2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中考试数学试题(含答案)
（1）求数列{an}的通项公式 an； （2）若 bn＝ an log1 an ，Sn＝b1+b2+…+bn，求 Sn+n•2n+1＞50 成立的正整数
)
A．15
B．59
C．
5 3
D．1
4.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1＝3，前 3 项和为 21，则 a3＋a4＋
a5 等于(
)
A．33
B．72
C．84
D．189
5.在△ABC 中，∠A＝90°，A→B＝(2-k,2)，A→C＝(2,3)，则 k 的值是(
)
A．5
B．－5
C．32
D．－32
6. 已 知 ABC 的 三 内 角 A, B,C 所 对 边 长 分 别 是 a, b, c ， 若
sin B sin A 3a c ，则角 B 的大小为(
)
sin C
ab
A． 6
B． 2 3
C． 3
D． 5 6
7. 下列命题正确的是( )
A．若 a b b c ，则 a c ；
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域
内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
2ab
2
因为 0 < C < π ，所以 C = π .
3
………………………………4 分
（2）因为 2sin 2A + sin(2B + C) = sin C ，所以 4sin Acos A + sin( A − B) = sin( A + B) ， 所以 4sin Acos A + sin Acos B − cos Asin B = sin Acos B + cos Asin B ， 即 2sin Acos A = cos Asin B ，所以 cos A = 0 ，或 2sin A = sin B .
A． 1 尺 2
B． 8 尺 15
C． 16 尺 29
D． 16 尺 31
11. 船向正北航行，看见正西方向有相距 10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条
直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上，另一灯塔
在船的南偏西 75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )
A．5 n mlie
B．5 3 n mlie
C．10 n mlie
D．10 3 n mlie
12. 已 知 函 数
f(x) ＝ x ＋ 3sin(x － 12 ) ＋ 12 ， 则
f(
2
0119)＋
f(
2
0219 ) ＋ …
＋ f( 22
018 019
)
＝
() A．2 018 C．4 036
B．2 019 D．4 038
=
2an an + 2
，所以
1 an +1
=
1 an
+
1 2
，即
1 an +1
−
1 an
=
1 2
.
所以{ 1 } 是以 1 = 1 为首项， 1 为公差的等差数列.
an
a1
2
………………………………………6 分
所以
1 an
= 1 + (n − 1) × 1 2
，即 an
=
2 n +1
.
（2
）由（1）得
个选项中，只有一项是满足题目要求的．)
1.已知 a (x,3),b (3,1) ，且 a // b ,则 x (
)
A． 9
B．－9
C． 1
D．－1
2.若| a |＝4，| b |＝2， a 和 b 的夹角为 30°，则 a 在 b 方向上的投影为( )
A．2
B． 3
C．2 3
D．4
3.在△ABC 中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则 sinB＝(
an
( 2 )设 bn anan1 ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn .
21.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且 (a c)(sin A sinC) (b a)sinB 0 .
（1）求 C； （2）若 c 2 ， 2sin2A sin(2B C) sinC ，求 ABC 的面积.
18.( 本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c， 且有 2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
( 1 )求角 A 的大小； ( 2 )若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长．
19.( 本小题满分 12 分)已知等差数列{an}满足： a1 2 ，且 a1 ， a2 ， a5 成等比数 列.
4
=_______.
15.数列 an 的前ｎ项的和 Sn =3n2＋n＋1，则此数列的通项公式 an =_______.
16. 已 知 平 面 上 不 重 合 的 四 点 P ， A ， B ， C 满 足 P A P B P C0 ， 且
A B A C m A，P那么实数 m 的值为____________． 三、解答题：(本大题共六小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)
（2）当 an = 2 时， Sn = 2n . 显然 2n < 60n + 800 ，
此时不存在正整数 n，使得 Sn > 60n + 800 成立.
当 a=n
4n= − 2 时， Sn
n= [2 + (4n − 2)] 2
2n2 .
令 2n2 > 60n + 800 ，即 n2 − 30n − 400 > 0 ，
x + 2y =2x + y
得
x2
+
y2
= 1
，………………………………………4 分
x = 即
2 2
x 或
=
−
2 2
y
=
2 2
y
=
−
2 2
c = ( 2 , 2 ) 或 (− 2 , − 2 )
22
22
………………………………………10 分
18．解：(1)(方法一)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB. 1
1 an
= 1 + (n − 1) × 1 2
，即 an
=
2 n +1
.
bn
=
an an +1
=
n
2 +1
×
n
2 +
2
=
4( n
1 +1
−
n
1 +
) 2
，
所以数列{
bn
}前
n
项和
Tn
=
4[(
1 2
−
1) 3
+
(1 3
−
1) 4
++
(
n
1 +1
−
n
1 +
)] 2
= 4( 1 − 1 ) = 2n .
(2 + d )2 = 2(2 + 4d ) ，
化简得 d 2 − 4d = 0 ，解得 d = 0 或 d = 4 .
当 d = 0 时， an = 2 ； 当 d = 4 时， an = 2 + (n −1) ⋅ 4 = 4n − 2 ，
数列{an} 的通项公式为 an = 2 或 a=n 4n − 2 ……………………………………6 分.
