它通过使用一组粒子来表示系统的状态分布，并通过对每个粒子进行重采样和更新来更新状态分布。
这使得粒子滤波能够更好地适应非线性和非高斯分布的系统。
4. 扩展卡尔曼粒子滤波：扩展卡尔曼粒子滤波是将扩展卡尔曼滤波和粒子滤波相结合的一种方法。
它使用粒子滤波来近似状态分布，并通过在线性化非线性系统模型和测量模型来处理非线性问题。
具体而言，它使用粒子滤波来生成一组粒子，然后通过计算每个粒子的权重来更新状态分布。
最后，通过对具有较高权重的粒子进行重采样来更新粒子集合。
5. 优化方法：为了进一步优化扩展卡尔曼粒子滤波，可以采取以下方法：- 调整粒子数目：增加粒子的数量可以提高滤波器的精度，但也会增加计算复杂度。
因此，需要权衡精度和计算复杂度之间的关系，选择适当的粒子数目。
- 选择合适的重采样方法：重采样是粒子滤波的关键步骤，可以通过对低权重粒子进行更多采样来提高滤波器的性能。
常用的重采样方法包括系统性重采样、残差重采样和分层重采样等。
扩展Kalman滤波算法原理及应用
扩展Kalman滤波算法原理及应用随着科技的发展，各种传感器和控制系统的应用越来越广泛，很多智能化的设备需要使用滤波算法，提高其精度和鲁棒性。
在滤波算法中，扩展Kalman滤波（EKF）算法是一种非常常用的算法，可以广泛应用于各种工程领域，如自动控制、机器人导航、图像处理等，本文将介绍EKF算法的原理、特点以及应用。
一、Kalman滤波算法简介Kalman滤波算法是一种常用的状态估计算法，具有优秀的滤波效果。
它是由R.E. Kalman于1960年提出的，主要用于随机信号的滤波和估计。
Kalman滤波是一种基于线性系统和高斯噪声模型的最优估计算法。
它通过对样本点之间的关系建立一个能够描述它们在时间上的演变的状态模型，并根据观测值推算出状态量的概率分布，然后利用这个分布，根据Bayes公式进行矫正，得到最终的估计值。
二、扩展Kalman滤波算法原理扩展Kalman滤波算法是对Kalman滤波算法的一种改进，主要应用于非线性系统的估计。
与Kalman滤波相比，EKF基本思想是通过在预测和更新阶段线性化非线性系统模型来解决非线性系统问题。
EKF的步骤如下：1.定义状态变量向量：通过时间t来定义系统状态x（t），包含系统的全部状态信息。
2.建立状态转移方程：利用状态向量和噪声过程，建立状态转移方程，描述系统在各时间点的演变规律。
3.定义观测变量向量：通过时间t来定义系统的观测值Y（t），包含应用于系统的观测传感器的测量信息。
4.建立系统量测方程：通过状态转移方程和状态向量，以及观测传感器测量值，建立系统量测方程。
5.系统预测：预测状态的无偏估计值和方差。
6.状态更新：利用观测数据校正预测状态的无偏估计值和方差。
以上步骤在线性系统中都是可直接实现的，但非线性系统由于噪声，量测误差和模型误差等原因，使得状态转移方程和系统量测方程无法直接用之前的线性方程来解决。
因此，EKF在预测和更新过程中，均采用泰勒展开式对非线性芯片进行线性化处理，通过对状态转移和系统量测方程进行一阶泰勒展开，将非线性函数在某点的值近似为线性函数的值，从而得到线性化的状态转移方程和系统量测方程。
扩展卡尔曼滤波原理及其应用
A
引入：室内温度测量
假设当前室内温度仅跟上一时刻有关 温度计观测（摄氏－〉华氏） 根据连续的观测值来推算实际温度变化
A
引入：室内温度测量
假设当前室内温度仅跟上一时刻有关
◎但变化中可能有误差
温度计观测（摄氏－〉华氏）
◎读数可能有误差
两种噪声互不相关 根据连续的观测值来推算实际温度变化
A
经典卡尔曼滤波
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现 在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到 现在状态(k) 的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-
1))
……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)： Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
A
经典卡尔曼滤波
到现在为止，我们已经得到了k 状态下最优的估算值 X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到 系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1)
……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入 k+1状态时，P(k|k)就是式子(2) 的P(k-1|k-1)。这样，算 法就可以自回归的运算下去。
x odo
y
odo
im u
odo
A
1 0 0 t0 0 1 0 0 0
0 1
((aaxx__kkcsoisnaayyscions))tt
0 0 0 0
扩展卡尔曼滤波（EKF）理论讲解与实例（matlab、python和C++代码）
扩展卡尔曼滤波（EKF）理论讲解与实例（matlab、python和C++代码）扩展卡尔曼滤波（EKF）理论讲解与实例（matlab、python和C++代码）⽂章⽬录我们上篇提到的 （参见我的另⼀篇⽂章： ）是⽤于线性系统，预测（运动）模型和观测模型是在假设⾼斯和线性情况下进⾏的。
简单的卡尔曼滤波必须应⽤在符合⾼斯分布的系统中，但是现实中并不是所有的系统都符合这样 。
另外⾼斯分布在⾮线性系统中的传递结果将不再是⾼斯分布。
那如何解决这个问题呢？扩展卡尔曼滤波就是⼲这个事的。
理论讲解扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）通过局部线性来解决⾮线性的问题。
