第12章 python 回归分析
day-12python实现简单线性回归和多元线性回归算法
day-12python 实现简单线性回归和多元线性回归算法1、问题引⼊ 在统计学中，线性回归是利⽤称为线性回归⽅程的最⼩⼆乘函数对⼀个或多个⾃变量和因变量之间关系进⾏建模的⼀种回归分析。
这种函数是⼀个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。
⼀个带有⼀个⾃变量的线性回归⽅程代表⼀条直线。
我们需要对线性回归结果进⾏统计分析。
例如，假设我们已知⼀些学⽣年纪和游戏时间的数据，可以建⽴⼀个回归⽅程，输⼊⼀个新的年纪时，预测该学⽣的游戏时间。
⾃变量为学⽣年纪，因变量为游戏时间。
当只有⼀个因变量时，我们称该类问题为简单线性回归。
当游戏时间与学⽣年纪和学⽣性别有关，因变量有多个时，我们称该类问题为多元线性回归。
2、常见的统计量 在研究该问题之前，⾸先了解下编程中⽤到的常见的统计量：序号概念公式 算法说明1均值整体的均值2中位数排序后取中间值 3众数出现次数最多的数出现频率4⽅差数据的离散程度5标准差 s ⽅差的开⽅2、简单线性回归实例及编程实现 研究⼀个⾃变量(X)和⼀个因变量（y ）的关系简单线性回归模型定义：简单线性回归⽅程： 其中：为回归线的截距 为回归线的斜率 通过训练数据，求取出估计参数建⽴的直线⽅程： 实际编程时，主要是根据已知训练数据，估计出和的值和 以下⾯实例为例，第⼀列表⽰每⽉投放⼴告的次数，第⼆列表⽰汽车向量，通过Python 编程求取线性回归⽅程：投放⼴告数汽车销量投放⼴告数汽车销量114324218117327编程关键在于如何求取b0和b1的值，我们引⼊⼀个⽅程（sum of square）： 当上述⽅程的值最⼩时，我们认为求取到线程回归⽅程参数的值，对该⽅程求最⼩值可以进⼀步转化为求导和求极值的问题，求导过程省略，最后结论如下： 实际代码：import numpy as npfrom matplotlib import pylab as pl# 定义训练数据x = np.array([1,3,2,1,3])y = np.array([14,24,18,17,27])# 回归⽅程求取函数def fit(x,y):if len(x) != len(y):returnnumerator = 0.0denominator = 0.0x_mean = np.mean(x)y_mean = np.mean(y)for i in range(len(x)):numerator += (x[i]-x_mean)*(y[i]-y_mean)denominator += np.square((x[i]-x_mean))print('numerator:',numerator,'denominator:',denominator)b0 = numerator/denominatorb1 = y_mean - b0*x_meanreturn b0,b1# 定义预测函数def predit(x,b0,b1):return b0*x + b1# 求取回归⽅程b0,b1 = fit(x,y)print('Line is:y = %2.0fx + %2.0f'%(b0,b1))# 预测x_test = np.array([0.5,1.5,2.5,3,4])y_test = np.zeros((1,len(x_test)))for i in range(len(x_test)):y_test[0][i] = predit(x_test[i],b0,b1)# 绘制图像xx = np.linspace(0, 5)yy = b0*xx + b1pl.plot(xx,yy,'k-')pl.scatter(x,y,cmap=pl.cm.Paired)pl.scatter(x_test,y_test[0],cmap=pl.cm.Paired)pl.show() 蓝⾊表⽰测试数据，橙⾊表⽰预测数据。
python回归曲线方程 概述及解释说明
python回归曲线方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述Python回归曲线方程是一种在数据分析和数据建模中常用的技术工具。
通过拟合数据集，回归分析可以帮助我们找到数据之间的关系模式，并预测未知的变量值。
而回归曲线方程则是这个关系模式的数学表达式。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面介绍Python回归曲线方程：基本概念、解释说明主要要点以及实现方法。
文章主要分为引言、Python回归曲线方程的基本概念、解释说明回归曲线方程的主要要点、Python实现回归曲线方程的方法及示例代码以及结论与展望五个部分。
1.3 目的本文旨在提供一个全面且系统化的介绍，帮助读者理解和掌握Python回归曲线方程。
通过阅读本文，读者将了解回归分析相关概念，理解回归曲线方程的含义以及掌握使用Python进行回归分析和实现曲线拟合的方法。
感谢您阅读本篇文章“1. 引言”部分内容，请继续阅读下一部分“2. Python回归曲线方程的基本概念”。
2. Python回归曲线方程的基本概念2.1 回归分析简介回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
通过建立数学模型，回归分析可以预测一个或多个自变量（X）对因变量（Y）的影响，并找出它们之间的函数关系。
