百校2018届高三第二次联考(理数)
广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学(理)试卷(含答案)
广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．复数满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A.2 B.3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】由题意可得： 1112i z i i ++==-，则： 2211112,22222z i z ⎛⎫⎛⎫=-∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为(){}2|log 31A x y x ==-1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C o的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ） A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大， D 正确，故选B. 4．已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若3sin x =2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由对数的性质可知： 222log 4log 5=<，则命题p 是真命题；由三角函数的性质可知：若3sin 3x =，则： 2231sin 3x ==⎝⎭， 且： 211cos212sin 1233x x =-=-⨯=，命题q 是真命题.则所给的四个复合命题中，只有p q ∧是真命题.本题选择A 选项.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin ,5A B c ==，且5cos 6C =，则a =（ ） A. 22 B. 3 C. 32 D. 4 【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有： 3a b =，不妨设(),30b m a m m ==>，结合余弦定理有： 222222955cos 266a b c m m C ab m +-+-===， 求解关于实数m 的方程可得： 1m =，则： 33a m ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 84225++B. 64245++C. 62225++D. 82225++ 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为2,22，5 ，可得这个几何体的表面积为62225+ C. 7．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 8．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】1i =，1不是质数， 0114S =-=-<； 4i =，4不是质数， 1454S =--=-<； 7i =，7是质数， 5724S =-+=<； 10i =，10不是质数， 21084S =-=-<； 13i =，13是质数， 81354S =-+=<， 16i =，故输出的16i =.选D.9．设,x y 满足约束条件220{260 20x y x y y --≤+-≥-≤，则2y xz x y=-的取值范围是（ ） A. 7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 77,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查yx的几何意义： 可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则1,14y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令y t x =，换元可得： 12z t t =-，该函数在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，据此可得： min max 174,21122z z =-=-=-=， 即目标函数的取值范围是7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10．函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+-Q 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时， ()()()021x xe ef x x x --=<++-，排除B ；当()1,x ∈+∞时， ()0f x >，排除C ；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B.C.)2 D. ()⋃+∞【答案】D【解析】由通径公式有： 22b AB a =，不妨设()22,,,,0,b b A c B c D b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分类讨论：当2b b a >，即1ba <时， DAB ∠为钝角，此时1e <<当2b b a >，即e >ADB ∠为钝角，此时： 442222220,2b b DA DB c b a b a a ⋅=-+<∴+<u u u v u u u v ，令22b t a=，据此可得： 2210,1t t t -->∴>则： e >本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A. 1ln22+B. ln2C. 12ln22+ D. 2ln2【答案】A 【解析】设()231ln 042m nek k -=+=>，则： 143ln ,222k k m n e -=+=， 令()14ln 3222k k h k n m e-=-=--，则()141'22k h k e k-=-， 导函数()'h k 单调递增，且1'04h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则函数()14ln 3222k k h k e-=--在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 结合函数的单调性有： ()min11ln242h k h ⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即n m -的最小值为1ln22+. 本题选择A 选项.二、填空题13．设平面向量m v 与向量n v 互相垂直，且()211,2m n -=-v v ，若5m =v ，则n =v__________． 【答案】5【解析】由平面向量m v 与向量n v 互相垂直可得0,m n ⋅=v v 所以()2222125,4125m n m n -=∴+=v vv v，又5,5m n =∴=v v，故答案为5.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v v v v ，二是1212a b x x y y ⋅=+vv ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ⋅=v v v v （此时a b ⋅v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a v 在b v 上的投影是a b b⋅v v v ；（3）,a bv v 向量垂直则0a b ⋅=vv ;(4)求向量ma nb +vv的模（平方后需求a b ⋅vv ）.14．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：()()66216611222rrrrxr r r x T C C t --+-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中20rt =>，结合题意有：()2262262120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2xx =∴=.15．如图， E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为__________.【答案】15 【解析】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设11B C BC O ⋂=，如图所示，当点E为11C D 的中点时， 1BD OE P ，则1BD P 平面1B CE ， 据此可得OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角， 在OEC V 中，边长： 5,2,3EC OC OE ===， 由余弦定理可得： 15cos 5235OEC ∠==⨯. 即异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为155.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点， O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,8M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是__________． 【答案】23【解析】,MA OA =∴Q 点A 在线段OM 的中垂线上， 又()0,8M ，所以可设(),4A x ，由0tan30,4x x A ⎫=∴=∴⎪⎭的坐标代入方程22x py =有： 16243p =⨯ 解得： 2.3p = 点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题17．已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =， 2n b n =.(2) ()21n nT n =+.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和()21n nT n =+. 试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以， ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时， 12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 18．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)1350；(2)1.2. 