由于 0<A<π，故 A＝3π. ………………………………………6 分
(2)(方法一)因为
A→D ＝A→B＋2 A→C ＝14(A→B ＋A→C ＋2A→B·A→C) 2
E
2
2
2
E
AP
P
A
A
A
E AP
P
A
E AP
P
E
A
EA
A
EA
＝14(1＋4＋2×1×2×cosπ3)＝74，
所以|A→D|＝
7 2 .从而
17.( 本小题满分 10 分) 求与向量 a (1, 2) ， b (2,1) 夹角相等的单位向量 c
的坐标 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
2019-2020 学年度第二学期武汉市三校联合体期中考试
高一数学
考试时间：2020 年 4 月 25 日 8：00-10:00 试卷满分 150 分．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
因为 sinB≠0，所以 cosA＝2.
由于 0<A<π，故 A＝3π. ………………………………………6 分
b2＋c2－a2 a2＋b2－c2 b2＋c2－a2
【数学】湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试试题
参考答案一、 选择题1-12、ACBCA DBDDC C A二、填空题：13．锐角；14. 13-6√2；15. 5,162,2n n n =⎧⎨-≥⎩；16.3 三、解答题:17.解：解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，………………………………………4分即22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(,22c=或(22-- ………………………………………10分18．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc.于是b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72. ………………………………………12分 (方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝1＋34＝72. ………………………………………12分 19．（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-……………………………………6分.（2）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==. 令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41.综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. ………………………………………12分.20．解：（1）因为221+=+n n n a a a ，所以21111+=+n n a a ，即21111=-+n n a a . 所以}1{na 是以111=a 为首项，21为公差的等差数列. ………………………………………6分所以21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . （2 ）由（1）得21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . )2111(422121+-+=+⨯+==+n n n n a a b n n n ， 所以数列{n b }前n 项和)]2111()4131()3121[(4+-+++-+-=n n T n 22)2121(4+=+-=n n n . ………………………………………12分 21.解： (1)由0sin )()sin )(sin (=-++-B a b C A c a 及正弦定理，得0)())((=-+-+a b b c a c a ，化简，得ab c b a =-+222. 由余弦定理，得212cos 222=-+=ab c b a C . 因为π<<C 0，所以3π=C . ………………………………4分（2）因为C C B A sin )2sin(2sin 2=++，所以)sin()sin(cos sin 4B A B A A A +=-+， 所以B A B A B A B A A A sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=-+， 即B A A A sin cos cos sin 2=，所以0cos =A ，或B A sin sin 2=. （ⅰ）当0cos =A 时，ABC ∆为直角三角形，2π=A ，6π=B ，3π=C . 由2=c 得，332=b ，所以33221==∆bc S ABC （ⅱ）当B A sin sin 2=时，a b 2=，此时22223a ab b a c =-+=. 因为2=c ，所以342=a ，所以332sin 21==∆C ab S ABC . 所以，ABC ∆的面积为332. ………………………………12分 22. （1）∵a n+12﹣a n+1a n ﹣2a n 2＝0，∴（a n+1+a n ）（a n+1﹣2a n ）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣2a n ＝0，即a n+1＝2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2+a 4＝2a 3+4，∴2a 1+8a 1＝8a 1+4，∴a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．......................................4分（2）由（1）及b n ＝12log n n a a ，得，b n ＝﹣n•2n ，∵S n ＝b 1+b 2++b n ， ∴S n ＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n ①∴2S n ＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n ﹣1）•2n ﹣n•2n+1②①﹣②得，S n ＝2+22+23+24+25++2n ﹣n•2n+1＝， 要使S n +n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52， ∴使S n +n•2n+1＞50成立的正整数n 的最小值为5．......................................12分。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题1-附答案(已审阅)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中测试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=45O．则角Ｂ等于（ ） A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）<v<2a b+ D. v=2a b+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量a 和b ，且≠0a ，a ≠ b ，1b =，a 和b －a 夹角为1３5o ，则a 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=--．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤ ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题2-附答案(已纠错)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题2-附答案(已审阅)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
2019-2020学年武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,x −2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 的值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −12B. 12C. −√32 D. √323. 在△ABC 中，a =15，b =10，sin A =√32，则sin B = ( )A. √55B. √53C. √35D. √334. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2a 6=4，则a 4=( )A. 2B. 1C. −2D. 45. 已知向量a ⃗ =(2,1),b ⃗ =(−6,k),a ⃗ ⊥b⃗ ，则k =( ) A. −12 B. −6 C. 6D. 126. 已知△ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若c−bc−a =sinAsinC+sinB ，则B =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π37. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列结论一定成立的是( ) A. A 与C 重合 B. A 与C 重合，B 与D 重合 C. |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |D. A 、B 、C 、D 、四点共线8. 如图，△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，正确的是( )． A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +34b ⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =54a ⃗ +14b ⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =54a ⃗ −14b ⃗9. 在△ABC 中，b 2−bc −2c 2=0，a =√6，cosA =78，则△ABC 的面积为( )A. √15B. √152C. 2D. 7210. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=40，S 9=126，则S 7等于( )A. 66B. 68C. 77D. 8411. 已知一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A. 20(√2+√6)海里/时B. 20(√6−√2)海里/时C. 20(√6+√3)海里/时D. 20(√6−√3)海里/时12. 已知f(x)={2x −1,x <12f(x −1)+1,x ⩾12，则f (14)+f (76)=( )． A. −16B. 16C. 56D. −56二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 在△ABC 中，若a 2+b 2<c 2，且sinC =√32，则∠C =________。