常见的回归分析模型包括线性回归、多项式回归、指数回归等。
2.2 曲线拟合与回归分析的关系曲线拟合是指在给定的数据集上找到最合适的曲线形式来表示数据点之间的趋势。
而回归分析则是在已知自变量和因变量之间存在某种函数关系时，通过拟合得到这个函数，进而预测未知因变量值。
曲线拟合通常被应用于非线性问题或者数据集中存在异常值的情况下。
通过使用非线性模型进行曲线拟合可以更好地描述数据之间复杂的关系。
在实践中，曲线拟合经常与回归分析相结合，以得到更准确和可靠的结果。
Python作为一种强大且广泛应用于科学计算和数据分析领域的编程语言，提供了多种工具和库，方便进行回归分析和曲线拟合。
2.3 Python在回归分析中的应用Python提供了多个用于回归分析的强大库，其中最常见的是NumPy、SciPy 和scikit-learn。
python二次函数回归-概念解析以及定义
python二次函数回归-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:二次函数回归是一种常见的数据分析方法，用于研究变量之间的非线性关系。
在实际应用中，二次函数回归可以帮助我们理解数据之间的复杂关系，并用于预测未来的趋势。
Python作为一种强大的编程语言，提供了丰富的库和工具，使得二次函数回归分析变得更加简单和高效。
本文将介绍二次函数回归的概念、Python中的二次函数回归方法以及它在实际中的应用，以及对Python二次函数回归的展望。
通过本文的学习，读者可以了解二次函数回归的优势，并深入理解Python在二次函数回归分析中的应用前景。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。
- 引言部分将介绍二次函数回归的概念和目的，以及文章的结构安排。
- 正文部分将详细介绍二次函数回归的概念，以及Python中的二次函数回归方法及其在实际中的应用。
- 结论部分将总结二次函数回归的优势，并展望Python二次函数回归的发展趋势，最终得出结论。
通过以上结构的安排，读者可以清晰地了解本文的内容和结构，有助于更好地理解和掌握Python中的二次函数回归方法。
1.3 目的本篇文章的目的在于介绍Python中二次函数回归的方法和应用。
通过本文的阐述，读者将了解二次函数回归的概念和原理，并掌握Python 中实现二次函数回归的方法。
我们将深入探讨二次函数回归在实际中的应用场景，从而帮助读者更好地理解并运用该方法。
最终，我们将总结二次函数回归的优势，并展望Python在二次函数回归领域的未来发展。
希望通过本文的阐述，读者能够深入了解二次函数回归在数据分析和预测中的重要性，以及Python在此领域的应用前景。
2.正文2.1 二次函数回归的概念二次函数回归是一种统计分析方法，用于模拟或预测因变量与自变量之间的非线性关系。
在这种方法中，通过拟合一个二次函数模型来描述数据的趋势和模式。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为需要估计的参数，x为自变量，y为因变量。
python的ols回归格式
Python的OLS（Ordinary Least Squares）回归是统计学中常用的线性回归分析方法，该方法通过最小化观测值与回归线的残差平方和来估计自变量对因变量的影响程度。
在本文中，我们将深入探讨Python 中OLS回归的格式和相关内容。
一、准备工作在使用Python进行OLS回归之前，首先需要安装必要的库和模块。
常用的统计学库包括statsmodels和Pandas，通过以下代码可以轻松导入这些库：```pythonimport numpy as npimport pandas as pdimport statsmodels.api as sm```二、数据准备在进行OLS回归分析之前，需要准备好要分析的数据集。
通常情况下，数据集以DataFrame的形式存储在.csv或.xlsx文件中，可以通过Pandas库的read_csv()或read_excel()函数进行读取。
假设我们有一个包含自变量X和因变量Y的数据集data.csv，可以使用以下代码加载数据：```pythondata = pd.read_csv('data.csv')X = data['X']Y = data['Y']```三、添加截距在进行OLS回归分析时，通常会添加一个截距项。
在Python的OLS 回归中，可以通过Statsmodels库的add_constant()函数为自变量添加截距。
具体操作如下：```pythonX = sm.add_constant(X)```四、拟合模型添加截距项后，接下来就可以利用Statsmodels库的OLS()函数拟合回归模型。
该函数的参数包括因变量Y和自变量X，拟合过程如下：```pythonmodel = sm.OLS(Y, X).fit()```五、查看回归结果拟合回归模型后，可以通过summary()方法查看OLS回归结果的详细信息，包括回归系数、截距、残差、拟合优度等指标。
python多元回归的步骤和方法
python多元回归的步骤和方法多元回归是一种经济学和统计学中常用的分析方法，用于研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