【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为1350； (2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量X 的数学期望为1.2. 试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则()1121421131325525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量()3,0.4X B ~， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.19．如图，四边形ABCD 是矩形， 33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 55-. 【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得AC ⊥平面PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角A PB C --的余弦值为5. 试题解析：（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形， 33,3,2AB BC DE EC ===, 所以3,CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()()3,23,0,3,3,0,0,3,0,0,0,6A B C P -,则()()60,33,0,3,3,6,,0,13AB BP CB ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ,设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =u v，则1111330{3360y x y z =--+=，取1116,0,1x y z ===，即16,0,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u v 设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =u u v，则222230{3360x x y z =--+=，取2110,2,1x y z ===，即()10,2,1n =u v设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则1212125cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅u v u u vu v u u v u v u u v 由图可知二面角为钝角，所以5cos 5θ=-.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的22且椭圆C 经过点22,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点， 22MN =l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【答案】(1) 2218x y +=.(2)【解析】试题分析：(1)结合题意可求得221,8b a ==，则椭圆的方程为2218x y +=.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线l 在y轴上的截距的最大值为试题解析：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点A ⎛⎝⎭的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立方程组22{ 1 8x y y kx m+==+ 得()2221816880k x kmx m +++-=，由()()222256321180m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ====()()()2222813441k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，249218214m t t ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭m ≤当且仅当4984t t=，即8t =时，上式取等号，此时2k =(2738m -=，满足2218m k <+，所以m21．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得()2221x x mf x x ++'=+，分类讨论可得：当102m <<时， ()f x在112222⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在11,2⎛-- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增. (2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得121122x x =-=-+，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时， ()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时， ()f x 在1122⎛--+ ⎝⎭上递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增. （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增，则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e +>+，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增， 故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{ x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ， 2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）()2211x y +-=表示以()0,1为圆心，1为半径的圆， 2214x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆；（2.【解析】试题分析：（1）分别将曲线1C 、2C 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到1C ， 2C 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2）1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，利用点到直线距离公式可得M 到直线l的距离d =，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）1C 的普通方程为()2211x y +-=，它表示以()0,1为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．（2）由已知得()0,2P ，设()2cos ,sin Q ϕϕ，则1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线l ： 240x y --=，点M 到直线l的距离d ==所以5d ≥=，即M 到l． 23．已知()223f x x a x a =-+++ . （1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) ()1,0-.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为223a a ++，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+ 而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,33342{32222,4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-， 所以23{ 4233a a a ≥-++<或23{ 423a a a <--<，解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-.。
湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考数学(理)试题(Word版含答案)
湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合的子集的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，集合的子集的个数为8个。
故答案为：B。
2. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则等于（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】由题意，，解得，所以，，故选A。
3. 以下判断正确的个数是（）①“”是“”的必要不充分条件.②命题“”的否定是“”.③相关指数的值越接近，则变量之间的相关性越强.④若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是.A. B. C. D.【答案】C【解析】①“”是“”的充分不必要条件；故命题不对；②命题“”的否定是“”.符合换量词否结论，不变条件的规律，故是真命题；③相关指数的值越接近，则变量之间的相关性越强.是真命题；④若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则可以将点带入直线，斜率为2.25.即可得到方程为。
故得到答案为：C。
4. 已知平面向量满足，且与垂直，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为与垂直，故得到故得到故答案为：D。
5. 已知实数是利用计算机产生之间的均匀随机数，设事件，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，对应区域为边长为1的正方形，面积为1，事件A=“（a﹣1）2+（b﹣1）2＞”发生的区域是边长为1的正方形除去个圆，面积为1﹣，由几何概型的概率公式得到计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，则事件A=“（a﹣1）2+（b﹣1）2＞” 发生的概率为：1﹣。
故答案为：B。
点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．6. 已知数列的首项，对任意，都有，则当时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令得到，故数列是等比数列，，故答案为：C。