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体2019级高一下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年武汉市三校联合体2019级高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题（共12小题）1．已知a→=（x，3），b→=（3，1），且a→∥b→，则x＝（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣12．若|a→|=4，|b→|=2，a→和b→的夹角为30°，则a→在b→方向上的投影为（）A．2 B．√3C．2√3D．43．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A=13，则sin B＝（）A．15B．59C．√53D．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33 B．72 C．84 D．1895．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．32D．−326．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若sinB−sinAsinC =√3a+ca+b，则角B的大小为（）A．π6B．5π6C．π3D．2π37．下列命题正确的是（）A ．若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →B ．|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⋅b →=0C ．若a →与b →是共线向量，b →与c →是共线向量，则a →与c →是共线向量D ．若a →0与b →0是单位向量，则a →0⋅b →0=1 8．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →=x OA →+y OB →，且BP →=3PA →，则（ ）A ．x =23，y =13B ．x =13，y =23C ．x =14，y =34D ．x =34，y =149．已知△ABC 中，a =√5，A =π3，b +c =√2bc ，则△ABC 的面积为（ ） A ．58B ．√34C ．√3D ．5√3810．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）。
湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题+Word版含答案
数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。
2019-2020学年武汉十五中等三校联考高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年武汉十五中等三校联考高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知a >b ，则下列不等式成立的是( )A. a 2>b 2B. a 3>b 3C. 1a <1bD. ac 2>bc 22. 在中，，则等于( )A.B.C.D.3. 已知△ABC ，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sinA +sinB =cosA +cosB ，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,3)，则b ⃗ −a ⃗ =( )A. (−2,1)B. (2,−1)C. (−1,2)D. (1,2)5. 在△ABC 中，∠A =30°，AB =√3，BC =1，则cos C 等于( )A. 12B. √32C. 12或−12D. √32或−√326. 已知△ABC 中，tanA +tanB +√3=√3tanAtanB 且，sinBcosB =√34，则△ABC 是( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形7. 正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1，则1m +9n 的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知P 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，若△PBC ，△PAB ，△PCA 的面积分别为x ，y ，z ，记ℎ(x,y ，z)=1x +4y +9z ，则ℎ(x,y ，z)的最小值为( )A. 26B. 32C. 36D. 489. 在△ABC 中，若(b −bcosB)sinA =a(sinB −sinCcosC)，则这个三角形是( )．A. 等腰直角三角形B. 底角不等于45°的等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 锐角不等于45°的直角三角形10. 若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA⃗⃗⃗⃗⃗ B. 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则A. B.C.D.12. 若函数f(x)=2e x −ax 2+(a −2e)x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (0,e)C. [1,e)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若不等式a 2+10b 2+c 2≥tb(a +3c)对一切正实数a ，b ，c 恒成立，则实数t 的取值范围是______． 14. 已知x >−3，则x +8x+3的最小值为______ ．15. 已知向量a ⃗ =(cos36°,sin36°)，b ⃗ =(cos24°,sin(−24°))，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．16. 设平面向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,√cos 2x −34)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a⃗ =(cosωx −sinωx,sinωx)，向量b ⃗ =(−cosωx −sinωx,2√3cosωx)，设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，(x ∈R)的图象关于直线x =π对称，其中ω为常数，且ω∈[12,1]．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0,3π5]上的取值范围．18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b+c)(a−b+c)=3ac．(I)求B(Ⅱ)若f(x)=√3−sinωx−2√3sin2ωx的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π，求2f(A)的值域．19.如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．(1)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗△EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗△EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB−bsinB=c，且cosA=−1．3 (Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若c=7，求△ABC的面积．21.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点且CA⊥CB，求a的值．22.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．【答案与解析】1.答案：B解析：解：当0>a>b时，a2<b2，故A错；a>b，a3>b3成立，故B正确；若a>0>b时，1a >1b，故C错；当c=0时，ac2=bc2，故D错．