在Python中，可以使用多种库来进行多元回归分析，包括statsmodels和scikit-learn等。
下面是在Python中进行多元回归分析的一般步骤和方法：步骤一：数据收集和准备1.收集与研究问题相关的数据，包括自变量和因变量的数据。
2.对数据进行处理和清洗，包括去除缺失值、异常值和重复值等。
步骤二：建立回归模型1. 导入相应的库，例如statsmodels或scikit-learn。
2.确定自变量和因变量的关系，例如线性回归、多项式回归或其他形式的回归模型。
3. 使用合适的库函数或类来建立回归模型，例如statsmodels库的OLS函数或scikit-learn库的线性回归类。
步骤三：模型拟合和评估1.使用建立好的回归模型对数据进行拟合，即计算自变量对应的因变量的预测值。
2.根据实际观测值和预测值之间的误差，评估模型的拟合程度。
3. 使用合适的评估指标，例如均方误差（Mean Squared Error，MSE）或决定系数（Coefficient of Determination，R-squared）来评估模型的性能。
步骤四：统计推断和解释模型1.进行统计推断，例如参数估计、假设检验和置信区间等，来确定自变量的影响显著性。
2.解释模型的结果，例如确定自变量对因变量的影响方向、大小和显著性等。
步骤五：模型优化和验证1.根据模型结果，进行模型的优化和改进，例如添加或删除自变量、转换变量等，以提高模型的拟合程度和预测能力。
2.使用交叉验证等方法来验证和评估优化后的模型的性能。
在Python中，有多个库可以用于多元回归分析。
下面介绍两个常用的库及其使用方法：1. statsmodelsstatsmodels是一个专门用于统计建模和推断的Python库。
使用statsmodels进行多元回归分析的步骤如下：```import numpy as npimport pandas as pdimport statsmodels.api as sm#导入数据data = pd.read_csv('data.csv')X = data[['x1', 'x2', 'x3']] # 自变量y = data['y'] # 因变量#添加截距项X = sm.add_constant(X)#建立回归模型model = sm.OLS(y, X)#拟合数据results = model.fit#查看模型摘要print(results.summary()```2. scikit-learnscikit-learn是Python中常用的机器学习库，也提供了用于多元回归分析的相应功能。
回归分析特征选择（包括Stepwise算法）python实现
回归分析特征选择（包括Stepwise算法）python实现# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Sat Aug 18 16:23:17 2018@author: acadsoc"""import scipyimport numpy as npimport pandas as pdimport matplotlibimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorfrom sklearn.cross_validation import cross_val_predict, cross_val_score, train_test_splitfrom sklearn.metrics import accuracy_score, roc_auc_score, r2_scorefrom sklearn.grid_search import RandomizedSearchCVfrom sklearn.linear_model import Lasso, LassoCV, ElasticNetfrom sklearn.pipeline import Pipelinefrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom statsmodels.formula import api as smfimport sysimport ose('ggplot') # 设置ggplot2画图风格# 根据不同平台设置其中⽂字体路径if sys.platform == 'linux':zh_font = matplotlib.font_manager.FontProperties(fname='/path/anaconda3/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/mpl-data/fonts/ttf/STZHONGS.TTF')else:zh_font = matplotlib.font_manager.FontProperties(fname='C:\Windows\Fonts\STZHONGS.ttf') # 设置中⽂字体# 根据不同平台设定⼯作⽬录if sys.platform == 'linux':os.chdir('path/jupyternb/ml/acadsoc/rollingRegression') # Linux pathelse:os.chdir('D:/Python/rollingRegression') # Windows pathclass featureSelection():'''多元线性回归特征选择类。
