第四讲 数字信号处理-采样与恢复
信号的采样与恢复
实验报告课程名称：信号分析与处理 指导老师： 成绩： 实验名称：信号的采样与恢复 实验类型： 同组学生姓名： 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得一、实验目的和要求1. 了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2. 验证采样定理。
二、实验内容和原理 2.1信号的自然采样采样信号为周期Ts ，宽度τ的矩形脉冲信号S(t)。
s(t)的傅里叶变换为： 2(t)Sa()()2s s sn S n T ωτπτδωω+∞-∞=-∑ 采样的过程可以视为两个信号相乘：()()()s f t f t s t =在频域中，1()()()2Sa()()2s s s s F F S n F n T ωωωπωττωω+∞-∞=*=-∑可以看到自然采样后的频谱除了左右平移采样信号的角频率ωs 外，还按取样函数Sa(x)的规律衰减。
时域采样定理：如果采样信号的频率为fs ，原信号的最大频率为f m ，为了采样后信号的频谱不混叠，需要有fs ≥2f m 。
2.2信号的恢复在不发生频谱混叠的时候，将信号通过的低通滤波器，理论上可以完全恢复原信号。
低通滤波器的截止频率略大于fm，即“频谱加窗”的方法。
如果发生了频谱混叠，则原信号的频谱不能完全被恢复，通过低通滤波器后输出的信号将产生失真。
本实验分别用500Hz三角波和正弦波作为输入信号，占空比50%和10%的0.4kHz、1kHz、2kHz、5kHz、10kHz的矩形脉冲作为采样信号，使用截止频率1kHz以及2kHz的低通滤波器，观察输出波形，验证采样定理。
实验中，受自然采样、实验滤波器效果的限制，恢复后的波形难免都会有失真。
三、主要仪器设备PC一台、myDAQ设备一套、面包板一块、导线、电容、电阻若干。
四、操作方法和实验步骤1.编辑波形文件：正弦波峰峰值4V、频率500Hz，与10kHz、幅值1V、占空比50%的方波相乘，保存波形文件。
信号的采样与恢复
信号的采样与恢复实验一、任务与目的1. 熟悉信号的采样与恢复的过程。
2. 学习和掌握采样定理。
3. 了解采样频率对信号恢复的影响。
二、原理（条件）PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。
1. 采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。
这些值包含了该连续信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。
采样定理是连续时间信号与离散时间信号之间的桥梁。
采样定理：对于一个具有有限频谱，且最高频率为ωmax的连续信号进行采样，当采样频率ωs满足ωs>=ωmax时，采样信号能够无失真地恢复出原信号。
三角波信号的采样如图4-1-1所示。
图4-1-1信号的采样2. 采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为它包含了原信号频谱以及重复周期为的原信号频谱的搬移，且幅度按规律变化。
所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。
某频带有限信号被采样前后频谱如图4-1-2。
图4-1-2 限带信号采样前后频谱从图中可以看出，当ωs ≥2Bf 时拓延的频谱不会与原信号的频谱发生重叠。
这样只需要利用截止频率适当的滤波器便可以恢复出原信号。
3. 采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以用低通滤波器。
低通滤波器的截止频率f c 应当满足f max ≤f c ≤f x -f max 。
实验中采用的低通滤波器原理图如图4-1-3所示，其截止频率固定为1802f Hz RCπ=≈图4-1-3 滤波器电路4. 单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两个部分构成，滤波器部分不再赘述。
其中的采样保持部分电路由一片CD4052完成。
此电路由两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲，经过采样后的信号如图4-1-1所示。
三、内容与步骤本实验在脉冲采样与恢复单元完成。
1. 信号的采样（1）使信号发生器第一路输出幅值3V、频率10Hz的三角波信号；第二路输出幅值5V，频率100Hz、占空比50％的脉冲信号。
自动控制原理--信号的采样与复现
例1 设 e(t) 1(t) ，试求 e* (t) 的拉氏变换。
解：显然，对于给定的 e(t)，其拉式变换
为 E(s) 1 ，根据式(8-6)定义，可得
s
E* (s) e(kT ) ekTs 1 eTs e2Ts k 0
这是一个无穷等比级数，公比为eTs，求
级数和可得闭合形式
E*(s)
例3 xt Asin 0t ，求x t 和 X s 。
解：由拉式变换的一般公式，可得
L[x(t)] xs A0
s 2 02
所以 ，x(s)有两个极点 。t 0时 ，xt 0 ，
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
jT
e2
sin T
T
sin(T
/
2)
e
jT
2
T 2 2
T / 2
• 零阶保持器的频率特性如图所示
Gh j
Gh j
T
0
s
2s
3s
2
Gh j
3
• 零阶除了允许主频谱分量通过之外，还 允许一部分附加高频分量通过。因此复 现出的信号与原信号是有差别的。
4、小结
• 采样控制系统的结构； • 计算机控制的采样系统的优点； • 采样过程和采样定理； • 零阶保持器的传函和特性。
