等差数列知识点总结学习资料
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结引言等差数列是数学中常见的一个概念，它在数值模式的分析和问题解决中起到了重要的作用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和求解等相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
它由首项 a1和公差 d 决定，可以表示为a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …，其中 a1 是首项，d 是公差。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的值。
设首项为 a1，公差为d，第 n 项的值为 an，则等差数列的通项公式可以表示为 an = a1 + (n - 1) * d。
三、等差数列的前 n 项和等差数列的前 n 项和是指数列中前 n 项的和。
根据等差数列的特点，可以通过求平均值的方式快速计算出前 n 项和的值。
设首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为Sn，则等差数列的前 n 项和公式可以表示为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
四、等差数列的性质总结1.等差数列的公差是相邻两项之间的固定差值，可以用来判断一个数列是否是等差数列。
2.等差数列的第 n 项可以通过通项公式求解，也可以通过逐项相加得到。
3.等差数列的前 n 项和公式可以通过求平均值的方式快速计算，可以简化问题求解的过程。
4.等差数列的性质可以应用于一些实际问题，如数值模式的预测和分析等。
五、等差数列的求解示例示例 1已知等差数列的首项 a1 = 3，公差 d = 5，求该等差数列的前 10 项和。
根据前 n 项和公式，代入已知的数值进行计算：Sn = 10 * (3 + a10) / 2= 10 * (3 + (3 + (10 - 1) * 5)) / 2= 10 * (3 + 3 + 45) / 2= 10 * 51 / 2= 255所以该等差数列的前 10 项和为 255。
示例 2已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = -4，且第 5 项的值为 -18，求该等差数列的第 n 项。
（完整版）高考等差等比数列知识点总结
1高考数列知识点等差数列1.等差数列的定义：d aa n n=--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22dn a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为的二次式且常数项为00） 特别地()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．是等差数列． （2） 等差中项：数列{}na 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函的一次函 数，数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等差数列及性质
等差数列及性质一、知识梳理：1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫做a，b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．34．等差数列通项公式的推广5.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则：a m＋a n＝a p＋a q.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n ＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．（5）．等差数列的图象由a n＝d n＋(a1－d)，可知其图像是直线上的一些等间隔的点，其中是该直线的斜率．(6)．等差数列的单调性：对于a n＝d n＋(a1－d)，(1)当d＞0时，{a n}为；(2)当d＜0时，{a n}为；(3)当d＝0时，{a n}为．二、题型探究：探究一：等差数列的通项公式及其应用例1．(1)已知等差数列{a n}：3，7，11，15，….①135，4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由．②若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．(2)在等差数列{a n}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________．1．(1)若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________．(2)已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？探究二：等差数列的判定例2．(1)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；②当x 1＝12时，求x 2 015.(2)已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，证明：a 2，b 2，c 2也成等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．(1)判断下列数列是否为等差数列：①在数列{a n }中a n ＝3n ＋2； ②在数列{a n }中a n ＝n 2＋n .(2)已知c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2，则数列{c n }________等差数列(填“是”或“不是”)．(3)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由.探究三：等差中项的应用例3．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．[互动探究]若将题中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.3．(1)方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．探究四：等差数列性质的应用例4．在等差数列{a n}中：(1)若a5＝a，a10＝b，求a15；(2)若a3＋a8＝m，求a5＋a6.(3)若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．(2)巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．4．(1)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51(2)若x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 1－a 2b 1－b 2等于( )A ．1 B.23C.34D.43探究五：等差数列的综合问题例5．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的根，求数列{a n }的通项公式.例6．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．5．(1)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，则a n ＝________．(2)已知数列{a n }满足(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝16，且a 1＝1，a n >0.①求证：数列{a 2n }为等差数列； ②求a n .例7．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？[解] 由等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 14＝－46＋13×2＝－20.∴a n ＝－46＋(n －1)×2＝2n －48. 令a n ≥0，得2n －48≥0⇒n ≥24， ∴从第25项开始，各项为正数．[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n ＝24也满足条件．(2)由通项公式计算时，易把公式写成a n ＝a 1＋nd ，导致结果错误．(3)等差数列通项公式中有a 1，a n ，n ，d 四个量，知三求一，一定要准确应用公式．7．(1)首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． (2)一个等差数列的首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d 的范围．例8．(本题满分12分)两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11.2分 又等差数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，4分 等差数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1.6分 所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①8分 所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.10分又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项.12分[规范与警示] (1)解题过程中①处易出现令3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3的错误，这实际上是混淆了两个n 的取值而导致的错误，也是常犯错误，解题过程中②处易出现c n ＝12n －1≤399，导致错误．这是对题意不理解造成的，两个数列的公共项应以较小的为基准求解．(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义，不同的数列中同一量的意义是相同的，但是并不一定对应．如本例中项数n 在数列{a n }和数列{b n }中的意义，当项相同时，对应的序号n 不一定相同．