2019届湖南湖北八市十二校高三第一次调研联考理科数学试题(解析版)

湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解含绝对值不等式可化简集合Q得，然后由并集的定义可求得。

【详解】。

由题意得，，，∴，故选B.【点睛】高考对集合的考查，难度不大，一般都是以小题的形式考查。

本题考查含绝对值不等式的解法及集合的运算。

意在考查学生的运算能力和转化能力。

2.已知命题：，，，则是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】直接利用全称命题的否定解答得解.【详解】已知全称命题则否定为故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)全称命题：，全称命题的否定（）：.特称命题,特称命题的否定,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.3.已知直线是曲线的切线，则实数（）A. B. C. D.【解析】【分析】设切点为，求出切线方程，即得，解方程即得a的值.【详解】设切点为，∴切线方程是，∴，故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.4.已知向量，且，则等于（）A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】先根据已知求出x,y的值，再求出的坐标和的值.【详解】由向量，且，则，解得，所以，所以，所以，故答案为：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.为了得到函数的图象，只需把上所有的点（）A. 先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位B. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移个单位D. 先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位【答案】A【分析】把上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数的图象，再把的图象向左平移个单位得到函数.【详解】把上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数的图象，再把的图象向左平移个单位得到函数，故答案为：A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.6.将标号为1,2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为．甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（）A. 甲对乙不对B. 乙对甲不对C. 甲乙都对D. 甲乙都不对【答案】B【解析】分析：利用信息可以先自己随便填写出来一种情况，每列最小数中的最大数，最大是17，比如一列排20，19，18，17可得结果。

详解：随意列表如下比如此时每一列的最小值分别为17，1，2，9，11，此时最小值中最大的是，每一行中最大的分别是20，19，18，17，此时四个最大值中最小的是，此时，即乙说法正确，观察该表格，将表中数据无论怎么调换，始终有，即甲说法错误，故选B.点睛：本题主要考查推理，考查学生分析问题，观察问题的能力，属于基础题。

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知几何体为锥与柱的组合体，其中锥的高为1，底面为四分之一个圆，圆半径为1；柱的高为1，底面为直角三角形，两个直角边长分别为1和2，所以体积为，故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三视图找原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的方法有：直接法和模型法.8.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据圆的方程求出，再求弦长，解方程即得t 的值,即得直线的斜率.【详解】由题设可得,故圆心在焦点上,故,设直线,代入得,所以,则,即,也即.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线;弦长公式：,公式中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去后化简后中的系数，是的判别式；不一定是一元二次方程；如果是先消去，则弦长公式变为，其中是直线的斜率，是中的系数，是的判别式。

9.过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y,由k=1得到，即.由k=3得到，即，再求离心率的范围.【详解】双曲线右焦点为，过右焦点的直线为，与双曲线方程联立消去y可得到，由题意可知，当k=1时，此方程有两个不相等的异号实根，所以，得0＜a＜b，即；当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根，所以，得0＜b＜3a，；又，所以离心率的取值范围为．故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的范围，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求离心率常用的方法用公式法和方程法.10.某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( )A. 360种B. 432种C. 456种D. 480种【答案】A【解析】由容斥原理，全排减去2站两端的，再减去，1,3，5不相邻，再加上2 站两端且1,3，5不相邻，所以N=360 一类：恰两个相邻，选1,3,5中3个选两个排，再与另外4,6，排，最后插入2，不插两端，方法数=72，二类，三个相邻，1,3,5捆绑在一起，再与4,5排，最后插入2，不插两端，方法数360.【点睛】当从正面分类比较复杂时，常从反面，用容斥原理处理排列组合问题。

11.设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，根据平面与平面和平面成的锐二面角相等得到，设到距离为，再转化出，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，即得解.【详解】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查二面角的计算，考查点点距的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析推理得到，其二是分析出点在与直线平行且与直线距离为的直线上.12.已知函数若当方程有四个不等实根，，，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出当时，,再画出函数的图像，对不等式分离参数得，再化简，换元，则上式化为，再求y的最大值，即得k的最小值.【详解】当时，，所以，由此画出函数的图象如下图所示，由于，故.且.所以，，由分离参数得，，令，则上式化为，即，此方程有实数根，判别式大于或等于零，即，解得，所以，故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合能力.(2)解答本题的关键有三点，其一是准确画出函数的图像，其二是化简，其三是换元求函数的最大值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.互为共轭复数,且则=____________。