故选：B．分别根据不等式的性质及特殊值法逐一判断即可得结论．本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.答案：C解析：试题分析：，，，则，因此，，因此，故选C．考点：1.三角形的内角和定理；2.正弦定理3.答案：B解析：解：∵sinA+sinB=cosA+cosB，∴sinA−cosA=cosB−sinB，两边平方得sin2A−2sinAcosA+cos2A=sin2B−2sinBcosB+cos2B，∴1−2sinAcosA=1−2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，则2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，当A=B时，sinA+sinB=cosA+cosB等价为2sinA=2cosA，∴tanA=1，即A=B=π4，此时C=π2，综上恒有C=π2，∴△ABC直角三角形，故选：B．由条件sinA+sinB=cosA+cosB转化为sinA−cosA=cosB−sinB，然后两边平方即可得到结论．本题主要考查同角的三角关系式的计算，利用平方法得到sin2A=sin2B是解决本题的关键，本题容易选错答案D．4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．解：b⃗ −a⃗=(1,3)−(2,1)=(−1,2)，故选C．5.答案：C解析：利用正弦定理求得sin C，进而求得C，则cos C可得．本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对基础知识的运用．解：由正弦定理知BCsinA =ABsinC，，，或，或−12．故选C6.答案：A解析：解：∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB，得：tanA+tanB1−tanAtanB=−√3，即tan(A+B)=−√3，∴A +B =120°，C =60°， 又sinBcosB =√34，∴sin2B =√32， 则2B =60°或2B =120°，即B =30°或B =60°， 若B =30°，则A =90°，tan A 不存在，不合题意； 若B =60°，则A =C =60°，△ABC 为正三角形． 故选：A ．利用两角和的正切求得A +B ，再由倍角公式求得B ，则答案可求．本题考查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题．7.答案：D解析：解：∵正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5， ∴q 6=q 5+2q 4， q =2，q =−1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1， ∴(a 1)2⋅2m−1⋅2n−1=4(a 1)2， 即m +n =4， ∴1m+9n=14(m +n)(1m+9n)=14(10+9m n+n m)≥14×(10+6)=4，(n =3m 等号成立)故选：D根据数列的性质得出m +n =4，运用基本不等式1m +9n =14(m +n)(1m +9n )=14(10+9m n+nm )≥14×(10+6)=4，(n =3m 等号成立)求解即可．本题考查数列的性质，基本不等式的运用，属于中档题，难度不大．8.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，利用基本不等式求最值，涉及三角形的面积公式，属于中档题．由向量的数量积公式求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合三角形的面积公式可得，进而x +y +z =1，将乘以(x +y +z)后得到，展开后利用基本不等式即可求出ℎ(x,y ，z)的最小值． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos30°=2√3， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ．=1+4+9+4x y +y x +9x z +z x +4z y +9yz≥14+2√4x y ×y x +2√9x z ×z x +2√4z y ×9yz=14+4+6+12=36， 当且仅当4xy =y x ,9xz=z x,4zy=9yz，{y =2xz =3x 3y =2z，即x:y:z =1:2:3时，取等号． ∴ℎ(x,y,z)的最小值为36， 故选C ．9.答案：C解析：由正弦定理化简已知等式可得：bcosB =ccosC ，利用余弦定理化简可得b ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ⋅a 2+b 2−c 22ab，整理解得：b =c 或a 2=b 2+c 2，即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理的综合应用，考查了分类讨论思想，属于基本知识的考查．解：∵(b −bcosB)sinA =a(sinB −sinCcosC)， ⇒(b −bcosB)a =a(b −ccosC)， ⇒b −bcosB =b −ccosC ， ⇒bcosB =ccosC ， ∵由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac，cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴b ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ⋅a 2+b 2−c 22ab，整理可得：a 2(b 2−c 2)=(b 2+c 2)(b 2−c 2)，∴解得：b =c 或a 2=b 2+c 2，即这个三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：C ．10.答案：A解析：解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 故选D ．12.答案：D解析：本题考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，构造函数和运用导数判断单调性，画出图象是解题的关键，属于难题． 由题意可得f(1)=0，则方程转化为a =2(e x −ex)x 2−x有两个不同的实数根．设g(x)=2(e x −ex)x 2−x，求出导数，判断函数值的符号和对x 讨论，x <0，0<x <1，x >1三种情况，判断单调性，画出图象，即可得到所求a 的范围．解：函数f(x)=2e x −ax 2+(a −2e)x ， 可得f(1)=2e −a +a −2e =0， 即有x =1为f(x)的一个零点，当x ≠1时，由2e x −ax 2+(a −2e)x =0，得a=2(e x−ex)x2−x有两个不同的实数根．设g(x)=2(e x−ex)x2−x，由y=e x−ex的导数为y′=e x−e，当x>1时，y′>0，y=e x−ex递增；当x<1时，y′<0，y=e x−ex递减．即有x=1处，y=e x−ex取得最小值，且为0，即e x−ex≥0，当x<0时，x2−x>0，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0．由g′(x)=2(x 2e x−3x⋅e x+ex2)(x2−x)2，可设ℎ(x)=x2e x−3xe x+e x+ex2，显然当x<0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)递增；又ℎ(x)=xe x(x+1x −3+exe x)，再令m(x)=x+1x −3+exe x，m′(x)=1−1x2+e(1−x)e x=(x−1)(1x2+e x−exx⋅e x)，即0<x<1时，m(x)递减；x>1时，m(x)递增．则m(x)>m(1)=0，ℎ(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，即有g′(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，则g(x)在(0,1)，(1,+∞)递增，画出函数y=g(x)的图象，可得a>0时，函数y=g(x)的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a>0时，f(x)=e x−ax2+(a−e)x有三个不同的零点．故选：D．13.答案：(−∞,2]解析：解：不等式a2+10b2+c2≥tb(a+3c)对一切正实数a，b，c恒成立，∴t≤a2+10b2+c2b(a+3c)；设ℎ=a 2+10b2+c2b(a+3c)，a、b、c是正实数，则ℎ=(a2+b2)+(9b2+c2)ab+3bc ≥2ab+2⋅3bcab+3bc=2，∴t≤2；∴实数t的取值范围是(−∞,2]．故答案为：(−∞,2]．根据不等式对一切正实数恒成立，得出t≤a 2+10b2+c2b(a+3c)，求出ℎ=a2+10b2+c2b(a+3c)的最小值即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题．14.答案：4√2−3解析：解：∵x>−3，∴x+3>0，∴x+8x+3=x+3+8x+3−3≥2√(x+3)8x+3−3=4√2−3，当且仅当x+3=8x+3即x=2√2−3时取等号，故答案为：4√2−3．由题意可得x+3>0，可得x+8x+3=x+3+8x+3−3，由基本不等式可得．本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15.答案：12解析：解：由题意可得，a⃗⋅b⃗ =cos36°cos24°+sin36°sin(−24°)=cos36°cos24°−sin36°sin24°=cos(36°+24°)=cos60°=12故答案为：12直接利用向量的数量积的坐标表示，然后结合两角和的余弦公式进行化简即可求解本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题16.