2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A.2 B. C. D. 1【答案】A 【解析】由题意可得：1112iz i i ++==-，则：11,22z i z =-∴==本题选择A 选项.2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为(){}2|l o g31A x y x ==- 1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大， D 正确，故选B.4．已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若sin x =，则2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由对数的性质可知： 222log 4log 5=<，则命题p 是真命题；由三角函数的性质可知：若sin x = 221sin 33x ⎛== ⎝⎭， 且： 211cos212sin 1233x x =-=-⨯=，命题q 是真命题.则所给的四个复合命题中，只有p q ∧是真命题. 本题选择A 选项.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若s i n 3s i n ,5A Bc ==，且5co s 6C =，则a =（ ）A. B. 3 C. D. 4 【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有： 3a b =，不妨设(),30b m a m m ==>，结合余弦定理有： 222222955cos 266a b c m m C ab m +-+-===， 求解关于实数m 的方程可得： 1m =，则： 33a m ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 8+B. 6+C. 6+D. 8+【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为，可得这个几何体的表面积为6+ C. 7．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 8．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】1i =，1不是质数， 0114S =-=-<； 4i =，4不是质数， 1454S =--=-<； 7i =，7是质数， 5724S =-+=<； 10i =，10不是质数， 21084S =-=-<； 13i =，13是质数， 81354S =-+=<， 16i =，故输出的16i =.选D.9．设,x y 满足约束条件220{260 20x y x y y --≤+-≥-≤，则2y xz x y=-的取值范围是（ ） A. 7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 77,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查yx的几何意义： 可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则1,14y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令y t x =，换元可得： 12z t t =-，该函数在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，据此可得： min max 174,21122z z =-=-=-=， 即目标函数的取值范围是7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10．函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+- 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时， ()()()021x xe ef x x x --=<++-，排除B ；当()1,x ∈+∞时，()0f x >，排除C ；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B.C.) D. ()⋃+∞【答案】D【解析】由通径公式有： 22b AB a =，不妨设()22,,,,0,b b A c B c D b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分类讨论：当2b b a >，即1ba <时， DAB ∠为钝角，此时1e <<当2b b a >，即e >ADB ∠为钝角，此时： 442222220,2b b DA DB c b a b a a ⋅=-+<∴+< ，令22b t a=，据此可得： 2210,1t t t -->∴>，则： e >>本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()231,ln 42x x f x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A.1ln22+ B. ln2 C. 12ln22+ D. 2ln2 【答案】A 【解析】设()231ln 042m nek k -=+=>，则： 143ln ,222k k m n e -=+=，令()14ln 3222k k h k n m e-=-=--，则()141'22k h k e k-=-， 导函数()'h k 单调递增，且1'04h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则函数()14ln 3222k k h k e -=--在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，结合函数的单调性有： ()min11ln242h k h ⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即n m -的最小值为1ln22+. 本题选择A 选项.二、填空题13．设平面向量m 与向量n互相垂直，且()211,2m n -=- ，若5m =，则n =__________．【答案】5【解析】由平面向量m 与向量n 互相垂直可得0,m n ⋅=所以()2222125,4125mn m n -=∴+=，又5,5m n =∴= ，故答案为5.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b θ⋅= （此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b ⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅ ）.14．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：662166rrrr r r r T CC t--+⎛⎫==，其中0t >，结合题意有：226226120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2x x =∴=.15．如图， E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1BCF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为__________.【解析】不妨设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，设11B C BC O ⋂=，如图所示，当点E 为11C D 的中点时， 1BD OE ，则1BD 平面1BCE ， 据此可得OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角，在OEC 中，边长： EC OC OE =由余弦定理可得： cosOEC ∠==.即异面直线1BD 与CE点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点， O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,8M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是__________． 【答案】23【解析】,MA OA =∴ 点A 在线段OM 的中垂线上， 又()0,8M ，所以可设(),4A x ，由0tan30,4x x A ⎫=∴=∴⎪⎭的坐标代入方程22x py =有： 16243p =⨯ 解得： 2.3p =点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题17．已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =， 2n b n =.(2) ()21n nT n =+.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21n nT n =+.试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以， ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时， 12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 18．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)1350；(2)1.2. 【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为1350；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量X 的数学期望为1.2. 试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则()1121421131325525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量()3,0.4X B ~， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.19．如图，四边形ABCD 是矩形，3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得AC ⊥平面PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角A PB C --的余弦值为. 