北师大版七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 知识点考点汇总
第五章生活中的轴对称
轴对称图形
轴对称分类
轴对称
角平分线
轴对称实例线段的垂直平分线
等腰三角形
等边三角形
生活中的轴对称
轴对称的性质
轴对称的性质
镜面对称的性质
图案设计
轴对称的应用
镶边与剪纸
一、轴对称图形
1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：
（1）指一个图形；
（2）存在一条直线（对称轴）；
（3）图形被直线分成的两部分互相重合；
（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；
（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
二、轴对称
1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：
（1）有两个图形；
（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；
（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；
（4）对称轴是直线而不是线段；
三、角平分线的性质
1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线
1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
五、等腰三角形
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；
3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；
4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。
10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：
（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。
六、等边三角形
1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。
七、轴对称的性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形的性质有：
（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。
八、图案设计
1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。
2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤:
（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；
（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。
（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。
3、表达方式（以点M为例）：
（1）过点M作对称轴l的垂线，垂足为A；
（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线l的对称点。
（3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线的对称点M’.
4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：
（1）要有明确的设计意图；
（2）创意要新颖独特；
（3）设计出的图案要符合要求；
（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。
5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
九、镜面对称
1、镜面对称的有关性质：
（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。
因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。
（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；
（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：
（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。
（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。
3、像与物体到镜面的距离相等。
4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。
5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。
时间的表示有用一般数字表示的，也有直接用钟表来表示的。
在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解
决。
北师大版七年级数学下册第五章：生活中的轴对称 章末复习总结
七年级数学(下)复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.㊀重难疑点,一网打尽.１．把一个图形沿一条直线翻折过去,如果㊀㊀㊀㊀㊀㊀,那么这两个图形关于这条直线成轴对称．２．如果一个图形沿一条直线对折,直线㊀㊀㊀㊀的部分能够㊀㊀㊀㊀,那么这个图形叫做轴对称图形．３．线段是㊀㊀㊀㊀图形,它有㊀㊀㊀㊀条对称轴,线段的垂直平分线是它的一条㊀㊀㊀㊀,线段的垂直平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．４．角是㊀㊀㊀㊀图形,对称轴是㊀㊀㊀㊀,角平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．５．等腰三角形是㊀㊀㊀㊀图形,有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀,其主要性质有(１)㊀㊀㊀㊀;(２)㊀㊀㊀㊀;(３)㊀㊀㊀㊀．６．