答案：[−12,√2 2]解析：解：a⃗⋅b⃗ =sinx+√cos2x−34=sinx+√14−sin2x，要使√14−sin2x有意义，必需14−sin2x≥0，化为sin2x≤14，∴−12≤sinx≤12．令sinx=t∈[−12,12 ]．则f(t)=a⃗⋅b⃗ =t+√14−t2．f′(t)=1−√4−t2=√1−4t2−2t√1−4t2，令f′(t)=0，解得t=√24．当−12≤t<√24时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；当√24<t≤12时，f′(t)≤0，函数f(t)单调递减．∴当t=√24时，f(t)取得最大值，且f(√24)=√24+√14(√24)=√22．又f(−12)=−12，f(12)=12，∴f(t)的最小值为−12．∴f(t)即a⃗⋅b⃗ 的取值范围是[−12,√22]．故答案为：[−12,√22]．由数量积的坐标运算可得a⃗⋅b⃗ =sinx+√cos2x−34=sinx+√14−sin2x.要使√14−sin2x有意义，必需14−sin2x≥0，可得−12≤sinx≤12.令sinx=t∈[−12,12]，f(t)=a⃗⋅b⃗ =t+√14−t2.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题综合考查了数量积运算、三角函数的基本关系式、三角函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、换元法，属于难题．17.答案：解：(1)向量a⃗=(cosωx−sinωx,sinωx)，向量b⃗ =(−cosωx−sinωx,2√3cosωx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，所以f(x)=sin2ωx−cos2ωx+2√3sinωx⋅cosωx=−cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx−π6)，由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ−π6)=±1，所以2ωπ−π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z)．又ω∈[12,1]，k∈Z，所以k=1，故ω=56．所以f(x)的最小正周期是6π5．(2)因为f(x)=2sin(53x−π6)，由0≤x≤3π5，得−π6≤53x−π6≤5π6，所以−12≤sin(53x−π6)≤1，得−1≤2sin(53x−π6)≤2故函数f(x)在[0,3π5]上的取值范围为[−1,2]．解析：(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式为：y=2sin(2ωx−π6)，然后求解函数的周期．(2)通过x的范围求出相位的范围，利用三角函数的有界性求解函数的最值即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的简单性质以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：(1)(a+b+c)(a−b+c)=3ac．∴a2+c2−b22ac =12，∴cosB=12，B=π3．(2)f(x)=√3−sinωx−2√3sin2ωx2=√3−sinωx−2√3⋅1−cosωx2=2cos(ωx+π6)，由题意知函数f(x)的周期为4π，∴ω=2πT =12，∴f(x)=2cos(π2+π6)，∴f(A)=2cos(A2+π6)，∵0<A<2π3，∴π6<A2+π6<π2，∴0<cos(A2+π6)<√32，∴0<f(A)<√3，∴f(A)的值域为(0,√3).解析：(1)根据已知等式求得cos B ，进而求得B ．(2)利用二倍角公式对函数解析式进行化简，根据函数的周期求得ω，得到函数解析式，根据A 的范围确定f(A)的范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生综合运用三角函数知识的能力．19.答案：解：(1)①当0≤x <0.5时，△EMN 的高是0.5−x ，底是1+2x(可以由三角形相似得到)，∴f(x)=12(0.5−x)(1+2x)=12(0.5−2x 2)，②当1.5≥x ≥0.5时，△EMN 的高是x −0.5，底是2√1−(0.5−x)2， ∴f(x)=(x −0.5)√3+4x−4x 24， ∴f(x)={12(12−2x 2)0≤x <12(x −12)√3+4x−4x 2412≤x ≤32，(2)当0≤x <0.5时，f(x)是单调递减的，f(x)的最大值为f(0)=14， 当1.5≥x ≥0.5时，f(x)是在(12,1+√22)上单调递增，在(1+√22,32)上单调递减，∴f(x)的最大值为f(1+√22)=12，∴当x =1+√22时，三角形面积最大，最大面积为12．解析：(1)三角形的面积与x 的关系是分段函数，所以分类讨论即可． (2)求出每一段上的最大值．再找到最大的一个即可．本题考查分段函数求解析式，所以分类讨论即可．求最大值时，只需求出每一段上的最大值，再找到最大的一个即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得∵cosA =−13，由acosB −bsinB =c ，∴sinAcosB −sinBsinB =sin(A +B)， ∴−sinBsinB =cosAsinB ⇒sinB =−cosA ， ∵cosA =−13，∴sinB =−cosA =13；(Ⅱ)∵cosA=−13，sinB=13，，，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×2√23−13×13=79，又由正弦定理得：bsinB =csinC⇒b=3，SΔABC=12bcsinA=12×7×3×2√23=7√2．解析：(Ⅰ)利用已知条件结合正弦定理以及三角形的内角和化简表达式，然后求sin B的值；(Ⅱ)通过sinC=sin(A+B)，结合两角和的三角函数，求出sin C的值，利用正弦定理求出b，即可求△ABC的面积．本题考查正弦定理的应用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)曲线y=x2−6x+1与y轴交点为(0,1)，与x轴交点为(3+2√2,0)，(3−2√2,0)设该圆圆心C(3,t)，则32+(t−1)2=(2√2)2+t2，解得：t=1，∴圆C的半径为r=√32+(t−1)2=3，故得圆C的方程为(x−3)2+(y−1)2=9．(2)由题意∵CA⊥CB，∴|AB|=3√2∴|AB|×d=9，∴点C到AB的距离d=√2即d=2=2，即|a+2|=3∴a=1或−5．解析：(1)求解曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点坐标，设圆心，求解方程；(2)根据CA⊥CB，即可求解|AB|的长度，结合弦长公式即可求解．本题考查了直线与圆的位置的关系，点到直线的距离，圆的方程求法．属于基础题．22.答案：解：(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=12×√22+√32×√22=√6+√24；(2)∵∠CAB=75°，∠CBA=45°∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=60°，由正弦定理得：ABsin∠ACB =BCsin∠CAB∴BC=ABsin75°sin60∘，如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD=BDBC，∴BD=BCsin45°=ABsin75°sin60∘⋅sin45°=100×√6+√24√32×√22=25(6+2√3)3=50(3+√3)3(米)．解析：(1)由题意利用两角和公式即可；(2)由题意画出简图，在三角形中利用正弦定理先求出BC的长度，然后过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，由题意可得BD的长就是该河段的宽度，在三角形中解出即可．此题考查了学生的题意理解，还考查了正弦定理解三角形，两角和公式，还考查了学生的计算能力，属于基本题型．。
【精准解析】湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．) 1.数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】16256()6()6(39)636222a a a a S +⋅+⋅+⨯====.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.2.若向量a →，b →满足()5a a b →→→⋅-=，||2a →=，1b →=，则向量a →，b →的夹角为（ ） A.6π B.3πC.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式()5a a b →→→⋅-=进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】222()55cos 5221cos 5a a b a a b a a b a b a b →→→→→→→→→→→→→⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅〈⋅〉=⇒-⋅⋅〈⋅〉=，即12cos ,[0,],23a b a b a b ππ→→→→→→〈⋅〉=-〈⋅〉∈∴〈⋅〉=-.故选：C【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A.6π B.3πC.6π或56π D.3π或23π 【答案】D 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或23A π=．