概率论复习题PPT精选文档
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概率论部分总复习练习题最终版.ppt
2
PB P Ai P B Ai
i 1
0.5 0.05 0.5 0.0025 0.0265
P
A1 B
P A1 PB PB
A1
0.5 0.95 1 0.02625
0.4&8780&
20 41
五、设随机变量 X 的分布函数为
0
x 1
F (x) a barcsin x 1 x 1
则随机变量3X 2Y 的方差为 (D) .
(A) 8
(B) 16
(C) 28
(D) 44
5 设 X ~ N(, 2),对于任何实数 ,都有 (B) .
(A) P{X } 1 P{X }
(B) P{X } 1 P{X }
(C) X ~ N(0, 2) (D) X ~ N(, 2 2)
三、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，求下列事件发生的 概率：
(1) 恰有一双配对； (2) 至少有一双配对。
解：设A表示所取4只中恰有一双配对的事件； B表示所取4只中至少有一双配对的事件。
P A C15C22C24C12C12 12
C140
21
P
B
1 P
B
1
C54C12C12C12C12 C140
。
一、填空题
9 若 X ,Y 相 互 独 立 ， 且 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1) ， 则
aX bY ～ N 0,a2 b2 。
10 设随机变量 X 在(1,6)上服从均匀分布，则方程
4
x2 Xx 1 0有实根的概率是 5
。
二、选择题
1 若事件 A与B互不相容,则P A U B (A)
解：(1) (X ,Y )的联合概率密度函数为
PB P Ai P B Ai
i 1
0.5 0.05 0.5 0.0025 0.0265
P
A1 B
P A1 PB PB
A1
0.5 0.95 1 0.02625
0.4&8780&
20 41
五、设随机变量 X 的分布函数为
0
x 1
F (x) a barcsin x 1 x 1
则随机变量3X 2Y 的方差为 (D) .
(A) 8
(B) 16
(C) 28
(D) 44
5 设 X ~ N(, 2),对于任何实数 ,都有 (B) .
(A) P{X } 1 P{X }
(B) P{X } 1 P{X }
(C) X ~ N(0, 2) (D) X ~ N(, 2 2)
三、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，求下列事件发生的 概率：
(1) 恰有一双配对； (2) 至少有一双配对。
解：设A表示所取4只中恰有一双配对的事件； B表示所取4只中至少有一双配对的事件。
P A C15C22C24C12C12 12
C140
21
P
B
1 P
B
1
C54C12C12C12C12 C140
。
一、填空题
9 若 X ,Y 相 互 独 立 ， 且 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1) ， 则
aX bY ～ N 0,a2 b2 。
10 设随机变量 X 在(1,6)上服从均匀分布，则方程
4
x2 Xx 1 0有实根的概率是 5
。
二、选择题
1 若事件 A与B互不相容,则P A U B (A)
解：(1) (X ,Y )的联合概率密度函数为
概率论总复习ppt课件
解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
概率论与数理统计期末复习PPT课件
P(B | A) P(B | A); (3)当0 P( A) 1, 0 P(B) 1时，
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
概率论期末复习-精PPT文档51页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
概率论期末复习-精
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
概率论复习-PPT课件
2
4
P( ABC ) 0
A、B、C中任意两个相互独立，但A、B、C不独立.
若 n 个事件相互独立，则任意两事件相互独立，但反过来 不一定正确.
10
第二、三章 随机变量及其分布
一、随 机 变 量 及其分布函数
1. 概念
(1) 0 F ( x) 1, ( x )
2. 分布函数 F ( x) P( X x)
x x
1
x2
e2
2
1
t2 x
e 2 dt
2
x
X ~ N , 2 .
f x
1
x 2
e 22
2
Ox
Px1
X
x2
x2
x1
四、 随机变量函数的分布
1、离散型
2、连续型
13
1、离散型随机变量函数的分布
设随机变量X 的概率分布为：
X
x1
x2
P( X xi ) p( x1 ) p( x2 )
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
7
三、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
2、乘法公式
P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
3、全概率公式
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
4、逆概率公式
P(Bi | A)
概率论复习提纲-PPT精选
基本要求：
x k x
已知分布律求分布函数 分布律与分布函数图像的关系
分布函数F(x)在x=xk( k =1,2,3,… ) 处有跳跃，其跳 跃值为pk= P{ X=xk } . 已知分布函数求概率 P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 )
2.连续型的随机变量X和Y的相互独立性
X 和 Y 相互独立 F ( x , y ) F X ( x ) F Y ( y ) f ( x , y ) f X ( x ) f Y ( y )
P73的两个例子；P86 第18(1)题
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望
1. 数学期望的定义 数学期望简称为期望或均值.