【答案】【解析】本题考查复数的概念设，则有则由得由复数相等的意义有解得所以故14.设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为________．【答案】【解析】分析：利用等差数列、等比数列的性质,可得方程=0,由此,即可得出结论.详解：因为后3个数成等差数列且和为15,故可依次设后3个数为5-d,5,5+d,（d）又前3个数构成等比数列,则第一个数为,即+5-d+5=k,化简得=0,因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以k>.再由d，得故答案为：点睛：本题主要考查等差数列，等比数列的性质，考查了函数与方程的思想，属于中档题。

15.△的三个内角为，，，若，则的最大值为．【答案】【解析】试题分析：,,展开化简得,所以,则,当,所求的有最大值.考点：1.三角恒等变换；2.二次函数的最值.16.已知.若时，的最大值为2，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】先根据已知求出，再由已知得到和可行域，利用线性规划得到，再利用基本不等式求的最小值.【详解】，所以，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线斜率小于零知直线过点取最大值，即，因此，当且仅当时取等号.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算和线性规划，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是由已知得到，其二是化简，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.已知数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用项和公式和累加法求的通项公式.(2)先求出，再利用放缩法得当时，，再证明.【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得．当时，，，以上两式相减，得，∴，∴，∴（2）当时，，∴【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是放缩当时，.18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)把t=19代入模型①：即得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值，把t=9代入模型②：即得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)利用模型②得到的预测值更可靠，主要是模型②能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．【详解】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下(写出两个中的任何一个都可以)：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．【点睛】本题主要是考查利用回归直线方程预测，考查回归直线的回归效果，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证明和，即平面得证.(2)利用向量法求二面角的平面角的余弦值.【详解】（1）连接，底面，底面，，且与底面所成的角为，即.在等边△ABC中，易求得.在△AOD中，由余弦定理，得，.又又，平面，又平面，，又，平面.（2）如下图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知可得点的坐标为，平面的一个法向量是.设平面的法向量，由得令则则，易知所求的二面角为钝二面角 ，二面角的平面角的余弦角值是.【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二面角常用的求法有几何法和向量法.20.已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足，．（1）求点的轨迹方程；（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．【答案】（1）见解析；（2）或【解析】 【分析】（1）先求出椭圆的方程为，．令点，，再根据， 求出点的轨迹方程.(2)先求出点到直线的距离，，，再利用重要不等式求函数的最大值和点Q 的坐标.【详解】（1）由的焦点为的顶点，得的焦点，．令的方程为，因为在上，所以．于是由解得，，所以的方程为．由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以．令点，，则，，，．于是由，，得即两式相乘得．又因为点在上，所以，即，代入中，得．当时，得；当时，则点或，此时或，也满足方程．若点与点重合，即时，由解得或．若点与点重合时，同理可得或．综上，点的轨迹是椭圆除去四个点，，，，其方程为（，）．（2）因为点到直线的距离，，所以的面积.当且仅当，即或，此时点的坐标为或．【点睛】(1)本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查圆锥曲线中的面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是化简其二是求的最大值.21.设函数，其中．（1）讨论极值点的个数；（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，再对a分类讨论求函数极值点的个数.(2)先对函数求导，假设结论不成立，则有，由①得，由③得，所以④，令，不妨设，（），再利用导数证明，所以④式不成立，与假设矛盾．所以原命题成立.【详解】（1）函数的定义域为，．令．①当时，，，所以，函数在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递增，在上单调递减，且，所以，在上有唯一零点，从而函数在上有唯一极值点；③当时，若，即时，则在上恒成立，从而在上恒成立，函数在上单调递增，无极值；若，即，由于，则在上有两个零点，从而函数在上有两个极值点．综上所述：当时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点．（2），.假设结论不成立，则有由①，得，∴，由③，得，∴，即，即．④令，不妨设，（），则，∴在上增函数，，∴④式不成立，与假设矛盾．∴．【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的极值点的个数，考查反证法，考查利用导数研究函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键点，其一是想到反证法，其二是得到，想到构造函数找到矛盾.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。