哈工大_Matlab__2013年春季学期《MATLAB语言及应用》试题答案

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Matlab编程与应用习题和一些参考答案

Matlab编程与应用习题和一些参考答案

Matlab编程与应用习题和一些参考答案Matlab 上机实验一、二3.求下列联立方程的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+=++-=--+41025695842475412743w z y x w z x w z y x w z y x >> a=[3 4 -7 -12;5 -7 4 2;1 0 8 -5;-6 5 -2 10];>> b=[4;4;9;4];>> c=a\b4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=81272956313841A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=793183262345B ,求C1=A*B’;C2=A’*B;C3=A.*B,并求上述所有方阵的逆阵。

>> A=[1 4 8 13;-3 6 -5 -9;2 -7 -12 -8];>> B=[5 4 3 -2;6 -2 3 -8;-1 3 -9 7];>> C1=A*B'>> C2=A'*B>> C3=A.*B>> inv(C1)>> inv(C2)>> inv(C3)5.设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)1(sin 35.0cos 2x x x y ,把x=0~2π间分为101点,画出以x 为横坐标,y 为纵坐标的曲线。

>> x=linspace(0,2*pi,101);>> y=cos(x)*(0.5+(1+x.^2)\3*sin(x));>> plot(x,y,'r')6.产生8×6阶的正态分布随机数矩阵R1, 求其各列的平均值和均方差。

并求该矩阵全体数的平均值和均方差。

(mean var )a=randn(8,6)mean(a)var(a)k=mean(a)k1=mean(k)i=ones(8,6)i1=i*k1i2=a-i1i3=i2.*i2g=mean(i3)g2=mean(g)10.利用帮助查找limit 函数的用法,并自己编写,验证几个函数极限的例子。

MATLAB语言及应用试题及答案

MATLAB语言及应用试题及答案

答案:C
20.如果想将矩阵A第1行第1列的元素改为50,可以通过()语句来完成。
A、A(l,1)=50 B、AO:1)=50 C、AC1;1)=50 D、AO1)=50
答案:A
21.i=2;a=2i;b=2*i;c=2*sqrt(-1);程序执行后;a,b,c的值分别是多少?()
一、单项选择题 1.下列哪个函数为插值函数()
A、P=polyfit(X,Y,3) B、Y1=interp1(X,Y,X1,'method') C、[Y,I]=sort(A,dim) D、R=corrcoef(X)
答案:B
2.下列哪条指令是求矩阵的行列式的值()。
A、inv B、diag C、det D、eig
答案ar_1 B、x*y C、x\y D、end
答案:A
27.MATLAB表达式2*2^3^2的结果是()
A、128 B、4096 C、262144 D、256
答案:A
28.Matlab中求积分的函数为()。
A、diff() B、limit() C、int() D、solve()
A、4 B、12 C、24 D、48
答案:C
15.下列变量中比0大的最小数是()
A、i B、realmin C、realmax D、pi
答案:B
16.已知a=2:2:8,b=2:5,下面的运算表达式中,出错的为()
A、a'*b B、a.*b C、a*b D、a-b
答案:C
17.绘制系统单位阶跃响应曲线的函数是()。
A、step() B、impluse() C、sys() D、gensig()
答案:A
18.M文件根据调用方式的不同可以分为()。

哈工大matlab期末考精彩试题精彩试题及问题详解(95分)分解

哈工大matlab期末考精彩试题精彩试题及问题详解(95分)分解

春季学期MATLAB期末作业学院:机电工程学院专业:机械制造设计及其自动化学号:班号:姓名:2013年春季学期MATLAB 课程考查题姓名:学号:学院:机电学院专业:机械制造一、必答题:1.matlab常见的数据类型有哪些?各有什么特点?常量:具体不变的数字变量:会根据已知条件变化的数字字符串:由单引号括起来的简单文本复数:含有复数的数据2.MATLAB中有几种帮助的途径?(1)帮助浏览器:选择view菜单中的Help菜单项或选择Help菜单中的MATLAB Help菜单项可以打开帮助浏览器;(2)help命令:在命令窗口键入“help”命令可以列出帮助主题,键入“help 函数名”可以得到指定函数的在线帮助信息;(3)lookfor命令:在命令窗口键入“lookfor 关键词”可以搜索出一系列与给定关键词相关的命令和函数(4)模糊查询:输入命令的前几个字母,然后按Tab键,就可以列出所有以这几个字母开始的命令和函数。