互不相容事件： 若 AB ,则A 称 和 B是互不.相容
对立事件： 若 A B S 且 A B ,则 A 和 称 B 是互为 . A的对立事 A,即 件 A记 S为 A.
P25 第2题
二、概率、等可能概型
1.概率的定义： 非负性、规范性、可列可加性 2.概率的性质：
(1)P ( )0. (2)若A1,A2,,An是两两互不相,则 容有 的
P68 例1； P71 例3；P85-86 第9，13(1)题
四、相互独立的随机变量
1.离散型的随机变量X和Y的相互独立性
X 和 Y 相互独立 F ( x , y ) F X ( x ) F Y ( y )
P { X x i , Y y j } P { X x i } P { Y y j } 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj)都成立.
离散型随机变量的函数的分布 例 设X的分布律为 X 1 0 1 3
p k 0 .20 .30 .10 .4 求 Y=(X-2)2 的分布律. 解 Y=(X-2)2 的分布律为
概率论复习重点与习题.ppt
P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy.
G
3）掌握二维均匀分布的定义及性质； A
f
x，
y
1 A
x， y D
y
0 x， y D
B
P{( X ,Y ) G}
G
f (x,
y)dxdy
. A
4）会求边缘分布率和边缘概率密度；
D G
B
x
pi. P{X xi} pij
j
{ } p P Y y
(3) A B P(B A) P(B) P( A)
(4) P( A) 1 P( A) (5) P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(6) P(B A) P(B) P( AB)
3）熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公 式，事件的独立性及性质求概率.
(1) PA B PPABB;
n i 1
Xi,
样本方差
S2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
1
n
[
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
样本k 阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
Xik
k 1,2,
样本k 阶中心矩
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
k 1,2,
结论：设 X1 , X n 为来自总体X 的一个样本，
EX m , DX s 2 ,
f x， y f X x fY y
6）会求二维随机变量函数的分布：
（1）一般情形
先求随机变量函数Z gX， Y 的分布函数FZ z，
再求随机变量函数Z gX， Y 的密度函数 f Z z FZ z，
G
3）掌握二维均匀分布的定义及性质； A
f
x，
y
1 A
x， y D
y
0 x， y D
B
P{( X ,Y ) G}
G
f (x,
y)dxdy
. A
4）会求边缘分布率和边缘概率密度；
D G
B
x
pi. P{X xi} pij
j
{ } p P Y y
(3) A B P(B A) P(B) P( A)
(4) P( A) 1 P( A) (5) P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(6) P(B A) P(B) P( AB)
3）熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公 式，事件的独立性及性质求概率.
(1) PA B PPABB;
n i 1
Xi,
样本方差
S2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
1
n
[
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
样本k 阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
Xik
k 1,2,
样本k 阶中心矩
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
k 1,2,
结论：设 X1 , X n 为来自总体X 的一个样本，
EX m , DX s 2 ,
f x， y f X x fY y
6）会求二维随机变量函数的分布：
（1）一般情形
先求随机变量函数Z gX， Y 的分布函数FZ z，
再求随机变量函数Z gX， Y 的密度函数 f Z z FZ z，
高中数学概率论复习(全)PPT
（2）有界性：对任意实数 x ，有 0 F(x) 1，且
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
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2
2. 某段时间[t0,t0+t]内，t>0，证券交易所来 了k个股民的概率为 (t)k e，tk=0,1,2……，λ >0，每个来到交易所的k! 股民购买长虹股票 的概率为p，且各股民是否购买这种股票相 互独立。 （1）求此段时间内，交易所共有r个股民购 买长虹股票的概率； （2）若已知这段时间内有r个股民购买了长 虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。
5. 某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率
密度为
{ f (x)
xex,x0 0,其他
6. 假设各周的需求量相互独立，以U k 表示k周的总 需求量，
（1）求U 2 ,的U 3 概率密度； （2）求接连三周中的周最大需求量的概率密度。
10
6. 设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为 7. f ( x ) ,Y的分布律为
X0 1
p 1/ 1/ 22
3. 求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。
12
3. 设随机变量X的概率密度为
ax, 0<x<2
f(x)= cx+b 2x4
0 其他
又已知E(X)=2，D(X)=2/3，求： (1)a,b,c的值； (2)随机变量Y=eX的数学期望与方差。
13
4. 设X～N(μ,σ2)，Y～N(μ,σ2)，且设X，Y相 互独立，求Z1＝αX+βY，Z2=αX-βY的相关 系数（其中αβ是不为0的常数）。
5
2. 假设随机变量X的绝对值不大于1，
3. P(X1)1,P(X 在1)事1件,
8
4
(1X1)
4. 出现的条件下，X在（-1，1）内的任一
子区间上取值的条件概率与该子区间长度成
正比，试求：
5. （1）X的分布函数F ( x ) ；
6. （2）X的取负值的概率p。
6
3. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从
P ( Y a i) p i,i 1 ,2 , ,n .