将⾮线性的预测⽅程和观测⽅程进⾏求导，以切线代替的⽅式来线性化。
其实就是在均值处进⾏⼀阶泰勒展开。
数学中，泰勒公式是⼀个⽤函数在某点的信息描述其附近取值的公式（ ⼀句话描述：就是⽤多项式函数去逼近光滑函数 ）。
如果函数⾜够平滑的话，在已知函数在某⼀点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以⽤这些导数值做系数构建⼀个多项式来近似函数在这⼀点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
表⽰ 在第 阶导数的表达式，带⼊⼀个值计算后得到的结果（注意，它是个值）是⼀个系数（⼀个值），每⼀项都不同，第⼀项 ，第⼆项 …… 依此类推是⼀个以为⾃变量的表达式 。
是泰勒公式的余项，是 的⾼阶⽆穷⼩KF 和EKF 模型对⽐⾸先，让卡尔曼先和扩展卡尔曼滤波做⼀个对⽐。
在对⽐过程中可以看出，扩展卡尔曼是⼀个简单的⾮线性近似滤波算法，指运动或观测⽅程不是线性的情况,在预测模型部分，扩展卡尔曼的预测模型和量测模型已经是⾮线性了。
为了简化计算，EKF 通过⼀阶泰勒分解线性化运动、观测⽅程。
KF 与EKF 具有相同的算法结构，都是以⾼斯形式描述后验概率密度的，通过计算贝叶斯递推公式得到的。
最⼤的不同之处在于，计算⽅差时，EKF 的状态转移矩阵（上⼀时刻的状态信息）和观测矩阵（⼀步预测）都是状态信息的雅克⽐矩阵（ 偏导数组成的矩阵）。
卡尔曼滤波器的原理与应用
卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。
预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。
2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。
更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。
通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。
3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。
扩展卡尔曼滤波器原理
扩展卡尔曼滤波器原理一、引言扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF）是一种常用的非线性滤波器，其原理是对非线性系统进行线性化处理，从而利用卡尔曼滤波器的优势进行状态估计和滤波。
本文将介绍扩展卡尔曼滤波器的原理及其应用。
二、卡尔曼滤波器简介卡尔曼滤波器是一种基于最优估计理论的滤波算法，广泛应用于估计系统状态。
卡尔曼滤波器通过对系统状态和观测数据进行加权平均，得到对系统状态的估计值。
其基本原理是通过系统的动力学方程和观测方程，利用贝叶斯概率理论计算系统状态的后验概率分布。
三、非线性系统的滤波问题在实际应用中，许多系统都是非线性的，而卡尔曼滤波器是基于线性系统模型的。
因此，当系统模型非线性时，传统的卡尔曼滤波器无法直接应用。
扩展卡尔曼滤波器就是为了解决这个问题而提出的。
四、扩展卡尔曼滤波器原理扩展卡尔曼滤波器通过对非线性系统进行线性化处理，将非线性系统转化为线性系统，然后利用卡尔曼滤波器进行状态估计。
其基本思想是通过一阶泰勒展开将非线性系统进行线性逼近。
具体步骤如下：1. 系统模型线性化：将非线性系统的动力学方程和观测方程在当前状态下进行一阶泰勒展开，得到线性化的系统模型。
2. 预测步骤：利用线性化的系统模型进行状态预测，得到预测的状态和协方差矩阵。
3. 更新步骤：利用观测方程得到的测量值与预测的状态进行比较，计算卡尔曼增益。
然后利用卡尔曼增益对预测的状态和协方差矩阵进行更新，得到最终的状态估计和协方差矩阵。
五、扩展卡尔曼滤波器的应用扩展卡尔曼滤波器广泛应用于各个领域，包括机器人导航、目标跟踪、航天器姿态估计等。
以机器人导航为例，机器人在未知环境中通过传感器获取的信息是非线性的，而机器人的运动模型也是非线性的。
因此，利用扩展卡尔曼滤波器可以对机器人的位置和姿态进行估计，从而实现导航功能。
六、总结扩展卡尔曼滤波器是一种处理非线性系统的滤波算法，通过对非线性系统进行线性化处理，利用卡尔曼滤波器进行状态估计和滤波。
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k 1 k t
1 0 F 0 0 0
0 0 t 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
t ( ax _ k sin ay cos ) t ( ax _ k cos ay sin ) t 1 0
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现 在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到 现在状态(k) 的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1))
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)： Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R)
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计 呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差来判断。 Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78 ，我们可以估算出k 时刻 的实际温度值是：23+0.78* (25-23)=24.56度。可以看出，因为 温度计的协方差比较小（比较相信温度计），所以估算出的最 优温度值偏向温度计的值。
