离散数学第二章
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离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
32
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
离散数学第二章
23
注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的
如相等关系
24
定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 a j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
13
逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
18
关系的重要性质
定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的
如相等关系
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定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 a j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
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逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
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关系的重要性质
定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
离散数学第二章
怎么符号化？ 怎么符号化？
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
16
常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
10
指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
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3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
离散数学-第二章-谓词逻辑-变元的约束
例 I(x):表示x是整数,N(x):表示x是自然数， 假设个体域E是自然数集合，公式I(x)与N(x)在E上是 等价的。 而公式N(x)→I(x) 与N(x)∨I(x)就是与个体域无 关的等价的公式，即 N(x)→I(x)N(x)∨I(x)。
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四、谓词公式的蕴含式定义
约束 变元
自由
（1）(x)(y)(P(x, y)∨Q(y, z))∧(x)R(x,y)
变元
指导 变元
(x)的 (y)的 指导 (x)的 辖域 辖域 变元 辖域
P(x, y)、Q(y, z)中的x, y为约束变元，z为自由变元， R(x,y)中的x为约束变元，但y为自由变元。
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例(x)(A(x)∨B(x,y))∨C(x)∨ D(x,w) 换名： (y)(A(y)∨B(y,y))∨C(x)∨ D(x,w) 错
(w)(A(w)∨B(w，y))∨C(x)∨ D(x,w) 对 (z)(A(z)∨B(z,y))∨C(x)∨ D(x,w) 对
代入： (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(y)∨ D(y,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(w)∨ D(w,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(x,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(u,w) 对
(x)G(x) =
1, 0,
x D,G(x) = 1 x0 D,G(x0 ) = 0
(x)G(x) =
1, 0,
x0 D,G(x0 ) = 1 x D,G(x) = 0
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例
对以下公式赋值后求真值。
(x)(P(x)→Q(f(x),a)) (x)(P(x)∧Q(x,a))
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四、谓词公式的蕴含式定义
约束 变元
自由
（1）(x)(y)(P(x, y)∨Q(y, z))∧(x)R(x,y)
变元
指导 变元
(x)的 (y)的 指导 (x)的 辖域 辖域 变元 辖域
P(x, y)、Q(y, z)中的x, y为约束变元，z为自由变元， R(x,y)中的x为约束变元，但y为自由变元。
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例(x)(A(x)∨B(x,y))∨C(x)∨ D(x,w) 换名： (y)(A(y)∨B(y,y))∨C(x)∨ D(x,w) 错
(w)(A(w)∨B(w，y))∨C(x)∨ D(x,w) 对 (z)(A(z)∨B(z,y))∨C(x)∨ D(x,w) 对
代入： (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(y)∨ D(y,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(w)∨ D(w,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(x,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(u,w) 对
(x)G(x) =
1, 0,
x D,G(x) = 1 x0 D,G(x0 ) = 0
(x)G(x) =
1, 0,
x0 D,G(x0 ) = 1 x D,G(x) = 0
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例
对以下公式赋值后求真值。
(x)(P(x)→Q(f(x),a)) (x)(P(x)∧Q(x,a))
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
离散数学第2章 谓词逻辑
例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
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3.量词的否定
3）a）┐(XP(X)) X┐P(X) b）┐( XP(X)) X┐P(X) 证法1： a)‘并非对任意x， P(X)是真’ 等价于‘至少存在一 个x，使P(X)为假’。 b)‘并非存在一个x，使P(X)为真’等价于‘对所有的x， P(X)为假’。 注： （1）从上述公式可以看出，X和X具有对偶性 （将X与X互换，可看出） （2）出现在量词之前的否定，是否定量词。而是否定 被量化了的整个命题。 证法2 返回
一.