试题解析：（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形，3,2AB BC DE EC ===,所以CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()(3,,,,A B C P -,则()(,3,,AB BP CB ⎫==-=⎪⎪⎝⎭, 设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =，则11110{30x =--+=，取1110,1x y z ===，即1n ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =，则222230{30x x =-=，取2110,1x y z ==，即()1n =设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅由图可知二面角为钝角，所以cos θ=.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的C 经过点2,2A ⎛⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，MN =记直线l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【答案】(1) 2218x y +=.(2)【解析】试题分析：(1)结合题意可求得221,8b a ==，则椭圆的方程为2218x y +=.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线l 在y 轴上的截距试题解析：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点2,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立方程组22{ 1 8x y y kx m+==+ 得()2221816880k x kmx m +++-=，由()()222256321180m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ==由218k =+()()()2222813441k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，249218214m t t ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭m ≤当且仅当4984tt =，即8t =时，上式取等号，此时2k =， (2738m -=，满足2218m k <+，所以m21．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得()2221x x mf x x ++'=+，分类讨论可得：当102m <<时， ()f x 在1122⎛--- ⎝⎭上递减，在11,2⎛-- ⎝⎭和12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增.(2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立， ②当102m <<时，由()222g x x x m=++，得121122x x =-=-，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时， ()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时， ()f x 在1122⎛---+ ⎝⎭上递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <，则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增， 则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e+>+，故()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增， 故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ， 2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）()2211x y +-=表示以()0,1为圆心，1为半径的圆， 2214x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆；（2.【解析】试题分析：（1）分别将曲线1C 、2C 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到1C ， 2C 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2）1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用点到直线距离公式可得M 到直线l 的距离6d =，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）1C 的普通方程为()2211x y +-=，它表示以()0,1为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．（2）由已知得()0,2P ，设()2cos ,sin Q ϕϕ，则1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线l ： 240x y --=，点M 到直线l的距离d ==所以d ≥=M 到l． 23．已知()223f x x a x a =-+++ .（1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) ()1,0-.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为223a a ++，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,33342{ 32222,4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-， 所以23{ 4233a a a ≥-++<或23{ 423a a a <--<，解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-.。
百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)理数试题(解析版附后)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题（解析版附后）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 124. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 196. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 102210. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．14. 已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为__________．(用数字作答).15. 抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的角平分线所在的直线斜率是__________．16. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.18. 如图所示，在三棱台中，和均为等边三角形，四边形为直角梯形，平面，，分别为的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.19. 某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•20. 已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.21. 已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最大值；（2）证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），直线，直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求.23. 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围. 详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC 的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题. 详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
2018届安徽省高三下学期第二次百校联考数学(理)试题 Word版含答案
2018届安徽省高三下学期第二次百校联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1iz i =-是复数z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i +2.设全集U R =，集合2{|20}M x x x =+->，11{|2}2x N x -=≤，则()U C M N =（ ）A ．[2,0]-B ．[2,1]-C ．[0,1]D ．[0,2]3.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，c a b λμ=+，若a c ⊥，则下列结论正确的是（ ） A ．0λμ-= B ．0λμ+= C ．20λμ-= D ．20λμ+=4.从自然数1～5中任取3个不同的数，则这3个数的平均数大于3的概率为（ ） A ．310 B ．25 C ．12 D ．355.已知命题:(,0)2p x π∀∈-，sin x x >；命题:lg(1)1q x -<的解集为(0,1)，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝6.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若数列{}n a 与{2}n S +都是公比为q 的等比数列，则q 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2 7.已知椭圆22:1167x y C +=的左焦点为F ，,A B 是C 上关于原点对称的两点，且90AFB ∠=，则ABF ∆的周长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168.