等边三角形有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀．其主要性质有㊀㊀㊀㊀．７．如图,把一个长方形纸片沿E F 折叠后,点D ㊁C 分别落在D ᶄ㊁C ᶄ的位置．若øE F B ＝６５ʎ,则øA E D ᶄ等于(㊀㊀)．A．７０ʎB ．６５ʎC ．５０ʎD．２５ʎ(第７题)㊀㊀㊀㊀(第８题)圆是轴对称图形．㊀㊀８．如图,三角形纸片A B C ,A B ＝１０c m ,B C ＝７c m ,A C ＝６c m ,沿过点B 的直线折叠三角形,使顶点C 落在边A B 上的点E 处,折痕为B D ,则әA E D 的周长为㊀㊀㊀㊀cm ．９．如图,等边әA B C 的边长为１c m ,D ㊁E 分别是A B ㊁A C 上的点,将әA D E 沿直线D E 折叠,点A 落在点A ᶄ处,且点A ᶄ在әA B C 外部,则阴影部分的周长为㊀㊀㊀㊀c m ．(第９题)㊀㊀㊀㊀(第１０题)１０．如图,将矩形A B C D 沿B E 折叠,若øC B A ᶄ＝３０ʎ,则øB E A ᶄ＝㊀㊀㊀㊀．１１．如图,әA B C 是等腰三角形,øB A C ＝９０ʎ,B E 是øA B C 的平分线,D E ʅB C ,垂足为D ．(１)请写出图中所有的等腰三角形;(２)请你判断A D 与B E 是否垂直,并说明理由;(３)如果B C ＝１０,求A B ＋A E 的长．(第１１题)１２．已知P ㊁Q 是әA B C 的边A B ㊁A C 上的点,你能在B C 上确定一点R ,使әP Q R 的周长最短吗?(第１２题)１３．如图,C D E F 是一个矩形的台球面,有黑白两球分别位于点A ㊁B 两点,试问怎样撞击黑球A ,使A 先碰到台边F C 反弹后再击中白球B ?(第１３题)七年级数学(下)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.１４．如图,一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的,但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?(写出即可)(第１４题)１５．如图,在等边三角形A B C中,øB㊁øC的平分线相交于点O,作B O㊁C O的垂直平分线分别交B C于点E㊁F．小明说: E㊁F是边B C的三等分点． 你同意他的说法吗?请说明理由．(第１５题)１６．如图,A D为әA B C的高,øB＝２øC,用轴对称图形说明:C D＝A B＋B D．(第１６题)复㊀习㊀课１．和另一个图形完全重合２．两旁㊀互相重合３．轴对称㊀２㊀对称轴㊀线段两端点４．轴对称㊀角平分线所在的直线㊀角两边５．轴对称㊀１㊀顶角平分线所在的直线(或底边上的高线所在的直线,或底边上的中线所在的直线)(１)三线合一㊀(２)两个底角相等(３)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等．３㊀三边的垂直平分线㊀三个角都相等且等于６０ʎ．C㊀８．９㊀９．３㊀１０．６０ʎ１．(１)әA B C,әA B D,әA D E,әE D C．(２)A D与B E垂直．理由:因为B E是øA B C的平分线, E AʅB A,D EʅB C,所以E A＝E D,所以әA B E和әD B E关于B E对称,从而B A＝B D,即әB A D为等腰三角形,所以B EʅA D．(３)因为A E＝D E＝D C,A B＝B D,所以A B＋A E＝B D＋C D＝B C＝１０．２．作点Q关于B C的对称点D,连接P D交B C于R,连接P Q㊁P R㊁Q R,则点R就是B C上的一点使得әP Q R的周长最短．(第１２题)３．作点B关于F C的对称点G,连接A G交F C于P,则击打A球至点P就能击中B球．(第１３题)４．正确,１５１＋２５＋１２＝１８８．５．同意．理由如下:连接O E㊁O F．由题意可知B E＝O E,C F＝O F,øO B C＝øO C B＝３０ʎ,ʑ㊀øB O E＝øO B C,øC O F＝øO C B,øB O C＝１２０ʎ．ʑ㊀øE O F＝６０ʎ,øO E F＝６０ʎ,øO F E＝６０ʎ．是等边三角形ʑ㊀O E＝O F＝E F＝B E＝C F．ʑ㊀E㊁F是B C的三等分点．６．在C D上取一点E使D E＝B D,连接A E．则A D是әA B E的对称轴,ʑ㊀B D＝D E,A B＝A E．ȵ㊀øB＝２øC,ʑ㊀øB＝øA E D＝øC＋øE A C＝２øC．ʑ㊀øE A C＝øC．(第１６题)ʑ㊀A E＝E C．ʑ㊀C D＝D E＋E C＝A B＋B D．。
北师大版 七年级下册数学第5章 生活中的轴对称 第01讲_轴对称及性质复习讲义
第五章：生活中的轴对称第1讲:轴对称一．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．二．轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．三．垂直平分线：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.四．轴对称图形、图形成轴对称的性质1．成轴对称的两个图形全等．轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等．2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．题模一：轴对称基本概念和性质例1.1.1小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（）A ．B ．C ．D ．例1.1.2如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）A．W17639B．W17936C．M17639D．M17936例1.1.3下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D即时训练1：下列图形中，对称轴最少的图形的是（）A B C D即时训练2：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D即时训练3：如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为.题模二：等腰三角形例1.2.1如图，已知1AB A B =，112A C A A =，223A D A A =，334A E A A =，20B ∠=︒，则4A ∠=．例1.2.2如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠BA′C=度．例1.2.3如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC ，则∠C =度．例1.2.4已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是．即时训练1：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交AC 于点D，连接BD，则∠ABD=°．即时训练2：等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为．即时训练3：如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=°．即时训练4：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC 于点E，F，若BE+CF=20，则EF=．即时训练5：如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=．即时训练6：已知，如图，AB=AD=5，∠B=15°，CD⊥AB于C，则CD=．题模三：角平分线例1.3.1已知：AOB∠的平分线；如图所示，填写作法：∠，求作AOB①．②．③．例1.3.2如图，AB CD∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若∥，BP和CP分别平分ABCAD=，则点P到BC的距离是.8例1.3.3如图，已知ABC⊥于D，且∠，OD BC∠和ACB∆的周长是21，OB，OC分别平分ABC∆的面积．3OD=，求ABC随练1.1一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形是（）随练1.2将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=cm．随练1.3已知：如图，AF 平分BAC ∠，BC AF ⊥，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于P ，M ．（1）求证：AB CD =.（2）若2BAC MPC ∠=∠，请你判断F ∠与MCD ∠的数量关系，并说明理由．随练1.4如图，在Rt ABC ∆中，90B =︒∠，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10BAE =︒∠，则C ∠的度数为（）随练1.5如图，已知1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =…，若70A ∠=︒，则n A ∠的度数为（）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n +随练1.6在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM AF ⊥于M ，求证：EM FM =．作业1如图，是小亮在某时从镜子里看到镜子对面电子钟的像，则这个时刻是___________.作业2下列说法错误的是（）A ．圆有无数条对称轴B ．任何直角三角形都没有对称轴C ．线段有两条对称轴D ．等边三角形有3条对称轴作业3在ABC △中，AB AC =，BD BC =，40A ∠=︒，BDC ∠=_______.作业4等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的顶角为（）A ．30°或150°B ．75°或15°C ．75°D．30°ADC B作业5如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是___.作业6等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°或150°D．60°或120°作业7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（）A．55°B．125°C．125°或55°D．35°或145°作业8如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°作业9如图，ABC△中，90ACB∠=︒，E是边AB上一点，AE CE=，过E作DE AB⊥交BC于D，连结AD交CE于F，若20B∠=︒，则DFE∠的大小是AB CDEF。
第五章 生活中的轴对称(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
考点专练
易错提示：解答本题时因为题中没有指明腰的 长度和底边的长度，所以要对已知的边长3 cm 和6 cm 进行分类讨论.
考点专练
例4：下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释“角的平分线上 的点到角两边的距离相等”的图形某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
知识专题
四、轴对称的性质： 1.轴对称的基本性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连 的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 2.性质的应用： 利用对应角相等求角度； 利用对应线段相等求线段，求面积，求周长； 作图．
知识专题
谢谢~
易错提示：根据轴对称的性质易得 ∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO，直线l垂直平 分AB，CD，AD=BC，OD=OC．选项C中对应线 段OA与OB，OD与OC分别关于对称轴重合，但 不一定垂直，所以该选项有误.
考点专练
例3：如果等腰三角形两边长是3 cm和6 cm，那么它的周长是 （）
A．9 cm C．15 cm
正解：因为OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM， GF⊥ON，所以GE=GF（角的平分线上的点到角 两边的距离相等）. 答案：D
考点专练
易错提示：角的平分线上的点到角两边的距离相等 ，这里的距离是指点到角的两边垂线段的长而不是 任意点的连线段，本题中只有选项D是满足题意的 ，A,B,C中都不符合角平分线的定义.
知识专题
七、线段的垂直平分线
1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作 这条线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等.