巩固练习：1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋13．(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8C ．10 D ．144．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37C ．100 D ．－37 5．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 6．(2015·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．7．(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________．9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．10．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.11．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．备选：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．巩固练习答案：1.解析：选C.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， 所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， 所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．2.解析：选D.设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3.解析：选B.法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 4.解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.5.解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.6.解析：由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：37.解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.答案：408.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29.解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 310.解：(1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.11.解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，∴a 2＝1. 由⎝⎛⎭⎫121－d＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5. 12.解：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1（4－4a n）－2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12.又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2.备选：解析：设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案：67667(1)解析：a n ＝24＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0，a 9≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋9d <0，24＋8d ≥0，解得－3≤d <－83.答案：⎣⎡⎭⎫－3，－83 (2)解：设等差数列为{a n }，由d ＞0，知a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1＜a 10＜a 11＜…，a 1＜a 2＜…＜a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1a 9≤1⇔⎩⎨⎧125＋（10－1）d ＞1，125＋（9－1）d ≤1，解得875＜d ≤325，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎦⎤875，325.。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列（ArithmeticSequence）是指一组有序的满足规定的数据，通常按公差d（即每一项与其前一项的差值）来进行排列，即形如a1,a1+d,a1+2d,a1+3d.....an-1,an的数列，其中a1是等差数列的第一项，d是等差数列的公差，而an是等差数列最后一项。
二、等差数列的性质1、如果等差数列的公差不为0，则等差数列中任意两项的差值均相等，即d=a2-a1=a3-a2=a4-a3=....an-1-an-2=an-an-1；2、如果等差数列的公差为0，则等差数列的所有数据均相等，即a1=a2=a3=...=an-1=an；3、等差数列的每一项与等差数列的第一项和项数都有关，即a3=a1+2d,a4=a1+3d......an=a1+(n-1)d；4、等差数列的和 Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an＝n/2（a1＋an）；5、等差数列中任一项的平方和与项数有关，即a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2=n(2a1a2+(n-1)d^2)/3；三、等差数列的特殊性质1、等差数列的四项和等差数列a1，a2，...，an中任意四项的和都是一定的，即a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5=......an-3+an-2+an-1+an；2、等差数列的两项之积等差数列a1，a2，...，an中任意两项的乘积也是一定的，即a1×a2=a2×a3=......an-1×an；3、等差数列的总和等差数列的总和Sn=a1+a2+a3+......an-1+an可表示为n/2(a1+an)，即Sn=n/2(首项与末项的和)；四、等差数列的运用1、求等差数列的某一项如果给出等差数列的首项和公差，通过公式a3=a1+2d，a4=a1+3d，...，an=a1+(n-1)d可以计算出第n项的值；2、求等差数列的和等差数列的和Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an=n/2（a1＋an），如果给出等差数列的首项和末项，则可以通过公式求出等差数列的和；3、求等差数列的任意项之和如果要求等差数列从a1到an的和，可以通过Sn=n/2(a1+an)求解；4、求等差数列某两项之和如果要求等差数列从a1到an的和，可以通过Sn=n/2(a1+an)求解，如果要求从第m项到第n项的和，可以使用公式S(m，n)=n/2(am+an)；五、等差数列的应用1、等差数列应用于等额本息贷款等额本息是指在贷款到期时，贷款本息全部偿还，每期还款数相等，比较为常见的一种贷款形式，它的特点是本金渐渐减少，利息渐渐减少，每期还款金额相等。
等差数列知识点总结和题型总结
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
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五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
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也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。
{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。
{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
等差数列知识点总结
等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或。
根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。
等差数列的判定方法1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．2.等差中项：数列是等差数列．3.数列是等差数列（其中是常数）。
4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．例1．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d，末项:推广： ． 从而；等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