8. 试求Z=X+Y的密度函数。
11
第四章
1. 设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗， 设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概 率均为2/5，求途中遇到红灯次数的数学期 望与方差。
2. 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一 分布，且X的分布律为
5. 卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以公斤 计）服从N(50,2.52)，问最多装多少袋水泥 使总重量超过2000的概率不大于0.05。
14
6. 设随机变量X的分布密度为p(x)1ex, x
2
（1）求E(X)和D(X); （2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否 相关； （3）X与|X|是否独立？为什么？
参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出
现故障时自动关机，而在无故障的情况下工
作2个小时Y (。y ) 4. 设随机变量X 的概率密度为
{ f (x) 3x12/3, 0,其他
x1,8,
5. F ( x ) 是X的分布函数，试求随机变量Y F ( X ) 的分布函数。
概率论复习题
1
第一章
1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件， 其中10件为一等品；第二箱内装30件，其 中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱， 然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出 的零件均不放回），求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取出的零件是一等品的条件下， 第二次取出的零件仍然是一等品的概率。
P (A |B ) P (A |B )P ( C C ) P (A |B C )P ( C )
4
第二章
1. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可 以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经 调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定 为不合格品不能出厂。现该厂生产了 n(n2)
台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立， 试求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； （3）其中至少有两件不能出厂的概率θ。
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第五章
1. 现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中 任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等 式估计和用中心极限定理计算这6000粒种 子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不 超过0.01的概率。
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2. 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一 种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、 1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、 0.5。某天售出300只蛋糕。
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第三章
1. 设（X，Y）的联合密度为
C xy,0x 1 ,0y 1 .
f (x, y)
2.
0，其他
3. 求：（1）常数C；（2）P（X=Y）；
4.
（3）P（X ＜ Y ）。
8
2. 设连续型随机变量X，Y相互独立且服从同 一分布，证明 P (X ≤ Y)= 1/2。
3. 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1 件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3 件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二 等品数，试求：
3
3. 设一射手每次命中目标的概率为p，现对同 一目标进行若干次独立射击，直到命中目标
5次为止，则射手共射击了10次的概率为
4.
C (A150p) 5(1p)5
(B)
C94p5(1p)5
5.