A
北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总
北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB求作：AB的垂直平分线。
作法：（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2的长为半径作弧两弧相交于点和D；（２）作直线D．则直线D就是线段AB的垂直平分线。
四、角平分线的性质：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AB，求作：射线P,使∠AP＝∠BP（即P平分∠AB）。
作法：（1）在A和B分别截取，N使=N（2）分别以、Ｎ为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交∠AB内于Ｐ；（3）作射线P。
射线P就是∠AB的角平分线。
专题05 生活中的轴对称(考点清单)(解析版)-23-2024学年7下数学期末考点大串讲(北师大版)
专题05生活中的轴对称（考点清单）【考点1】轴对称图形【考点2】轴对称的性质【考点3】轴对称-最短路线问题【考点4】翻折变换(折叠问题)【考点5】角平分线的性质【考点6】线段垂直平分线的性质【考点7】等腰三角形的性质【考点8】等边三角形的性质【考点9】作图-轴对称变换【考点10】利用轴对称设计图案【考点11】出轨作图-角平分线和垂直平分线【考点1】轴对称图形1．（2023秋•石景山区期末）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•海曙区校级期末）第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图形可知，选项B为轴对称图形．故选：B．3．（2023秋•徐州期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【考点2】轴对称的性质4．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（）A．15°B．20°C．25°D．35°【答案】C【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，∴∠B＝∠B′＝110°，又∵∠A＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，故选：C．5．（2023秋•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故选：A．6．（2023秋•射洪市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，∴，∴BC＝12cm，∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝13cm．故选：B．7．（2023秋•庄浪县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C．8．（2023秋•文登区期末）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．故选：C．9．（2023秋•南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是三角形ABC的对称轴，∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD＝DC，∴S△EFB＝S△EFC，∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD•AD＝×2×3＝3．故答案为3．10．（2023秋•信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AC＝EC，∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．故答案为：11．11．（2023秋•上城区期末）按如图的方法折纸，则∠1+∠2＝90°．【答案】90．【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠2＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠2+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，即∠1+∠2＝90°，故答案为：90．12．（2023秋•双辽市期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝72°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案为：72．【考点3】轴对称-最短路线问题13．（2023秋•阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4B．9.6C．10D．10.8【答案】B【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.则AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，AA'＝12，＝，∵S△AA'B∴A'E＝＝＝9.6，即AD+DE的最小值为9.6．故选：B．14．（2023秋•城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58°B．64°C．61°D．74°【答案】B【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝122°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，故选：B．15．（2023秋•湖北期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B 为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°【答案】B【解答】解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON 于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．16．（2023秋•启东市期末）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°【答案】C【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故选：C．17．（2023秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB 上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°【答案】B【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，则ME＝ME'，ND＝ND'，∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，∵DE长固定，∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN ＝∠DN'M+∠EM'N，由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），设DD'与BC交于点H，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°，故选：B．【考点4】翻折变换(折叠问题)18．（2023秋•腾冲市期末）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（）A．50°B．55°C．65°D．75°【答案】C【解答】解：由折叠的性质，∠DEA＝∠AED′，∴∠AED＝（180°﹣∠CED′）÷2＝65°．本题选C．19．（2023秋•荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74°B．106°C．122°D．148°【答案】B【解答】解：由翻折知，∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠D1MC，∵∠1＝32°，∴∠AMB+∠DMC＝74°，∴∠BMC＝74°+32°＝106°，故选：B．20.（2023秋•驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．70°【答案】A【解答】解：由折叠可知：∠CBD＝∠C′BD＝70°，∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE+∠A′BE＝2∠ABE＝180°﹣（∠CBD+∠C′BD）＝40°，∴∠ABE＝20°，故选：A．21．（2023秋•海沧区期末）如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的A′处，得折痕EN．若∠FEA＝74°，则∠BEM的度数是（）A．63°B．55°C．53°D．56°【答案】C【解答】解：由翻折的性质可知，∠AEN＝∠NEF，∠BEM＝∠FEM，∵∠FEA+∠FEM+∠BEM＝180°，∴∠BEM＝（180°﹣∠FEA）＝53°．故选：C．22．（2023秋•夏津县期末）数学活动：折纸中的数学【知识背景】我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．