执行如图所示程序框图，若输出s 的值为10，则判断框中填入的条件可以是（ ）A ．10?i <B ．10?i ≤C ．11?i ≤D ．12?i ≤9.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象分别向左、右平移(0)ϕϕ>个单位所得图象恰好重合，则ϕ的最小值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π10.某建筑物是由一个半球和一个圆柱组成，半球的体积是圆柱体积的14，其三视图如图所示，现需要在该建筑物表面涂一层防晒涂料，若每π个平方单位所需涂料费用为100元，则共需涂料费用（ ） A ．6600元 B ．7500元 C ．8400元 D ．9000元11.若,x y 满足约束条件2||24y x x y≥-⎧⎨≤-⎩，则3z x y =+的取值范围是（ ） A ．11[,6]4-B ．25[2,]4-C ．[6,6]-D ．25[6,]4- 12.已知函数()|1|x f x e =-，0a b >>，()()f a f b =，则(2)ab e -的最大值为（ ）A ．1eB ．1C ．2D ．e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 341()x x-的展开式中8x 的系数为 ．（用数字填写答案）14.已知函数ln ,0()(),0a x x f x g x x x +>⎧=⎨-<⎩为奇函数，且()0g e -=，则a = ．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，32n n a a +=+，902670S =，则123a a a ++= ．16.已知P 是双曲线221916x y -=右支上任意一点，M 是圆22(5)1x y ++=上任意一点，设P 到双曲线的渐近线的距离为d ，则||d PM +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，sin cos A a C =，c =（1）求角C ；（2）求sin sin a A b B +的取值范围.18. （本小题满分12分）某市因交通堵塞，在周一到周五进行交通限行，周一、周三、周五双号限行，周二、周四单号限行. 某单位有双号车两辆，单号车两辆，在限行前，双号车每辆车每天出车的概率为23，单号车每辆车每天出车的概率为12，且每辆车出车是相互独立的. （1）若该单位的某员工需要在周一和周二两天中的一天用车，且这两天用车的可能性相同，求他能出车的概率；（2）设X 表示该单位在周一与周二两天的出车台数之和，求X 的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，,E F 分别为,SA SD 的中点.（1）当SA =时，证明：平面BEF ⊥平面SAD ； （2）若平面BEF 与底面ABCD 所成的角为3π，求S ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）已知抛物线21:2C y px =与圆222:(2)4C x y -+=交于,,O A B 三点，且OAB ∆为直角三角形. （1）求1C 的方程；（2）过坐标原点O 作直线l 分别交12,C C 于点,F E ，若E 是OF 的中点，求l 的方程.21、已知函数2()ln f x x x ax x =--. （1）当12a =时，证明：()f x 在定义域上为减函数； （2）若a R ∈，讨论函数()f x 的零点情况.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，且[,2]αππ∈），曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程；（2）若P 是1C 上任意一点，过点P 的直线l 交2C 于,M N 两点，求||||PM PN ∙的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1x m -<的整数解有且仅有一个为2，其中m Z ∈. （1）求m 的值；（2）设,0ab m a b =>>，证明：22a b a b+≥-2018安徽省高三第二次百校联考理科数学参考答案（1）A 解析：i i(1i)11i 1i 222z +===-+-，故11i.22z =--（2）A 解析：由题意可得[]2,1U C M =-，(],0N =-∞，故()U C M N =[]2,0-.（3）D 解析：因为a c ⊥，所以()0a c a a b λμ⋅=⋅+=，可得02μλ+=，即20λμ+=.lg(1)1x -<的解集为()9,1-，所以q 为假命题，故选B.（6）C 解析：根据题意可得：2122S q S +=+，即1212q q ++=+，解得32q =. （7）C 解析：根据椭圆的对称性和定义可得28AF BF a +==，因为90AFB ∠=，OF c = ,所以26AB c ==，所以ABF ∆的周长为2214a c +=.（8）C 解析：34134123231110ln |ln |ln |i i iie e e e e e e e e e e es dx dx dx x x x xx x++=++++=+++⎰⎰⎰ 110i =-=，解得11i =，故选C.（9）C 解析：由题意可得sin(22)3x πϕ++sin(22)3x πϕ=+-，整理得sin 20ϕ=，即,2k k Z πϕ=∈，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为.2π（10）A 解析：设圆柱的高为h ，则根据题意可得32243r r h ππ⨯=，解得883h r == ， 则该建筑物的表面积22266S r rh πππ=+=，所以共需涂料费用6600元.（11）D 解析：画出可行域知当3y x z =-+与24y x =-相切时，z 取最大值，对24y x =-求导可得23x -=-，解得32x =，代入24y x =-可得74y =，所以max 37253244z =⨯+= ，当2,0x y =-=时，z 取最小值6-，故选D.（12）A 解析：根据题意可得()1()1a b f a e f b e =-==-，所以2abe e +=，则(2)a b b e be -=-.令()x g x xe =-(0)x < ，则'()(1)x x x g x e xe x e =--=-+，当(,1)x ∈-∞-时，'()0g x > ，当(1,0)x ∈-时，'()0g x <，所以max 1()(1)g x g e=-=. （13）-4 解析：341241441()()(1),rrr r r rr T C x C x x--+=-=-令1248r -=，解得1r =，所以8x 的系数为-4. （14）1e -- 解析：因为(e)(e)e e f g -=-+= ，所以(e)e lne f a =-=+,1 e.a =-- （15）2 解析：由32n n a a +=+可得54321()()6n n n n n n a a a a a a +++++++-++=，所以数列{}32313n n n a a a --++是首项为123a a a ++，公差为6的等差数列，设123a a a x ++=，则302930626702x ⨯+⨯=，解得2x =，即1232a a a ++=. （16）9 解析：设双曲线的左，右焦点分别为12,,F F 根据题意可得：122||||16||1||5d PM d PF d PF d PF +≥+-=++-=++ ，结合图像可知2||d PF +的最小值为2F 到渐近线的距离，因为2F 到渐近线的距离为4，所以||d PM +的最小值为9.（17）解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得:1sin cos sin a cA C C ==,因为c =tan C =，所以.3C π=----------4分（Ⅱ）根据正弦定理可知2sin sin sin a b cA B C===，所以2sin ,2sin a A b B == 22sin sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2a A b B A B A B +=+=--，因为23A B π+=，所以4sin sin 2cos 2cos(2)3a Ab B A A π+=---12cos 222sin(2)226A A A π=-+=+-，因为2(0,),3A π∈所以72(,),666A πππ-∈-所以1sin(2),162A π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以32sin(2)(,3],62A π+-∈所以3sin sin (,3].2a Ab B +∈-----------12分 （18）解析：（Ⅰ）设他能出车的事件为A ， 则11111159()(1)(1).22223372P A =⨯-⨯+⨯-⨯= -----------4分 （Ⅱ）根据题意可得X 的可能取值为0,1,2,3,4.020222111(X 0)()(),3236P C C ===10202122222211116(X 1)()()()3323236P C C C C ==⨯⨯⨯+=，22021120222222222212111113(X 2)()()()()()323323236P C C C C C C ==+⨯⨯⨯+=，221212222222121112(X 3)()()()3233236P C C C C ==+⨯⨯⨯=，222222214(X 4)()().3236P C C ===所以X 的分布列为：E X=012343636363636⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.3---------12分. （19）解析：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，分别以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立 空间直角坐标系.因为SA =，所以OS =S ，(0,A D B ，((0,2222E F -设G 是AD的中点，则(22G -，2(22SG =-， (22EF =--，(22EB =--， 因为0SG EF ⋅=，0SG EB ⋅=，所以SG EF ⊥，SG EB ⊥， 因为EF ⊂平面BEF ，EB ⊂平面BEF ，所以SG ⊥平面BEF ， 又SG ⊂平面SAD ，所以平面BEF ⊥平面SAD.