谓 词
1．定义：代表客体（描述对象）的变元叫客体（个体）变元。 客体（个体）变元常用x， y， z， u，v…… 表示，刻划客体的性质或几个客体间关系的模 式叫谓词(性质或关系）常用大写字母A， B， …… ，P，Q ,……表示。 例：A表示 ‘是大学生’ 则A(x)表示‘x是大学生’这个命
题变元 B表示 ‘生于’ 则B（x,y）表示‘x生于y’这个命题变 元 C表示 ‘……=…*…’ ，则C(x,y,z)表示‘x=y*z’这个 命题 变元
例2：XP(X) Q(X) 可改为YP(Y) Q(X)
例3：X(A(X)B(X，Y))C(X)D(W) 可改为： X(A(X)B(X，Y) )C(Z) D(W) 注意： Z(A(Z)B(Z，Y) ) C(X) D(W)不可改为： Y(A(Y)B(Y，Y) ) C(X) D(W)
4.量词辖域的扩展和收缩
例2：XY(P(X)→Q(Y )) ( X P(X) → YQ(Y))
证明： XY(P(X)→Q(Y )) XY(┐P(X) Q(Y )) X (┐P(X) Y Q(Y )) X┐P(X)YQ(Y )) ┐ X P(X) Y Q(Y ) X P(X) → YQ(Y)
5.
举例
e.每个建筑物都有一些装饰品
解：设A( X )为‘X是建筑物’ , B(X,Y)为‘X有Y’， C( X ) 为‘ X是装饰品’， 则可译为： X( A(X) → Y( B(X,Y) C( Y ) )
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三.量化断言和命题的关系
1.若论域是有限的，设是{1， 2…，N} 则XP(X) P(1) P(2) … P(N) XP(X) P(1) P(2) … P(N) 2.若论述域是可数无限 则XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … 例：(X)(P(X)Q(X)R，(X)(P(X)Q(X)） S(X)是 命题吗？
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第二章第二节目录
第2节 谓词演算的永真公式
一.基本定义 二.谓词演算的基本永真公式
上一节
下一节
一.
基 本 定 义
1.公式A和B在个体域上等价定义：
对公式A和B中的谓词变元（包括命题变元），指派任 一在E上有定义的确定的谓词，指派E中任一确定的个 体，若所得命题有相同的真值，称在E上AB。
2.A与B等价定义： 若两公式A，B在任意论述域上都等价，称AB。 3 返回目录
A(x)，B(x,y)，C(x，y，z)称为谓词
一.
谓 词
2.定义：有N个客体变元的谓词称为N元谓词 客体的取值范围叫论域 例：论述域a{人}，b{人，地名}，c{实数，实数，实数} 注意：空集不能作为论述域 若A代表一特定谓词，A称为谓词常元。 若A 代表任意谓词，A称为谓词变元。 注：(1)单独的客体或单独的谓词不能构成命题 (2)在谓词命名式中,若谓词是常元,个体变元代以 论述域中某客体才成为命题 (3)命题是0元谓词
4.量词辖域的扩展和收缩
4）a.XA(X)P b.XA(X)P c.XA(X)P d.XA(X)P X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P)
这里P是不含自由变元X的谓词公式。 证明：a.因P的值与x无关。若P为真，等价式两边都真。 若P为假，两边也都为XA(X)。
二.
3．量词的作用
量 词
在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量 化或全称量化。 将谓词F(x)变成命题有两种方法。 a.将x取定值 例：F(x)表示‘x是质数’，那么F(4)是命题（假）
b.将谓词量化 例：1). xF(x) F(x)：任意的x是质数 2). y(y<y+1) 3). y(y<y+1) 返回目录
解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则 译为: ┐(x (M(x) ┐F(x))) b. 某些人对某些食物过敏 解：设F(x,y)为‘x对y过敏’,M(x)为‘x是人’, G(x)为‘x是食物’,则译为: x y (M(x) G(x) F(x,y)) 返回
5．
举 例
c.尽管有人聪明，但未必一切人聪明 解：设M(x)为‘x是人’,F(x)为‘x聪明’则译为: x(M(x)F(x))┐x(M(x)→F(x)) d.如果X>Y，并且Z > 0，那么XY>YZ 解：设 > ( X,Y ) 为‘X>Y’，R( X )为‘X是实数’ 则译为 ： XYZ(R(X)R(Y)R(Z)→ ((>(X,Y)>(Z,0))→>(XY,YZ)) 返回
作业讲评：第一大题要写出证明。证明过程要写根据。
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四.