【知识初探】（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是90°；【类比再探】（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）；【拓展探究】（3）将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（3）．若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）．【答案】（1）90°；（2）①100°；②∠NPM＝90°+；（3）∠NPM＝90°﹣．【解答】解：（1）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵∠APN+∠A′PN+∠BPM+∠B′PM＝180°，∴2∠A′PN+2∠B′PM＝180°，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°，即∠NPM＝90°．故答案为：90°；（2）①由折叠可知，∠APA′＝2∠APN＝2∠A′PN＝60°，∠BPB′＝2∠BPM＝2∠B′PM，∵∠A′PB′＝20°，∴∠BPB′＝180°﹣∠APA′﹣∠A′PB′＝100°，∴∠BPM＝∠B′PM＝BPB′＝50°，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝100°；②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），则∠APA′+∠BPB′＝180°﹣α，∴∠A′PN+∠A′PB′＝（∠APA′+∠BPB′）＝90°﹣，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝90°﹣+α＝90°+．（3）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵2∠A′PN+2∠B′PM＝180°+α，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°+，∴∠NPM＝∠A′PN+∠B′PM﹣∠A′PB′＝90°+﹣α＝90°﹣．【考点5】角平分线的性质23．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】C【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．24．（2023秋•兴隆县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴，过点P作PE'⊥OB于点E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值为3cm．故选：B．25．（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC 于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（）A．30B．15C．20D．27【答案】B【解答】解：过D作DH⊥AB于H，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DH＝DC＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积＝AB•DH×10×3＝15．故选：B．26．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【答案】B【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，＝S△OAB+S△OBC+S△OAC∴S△ABC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，＝×18＝27（cm2）．∴S△ABC故选：B．27．（2023秋•曹县期末）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．28．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故选：C．29．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【答案】D【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【考点6】线段垂直平分线的性质30．（2023秋•钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长是15，∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，则，解得，AC＝9，BC＝6，故选：D．31．（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（）A．5B．8C．9D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周长为16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故选：A．32．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故选：A．33．（2023秋•嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三个角的角平分线的交点【答案】C【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：C．34．（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为AD＝BD．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【答案】（1）AD＝BD；（2）6；（3）5．【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．【考点7】等腰三角形的性质35．（2023秋•江陵县期末）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（）A．13cm B．17cmC．7cm或13cm D．不确定【答案】B【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17cm．故它的周长为17cm．故选：B．36．（2023秋•建华区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°【答案】D【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．37．（2023春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC 的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，故选：C．38．（2023秋•叙州区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：C．39．（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，故选：C．40．（2023秋•延边州期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为32°；【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC 和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为42°．【答案】【数学知识】32°；【数学应用】67°；【拓展】42°．【解答】解：【数学知识】∵AB＝AC，AD是中线，∠C＝58°，∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝32°，故答案为：32°；【数学应用】∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，∴，∠EAG＝∠EAF，∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG＝∠BAC+∠CAE+∠EAF＝∠BAF+∠CAE，∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，∴∠DAG＝55°+12°＝67°；【拓展】∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，∴AF⊥BE，∠BAF＝BAE，∠BAD＝BAC，∴∠AOF+∠OAF＝90°，∵∠AOF＝69°，∴∠OAF＝21°，∴∠BAF﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAC＝21°，∴∠BAE﹣∠BAC＝42°，∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°，故答案为：42°．【考点8】等边三角形的性质41．（2022春•沂源县期末）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，过C作CM∥直线l，∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM，∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，∴∠1＝∠MCB＝20°，∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，故选：C．