例2．等差数列{a n}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，a n＝33，则n为( ) A．48 B．49 C．50 D．51如(1)等差数列中，，，则通项 ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；例3.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15,a1a2a3＝80,则a11+a12+a13等于（）A.120B.105C.90D.75例4：已知数列{a n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为( )A．11 B．19 C．20 D．211..已知数列{a n}的前n项和S n＝n(n-40),则下列判断正确的是( )A.a19＞0,a21＜0B.a20＞0,a21＜0C.a19＜0,a21＞0D.a19＜0,a20＞02.若数列{a n}的前n项和S n＝n2-10n(n＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{na n}中数值最小的项是第_______项.3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或. (2）等差中项：数列是等差数列.例5．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．已知1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列的公差为( )A．3或－3 B．3或－1 C．3 D．－32．在等差数列中，，则的值为( )（A）5 （B） 6 （C）8 （D）103 已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π,则cos(a2+a8)的值为________________.4、等差数列的前和的求和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）前和是关于的二次函数且常数项为0.例6：等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是( )A．S7 B．S8 C．S13 D．S15例7：设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.1．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．2. 设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（）A.18B.20C.22D.243 数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿4已知数列 的前n项和，求数列的前项和5设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a3+a7-a10＝8,a11-a4＝4,则S13等于（）A.168B.156C.78D.1526.在各项均不为零的等差数列{a n}中,若a n+1-a n2+a n-1＝0(n≥2),则S2n-1-4n等于…（）A.-2B.0C.1D.25、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；特别地，当时，则有，注：，（1）等差数列中，，则＝____设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）当项数为偶数时，（Ⅱ）当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．1 在等差数列中，S11＝22，则＝______2 项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数3 .已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A.5B.4C.3D.26、在等差数列中,有关的最值问题（1）邻项变号法① 当 、时，满足 的项数使得取最大值.② 当 、时，满足 的项数使得取最小值.（2）利用（时，是关于的二次函数）进行配方（注意应取正整数）（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
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第一讲 数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：n a ；2、前n 项和：n S3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质：1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -=2、最值：77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪---⎧⎪⎨⎪><⎪⎪⎨⎪><⎪⎪⎪⎪⎩⎩L 最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反3、前n 项积n T 有最大值： 三、几种常见数列： 1、-1,7,-13,19L 2、7,77,777,L 3、135248L ，，4、161149L ，，， 5、2468,3153563L ，，★随堂训练：1、已知数列{}n a 通项公式是231n na n =+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列2、已知数列{}n a 满足10a >，112n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10,21n n n a T n +=+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =L ，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ）5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p .3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 ． 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．基础训练：（公式的运用，定义的把握）1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ） A ．B ． 1C ．D ． ﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ ） A ． 以7为首项，公差为2的等差数列 B ． 以7为首项，公差为5的等差数列 C ． 以5为首项，公差为2的等差数列D ． 不是等差数列3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A ． 23B ． 24C ． 25D ． 264．两个数1与5的等差中项是（ ） A ． 1B ． 3C ． 2D ．5．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8=a 4+a 5C ． a 1+a 8＜a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5考点1:等差数列的通项与前n 项和 题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a对应练习：1、已知{}n a 为等差数列，q a p a n m ==,（k n m ,,互不相等），求k a .2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数. 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n . 【例2】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .4、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n .题型3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. （2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.（1） 321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++Λ；⑶求n a a a a ++++Λ321.练习：对应练习：5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；2、中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列；3、通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；4、项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.【例4】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn .求证：数列{}n b 是等差数列.对应练习：6、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = （1） 常数p 的值； （2） 证：数列{}n a 是等差数列.考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .对应练习：7、含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A n n 12+ .B n n 1+ .C n n 1- .D nn 21+ 8.设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .考点4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出n T 后，判断n T 的单调性.【例6】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ， n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴ 数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57kT n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则A ．1011S S =B ．1011S S >C ．910S S =D ．910S S <2.在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a .3.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .4.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .对应练习：9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n .⑴数列{}n a 的通项公式；⑵ 数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k ka a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由。