选D ． 点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意． 4.在ABC ∆中，12BD DC =，则AD =（ ） A.1344AB AC B. 2133AB AC +C.1233AB AC + D.2133AB AC - 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】11121()().33333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=+-+=+故选：B【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量加法的几何意义，考查了共线向量的性质，属于基础题.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的定义、等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意可知：每天走的路程构成12为公比的等比数列，设为{}{}(1,2,3,4,5,6)n a n ∈，所以第一天走的路程为1a ，设6天共走的路程为6S ，则有61611[1()]2378192112a S a -==⇒=-，因此第4天走的路程为：34111()1922428a a =⋅=⨯=.故选：B【点睛】本题考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式，考查了数学运算能力和数学阅读能力.6.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B. 12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的下标性质，结合诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以由23159********()8882a a a a a a a a a a ⋅⋅=-⇒⋅⋅=-⇒⋅=-⇒=-⇒=-，又因为数列{}n b 是等差数列，所以由2582855555332333b b b b b b b b b b πππππ++=⇒++=⇒+=⇒=⇒=，46523752222sinsin sin sin()sin sin()sin 11143333b b b a a a ππππππ+∴===-=-=--=-=---【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的下标性质，考查了特殊角的正弦值，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.7.钝角三角形ABC 的面积是2，2AB =，3BC =，则AC =（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理和已知三角形是钝角三角形进行求解即可.【详解】因为钝角三角形ABC 的面积是，所以有1sin sin 2AB BC B B ⋅⋅=⇒=， 因为(0,)B π∈，所以3B π=或23B π=.当3B π=时，AC ===2AB =，3BC =，所以最长边为BC ，于是有222cos 02AB AC BC A AB AC +-===>⋅，因此三角形ABC 的最大内角A 是锐角，这与已知三角形ABC 不符合，故舍去；当23B π=时，AC ===. 故选：D【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了余弦定理的应用，考查了钝角三角形的性质，考查了数学运算能力.8.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2cos aB c=，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．【详解】由2cos a B c =及余弦定理得22222222a c b a c b aac ac c+-+-⨯==，整理得22c b =， ∴b c =，∴ABC ∆为等腰三角形． 故选A ．【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择． 9.如图，已知等腰ABC ∆中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）A. 为定值10B. 为定值6C. 最大值为18D. 与P 的位置有关【答案】A 【解析】 【分析】设(01)BP BC λλ=≤≤，根据平面向量数量积运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设(01)BP BC λλ=≤≤.()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+，因为()()()()22BC AB AC BA AC AB AC AC ABλλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅=. 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.在ABC ∆中，三边长可以组成公差为1形的面积为（ ）A.1516B.16C.154D.4【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】设ABC ∆最小边的边长为a ，由题意可知，另个二个边的边长分别为：1,2a a ++，显然三边不相等，且边长为2a +的边为最长边，它所对的角为最大角，设为α. 因为最大角sin (0,),ααπ=∈∴3πα=或23πα=. 当3πα=时，因为最大角为3π，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去； 当23πα=时，由余弦定理可知：22222(2)(1)2(1)cos2303a a a a a a a π+=++-+⇒--=，解得32a =或1a =-（舍去），因此三边长分别为：357,,222，因此三角形面积为：135222⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的性质，考查了数学运算能力.11.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 56B. 106C. 102D. 202【答案】A 【解析】 【分析】连接AB ，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC ∆、BCD ∆、ABD ∆使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB ，由题意可知：10,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD ︒︒︒︒=∠=∠=∠=∠=，所以有45,60DAC ADB ︒︒∠=∠=.在ADC ∆中，由正弦定理可知：52sin sin AD CDAD ACD CAD =⇒=∠∠.在Rt BCD ∆中，cos 102CDBDC BD BD∠=⇒=. 在ABD ∆中，由余弦定理可知：222cos 56AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力.12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A. 9-B. 8C. 1019-D. 1018【答案】B 【解析】 【分析】 分别令1,2,3,4,,2019,2020n =代入等式()()1211n n n n a a n +++=⋅-中，得到2020个等式，把2020个等式相加，再根据这些等式，求出2020S 的表达式，最后结合已知20211001S =进行求解即可.【详解】因为()()1211n n n n a a n +++=⋅-，所以有：121,(1),a a +=-，2334452,(2),3,(3),4,(4),,a a a a a a +=-+=+=201920202019,(2019)a a += 202020212020,(2020)a a +=，(1)(2)(3)(4)(2019)(2020)++++++，得：20202021120202021150542020S S a S S a +-=⨯⇒+-=，(1)(3)(2019)+++，得：20201010S =，因此12021202020201001101020209a S S =+-=+-=-，而121a a +=-，因此2118a a =--=. 故选：B【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想，属于基础题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上．)13.已知,a b 为单位向量，其夹角为120︒，则a b -=______. 【解析】 【分析】 由公式2||a a =将a b -看成一个整体，即2||()a b a b -=-直接进行运算.【详解】由题意得：2221||()222()2a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⋅-=.【点睛】本题考查向量模的求解、数量积的运算，考查运算求解能力，求解时注意夹角为120︒余弦值为12-，不能符号弄错. 14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =_________．【答案】n 453+【解析】 【分析】运用累加法，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】当2n ≥时，2(1)11124n n n n n a a a ----=+=+，所以有： 121122111()()()44434(14)453,143n n n n n n n n n a a a a a a a a ------=-+-++-+=++++-+=+=-当1n =时，也上适合上式，所以n a =n 453+.