扩展卡尔曼滤波原理及其应用
假设当前室内温度仅跟上一时刻有关 温度计观测（摄氏－〉华氏）
根据◎但变化中可能有误差
温度计观测（摄氏－〉华氏）
◎读数可能有误差
两种噪声互不相关 根据连续的观测值来推算实际温度变化
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟 的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单 位）。 假设你对你的经验不是 100%的相信，可能会有上下偏差几度。我 们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是 这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（ Gaussian Distribution）。 我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量 值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
xodo y odo imu odo
1 0 H 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
角真实值：164度
IMU数据
编码器数据
融合数据
位置坐标记录
里程计数据
融合数据
对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的 预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。 假如我们要估算k 时刻的是实际温度值。首先要根据k-1 时刻的 温度值，来预测k 时刻的温度。因为相信温度是恒定的，所以 得到k 时刻的温度预测值是跟k-1 时刻一样的，假设是23度，同 时该值的高斯噪声的偏差是5度 （5是这样得到的：如果k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就 是5）。 从温度计那里得到了k 时刻的温度值，假设是25度，同时该值 的偏差是4度。
1. 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系 统。假设现在的系统状态是k ，根据系统的模型，可以基 于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1) 式(1) 中，X(k|k-1) 是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1) 是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果 没有控制量，它可以为0。
f ( xk 1 ) F x h ( xk / k 1 ) Hk x
xk 1 xk vx _ k t yk 1 yk v y _ k t vx _ k 1 vx _ k (ax _ k cos ay sin ) t v y _ k 1 v y _ k (ax _ k sin ay cos ) t
……… (3)
……… (4)
到现在为止，我们已经得到了k 状态下最优的估算值X(k|k)。 但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程 结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance： P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入 k+1状态时，P(k|k)就是式子(2) 的P(k-1|k-1)。这样，算法就 可以自回归的运算下去。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就 是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。
在进入k+1时刻之前，我们还要算出k 时刻那个最优值（24.56度）的 偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2) ^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻 你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k 时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
2. 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应 于X(k|k-1) 的covariance还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2) 中，P(k|k-1) 是X(k|k-1) 对应的covariance，P(k-1|k-1) 是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是 系统过程激励噪声协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器 5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。