注意:lookfor和模糊查询查到的不是详细信息,通常还需要在确定了具体函数名称后用help命令显示详细信息。

3.Matlab常见的哪三种程序控制结构及包括的相应的语句?1.顺序结构:数据输入A=input(提示信息,选项)数据输出disp(X)数据输出fprintf(fid,format,variables)暂停pause 或 pause(n)2.选择结构:If语句:if expression (条件)statements1(语句组1)elsestatements2(语句组2)EndSwitch 语句:switch expression (表达式)case value1 (表达式1)statement1(语句组1)case value2 (表达式2)statement2(语句组2)... ...case valuem (表达式m)statementm(语句组m)otherwisestatement (语句组)end3.循环结构:For循环:for variable=expression(循环变量)statement(循环体)endWhile循环:while expression (条件<循环判断语句>) statement(循环体)end4.命令文件与函数文件的主要区别是什么?命令文件:不接受输入参数,没有返回值,基于工作空间中的数据进行操作,自动完成需要花费很多时间的多步操作时使用。

MATLAB习题及参考答案经典.doc

MATLAB习题及参考答案经典.doc

习题:1, 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡=572396a 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=864142b 的数组乘积。

2, 对于B AX =,如果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=753467294A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=282637B ,求解X 。

3, 已知:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=987654321a ,分别计算a 的数组平方和矩阵平方,并观察其结果。

4, 角度[]604530=x ,求x 的正弦、余弦、正切和余切。

(应用sin,cos,tan.cot)5, 将矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7524a 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3817b 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2695c 组合成两个新矩阵: (1)组合成一个4⨯3的矩阵,第一列为按列顺序排列的a 矩阵元素,第二列为按列顺序排列的b 矩阵元素,第三列为按列顺序排列的c 矩阵元素,即 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡237912685574(2)按照a 、b 、c 的列顺序组合成一个行矢量,即 []2965318772546, 将(x -6)(x -3)(x -8)展开为系数多项式的形式。

(应用poly,polyvalm)7, 求解多项式x 3-7x 2+2x +40的根。

(应用roots)8, 求解在x =8时多项式(x -1)(x -2) (x -3)(x -4)的值。

(应用poly,polyvalm)9, 计算多项式9514124234++--x x x x 的微分和积分。

(应用polyder,polyint ,poly2sym)10, 解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡66136221143092x 。

(应用x=a\b)11, 求欠定方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡5865394742x 的最小范数解。

(应用pinv) 12, 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=943457624a ,计算a 的行列式和逆矩阵。

(应用det,inv)13, y =sin(x ),x 从0到2π,∆x =0.02π,求y 的最大值、最小值、均值和标准差。

matlab考试题及答案

matlab考试题及答案

%1、编制一个解数论问题的函数文件:取任意整数,若是偶数,则用2除,否则乘3加1,重复此过程,直到整数变为1。

function f=NO_1(X);Y(1)=X;k=1;while (X~=1)k=k+1;if (mod(X,2)==0)X=X/2;elseX=3*X+1;endY(k)=X;endplot(Y,'b.')end% 2、编制程序产生一个数组,满足:a1=1,a2=1,从第三个元素开始,每个元素等于前两个元素的和,直到数组的前后两个元素的比值比0.618小于1e-4,并且以红色点线的形式画出这个数组。

clear;A(1)=1;A(2)=1;i=3;Z=1;while (abs(Z)>=1e-4)A(i)=A(i-1)+A(i-2);Z=A(i-1)/A(i)-0.618;i=i+1;endplot (A,'r.')% 3、编写一个函数,能够产生分段函数。