故答案为：n 453+【点睛】本题考查了应用累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.15.若等比数列*{}()n a n N ∈满足1330a a +=，2410a a +=，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为____． 【答案】729 【解析】 【分析】求出基本量1a ，q 后可得数列的通项，判断1n a ≥、01n a <<何时成立可得n 取何值时有12...n a a a ⋅⋅⋅的最大.【详解】设公比为q ，因为1330a a +=，2410a a +=，所以241313a a q a a +==+，所以111309a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得127a =，所以1412733n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 当14n ≤≤时，1n a ≥；当5n ≥时，01n a <<，故12...n a a a ⋅⋅⋅最大值为32106123123433729a a a a a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅===，故填729. 【点睛】正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，其公比为q （1,0q q ≠>）（1）若101a <<，则当1q >时，n T 有最小值0n T 无最大值，且0011,1n n a a +≤≥；当01q <<时，n T 有最大值1T ，无最小值.（2）若11a >，则当01q <<时，n T 有最大值0n T 无最小值，且0011,1n n a a +≥≤；当1q >时，n T 有最小值1T ，无最大值.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为_________．【答案】4【解析】 【分析】根据正弦定理化简等式，再根据余弦定理求出C 的大小，最后根据基本不等式和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由(sin sin )(3)()sin ()(3)()(3)(3)(),C B b a b A c b b a b a b b a b a -+=+⇒-+=+⇒-+=+化简得：229a b ab ++=，而由余弦定理可知；22292cos c a b ab C ==+-⋅，因此12cos ,(0,),23C C C ππ=-∈∴=.222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），923ab ab ab -≥⇒≤.设ABC ∆面积为S ，于是有112sin sin 22344S ab C ab ab π===≤.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】（Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.18.已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）根据n a 的正负性，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意：245,,a a a 是等比数列，所以有()()()210104103d d d -+-+=-+ 解得：2d =或0（舍去）， 所以212n a n =-；（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有2(10212)112n n n nT S n n -+-=-=-=-；当7n ≥时，0n a >，662(10212)(100)62116022n n n n T S S S n n -+--+⨯=--=-⨯=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力19.在四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =BC ．【答案】；（Ⅱ）3BC =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （Ⅱ）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 6ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（Ⅱ）由题设及（1）知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）29n a n =-；（Ⅱ）n T =()727nn --．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列{}n a 的前n 项n S 最值的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是7-＋3d ≤0，7-＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数，因此d ＝2．故数列{a n }的通项公式为29n a n =- （2） ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，考查了数学运算能力.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）9+．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可；（Ⅱ）根据三角形面积公式，结合完全平方和公式和（Ⅰ）中结论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+． 由正弦定理可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得222cos 122a b c C ab +-==，(0,),3C C ππ∈∴=；（2）1sin 2ABC S ab C ∆=4ab ==20ab =，因为222c a b ab =+-，c =，所以2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9+【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算能力.22.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ；（Ⅱ）[332，+∞）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）对递推关系21444n n a S n +=++再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进行求解即可；（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为2、公差为2的等差数列， 所以22(1)2na n n =+-=；（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272n n m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272n n -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力.。
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列中，，，则的值为A. B. C. 5 D. 以上都不对2.向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是A. B.C. 且D.3.在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，若，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱5.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为A. 1B.C. 2D.6.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，若，则的外接圆面积为A. B. C. D.7.已知数列中，且单调递增，则k的取值范围是A. B. C. D.8.在中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围是A. B. C. D.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东的方向直线航行，20分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东，在B处观察，灯塔在其正东方向，那么两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里10.，，，点C在内，且，设、，则等于A. B. 3 C. D.11.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则A. B. C. D.12.给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，，则的最小值为A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列命题中正确的有______填序号两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若，，则；若，，则14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设是数列的前n项和，且，，______．