1.原子公式
谓 词 公 式
定义：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(X1, X2…Xn)称为谓词原子公式。
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2. 谓词演算的合式公式
谓词演算的合式公式简称谓词公式 定义: 1)谓词原子公式是谓词公式 2)若A， B是谓词公式，则 (┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词公式 3)只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式才是谓词 公式 注：由定义知，命题公式也是谓词公式 例：XR(X) ┐( XR(X) ) (XR(X)→ XS(X) ) ┐( XR(X) XS(X) ) AB C 命题公式均是谓词公式 返回目录
3.约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。 2.改名时所选用变元必须是量词辖域内未出现的，最好 是公式中未出现的。
注：对自由变元换名，可称为代入 例 返回目录上一页26 下一页28
3.约束变元改名规则
例1：X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 可改为 X(P(X，Y)→ZR(X，Z) )
定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元 为自由变元。
例
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2.自由变元与约束变元
例：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元。 并指明量词的辖域 a.X(P(X) R(X) )→XP(X) Q(X) 解：表达式中的X(P(X)R(X))中X的辖域是 P(X) R(X),其中的X是约束出现 Q(X)中的X是自由变元 b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。 注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。 返回
例： ┐Q(X) ┐ XP(X) ┐(Q(X) XP(X)) 返回
2.含有量词的永真谓词公式
1).XA A XA A 这里A不含自由变元X 例 XP(y，z) P(y，z) 但是：yP(y，z) P(y，z)(不一定成立) 2).a.XP(X) P(Y)或XP(X) P(X) b.P(Y) X P(X)或P(X) P(X) c.XP(X) XP(X) 证： a.对XP(X)为真，则对某一具体Y，P(Y)为真 b.对某一确定的Y，P(Y)为真，即则存在一X，使 P(X)为真 c.XP(X) P(X) X P(X) 2) 返回
五. 自由变元与约束变元
1.量词的辖域 定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除 非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端 有括号。
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
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2.自由变元与约束变元
二谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式 2.含有量词的谓词演算的永真公式 3.量词的否定 4.量词辖域的扩展和收缩 5.结束量词的分配公式 6.量词对→及的处理 7.关于多个量词的永真式
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1. 永真谓词公式
1. 永真命题公式也是永真谓词公式
例： XP(X)→XR(X) ┐XP(X) XR(X)
第二章第一节目录1
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
一.谓词 二.量词
1. 全称量词x 2．存在量词x 3．量词的作用 4．全总个体域 5．举例 三.量化断言和命题的关系
上一节
第6节目录第2部分
第二章第一节目录2
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
四. 谓词公式 1.原子公式 2. 谓词演算的合式公式 五. 自由变元与约束变元 1.量词的辖域 2.自由变元与约束变元 3.约束变元改名规则
二.
1.全称量词x
量 词
x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
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二.2．存在量词x量 词x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’
┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’ 返回目录
一.
基 本 定 义
3.对任一公式A，若在论述域E上，对A中的谓词和个体变 元进行指派后(个体变元与谓词变元的所有组合），所得 命题： 1)都真。称A在E上永真或在E上有效，若E任意，称A永真。 2)至少一个为真，称A在E上可满足。 3)都假，称A永假或在E上不可满足。 若E任意，称A永假或不可满足。 注：当谓词公式A的个体域有限，谓词变元的指派也有限， 才能用真值表判定A是否为永真。 例 返回