多项式拟合及例题详解
多项式的曲线拟合
对于实验或统计数据，为了描述不同变量 之间的关系，经常采用拟合曲线的办法。
拟合曲线：就是要根据已知数据找出相应 函数的系数。通常情况下，已知数据往往多于 未知系数的个数，所以曲线拟合实质上是解超 线性方程组。
×
曲线拟合的两个基本问题：最佳拟合意味着什 么？应该用什么样的曲线？
最佳拟合解释：数据点的最小误差平方和，且 所用曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简 捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
10
8
y=f(x)
6
4
2
0
-2
0
0.2
0.40.6Fra bibliotek0.8
1
x
×
命令格式：
• p=polyfit(x,y,n):在向量p中返回多项式的系数。
其中x和y为已知数据的横坐标和纵坐标向量，n为多项 式的次数；
• [p,s]=polyfit(x,y,n):同时还返回一个误差估计
数组s。
×
• 【例】 • x=(0:0.1:2.5); • y=erf(x); • p=polyfit(x,y,6); • f=polyval(p,x); • plot(x,y,’o’,x,f,’-’);
如果这种描述使你混淆，再研究下图。虚线 和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。 对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来， 就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和尽可能 小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅 是使误差平方和最小的省略说法。
×
Second Order Curve Fitting 12
×
多项式拟合
实验作业1用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。
解：编写程序如下：x=1:0.5:10;y=x.^3-6*(x.^2)+5.*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1) ％一次多项式拟合y1=polyval(f1,x);plot(x,y,'+',x,y1); ％作出数据点和拟合曲线的图形gridtitle('一次拟合曲线')figure(2);f2=polyfit(x,y0,2) ％二次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,'+',x,y2);gridtitle('二次拟合曲线')figure(3);f4=polyfit(x,y0,4) ％四次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,'+',x,y3);gridtitle('四次拟合曲线')figure(4);f6=polyfit(x,y0,6) ％六次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot(x,y,'+',x,y4);gridtitle('六次拟合曲线')figure(5);程序运行结果如下：f1 = 43.2000 -149.0264f2＝10.5000 -72.3000 89.8486f4＝0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5514f6= -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5514 通过比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式和六次多项式系数与原系数最接近。
多项式 拟合
多项式拟合多项式拟合是数学中一类重要的函数逼近方法，它通过利用多项式函数在已知数据点附近的近似性质，来构造一个逼近原函数的多项式函数。
这种方法在实际问题中有着广泛的应用，比如数据分析、曲线拟合、信号处理等领域。
本文将详细介绍多项式拟合的原理、方法和应用，帮助读者深入了解和应用这一重要的数学工具。
多项式拟合的基本原理是利用已知数据点的坐标值，找到一条多项式曲线，使得该曲线与给定的数据点尽可能接近。
在实际应用中，我们常常会遇到一组散点数据，通过多项式拟合可以用一条平滑的曲线来逼近这些数据点，从而方便我们进行数据的分析和预测。
在进行多项式拟合时，一个关键的问题是如何确定多项式的阶数。
低阶多项式通常不能很好地拟合复杂的数据，而高阶多项式则可能会导致过拟合，使得曲线过度适应训练数据，而在新数据上表现较差。
因此，选择合适的多项式阶数是一个复杂的问题，需要根据具体情况进行调整。
多项式拟合的方法有很多种，其中最常用的是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化拟合曲线与数据点的残差平方和来确定最优拟合多项式。
也就是说，我们要找到一条多项式曲线，使得各个数据点到拟合曲线的距离之和最小。
这种方法在处理噪声较小的数据时效果很好，但对于噪声较大的数据则可能受到干扰。
除了最小二乘法，还有其他的多项式拟合方法，如最小化最大偏差法和逆矩阵法。
不同的方法适用于不同的问题和数据类型，读者可以根据自己的需求选择合适的方法。
多项式拟合在各个领域都有广泛的应用。
在数据分析和曲线拟合中，多项式拟合可以用来预测未来的数据趋势、分析数据的周期性和趋势性等。
在信号处理中，多项式拟合可以用来提取信号中的特征、去除噪声和恢复缺失的数据等。
此外，多项式拟合还可以应用于图像处理、机器学习和人工智能等领域。
总之，多项式拟合是一种重要的函数逼近方法，具有广泛的应用。
通过多项式拟合，我们可以利用已知数据点来构造一个逼近原函数的多项式函数，从而方便我们进行数据分析和预测。
数学软件与建模4-1.多项式拟合
解：x = [0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(x,y)
1.多项式拟合 通常，在解决实际问题时：1）将已知数据的散点 图画出，2）设计拟合的曲线类型，根据某种准则选 定最佳的曲线.