16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，的面积为，则当的值最小时的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．若，且，求的坐标；若，且与垂直，求与的夹角．18.在中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且．求角B的大小；若，，求的面积．19.设为等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式：求的最大值及此时n的值．20.已知向量，且．求及；若，求的最大值和最小值．21.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．求角A的大小；若，求的取值范围．22.已知数列各项均为正数，为其前n项的和，且，，成等差数列．写出、、的值，并猜想数列的通项公式；证明中的猜想；设，为数列的前n项和，求．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，，，，，则，即，即数列是周期为3的周期数列，，，故选：B．根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：；与的夹角为钝角；，且不平行；；，且．故选：C．可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，属于基础题．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得，从而可得或或舍去．【解答】解：，，由正弦定理得：，，，，或，或或舍去，故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的应用，是基础题．依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，由题意求得，结合，求得，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则由题意可知，，即，又，，则．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，考查向量垂直，属基础题．先根据向量垂直，得到，再根据投影公式即可求出．【解答】解：平面向量是非零向量，，，，即，即，向量在向量方向上的投影为．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．【解答】解：，若，，可得：，，由，可得：，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，解得，可得的外接圆面积为．故选D．7.答案：B解析：解：数列中，且单调递增对于恒成立即对于恒成立对于恒成立，即故选：B．该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得对于恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8.答案：A解析：解：在中，当时，三角形ABC有两组解，所以，，，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足，即．故选：A．有两组解，所以，代入数据，求出x的范围．本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．9.答案：C解析：解：根据题意画出图形，如图所示；易知在中，海里，，，根据正弦定理得，解得海里．故选：C．由题意画出图形，利用正弦定理直接求解即可．本题考查了正弦定理的实际应用问题，关键是转化出条件，是基础题．10.答案：B解析：解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：B．将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11.答案：D解析：解：等差数列的公差，，都有，，，．故选：D．由，都有，可得，，，再根据等差数列的性质即可判断．本题考查等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：给定两个单位向量，，且，则，建立如图所示的坐标系，则，，即，设，，则，因为，则，，所以，因为，，，，所以有最小值．故选：B．建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．13.答案：解析：解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；，由于与方向不确定，所以与不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确；在平行四边形ABCD中，，，所以一定有，所以正确；显然正确；零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故不正确．故答案为：．根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案．本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，，，故答案为：．利用数列的递推式得到，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，从而求出结果．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查当三角形两边和最小时三角形周长的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．推导出，由余弦定理求出，由的面积为，求出，当且仅当时，取最小值，由此能求出当的值最小时的周长．【解答】解：在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，因为，由正弦定理可得：，，，解得，的面积为，，解得，，由对勾函数的性质可知，当时，，此时，当的值最小时的周长为：．故答案为：．17.答案：解：设，，，，解得或，或．与垂直，，即，，，与的夹角为．解析：设，根据条件列方程组解出即可；令求出，代入夹角公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量平行与垂直，属于中档题．18.答案：解：由正弦定理得：，，，将上式代入得，即，即，，，，即，，，为三角形的内角，．将，，代入余弦定理得：，即即，，．解析：根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；由中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．19.答案：解：设的公差为d，由可得，由，可得，所以，所以；由，解得，所以当时，有最大值，此时最大值为．解析：根据已知条件列出关于，d的方程组，求解出，d即可求出通项公式；利用对应为递减等差数列，根据确定出n的取值，从而的最大值以及取最大值时n的值都可求．本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易．其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时n的值，属于基础题．20.答案：解：，，，，．由知：，，，，，解析：利用已知条件通过向量的数量积化简求解，通过向量的模化简求解即可．利用的结果，利用两角和与差的三角函数化简，通过x的范围求解相位的范围，借助三角函数的有界性求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，两角和与差的三角函数以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．21.答案：解：，，，，B，C为锐角，可得：，，，可得：，又，可得：．当时，，由题意得，．由，得，，，为锐角三角形，，，，的取值范围是．解析：利用三角函数恒等变换的应用可求，结合角的范围及三角形内角和定理即可求出角A的大小．先求得，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到，，根据及B的范围，利用正弦函数的性质即可得到的范围．本题考查三角函数恒等变换的应用及正弦定理在解三角形中的综合应用，其中判断的取值范围是本题的难点，属于中档题．22.答案：解：依题意，由，，成等差数列，可得．当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，，，，猜想：数列的通项公式，．证明：当时，满足猜想，当时，由，可得，化简整理，得，，则，，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即猜想成立．解：由知，，故数列是以8为首项，为公差的等差数列．令，，即，解得，令，，即，解得，当时，；当时，，当时，，当时，，综上所述，可得．解析：本题第题由，，成等差数列，可得，然后依次将、2、3代入表达式进行计算可得、、的值，并由此可猜想出数列的通项公式；第题可应用公式证明中的猜想；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行转化可发现数列是以8为首项，为公差的等差数列，然后对数列的正负性进行分析可得数列的通项公式，即当时，，；当时，，然后根据分和两种情况分别求和，根据等差数列的求和公式可计算出的表达式，最后综合可得结果．本题主要考查运用归纳猜想再加以证明的方法求得数列的通项公式，以及绝对值数列的求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列的判别及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．。