Python数据分析—分段回归
Python数据分析—分段回归引言分段回归是一种在数据分析中常用的技术，它可以用于拟合不同部分具有不同趋势的数据。
Python提供了强大的数据分析工具，可以轻松地进行分段回归分析。
本文将介绍Python中进行分段回归的基本方法和步骤。
步骤1. 导入所需的库在进行分段回归之前，需要导入以下常用的Python库：numpy、pandas和matplotlib。
这些库提供了处理数据和绘制图表所需的功能。
import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as plt2. 加载数据使用pandas库的read_csv函数加载待分析的数据集。
确保数据集包含需要进行分段回归的变量。
data = pd.read_csv('data.csv')3. 数据预处理根据需要，可以对数据进行预处理，例如去除缺失值或异常值。
这可以确保分析的准确性和可靠性。
data = data.dropna() # 去除缺失值data = data[(data['column'] > lower_bound) & (data['column'] < upper_bound)] # 去除异常值4. 划分数据段根据数据的特征，将数据划分为若干段，并进行分段回归分析。
可以使用numpy库的linspace函数将数据段等间距划分。
segments = np.linspace(min(data['column']), max(data['column']), num_segments+1)5. 进行分段回归使用for循环遍历每个数据段，在每个段内进行回归分析。
可以使用numpy库的polyfit函数进行多项式回归。
res = [] # 存储每个数据段的回归结果for i in range(num_segments):segment_data = data[(data['column'] >= segments[i]) &(data['column'] < segments[i+1])]x = segment_data['column']y = segment_data['target']coef = np.polyfit(x, y, degree)res.append(coef)6. 可视化分析结果根据需要，可以使用matplotlib库绘制分段回归的结果图表。
Python中的回归分析和主成分分析
Python中的回归分析和主成分分析Python中的回归分析和主成分分析回归分析和主成分分析是机器学习领域中的两个重要方法，它们可以用来处理和探索数据集中的关系。
Python是一门流行的编程语言，其中有许多用于回归分析和主成分分析的包和模块，使其成为处理数据集和分析数据的理想工具。
回归分析回归分析是一种用于确定变量之间关系的统计方法。
它适用于探索一个或多个自变量对因变量的影响。
这种方法的目标是构建一组方程，可以使用自变量的值预测因变量。
回归分析可以用来构建预测模型，从而了解原因和影响之间的关系。
常见的回归分析方法包括线性回归、多项式回归、逻辑回归、岭回归和Lasso回归等。
其中，线性回归是最常见的一种回归分析方法。
它假定自变量和因变量之间是线性关系，可以通过最小二乘法来估计模型参数。
在Python中，scikit-learn是一个流行的包，提供了各种回归算法的实现。
下面是使用scikit-learn进行线性回归分析的示例：```pythonfrom sklearn.linear_model import LinearRegression import numpy as np#创建一个样例数据集X = 2 * np.random.rand(100, 1)y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)#使用scikit-learn进行线性回归分析model = LinearRegression()model.fit(X, y)#打印模型参数print(model.intercept_, model.coef_)```这个例子中，我们生成了一个包含100个样本的数据集，其中自变量X是一个2维的随机数组，而因变量y则是由X生成的。
使用scikit-learn的LinearRegression模型进行线性回归分析，我们可以得到模型的截距和系数。
主成分分析主成分分析（PCA）是一种广泛用于降维和特征提取的技术。
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（12.2）
式中， i (i 1,2, , n)是服从正态分布 N (0, 2 )的n个相互独立同分布的随机
变量。
第12章
12.1多元线性回归分析
第7页
1 x11
记
X 1 x21
1 xn1
ε [1 2
式（12.2）可以表示为
其中 En为n阶单位矩阵。
x12
x1m
x22
x2m
,
xn2
xnm
i 1
i 1
0
n i 1
xim
1
n i 1
xi1 xim
2
n i 1
xi 2 xim
n
n
m xi2m xim yi .
i 1
i 1
（12.7）
正规方程组的矩阵形式为 X T Xβ X TY ，
（12.8）
第12章
12.1多元线性回归分析
第 10 页
当矩阵 X 列满秩时， X T X 为可逆方阵，式（12.8）的解为 βˆ ( X T X )1 X TY .