function y=test_3_1(X)if (X<=2)y=0.5*X;elseif (X>6)y=0.5;elsey=1.5-0.25*X;endend%调用分段函数,绘制曲线。

clear; i=1;for j=0:0.01:2;x(i)=j;y(i)=test_3_1(j)*test_3_1(j+ 2);i=i+1;endplot(x,y)% 4、在2pi周期内画正弦函数曲线,并加注坐标轴标识和标题,然后在3pi/4,pi,5pi/4处分别加入带箭头的说明性文本,最后加注图例。

clear;t = 0:pi/50:2*pi;n = length(t);y = sin(t);plot(t,y,'-bo','linewidth', 1)xlabel('X');ylabel('Y');title('正弦函数曲线');text(2.356,0.707, ' \leftarrow3pi/4','FontSize',18);text(3.142,0.000, ' \leftarrow3pi/4','FontSize',18);text(3.927,-0.707,'\leftarrow3pi/4','FontSize',18);hleg1 = legend('sin(x)');% 5、A为任意一个n*m矩阵,写程序来计算A中有多少个零元素,并输出个数。

哈工大matlab春季学期考查题答案

哈工大matlab春季学期考查题答案

2012年春季学期 MATLAB 课程考查题一、必答题: 1,简述MATLAB组成部分?答:(1)开发环境(development environment)(2)matlab 数据函数库(Math Function Library)(3)matlab 语言(matlab language) (4)句柄图形(handle graphics)(5)应用程序接口(Applied Function Interface) 2,说明使用M文件编辑/调试器的方法和优点?答:(1)方法:a. 打开文件编辑器(Opening the file editor): 最简单的方法是在操作桌面的工具栏上选择新建文件键(New M- File)或打开已有文件键(Open File),也可以在命令窗口输入命令edit建立新文件或输入edit filename, 打开名为filename 的M文件;b. 编写程序内容(Compose the program content): 编写新的文件或修改已有文件;c. 保存文件(save file): 文件运行前必须完成保存操作,与一般的文件编辑保存操作相同;d. 运行文件(running file): 在命令窗口输入文件名即可运行。

如要在编辑器中直接完成运行,可在编辑器的Debug菜单下save and run选项,或按Run快捷键,最快捷的方法是直接按F5键执行运行。

(2)优点:a.功能强大的数值运算:在MATLAB环境中,有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函数可使用,函数的标示自然,使得问题和解答像数学式子一般简单明了,让使用者可全力发挥在解题方面,而非浪费在电脑操作上。

b.先进的资料视觉化功能: MATLAB的物件导向图形架构让使用者可执行视觉数据分析,并制作高品质的图形,完成科学性或工程性图文并茂的文章。

c.高阶但简单的程序环境:做为一种直译式的程序语言,MATLAB让使用者在短时间内写完程序,所花的时间约为用FORTRAN 或C 的几分之一,而且不需要编译(compile)及联结(link) 即能执行,同时包含了更多及更容易使用的内建功能。

哈工大matlab期末考试题试题及答案(95分)分解

哈工大matlab期末考试题试题及答案(95分)分解

春季学期MATLAB期末作业学院:机电工程学院专业:机械制造设计及其自动化学号:班号:姓名:2013年春季学期MATLAB 课程考查题姓名:学号:学院:机电学院专业:机械制造一、必答题:1.matlab常见的数据类型有哪些?各有什么特点?常量:具体不变的数字变量:会根据已知条件变化的数字字符串:由单引号括起来的简单文本复数:含有复数的数据2.MATLAB中有几种帮助的途径?(1)帮助浏览器:选择view菜单中的Help菜单项或选择Help菜单中的MATLAB Help菜单项可以打开帮助浏览器;(2)help命令:在命令窗口键入“help”命令可以列出帮助主题,键入“help 函数名”可以得到指定函数的在线帮助信息;(3)lookfor命令:在命令窗口键入“lookfor 关键词”可以搜索出一系列与给定关键词相关的命令和函数(4)模糊查询:输入命令的前几个字母,然后按Tab键,就可以列出所有以这几个字母开始的命令和函数。