多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合， 其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).
说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按 降幂排列的系数p，X必须是单调的.
此时多项式在x处的函数值为： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000
通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线； 若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；…，给 出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式.
是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问 题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数.
如果用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2) p = 0.5614 0.8287 1.1560
即拟合函数为：y 0.5614x2 0.8287x 1.156 此时误差平方和为：
sum((polyval(p,x)-y).^2) =0.1781
根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数
min
n
|
f (xi
)
yi
|2
i1
曲线拟合分为：一元与多元
三次最佳一致多项式例题
三次最佳一致多项式例题当我们谈论最佳一致多项式时，通常是指使用最小二乘法来拟合一组数据点的多项式函数。
在这个过程中，我们希望找到一个多项式函数，使得它与给定的数据点的拟合误差最小化。
以下是一个关于最佳一致多项式的例题：假设我们有以下一组数据点，{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}。
我们希望找到一个最佳一致多项式来拟合这些数据。
首先，我们需要确定多项式的阶数。
通常情况下，我们会从一次多项式开始，并逐渐增加阶数，直到我们得到一个满意的拟合结果。
在这个例子中，我们从一次多项式开始。
一次多项式的形式为，y = a0 + a1x.我们可以使用最小二乘法来确定多项式的系数a0和a1。
最小二乘法的原理是最小化拟合误差的平方和。
对于每个数据点，我们可以计算拟合函数与实际数据点之间的垂直距离，即误差。
我们的目标是找到使得所有误差的平方和最小的系数a0和a1。
具体的计算步骤如下：1. 计算x和y的平均值，x_mean = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3，y_mean = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6。
2. 计算x和y与其平均值的差，dx = [1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3] = [-2, -1, 0, 1, 2]，dy = [2 6, 4 6, 6 6, 8 6, 10 6] = [-4, -2, 0, 2, 4]。
3. 计算dx和dy的乘积的和，dx_dy_sum = (-2 -4) + (-1 -2) + (0 0) + (1 2) + (2 4) = 20。
4. 计算dx的平方和，dx_square_sum = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 10。
5. 计算系数a1，a1 = dx_dy_sum / dx_square_sum = 20 / 10 = 2。
多项式拟合原理
Ai =
Ai
2 L+1
∑ Ai2
i=1
(12)
2L +1
在任何 x 处的期望信号的时间可由时间多项式确定，其振幅有振幅多项式求出，将期望 波形乘上振幅值，放到时间多项式所确定的位置上，便形成了期望剖面，即最终去噪结果。
A( x) = b0 P0 ( x) + b1 P1 (x) + b2 P2 (x) + b3 P3 ( x) + ....