-------------6分（几何法：取AD 中点G ，连接SG 交EF 于点M ，连接BM ，BG,则BM SG EF SG ⊥⊥,）（Ⅱ）设OS h =，则(0,0,)S h，(),(0,)2222h hE F - ，则222(,,0),()2222hEF EB =--=-- ，设平面BEF 的法向量为1(,,)n x y z = ， 则110,0n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即002x y hz x⎧=⎪⎨-=⎪⎩ ，令1x =，则1,y z h =-=- 所以1(1,1,n h=--，取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n = ， 则根据题意可得1212cos60||,||||nn n n ⋅=即12=，解得h =， 所以143S ABCD V -=⨯= -----------12分 （20）解析:（Ⅰ）因为抛物线1:C 22y px =与圆2:C 22(2)4x y -+=都关于x 轴对称， 所以交点,A B 关于x 轴对称，又因为OAB ∆为直角三角形，所以AB 为圆2C 的直径，不妨设点A 在第一象限，则可得点A （2,2），代入抛物线方程得1p =， 所以抛物线1C 的方程为22y x =.---------------5分（Ⅱ）根据题意可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y kx =，设点(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，联立22y kx y x =⎧⎨=⎩，可解得222F F x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为E 是OF 的中点，所以211E E x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆2C 方程得22211(2)4k k -+=，整理可得42130k k -=，又因为0k ≠，所以3k =±，所以直线l的方程为.3y x =±-------------12分（21）解析：（Ⅰ）由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln 11ln f x x x x x =+--=- ，令()ln g x x x =- ，则'11()1xg x x x-=-= ， 当01x <<时，'()0g x > ；当1x >时，'()0g x <，所以max ()(1)1g x g ==- ， 即()ln 0g x x x =-<，所以'()0f x <，所以()f x 在定义域上为减函数.-------5分 （Ⅱ）2()ln f x x x ax x =--的零点情况，即方程2ln 0x x ax x --=的根情况，因为0x >，所以方程可化为ln 1x a x-= ， 令ln 1()x h x x -= ，则'221(ln 1)2ln ()x x h x x x---== ，令'()0h x =，可得2x e = ， 当20x e <<时，'()0h x >，当2x e >时，'()0h x <，所以2max 21()()h x h e e ==， 且当0x →时，()f x →-∞；当2x e >时，()0h x > ，所以ln 1()x h x x-=的图像大致如图所示， 结合图像可知，当21a e >时，方程ln 1x a x-=没有根；当21a e =或0a ≤时，方程ln 1x a x-=有一个根；当210a e <<时，方程ln 1x a x-=有两个根. 所以当21a e >时，函数()f x 无零点；当21a e =或0a ≤时，函数()f x 有一个零点；当210a e <<时，函数()f x 有两个零点.-----------------12分22、 解析：（Ⅰ）消去参数可得221x y +=,因为2παπ≤≤，所以11,10x y -≤≤-≤≤，所以曲线1C 是221x y +=在x 轴下方的部分，所以曲线1C 的极坐标方程为1(2)ρπθπ=≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y +-=------------5分（Ⅱ）设00(,)P x y ，则010y -≤≤，直线l 的倾斜角为α,则直线l 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数). ……………………………7分代入2C 的直角坐标方程得2200(cos )(sin 1)1x t y t αα+++-=,由直线参数方程中t 的几何意义可知PM PN ⋅=0|12|y -，因为010y -≤≤，所以[]1,3PM PN ⋅∈………10分23、 解析：（Ⅰ）21x m -<，即121m x m -<<+，解得1122m m x -+<<， 因为不等式的整数解为2，所以11222m m -+<<，解得35m <<， 因为m ∈Z ，所以4m =．……………………5分（Ⅱ）由题意可知4ab =，0a b >>，所以0a b ->，因为222()28()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+≥=--- （当且仅当8a b a b-=-，即a b ==.所以22a b a b+≥-分。
湖南省衡阳市2018届高三第二次联考(二模)理科数学试题(解析版)
2018届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数的实部与虚部之和为1，则实数的值为( )A. 2B. 1C. 4D. 3【答案】A【解析】由题意可得，，因为实部与虚部之和为，，实数的值为，故选A.2. 下列说法错误的是( )A. “若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的否定是“”D. 命题：“在锐角中，”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，，，错误，故选D.3. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设水深为尺，根据勾股定理可得，解得，可得水深尺，芦苇长尺，根据几何概型概率公式可得，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为，故选B.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，由三视图可知：，，平面平面平面，则三棱锥的体积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5. 已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A. 3B.C.D. 1【答案】D【解析】，，，又，其渐近线方程为焦点到它的一条渐近线的距离为，故选D.6. 已知函数，把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移各单位长度，得到函数的图象，则函数的对称中心是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】，图象的横坐标伸长到原来的倍，可得的图象，可得的图象向左平移各单位长度，的图象，，函数的对称中心为，故选C.7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人的值分別为4,5,则输出的值为( )A. 211B. 100C. 1048D. 1055【答案】D【解析】执行程序框图，输入，则，进入循环，得；，故进入循环，得；，故进入循环，得，，故进入循环，得，此时，不满足，故结束循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 在中，，点是的重心，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设的中点为，因为点是的重心，所以，再令，则，，，当且仅当时取等号，故选B.9. 已知函数的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图象可知，且，，可知的两根为，由韦达定理得，异号，同号，又，异号，只有选项符合题意，故选B. 10. 在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.11. 当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数.如，则( )A. 342B. 345C. 341D. 346【答案】A【解析】，而，，，，又，，故选A.12. 已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是( )A. 存在 ,使得B. 存在，使得C. 的最大值为D. 的最大值为【答案】C【解析】依题，，，当时，，递增，不可能有极大值点（若有极值也是极小值），，此时有解，即有两个不等的正根，得：，由，，，，分析得的极大值点为，，在递增，在递减，当取得极大值，又，，即，令，原命题转化为恒成立，，在上递增，，，所以的最大值为，对、错，又，即不存在极大值点，排除，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则__________．【答案】【解析】由，由函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，得：，联立方程消元即得：，故答案为.14. 设，在约束条件下，目标函数的最小值为-5，则的值为__________．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，由，可得，由，得在轴上的截距越大，就越小，平移直线，由图知，当直线过点时，取得最小值，的最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若,则直线的斜率为__________．【答案】【解析】由题意得，，由，配方为，可得，所以直线过圆心，可设直线的方程为，联立，化为，，，由，可得，故答案为.16. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可得，，又平面，平面平面，平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中，，设，则有中，，又在中，，在中，，又，则，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列中，,为等比数列的前项和，且,若成等差数列.(1)求数列，的通项公式；(2)设,求数列的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）在等差数列中，设公差为,由,从而可得；设等⽐比数列列的公⽐比为，由从而可得的通项公式；（2）结合（1）可得.当，当时，利用“错位相减法”，结合等比数列的求和公式即可求得数列的前项和.试题解析：（1）在等差数列中，设公差为,,.设等⽐比数列列的公⽐比为，依题有：.(2).当.当时，,①②--②..18. 如图，平面平面,是等边三角形，是的中点.(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由是等边三⻆角形，是的中点，可得,利用直线与平面垂直的判定定理得出直线与平面垂直，再利用直线与平面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立空间直⻆角坐标系，根据直线与平面所成的角的余弦值为.