（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固定的规律
1、信号的采样过程
et
e* t
e* t
et T e*t
0
0
t
信号的采样和恢复
深圳大学实验报告课程名称：信号与系统实验实验项目名称：信号的采样和恢复学院：信息工程学院专业：通信工程指导教师：张坤华报告人：学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务处制一、实验目的1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
二、实验内容1、观察抽样脉冲、抽样信号、抽样恢复信号。
2、观察抽样过程中，发生混叠和非混叠时的波形。
三、实验仪器1、信号与系统实验箱一台（主板）。
2、系统时域与频域分析模块一块。
3、20M 双踪示波器一台。
四、实验原理1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号()t f s 可以看成连续信号()t f 和一组开关函数()t s 的乘积。
()t s 是一组周期性窄脉冲，见图5-1，T S图 5-1矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于抽样频率s f 及其谐波频率s f 2、s f 3……。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按()x x sin 规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是B f s 2≥，其中s f 为抽样频率，B 为原信号占有的频带宽度。
而B f 2min =为最低抽样频率又称“奈奎斯特抽样率”。
当B f s 2<时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的。
实验-信号的采样与恢复
实验三 信号的采样与恢复一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
3、理解信号的抽样及抽样定理以及抽样信号的频谱分析；掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理，验证抽样定理。
二、实验设备1、信号与系统实验箱（参考型号：TKSS —B 型）2、双踪示波器三、实验原理1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号)(t f s 可以看成连续信号)(t f 和一组开关函数)(t s 的乘积。
)(t s 是一组周期性的窄脉冲，如下图所示。
s T 为抽样周期，其倒数s s T f /1=称抽样频率。
图1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于抽样频率s f 及其谐波频率s f 2、s f 3┅┅。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按x x /sin 规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号的频谱中最高频率n f 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是B f s 2≥，其中s f 为抽样频率，B 为原信号占有的频带宽度。
而B f 2min =为最低抽样频率又称“奈奎斯特抽样频率”。
当B f s 2<时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使B f s 2=，恢复后的信号失真还中难免的。
下图画出了当抽样频率B f s 2>（不混叠时）及B f s 2<（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
抽样定理与信号恢复
抽样定理与信号恢复一、实验目的1、观察离散信号频谱，了解其频谱特点。
2、验证抽样定理并恢复原信号。
二、实验仪器1、双踪示波器 1台 2块 31块 4块三、实验原理1、离散信号不仅可从离散信号源获得，而且也可从连续信号抽样获得。
抽样信号Fs(t)= F(t)·S(t)。
其中F(t)为连续信号（例如三角波），S(t)是周期为Ts 的矩形窄脉冲。
Ts 又称抽样间隔，Fs=1Ts称抽样频率，Fs(t)为抽样信号波形。
F(t)、S(t)、Fs(t)波形如图5-1。
图5-1 连续信号抽样过程将连续信号用周期性矩形脉冲抽样而得到抽样信号，可通过抽样器来实现。
2、连续周期信号经周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱()()()2s S a s m m A F j S F m T ωττωωω+∞=-∞=⋅-∑它包含了原信号频谱以及重复周期为fs （f s =ωs /2л）、幅度按A τT Sa （m ωs τ/2）规律变化的原信号频谱，即抽样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓。
因此，抽样信号占有的频带比原信号频带宽得多。
以三角波被矩形脉冲抽样为例。
三角波的频谱：1124()()()S k k k E F j A k k k ωπσωωσωωπ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑ 这里我们取三角波的有效带宽为31ω。
频谱图如5-2所示。
F(f)图5-2 三角波频谱抽样信号的频谱：12ω1()4()(ω)2s S as k m m A F j E S k m T kττωσωωπ∞=-∞=-∞=⋅--∑ 取三角波的有效带宽为31ω，其抽样信号频谱如图5-3所示。