42．（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC 边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（）A．5B．10C．15D．20【答案】B【解答】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴BE＝cos60°•BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝．故选：B．43．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．44．（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（）A．32B．64C．128D．256【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，…∴△A n B n A n+1的边长为2n﹣1，∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256．故选：D．45．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC 的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故选：C．46．（2023秋•靖宇县期末）如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（）A．90B．60C．50D．30【答案】A【解答】解：设等边△ABC的边长为a．∵9个三角形都是等边三角形，∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，GF＝HF＝MG＝a+6，MN＝MW＝a+9．∵NW＝NA+AW，∴a+9＝2a．∴a＝9．∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9＝7a+27＝63+27＝90．故选：A．47．（2023秋•邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE 沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC ＝36°，那么∠ADF＝84°．【答案】84°．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠GEC＝36°，∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∴∠BDE＝∠FDE＝48°，∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．故答案为：84°．【考点9】作图-轴对称变换48．（2023秋•哈密市期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标（2，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．49．（2023秋•和平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B 的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称．（1）写出点C的坐标，画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；＝S△ABC，直接写出点D的坐标．（3）在y轴上存在一点D，使得S△ACD【答案】（1）C（4，2），画图见解析；（2）画图见解析；（3）D的坐标为（0，0）或（0，4）．【解答】解：（1）如图，C（4，2），△ABC即为所求作的三角形，（2）如图，△A′B′C′即为所求作的三角形，（3）∵A（﹣4，2），B（﹣3，4），C（4，2），∴，设D（0，y），∴，∴|y﹣2|＝2，∴y＝0或y＝4，∴D的坐标为（0，0）或（0，4）．50．（2023秋•南宁期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；（2）在x轴上有一点D，使得△ADC≌△ABC，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）画图见解答；A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．（2）（﹣2，0）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．（2）∵△ADC≌△ABC，∴AD＝AB，CD＝CB．∵点D在x轴上，∴点D的位置如图所示．∴点D的坐标为（﹣2，0）．【考点10】利用轴对称设计图案51．（2023秋•高阳县期末）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（）种涂法．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个．故选：C．52．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：如图所示：不同的涂色方案共有4个．故选：D．53．（2023秋•四平期末）如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF 及其对称轴MN．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示；54．（2023秋•襄城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．（1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）．（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示：（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．故答案为：6．【考点11】尺规作图-角平分线和垂直平分线55．（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．。
生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)
生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)知识要点梳理轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线线段的垂直平分线轴对称实例等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
【例2】下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（）三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
【例3】如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB 于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A. ①B. ②C. ①②D.①②③四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
【例4】下列各语句中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等【变式4】有公路l1异侧、l2同侧的两个村庄A，B，如图．高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服务区C有（）处．五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（2015•阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观． 举一反三：【变式】如图，△ABC 的内部有一点P ，且D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点．若△ABC 的内角∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠C ＝50°，则∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝（ ）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：【变式】（2014秋•西城区期末）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P 1（3，0）．（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径； （2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．