可得，不妨设,利用向量垂直数量积为零，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而可得正弦值.试题解析：（1）因为是等边三⻆角形，是的中点，所以,因为平面平面，所以，因为,所以平面，因为平面，所以.(2)解法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立如图所示的空间直⻆角坐标系.因为平面，所以为直线与平面所成的角.由题意得,,即，从而.不妨设,又,则.故.于是,设平面与平面的法向量分别为,由令,得由令,得...故二面角的正弦值为1.(2)解法2：平面为直线与平面所成的角.由题意得,即，从而.不妨设,又,则，.由于平面，平面，则.取的中点，连接，则.在中，,在中，,在中，,取的中点，连接,则.所以为二面角的平面角.在中，,在中，,在中，,.故二面角的正弦值为1.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若,则；. 【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）因为,.此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理；（2）次品数的可能取值为，根据根据排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1),.此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理.(2),由题意可知钢管直径满足：为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.9560根钢管中，合格品 57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数的可能取值为:0,1,2,3..则次品数的分布列列为：得：.20. 已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.①求的最大值；②当取得最大值时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据离心率为、圆心到直线距离等于半径，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；(2) 直线与圆相切得：，将直线代入椭圆的方程得：①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果；②当取得最大值时，，.试题解析：(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,依题有：(2)由直线与圆相切得：.设.将直线代入椭圆的方程得：,且.设点到直线的距离为,故的面积为：,当.等号成立.故的最大值为1.设，由直线与圆相切于点，可得，..,【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21. 已知函数 .(1)当时，证明：；(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）时，即证,只需证明,利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，从而可得原不等式成立；(2) 依题在上恒成立，讨论三种情况：①当时，单调递增；,符合题意；②当时，,不符合题意，舍去；③当存在部分不合题意，综合三种情况可得结果.试题解析：证明：(1)当时，即证：,,令，则,当时，有.当时，单调递增；当时，有.当时，单调递减，.取等号条件不不⼀致，（此问可以参考如图理解）..(2)依题在上恒成立，令,又令,所以当时，在上单调递增，,因此,，讨论：①当时，单调递增；,符合题意②当时，,不符合题意，舍去.③当.,当时，在时单调递减，当时，在单调递减，，不符合题意舍去.综上：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）化曲线的参数方程为直⻆角坐标方程是:由点在曲线的内部，可得，解不等式可得实数的取值范围；(2)根据极径的几何意义可得直线截得曲线的弦长为：，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为:由点在曲线的内部，,求得实数m的取值范围为.(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，则直线截得曲线的弦长为：.即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.选修4-5：不等式选讲23. 已知.若函数的最小值为4.(1)求的值；(2)求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由,结合函数的最小值为，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得，再根据基本不等式即可求得的最小值.试题解析：(1),当且仅当时，等号成立，的最小值为.(2)法一（基本不不等式处理理）：.当.等号成立.法二（柯⻄西不不等式处理理）：。
海南省2018届高三第二次联合考试数学试题(理)含答案
C
7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
． -2
D
． -3
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： “一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座
5 层塔共挂
了 242 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
重心，若四面体 ABCD 的外接球的表面积为 244 ，则 tan AGD （ ） 9
1
A．
2
B
．2
C
．2
D
．2
2
A． 1
B
．2
C
．3
D
．4
5. 某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为
1，则该几何体的体积为（
）
4
A． 208
B3Βιβλιοθήκη 6. 设 x ， y 满足约束条件
4
32
． 216
C ． 208
D
3
3
x 3y 6 0
x y 6 0 ，则 z x y 的最小值是（
x 3y 6 0
32 ． 216
3
）
A． 0
B
． -1
四条明确信息： （1）此案是两人共同作案； （ 2）若甲参与此案，则丙一定没参与； （ 3）若乙 参与此案，则丁一定参与； （ 4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与 . 据此可以判断参与此案
的两名嫌疑人是（
）
A．甲、乙
B
．乙、丙
C
．甲、丁
D
．丙、丁
12. 在四面体 ABCD 中， AD 底面 ABC ， AB AC 10 ， BC 2，点 G 为 ABC 的
百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题.详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
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广东省百校2018届高三第二次联考数学（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•复数z满足（z ，则z=（）A. —2B. —C. 2D. 12 22•已知A=｛x|y =log2（3x-1）｝,B 二｛y|x2y2=4｝，则A B二（）1 111A. （0＜）B. [-2-）C. H,2]D. （;,2）3 3 3 33.下表是我国某城市在20XX年1月份至10月份各月最低温与最高温（C）的数据一览表椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A •最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D . 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4.已知命题p : x 2是x log 25的必要不充分条件；命题q :若sin x '，贝U32cos2x二sin x，则下列命题为真命题的上（）A. p q B . （—p） q C . p 广q）D . （一p）（一q）5.在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若SnA3n ,Bc5、、，且csC=5，6 则a =（）A . 2-2B . 3C . 3^2D . 46•某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为A . 8 4,2 2,5B . 6 4,2 4.5C . 6 2 2 2 5D . 8 2,2 2、5―17.将曲线C 1 : y =sin(x)上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的62C 2：y = g x ，则g x 在［-二，0］上的单调递增区间是(x -2y-2 _09.设x, y 满足约束条件 x • 2y -6 一 0y -2 <07 A .[-]]7B .[-甸Jt6]A . 7B . 10 B .［丁丐A . [「6 则输出的C . 13D . 1610.函数 f (X )二 2 x - xe 「e x 2+ x _2的部分图象大致是( 曲线向左平移 一个单位长度，得到曲线22y x z=的取值范围是(yA, B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且 ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 （ ）A . （1,、.2）B . （、、2, .2 .2）C . （、.2,2）D . （1,、.2） （.2 .2,：：）1 x12. 已知函数f （x ）=e 2x 二g （x ）=：+1 ，若f （m ）=g （n ）成立，则n-m 的最小值为（ ）11 A . In2 B . In 2 C .2ln 2D . 2ln 222 第U 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 m 与向量n 互相垂直，且m —2n = （11 -2）,若m = 5，则n = ________14. 在二项式"』）6的展开式中，其3项为120，则x =——.15.如图，E 是正方体ABCD -A ]BC 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且 BD 1 / /平面BQF ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为216.