注意:lookfor和模糊查询查到的不是详细信息,通常还需要在确定了具体函数名称后用help命令显示详细信息。

3.Matlab常见的哪三种程序控制结构及包括的相应的语句?1.顺序结构:数据输入A=input(提示信息,选项)数据输出disp(X)数据输出fprintf(fid,format,variables)暂停pause 或pause(n)2.选择结构:If语句:if expression (条件)statements1(语句组1)elsestatements2(语句组2)EndSwitch 语句:switch expression (表达式)case value1 (表达式1)statement1(语句组1)case value2 (表达式2)statement2(语句组2)... ...case valuem (表达式m)statementm(语句组m)otherwisestatement (语句组)end3.循环结构:For循环:for variable=expression(循环变量)statement(循环体)endWhile循环:while expression (条件<循环判断语句>)statement(循环体)end4.命令文件与函数文件的主要区别是什么?命令文件:不接受输入参数,没有返回值,基于工作空间中的数据进行操作,自动完成需要花费很多时间的多步操作时使用。

国开《Matlab语言及其应用》形考任务123答案

国开《Matlab语言及其应用》形考任务123答案

国开《Matlab语言及其应用》形考任务123答案题目如为随机抽题请用CTRL+F来搜索试题一、单项选择题(每小题3分,共36分)假设数组A=[123456789],则mod(A,2)为(B)。

正确答案是: B.A=[101010101]M文件根据调用方式的不同可以分为(C)。

正确答案是: C.脚本文件和函数文件Matlab中的程序控制结构不包含(D)。

正确答案是: D.过程结构符号运算得到的是(B) 正确答案是: B.表达式Matlab中的变量名的第一个字母是(A)。

正确答案是: A.字母plot绘制图形时若想画出分格线,需进行的操作是(C)。

正确答案是: C.gridon图形控制中,legend函数的作用是(D)。

正确答案是: D.在图右上角建立图例饼图的绘制函数为(D) 正确答案是: D.piex=linspace(5,1,5)得到的数组是(C)。

正确答案是: C.54321X=5*ones(1,6)得到的数组是(B)。

正确答案是: B.555555一般情况下,绘图命令每执行一次就刷新当前图形窗口,图形窗口原有图形将不复存在。

若希望在已绘图形上叠加新的图形,可以使用(A)命令。

正确答案是: A.holdon下列哪条指令是求矩阵的行列式的值?(C) 正确答案是: C.det三阶幻方又称为九宫图,提取三阶幻方矩阵对角元并构造对角阵用(C) 正确答案是: (C)diag(diag(magic(3)))data=rand(1000,2);x=data(:,1);y=data(:,2);II=find(yx.^2);的功能是(B) 正确答案是: (B)统计1000个随机点落入特殊区域的点的索引值;MATLAB计算二项分布随机变量分布律的方法是(C) 正确答案是:(C)binopdf(x,n,p);。

MATLAB命令symse2;f=sqrt(1-e2*cos(t)^2);S=int(f,t,0,pi/2)功能是(D) 正确答案是: (D)计算f(t)定积分的符号结果。

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2013年春季学期《MATLAB语言及应用》课程试卷姓名:学号:学院:专业:必答题1.常用的matlab界面由哪些窗口组成,各有什么主要作用?(4分)(1)菜单和工具栏功能:【File】菜单主要用于对文件的处理。

【Edit】菜单主要用于复制、粘贴等操作,与一般Windows程序的类似,在此不作详细介绍。

【Debug】菜单用于调试程序。

【Desktop】菜单用于设置主窗口中需要打开的窗口。

【Window】菜单列出当前所有打开的窗口。

【Help】菜单用于选择打开不同的帮助系统。

(2)命令窗口功能:用于输入命令并显示除图形以外的所有执行结果(3)历史命令窗口功能:主要用于记录所有执行过的命令(4)当前工作目录窗口功能:对文件和目录进行操作(5)工作空间窗口功能:查看、载入和保存变量2.如何设置当前目录和搜索路径,在当前目录上的文件和在搜索路径上的文件有什么区别?(2分)方法一:在MATLAB命令窗口中输入editpath或pathtool命令或通过【File】/|【SetPath】菜单,进入“设置搜索路径”对话框,通过该对话框编辑搜索路径。