量 x1, x2 , , xm 对变量 y 是否都有影响？需要做统计检验。
n
对总平方和 SST ( yi y)2 进行分解，有 i 1
SST SSE SSR，
（12.12）
第12章
12.1多元线性回归分析
第 12 页
其中 SSE 是由（12.11）定义的残差平方和，反映随机误差对 y 的影响；
利用回归方程进行预测。
第12章
12.1多元线性回归分析
第6页
1.回归系数的最小二乘估计
对 y 及 x1, x2 , , xm 作 n 次 抽 样 得 到 n 组 数 据 ( yi , xi1, , xim ) ， i 1, ,n,n m。代入式（12.1），有
yi 0 1 xi1 m xim i，
12.1多元线性回归分析
第4页
12.1.1 多元线性回归模型
多元回归分析是研究随机变量之间相关关系的一种统计方法。通过对 变量实际观测的分析、计算，建立一个变量与另一组变量的定量关系即回归 方程，经统计检验认为回归效果显著后，可用于预测与控制。
第12章
12.1多元线性回归分析
第5页
设随机变量 y 与变量 x1, x2 , , xm 有关，则其m 元线性回归模型为
i 1
i 1
（12.11）
为残差平方和（或剩余平方和）。
第12章
12.1多元线性回归分析
第 11 页
2.回归方程和回归系数的检验
前面是在假定随机变量 y 与变量 x1, x2 , , xm 具有线性关系的条件下建
立线性回归方程的，但变量 y 与变量 x1, x2 , , xm 是否为线性关系？所有的变
Python数学实验与建模
第十二章
回归分析
第12章
第12章 回归分析
第2页
本章介绍多元线性回归分析、岭回归、LASSO 回归和 Logistic 回归及 其 Python 实现。
目录 CONTENTS
01 多元线性回归分析 02 线性回归模型的正则化 03 Logistic回归模型的应用
第12章
（12.13）
第12章
12.1多元线性回归分析
第 14 页
在显著性水平 ，有上 分位数F (m,n m 1)，若F F (m,n m 1)，
回归方程效果显著；若F F (m,n m 1)，回归方程效果不显著。
注 12.1 y 与 x1, , xm的线性关系不明显时，可能存在非线性关系，如 平方关系。
第12章
12.1多元线性回归分析
第 15 页
当上面的 H0被拒绝时， j不全为零，但是不排除其中若干个等于零。
（12.9）
将 βˆ [b0 ,b1, ,bm ]代入式（12.1），得到 y 的估计值
yˆ b0 b1 x1 bm xm.
（12.10）
而这组数据的拟合值为Yˆ Xβˆ ，拟合误差e Y Yˆ 称为残差，可作为随
机误差 ε 的估计，而
n
n
SSE ei2 ( yi yˆi )2
n
n
Q
2 i
( yi 0 1 xi1
i 1
i 1
m xim )2
（12.5）
达到最小。为此，令 Q 0， j 0,1,2, ,m.
j
得
Q
0
Q
j
n
2 ( yi 0 1xi1
i 1
n
2 ( yi 0 1xi1
i 1
m xim ) 0, m xim ) xij 0,
y 0 1 x1 m xm ，
（12.1）
式中， 是随机误差服从正态分布 N (0, 2 )，0 , 1, , m 为回归系数。
回归分析的主要步骤是：（1）由观测值确定参数（回归系数）0 , 1, , m 的
估计值b0 ,b1, ,bm ；（2）对线性关系、自变量的显著性进行统计检验；（3）
第12章
12.1多元线性回归分析
第 13 页
因变量 y 与自变量 x1, , xm之间是否存在如式（12.1）所示的线性关系
是需要检验的，显然，如果所有的| ˆ j | ( j 1, ,m)都很小，y 与 x1, , xm的
线性关系就不明显，所以可令原假设为
H0 : 1 2 m 0.
当 H0成立时由分解式（12.12）定义的 SSR, SSE满足 F SSR / m ~ F (m,n m 1). SSE / (n m 1)
SSR
n
( i
i 1
y)2 称为回归平方和，反映自变量对 y 的影响，这里 y
1 n
n i 1
yi ，
yˆi b0 b1 xi1 bm xim。上面的分解中利用了正规方程组，其中 SST 的自
由度dfT n 1， SSE 的自由度dfE n m 1， SSR的自由度dfR m 。
n ]T ， β [0
y1
Y
y2
，
yn
1
m ]T .
Y Xβ ε,
ε
~
N (0,
2 En ),
（12.3） （12.4）
第12章
12.1多元线性回归分析
第8页
模型（12.1）中的参数0 , 1, , m 用最小二乘法估计，即应选取估计值
bj ，使当 j bj， j 0,1,2, ,m时，误差平方和
（12.6） j 1,2, ,m.
第12章
12.1多元线性回归分析
第9页
经整理化为以下正规方程组
0
n
1
n
xi1 2
n
xi2
n
n
m xim yi ,
i 1
i 1
i 1
i 1
0
n i 1
xi1
1
n i 1
xi21
2
n i 1
xi1 xi2
n
n
m xi1 xim xi1 yi ,