已知点A 是抛物线C:x =2py （p 0）上一点，O 为坐标原点，若A, B 是以点M （0,8） 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ABO 为等边三角形，则p 的 值是 __________ .、解答题 （本大题共6小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演2 211.过双曲线 笃-当 "（a 0,b 0）的右焦点且垂直于a bx 轴的直线与双曲线交于算步骤.）（一）必考题（60分）17.已知正项数列 & ?满足印=1, a2 - a^a 2^ a n ,，数列:b n ?的前n 项和S n 满足2Sn = n - a n.（1）求数列〔a n !, IbJ 的通项公式；1（2）求数列｛｝的前n 项和T n.an 1bn18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位， 在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立， 某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品， 根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件1 4 3丄，兰，3，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次2 5 54 1 2 5，2,3（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率; （2）经过前后两次烧制后， 甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 X ，求随机变量X的数学期望•19•如图，四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC,PE _ 平面 ABCD,PE = 6. （1） 证明：平面PAC —平面PBE ； （2） 求二面角 A -PB -C 的余弦值.2 2 20.已知椭圆C :X2 -y ^=1（a b 0）的长轴长是短轴长的 2. 2倍，且椭圆C 经过点 a b工艺品合格的概率依次为42A(2,).2(1)求椭圆C的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线丨交椭圆C于M , N两点，MN| = 2J2，记直线丨在y轴上的截距为m,求m的最大值.221.函数f x ]=x mln(1 x).(1 )当m .0时，讨论f x的单调性；(2)若函数f x有两个极值点x,,x2，且为：::x2，证明：2f (x2) • -捲• 2x, In2 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.「X = cos日22•在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为G为参数)，曲线C2的y = 1 +si n 日X x = 2cos参数方程为(「为参数)畀=s in申(1 )将G，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为：-(COST -2sin二)=4，若G上的点P对应的参数为，点Q上在C?，点M为2PQ的中点，求点M到直线I距离的最小值•23.已知f(x)=x—a +x+2a+3 .(1)证明：f x 一2 ；3(2)若f( ) <3，求实数a的取值范围.2数学(理科)参考答案、选择题、填空题三、解答题所以 订,是以1为首项，1为公差的等差数列,当n_2时，b n =S n -S n 」=2n ，当n =1时b =2也满足，所以b n =2n .1 1 111（2）由（1）可知（），a n卅b n2n （n+1） 2 n n +11 11111 1 1 n 所以人兮73)GV(丁百)“冇18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件A, A, A 3,(1)设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格, 则 pg J 1 2.1 42 1 125525525550(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 所以随机变量X : B(3,0.4), 所以 E X P=3 0.4 = 1.2.19. （ 1）证明；设BE 交AC 于F ,因为四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC ,CE BC所以CE =寿3,,BC AB1-5: ACBAB6-10: CBDAD 11、 D 12: A13. 514.215.卫5216.—17•解：(1)因为 2 a n a n 二2a n 1-a n 1，所以,a n 1 a na n 1 - a n - 1= 0，因为 a n 10,a n，所以 a n 1 a n = 0，所以 a n 4 ~' a n-1，n又ABC 二BCD ，所以ABC ：：BCE, BEC 二ACB ,2JT因为BEC 二ACE 二ACB ACE ,2所以AC _ BE，又PE _平面ABCD .所以AC _ PE，而PE BE = E，所以平面PAC _平面PBE ;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得A(3, -2. 3,0), B(3,. 3,0), C(0,3,0), P(0,0,6),——J则AB =(0,3 .3,0), BP =(-3,-'、3, \6),CB =(—,3设平面APB的法向量3>/3y1 = 0厲=(捲，比，乙)，则——1-3捲- J3y1+ 46/=0=1，即n i =(±,0,1)3设平面BPC的法向量- 3x2 = 0"EM)，则_3X2「3y2 危2=0，取X2 =0,% =2, Z i =1，即m = (0^. 2,1)设平面APB与平面BPC所成的二面角为二，则cos日n1n2、、5jr n i - 5厂由图可知二面角为钝角，所以cos= = -—55n20.解：（1）因为 ^2 2b ，所以椭圆的方程为22 2xb =1,a =8，椭圆的方程为y8m 2 二73 ，满足 口2 :：: 1 . 8k 2，8所以m 的最大值为y14 - 7 .把点 A(2,的坐标代入椭圆的方程，得丄丄18b 2 b 2所以(2) 设直线I 的方程为y 二kx m,M (X i ,yJ,N(X 2, y ?),联立方程组 —y 2 -1I 8y = kx m2 2 2得(1 8k )x 16kmx 8m -8 = 0,由 256m 2 -32(m 2 -1)(1 8k 2)0 ,得:::1 8k 2，216km 8m -8所以 x | X 22 , X [ X 22 ，所以MN = J 1+k 2 \&花+x 2)2—4为屜mi)2 4 8m 2 -8 4、2 1 k 2 : 8k 21-m 21 8k 2由4zrv.8k 2，得(8k 2 1)(3-4k 2)令k 21 2m =21当且仅当1 8k 24(k 2 1)二t(t 1)= k 2二 t _ 1，所以 m^-32t2 84t -49，4t-(8t49)4t _21 -14，2，即8^49，4tt =3时，上式取等号, 8此时k 221.解：函数f X 的定义域为（-1,七），f X =21（1 ）令g x [=2x 2x m ，开口向上，x - - 为对称轴的抛物线， 当x • _1时，1 1 1①g （-2）m_0，即m_2时，gx_O ，即f x _ 0在（-1」：：）上恒成立,J - 2m 1 J - 2m —2 —必2 _ _2 —2—、、1-2m 1，当 X 1 ：：： X ：：： X 2 时,22即 f x ：0，当-1 . x x 1 或 x x 2 时，g x ]，0，即 f x 0，11 *, 1~2m 1 T1-2m 「¥ 亠综上，当0 ::: m 时，f x 在（， ）上递减，22 2 2 2亠 1 / —2m 1 J 1 —2m 、1在（-1,）和（ ，=）上递增，当m 时，在（-1,=）上递增.2 2 2 2 2（2）若函数f X 有两个极值点X j ,X 2且X^ X 2，1 1则必有0 ::: m ：：： £，且-1 ：：：洛 x 2 :: 0，且f x 在x 1, x 2上递减，在（-1,xJ 和（X 2, •：：）上递增，则 f (x 2) ：： f (0) =0,因为x , ,x 2是方程2x 2 2x ^0的两根，所以 X ! x 2 二-2,x 1x^-m ，即为=-1 - x 2, m = 2为，x 2，2要证 2f (x 2) -为 2x 1 In 2又 2 f (x 2) =2x ； 2mln(1 X 2)=2X ； 4x^21n(1 x 2)-2x | 4(1 x 2)x 2In(1 x 2)-(-1 x 2)2(-1 -x 2)ln 2=1 冷-2(1x 2)ln 2，2x 2 2x m1 ②当0 ：：： m 时,2由 g x ] = 2x 2x m ，得 x =-因为 g -1 二 m ・0,所以-r ：： x 1 < -1g X ：0，即证2x； -4(1 x?)x21n(1 %) -(1 x2)(1 -21 n 2) 0 对--■ x ■■■ 0恒成立,221设」x =2x -4(1 x)xln(1 x) -(1 x)(1 -2ln 2),( x ：：： 0)4则」x = -4(1 2x)ln(1 x) -Ine14 当 x :：: 0时，1 2x ■ 0,ln(1 x) ::: 0,ln — • 0 ,故’x 0 ,2e1所以，x 在(-3,0)上递增， J 1 1 1 1 故」x'( — )=2 4 — ln (1 —2ln 2) =0 , 2 4 2 2 2所以 2x ； -4(1 x 2)x 2ln(1 屜)-(1 x 2)(1 -2ln 2) 0 , 所以 2f (X 2)-为2x 1 ln2.22.解：(1) C 1的普通方程为x 2 (y -1)2 =1 , 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 2的普通方程为y 2 -1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆.41(2 )由已知得 P(0, 2)，设 Q(2cos ysi nr)，则 M(cos\1si nJ , 2直线l : x -2y -4 =0，点M 至y 直线l 的距离为cos ： -sin v - 65 =所以d 兰异翌 =6血7° ，即M 到直线l 的距离的最小值为 6亦_后V555所以f x -2.3a 2 2a 3,a -3,a 2 _2a,a ：：： - 3 L 423. (1)证明：因为f X 二而 x +2a 十3 —x +a 2 2x -a+|x + 2a +3 > =a 2 +2a+3 2x 2a 3-x a =(a 1)22 一2 ,3 2丄3 丄3f (_—) =a 2 +— + 2a +_2 2 2(2)因为- 3 -3a v — — a八——吕F ~—4£4〉2- 2r a + 2a + 3 < 3 r a —。