方法二:在命令窗口执行“path(path,…D:\Study ‟)”,然后通过“设置搜索路径”对话查看“D:\Study”是否在搜索路径中。

方法三:在命令窗口执行“addpath D:\Study- end”,将新的目录加到整个搜索路径的末尾。

如果将end改为begin,可以将新的目录加到整个搜索路径的开始。

区别:当前文件目录是正在运行的文件的目录,显示文件及文件夹的详细信息,且只有将文件设置为当前目录才能直接调用。

搜索路径中的文件可以来自多个不同目录,在调用时不用将其都设置为当前目录,为同时调用多个文件提供方便。

3.有几种建立矩阵的方法?各有什么优点?(4分)1.在命令窗口中直接输入优点:适合输入不规则和较小的矩阵2.通过语句和函数生成矩阵优点:适合输入规则且较大的矩阵3.通过M文件来建立矩阵,从外部数据文件中导入矩阵优点:方便创建和导入大型矩阵4.说明break语句、continue语句和return语句的用法。

(3分)1. break语句用于终止for循环和while循环的执行。

当遇到break时,则退出循环体继续执行循环体外的下一个语句。

在嵌套循环中,break往往存在于内层的循环中。

2.continue命令用于结束本次for或while循环,与break命令不同的是continue指结束本次循环而继续进行下次循环。

3. return语句用来终止被调用函数的运行,后面的程序代码将不再执行,直接返回到上一级调用函数。

5.GUI开发环境中常用的控件包括哪些,各有何作用?(4分)①按钮(Push Buttons):执行某种预定的功能或操作;②开关按钮(Toggle Button):产生一个动作并指示一个二进制状态(开或关),当鼠点击它时按钮将下陷,并执行callback(回调函数)中指定的内容,再次点击,按钮复原,并再次执行callback 中的内容;③单选框(Radio Button):单个的单选框用来在两种状态之间切换,多个单选框组成一个单选框组时,用户只能在一组状态中选择单一的状态,或称为单选项;④复选框(Check Boxes):单个的复选框用来在两种状态之间切换,多个复选框组成一个复选框组时,可使用户在一组状态中作组合式的选择,或称为多选项;⑤文本编辑器(Editable Texts):用来使用键盘输入字符串的值,可以对编辑框中的内容进行编辑、删除和替换等操作;⑥静态文本框(Static Texts):仅用于显示单行的说明文字;⑦滚动条(Slider):可输入指定范围的数量值;⑧边框(Frames):在图形窗口圈出一块区域;⑨列表框(List Boxes):在其中定义一系列可供选择的字符串;⑩弹出式菜单(Popup Menus):让用户从一列菜单项中选择一项作为参数输入;⑩坐标轴(Axes):用于显示图形和图象。