【答案】 解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2014÷6=335…4，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， ∴点P 的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=120°，DE 是AC 的垂直平分线，线段DE=1cm ，求BD 的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵D E是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF +12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+P F=CH ，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°，ACD123B 5 E∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE = 又,AB AC AE =∴垂直平分BC ．∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】 解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE ∴△ABD ≌△ACE∴AD ＝AE, ∠DAB ＝∠EAC ＝10° ∵∠BAC=80°，∴∠DAE ＝60°，△ADE 为等边三角形 ∴∠AED ＝60°∵∠DAB ＝∠DBA ＝10° ∴AD ＝BD ＝DE ＝EC ∴∠AEC ＝160°， ∴∠DEC ＝140° ∴∠DCE ＝20° ∴∠ACD ＝30° 类型五、等边三角形的综合应用7、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.。
2020-2021学年七年级数学北师大版下册第五章生活中的轴对称知识点复习一
北师大版七年级第五章生活中的轴对称知识点一：轴对称图形的认识轴对称图形满足的三个条件：（1）一个平面图形（2）存在一条直线（对称轴）（3）沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合三个条件缺一不可注：（1）轴对称图形是对一个图形而言的（2）对称轴是一条直线，不是线段或射线（3）一个轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条，甚至无数条。
知识点二：两个图形成轴对称两个图形成轴对称满足的三个条件：（1）二个平面图形（2）存在一条直线（对称轴）（3）两个图形沿这条直线折叠后能够相互重合三个条件缺一不可注：成轴对称的两个图形大小、形状完全相同，成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称。
关系两个图形成轴对称轴对称图形区别对象不同两个图形一个图形对称点在两个图形上在同一个图形上对称轴的数量不同只有1条可能不止一条联系（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠（2）把成轴对称图形的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称。
练习：一、选择题：1.选择观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是()3.下列图形中对称轴最多的是（）A.圆B.正方形C.角D.线段4.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是()5.下列说法中,正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等的两个三角形是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.全等的两个图形一定成轴对称6.下列图形中，是轴对称图形的是（）A ． B. C.D.7．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形C. 有一个内角是30°的直角三角形D. 有两个角分别是30°和120°的三角形8下列图形中，线段AB和A’B’（AB=A’B’）不关于直线L对称的是（）LB B'LBAB'LBAB'A'LA'ABA． B. C. D.9. 对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．310.下列图形中，轴对称图形有（）A.1个B.2个C. 3个D.4个二、填空题1.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是__________.(填序号)2.如图，图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有_________条对称轴.3.ΔABC和ΔA’B’C’关于直线l对称，若ΔABC的周长为12cm，ΔA’B’C’的面积为6cm2,则ΔA’B’C’的周长为___________，ΔABC的面积为_________.三、操作与比较1.下列图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴。
初中数学北师大版七年级下册《第五章生活中的轴对称》知识点归纳总结
初中数学北师大版七年级下册《第五章生活中的轴对称》知识点归纳总结一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB求作：AB的垂直平分线。
作法：（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2的长为半径作弧两弧相交于点C和D；（２）作直线CD．则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
四、角平分线的性质：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：（1）在OA和OB分别截取OM，ON使OM=ON（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。
射线OP就是∠AOB的角平分线。
生活中的轴对称(北师大版)
(6)(5)(4)(3)(2)(1)CD生活中的轴对称一、基础知识1、角平分线的性质：2、线段AB 的垂直平分线l 指的是： 且线段AB 的垂直平分线l 的性质是 小常识：一看到角平分线，就想到一看到线段的垂直平分线，就想到 3、①一个图形．．．．沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，这个图形就是 ，这条直线称为 也可以说这个图形关于这条直线对称两个图形．．．．沿着某条直线折叠后，两个图形能够 ，这两个图形就成 ，这条直线称为 也可以说这两个图形关于这条直线对称 注意两者区别：（1）图形数量，（2）称呼②重合就是 ，重合的点就是对应点，重合的角就是对应角，重合的线段就是对应线段。
对称的性质：（1）对应角会 (2) 对应线段会 (3)对称轴是对应点的连线段的 4、最简单的轴对称图形（一个）5、等腰三角形的说明① 的三角形称为等腰三角形； 的三角形称为等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形。
②如图，等腰ABC ∆中，AB 、AC 称为 ，BC 称为 ； B ∠、C ∠称为 ，BAC ∠称为 ； ③等腰三角形的两个底角会 ，证明的书写：AB AC = B C ∠=∠∴④等腰三角形的 、 、 会重合，称为三线合一 ⑤判定等腰三角形的方法：（1）三边中有两边相等 （2）三个内角中有两个相等⑥等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊在于 。
它除了具有以上四条性质，还有 （1）三个角相等，都等于 （2）三条边相等，（3）每一条边都会三线合一 6、镜面对称实质就是物．与像．关于镜面．．对称， 因此：①若一个物体正对镜面摆放，则其左（右）侧在镜中的像是其像的②若一个物体垂直镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也 镜面。
二、练习1、等腰三角形有一个内角是400，则它的一个底角是（ ）A.400B. 700C. 400或700D. 700或7002、在平面镜里看到其对面墙上电子钟显示的数字时间如图所示， 那么实际时间是（ ） A.21:05 B. 21:50 C. 20:15 D. 20:513、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A.线段 B.角 C.直角三角形 D.等腰三角形4、如图，△ABC 与△ADE 关于直线l 成轴对称，在 ① △ABC ≌ △ADE ，② ∠CAB = ∠EAD ，③ BC = DE ，④ BC 与DE 的延长线的交点不一定在l 上. 其中正确是5、如果△ABC 的两个内角为∠A = 670，∠B = 460，则△ABC 轴对称图形.(填:是或不是) 6、如图，在△ABC 中，AC=5，AB = 8，DE ⊥BC ，E 为BC 的中点，则△ACD 的周长是 . 7、如图，一个汽车车牌在水中的倒影如图所示，则该车的牌照号码是 . A.W17639 B. W17936 C. M17639 D. M179368、如图，△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥BC 于D ，AE = EF = FD ， 图是阴影部分的面积为8cm 2，则ABC S ∆= cm 2.9、如图AD 垂直平分BC ，∠B = 400，则∠BAC = 度.10、如图，在正方形网格中，已知△ABC 画出△ABC 关于x 轴的对称△A 1B 1C 111、在公路l 的同侧有两个工厂A 、B ，要在公路边建一个货场C ，使工厂A 、B 到货场C 的距离和最短。