(10)
式中P0( x), P1( x), P2( x)....为公式(6)中求得的正交多项式。
采用最小二乘法求振幅多项式(10)中的系数：
N
∑ A(xn ) ⋅ Pk (xn )
N
∑ xk Pm (x)
C = − (k) m
x=−N N
(5)
∑ Pm(x)2
x=−N
此处可得到 k=0~3 的正交多项式：
⎧
P0 (x) = 1,
⎪ ⎪
P0( x) = x,
⎪ ⎨ ⎪
P0 ( x)
=
x2
−
1 3
N(
N
+ 1),
(6)
⎪ ⎪⎩ P0
(x)
=
x3
−
1 5
(3N
2
+
3N
−1)
x,
窗口大小的选择，即 N 和 L 要根据实际情况来确定。 在窗口上在 N 道上沿时间方向对每个时窗内利用扫描方法，利用多道互相关系数的最 大准则来确定（2）中多项式系数。 固定 u0,对 u1，u2,...进行扫描，先扫描 u1，此时 u2, u3,...=0，比较多道互相关值确定 u1， 再扫描 u2，以此类推。
多项式拟合——精选推荐
多项式拟合多项式拟合多项式的⼀般形式：y=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} +...+p_{n}多项式拟合的⽬的是为了找到⼀组p0-pn，使得拟合⽅程尽可能的与实际样本数据相符合。
假设拟合得到的多项式如下：f(x)=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} +...+p_{n}则拟合函数与真实结果的差⽅如下:loss = (y_1-f(x_1))^2 + (y_2-f(x_2))^2 + ... + (y_n-f(x_n))^2那么多项式拟合的过程即为求取⼀组p0-pn,使得loss的值最⼩。
X = [x1, x2, ..., xn] - ⾃变量Y = [y1, y2, ..., yn] - 实际函数值Y'= [y1',y2',...,yn'] - 拟合函数值P = [p0, p1, ..., pn] - 多项式函数中的系数根据⼀组样本，并给出最⾼次幂，求出拟合系数np.polyfit(X, Y, 最⾼次幂)->P根据拟合系数与⾃变量求出拟合值, 由此可得拟合曲线坐标样本数据 [X, Y']np.polyval(P, X)->Y'多项式函数求导，根据拟合系数求出多项式函数导函数的系数np.polyder(P)->Q已知多项式系数Q 求多项式函数的根（与x轴交点的横坐标）xs = np.roots(Q)两个多项式函数的差函数的系数（可以通过差函数的根求取两个曲线的交点）Q = np.polysub(P1, P2)案例：求多项式 y = 4x3 + 3x2 - 1000x + 1曲线拐点的坐标。
'''1. 求出多项式的导函数2. 求出导函数的根，若导函数的根为实数，则该点则为曲线拐点。
最小二乘法多项式拟合(最新编写)
对于给定的数据点 (xi , yi ), 1 i N ，可用下面的 n 阶多项式进行拟合，即
n
f (x) a0 a1x a2x2 ak xk k 0
为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差
| i || f (xi ) yi |
i 1
yi ] 0
N i 1
f (xi )
N i 1
yi
S
a1
N i 1
2xi[ f
(xi )
yi ]
0
N i 1xi[ f源自(xi ) yi ]
0
N i 1
xi
f
(xi )
N i 1
xi yi
S
ak
N
2kxik[ f (xi ) yi ] 0
i 1
N
xik [ f (xi ) yi ] 0
y
a0
a1x
a2 x2
i 1 N i 1
xi4
a2
i 1 N
i 1
xi2
yi
关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。 由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定， 因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到
i 1
N
N
N
N
a0N a1 xi a2 xi2 an xin yi
i 1
i 1
i 1
i 1
N
N
xi f (xi ) xi yi
i 1
i 1
N
N
xik f (xi ) xik yi
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即 所以
CA (t)
A
VB VA
B
VB VA
CB (t)
dCB (t) dt
1 SK (
VA
1 VB
)CB
SK( A
VB
B
VA
)
在利用初始条件 CB (0) B 得
CB (t)
AVA
VA
BVB
VB
VA (B
A)
SK ( 1 1
e
VA VB
)t
VA VB
至 此 ， 问 题 归 结 为 利 用 CB 在 时 刻 t j 的 测 量 数 据
设VA VB 1000立方厘米，S=10 平方厘米，求容器的 B 部分溶液浓度的测试结果如下表（其中C j 的单位为
毫克/立方厘米）
t j (秒) 100 200 300 400 500
ccjj(105) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 t j (秒) 600 700 800 900 1000
180
200
2、作出海底地貌图
3、危险区域海底地貌图
4、危险区域平面图
1501Βιβλιοθήκη 0500-50 80
100
120
140
160
180
200
薄膜渗透率的测定
VA
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿 透它，从高浓度的溶液向低浓度的溶液