6.进行simulink建模仿真的主要步骤包括哪些?(4分)(1)根据要仿真的系统框图,在SIMULINK 窗口的仿真平台上构建仿真模型。

(2)设置模块参数。

(3)设置仿真参数。

(4)启动仿真。

(5) 观测仿真结果。

7.a=[0 0.2 1 0 -5 9]在进行逻辑运算时,a相当于什么样的逻辑量。

(2分)解:a=[0,1,1,0,1,1],a是一个逻辑向量。

8.生成4阶魔方矩阵A,再分别计算A的数组平方和矩阵平方,给出执行语句以及计算结果。

(3分)解:>> A = magic(4)B = A^2SSR = sum>> A = magic(4)B = A^2SSR = sum(B(:))MSR = A^2A =16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1B =256 4 9 16925 121 100 6481 49 36 14416 196 225 1SSR =1496MSR =345 257 281 273257 313 305 281281 305 313 257273 281 257 345 (B(:))MSR = A^2A =16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1B =256 4 9 16925 121 100 6481 49 36 14416 196 225 1SSR =1496MSR =345 257 281 273257 313 305 281281 305 313 257273 281 257 3459.生成一个8阶的魔方矩阵A,再采用相应的MATLAB命令,将其全部偶数行提取出来,赋给矩阵B,给出命令及结果(4分)M = magic(8);>> B = M(~mod(M,2))A =64 2 3 61 60 6 7 579 55 54 12 13 51 50 1617 47 46 20 21 43 42 2440 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 B =9 55 54 12 13 51 50 16 40 26 27 37 36 30 31 33 41 23 22 44 45 19 18 48 8 58 59 5 4 62 63 110. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=986810141248a ,计算a 的行列式和逆矩阵。

(4分) >> a=[8 4 -12;14 10 8 ;6 8 9];>> ad=det(a) ad =-728>> ai=inv(a) ai =-0.0357 0.1813 -0.2088 0.1071 -0.1978 0.3187 -0.0714 0.0549 -0.033011. 对于B AX =,如果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=753487294A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=183657B ,求解X 。

(3分) >> A=[4 9 2;7 8 4;3 5 7];>> B=[57 36 18]’; >> X=A\B X = -3.0180 8.1018 -1.922212. 试求出如下极限:(4分) (1)xxxx 1)93(lim +∞→; (2)11lim0-+→→xy xy y x(1)解:>> clear>> syms x;>> limit(((3^x+9^x)^(1/x)),x,inf)ans =9(2)解:>> syms x y;>> t=x*yt =x*y>> limit(limit(t/(sqrt(t+1)-1),x,0),y,0)ans =213.求多项式43x x23-+的结果。

(4分) x x810+-乘以、除以多项式2求乘积>> p=[1,8,0,0,-10];>> q=[0,0,2,-1,3];>> k=conv(p,q)k =0 0 2 15 -5 24 -20 10 -30结果为2x^6+15x^5-5x^4+24x^3-20x^2+10x-30相除>> q=[2,-1,3];>> [k,r]=deconv(p,q)k =0.5000 4.2500 1.3750r =0 0 0 -11.3750 -14.125043x x-+)*(0.500x^2+4.250x+1.375)+(-11.375x-14.125) 23810x x+-=(214. 根据x= [66 49 71 56 38 46 90]绘制饼图,并将第五个切块分离出来。

(3分) >> x=[66 49 71 56 38]; >> L=[0 0 0 0 1]; >> pie(x,L);15. 编写一个函数,使其能够产生如下的分段函数:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<-≤=x x x x x x f 65.0620.251.525.0)(,,,,并调用此函数,绘制在x=[0,2]范围内的()(2)f x f x ∙+曲线。

(4分) M 函数 function y=f(x)y=(x<=2).*(0.5*x)+(x>=2&x<=6).*(1.5-0.25*x)+(x>3).*(0.5); 函数图像如下 >> x=0:0.1:2; >> y=f(x).*f(x+2);>> plot(x,y),grid on16. 假定某天的气温变化记录如下表,试作图描述这一天的气温变化规律,再用二次多图像如下二次多项式拟合 >> pf=polyfit(t,w,2) pf =-0.1081 3.0257 5.7159 气温w=-0.1081t^2+3.0257t+5.715917. 计算z=yx 2+3y 2x+2y 3的z y ∂∂和2z y x∂∂∂。

(3分)>> clear;>> syms x y;>> z=y*x^2+3*y^2*x+2*y^3; >> dt=diff(z,y); >> dxy=diff(dt,x); >> dt,dxy dt =x^2 + 6*x*y + 6*y^2 dxy = 2*x + 6*yz y ∂∂= x^2 + 6*x*y + 6*y^2 2z y x∂∂∂=2*x + 6*y 18. 用符号计算验证三角等式:sin(ϕ1)cos(ϕ2)-cos(ϕ1)sin(ϕ2) =sin(ϕ1-ϕ2)。

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