C (C140)p4(1p)5
(D)
C94p4(1p)5
4. 设有三个事件A,B,C，其中P(B)>0,P(C)>0， 且事件B与事件C相互独立，证明：
（1）（X，Y）的联合分布律； （2）（X，Y）关于X和Y的边缘分布律； （3）X和Y是否相互独立？ （4）在X=1的条件下Y的条件分布。
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4. 设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分 布，其中D={（X，Y）| 0<x<1,|y|<x}，试求（X， Y）关于X和关于Y的边缘密度和条件密度。
3. （1）求这天的收入至少400（元）的概 率；
（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多
3. 于设6a0n 只 m的n0 n，m概m!e求率n 证。
nl iman0.5
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2. 某段时间[t0,t0+t]内，t>0，证券交易所来 了k个股民的概率为 (t)k e，tk=0,1,2……，λ >0，每个来到交易所的k! 股民购买长虹股票 的概率为p，且各股民是否购买这种股票相 互独立。 （1）求此段时间内，交易所共有r个股民购 买长虹股票的概率； （2）若已知这段时间内有r个股民购买了长 虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。
5. 某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率
密度为
{ f (x)
xex,x0 0,其他
6. 假设各周的需求量相互独立，以U k 表示k周的总 需求量，
（1）求U 2 ,的U 3 概率密度； （2）求接连三周中的周最大需求量的概率密度。
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6. 设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为 7. f ( x ) ,Y的分布律为
X0 1
p 1/ 1/ 22
3. 求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。
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3. 设随机变量X的概率密度为
ax, 0<x<2
f(x)= cx+b 2x4
0 其他
又已知E(X)=2，D(X)=2/3，求： (1)a,b,c的值； (2)随机变量Y=eX的数学期望与方差。
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4. 设X～N(μ,σ2)，Y～N(μ,σ2)，且设X，Y相 互独立，求Z1＝αX+βY，Z2=αX-βY的相关 系数（其中αβ是不为0的常数）。
5
2. 假设随机变量X的绝对值不大于1，
3. P(X1)1,P(X 在1)事1件,
8
4
(1X1)
4. 出现的条件下，X在（-1，1）内的任一
子区间上取值的条件概率与该子区间长度成
正比，试求：
5. （1）X的分布函数F ( x ) ；
6. （2）X的取负值的概率p。
6
3. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从
P ( Y a i) p i,i 1 ,2 , ,n .
8. 试求Z=X+Y的密度函数。
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第四章
1. 设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗， 设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概 率均为2/5，求途中遇到红灯次数的数学期 望与方差。
2. 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一 分布，且X的分布律为
5. 卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以公斤 计）服从N(50,2.52)，问最多装多少袋水泥 使总重量超过2000的概率不大于0.05。
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6. 设随机变量X的分布密度为p(x)1ex, x
2
（1）求E(X)和D(X); （2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否 相关； （3）X与|X|是否独立？为什么？
参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出
现故障时自动关机，而在无故障的情况下工
作2个小时Y (。y ) 4. 设随机变量X 的概率密度为
{ f (x) 3x12/3, 0,其他
x1,8,
5. F ( x ) 是X的分布函数，试求随机变量Y F ( X ) 的分布函数。
概率论复习题
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第一章
1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件， 其中10件为一等品；第二箱内装30件，其 中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱， 然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出 的零件均不放回），求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取出的零件是一等品的条件下， 第二次取出的零件仍然是一等品的概率。
P (A |B ) P (A |B )P ( C C ) P (A |B C )P ( C )
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第二章
1. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可 以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经 调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定 为不合格品不能出厂。现该厂生产了 n(n2)
台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立， 试求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； （3）其中至少有两件不能出厂的概率θ。
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第五章
1. 现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中 任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等 式估计和用中心极限定理计算这6000粒种 子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不 超过0.01的概率。
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2. 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一 种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、 1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、 0.5。某天售出300只蛋糕。
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第三章
1. 设（X，Y）的联合密度为
C xy,0x 1 ,0y 1 .
f (x, y)
2.
0，其他
3. 求：（1）常数C；（2）P（X=Y）；
4.
（3）P（X ＜ Y ）。
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2. 设连续型随机变量X，Y相互独立且服从同 一分布，证明 P (X ≤ Y)= 1/2。
3. 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1 件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3 件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二 等品数，试求：
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3. 设一射手每次命中目标的概率为p，现对同 一目标进行若干次独立射击，直到命中目标
5次为止，则射手共射击了10次的概率为
4.
C (A150p) 5(1p)5
(B)
C94p5(1p)5
5.
C (C140)p4(1p)5
(D)
C94p4(1p)5
4. 设有三个事件A,B,C，其中P(B)>0,P(C)>0， 且事件B与事件C相互独立，证明：
（1）（X，Y）的联合分布律； （2）（X，Y）关于X和Y的边缘分布律； （3）X和Y是否相互独立？ （4）在X=1的条件下Y的条件分布。
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4. 设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分 布，其中D={（X，Y）| 0<x<1,|y|<x}，试求（X， Y）关于X和关于Y的边缘密度和条件密度。
3. （1）求这天的收入至少400（元）的概 率；
（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多
3. 于设6a0n 只 m的n0 n，m概m!e求率n 证。
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