S
扩散的功能，在试制时需测定薄膜被这VB
种分子穿透的能力。测定方法如下：
1、CA(t),CB (t) 表示 t 时刻膜两侧的溶液浓度；
2、 A,B表示初始时刻膜两侧的溶液浓度（单位：
毫克/立方厘米）；
3、K 表示渗透率； 4、VA,VB 表示由薄膜阻隔的容器两侧的体积；
三、建模
考察时段[t,t+Δt]薄膜两侧容器中该物质质量的变化。以容 器A为例，在该时段物质质量的增加量为：
多项式的拟合
多项式的拟合（Polynomial Fitting）又称为曲线拟 合(Curve Fitting)，其目的就是在众多的样本点中 进行拟合，找出满足样本点分布的多项式。所用 指令为polyfit，指令格式为：p=polyfit (x,y,n),其中 x与y为样本点向量，n为所求多项式的阶数，p为 求出的多项式。
C j ( j 1,2,, N )来辩识参数 K 和 A,B ，对应的数学
模型为求函数：
E(K, a,b)
N
[a
SK
be
(1 VA
1 VB
)t
j
C j ]2
j 1
的最小值点(K,a, b)，其中：
a AVA BVB , b VA ( B A )
VA VB
VA VB
四、模型求解
多项式的插值
(1） 一维插值 interp1(x,y,x0, ‘method’) ，其中x , y 分别表示为数据点的横、纵坐标向量，x0为需要插 值的横坐标数据（或数组）。而method为可选参数， 对应于四种方法，可从以下四个值中任选一个：
‘nearest’---------最近邻点插值 ‘linear’-----------线性插值 ‘spline’----------三次样条插值 ‘cubic’-----------立方插值 其中‘nearest’是缺省值。
一、假设
1、薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻膜两侧的每 一处溶液的浓度都是相等的
2、当两溶液的浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜总是从高 浓度溶液向低浓度溶液扩散
3、通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成 正比
4、薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的 性能是相同的
二、符号说明
注意：向量x，y的分量值必须是单调递增的。Xi 和yi应是方向不同的向量。即一个是行向量，另一 个是列向量。
船在该海域会搁浅吗？
在某海域测得一些点(x, y) 处的水深 z（单位：英尺）
由下表给出，水深数据是在低潮时测得的。船的吃水
深度为 5 英尺，问在矩形(75,200) (50,150)里的
（2） 二维插值 interp2(x,y,z,xi,yi, ‘method’),其中x和 y是自变量。X是m维向量，指明所给数据网格点的 横坐标，y是n维向量，指明所给数据网格点的纵坐 标，z是mxn维矩阵，标明相应于所给数据网格点的 函数值。向量xi，yi是给定的网格点的横坐标和纵坐 标，指明函数zi=interp2(x,y,z,xi,yi, ‘method’)返回在 网格(xi,yi)处的函数值。method为可选参数，选取方 法同一维。
c j (105) 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
此时极小化的函数为：
10
E(K , a, b) [a be20Kt j C j ]2 j 1
用Matlab软件进行计算
用面积 S 的薄膜将容器分成体积分别为VA,VB 的两部分，在两
部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分 子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位 面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系 数 K 表证了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时 测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定 K 的值。
VACA (t t) VACA (t)
另一方面从B侧渗透至A侧的该物质质量为：
SK (CB CA )t
由质量守恒定律有：
VACA (t t) VACA (t) SK(CB CA )t
由此得：
dCA dt
SK VA
(CB
CA )
又整个容器 中含有该物质的质量应该不变，所以有下式：
VACA (t) VBCB (t) VA A VBB
一、问题分析：
假设：该海域海底是平滑的。由于测量点是散乱分布的，先 在平面上作出测量点的分布图，在利用二维插值方法补充一 些点的水深，然后作出海底曲面图和等高线图，并求出水深 小于5的海域范围。
二、问题求解：
150
1、作出测量点
100
的分布图：
50
0
-50
-100 60
80
100
120
140
160
哪些地方船要避免进入。
水道水深测量数据（单位：英尺）
x 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 Y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 Z4868688 X 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 Y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 Z9988949