BfFs(f)图5-3 抽样信号频谱图如果离散信号是由周期连续信号抽样而得，则其频谱的测量与周期连续信号方法相同，但应注意频谱的周期性延拓。
3、抽样信号在一定条件下可以恢复出原信号，其条件是2s f f B ≥，其中s f 为抽样频率，f B 为原信号占有频带宽度。
信号的采样与恢复实验注意事项
信号的采样与恢复实验注意事项
1. 实验前应确认所需的信号源和采样设备正常工作，以确保实验结果的准确性。
2. 在采样过程中要注意采样频率的选择，采样频率应满足奈奎斯特采样定理，即采样频率应大于信号的最高频率的两倍。
3. 在采样时，应记录下采样间隔和采样点数，以便后续的数据分析和信号恢复处理。
4. 为了保证采样的准确性，需要尽量避免信号与噪声的干扰。
可以采取一些减小噪声的措施，如使用滤波器对信号进行预处理。
5. 实验中可以尝试不同的采样频率和采样点数，观察采样结果的差异，并对比恢复后的信号与原始信号的差异。
6. 在恢复信号时，可以利用插值等方法对采样数据进行处理，以恢复原始信号。
7. 实验结束后，应及时保存实验数据和实验结果，以备后续分析和报告使用。
8. 在实验过程中，应注意安全和操作规范，避免在实验室中发生意外或损坏设备。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。
它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。
抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。
一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。
抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。
抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。
具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。
这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。
抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。
它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。
这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。
如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。
抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。
当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。
三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。
采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。
例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。
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T
T
sin[ ( t kT ) / T ] ( t kT ) / T
R ( t )
1 T h( t ) H ( j )e jt d 2 2 sin s t sin t s 2 T T t 2 t
y( t ) x a ( t ) xs (t ) * h(t )
T 2
T 2
x( t )e jk s t dt
T－周期
s 基波频率
周期单位取样序列的傅里叶级数为：
T (t)
k
Ae
k
jk s t
,
k 0, 1， 2
其中级数的系数是 1 T2 1 T2 jk s t Ak T T (t)e dt＝ T (t - nT) e jk st dt T 2 T 2 n - T 1 1 2 ＝ T (t - nT)e jk st dt ＝ T n - 2 T
在t=0处值为1， 在其他t=kT处 值为0
hr (t )
sin( t / T ) t /T
1.7.4. 信 号 重 构 － 时域
xa ( t ) xs ( 0 ) sin(t / T ) sin[ ( t T ) / T ] sin[ ( t nT ) / T ] xs ( T ) xs ( nT ) t / T ( t T ) / T ( t nT ) / T
X (e ) X ( z)
j
n
x[n]e
n
j n
如果X ( z )可以表示为 X ( z) P( z ) Q( z )
n
x[n]z
P( z ) 0对应的值 X(z)的零点 Q( z ) 0对应的值 X(z)的极点 X ( z )在收敛域内不能出现极点，且 收敛域常以极点为边界
xa ( nT ) xs ( nT )
恢复信号
保证了各取样点的 恢复值为信号原值， 而取样点之间信号的恢复值 是由各取样值内插函数 的波形延伸叠加而成的。
sin[ ( t kT ) / T ] R ( t ) ( t kT ) / T
内插公式的特点是：在取样点nT上 的函数值为1，其余取样点上的值为0
序列转换
X
x[n]
s (t (Tt ) )
2 s T
1 T (t ) (t nT ) T n
k
e jk s t ,
k 0, 1， 2
k 0, 1， 2
1 jk s t xs (t) xa (t) T (t) xa (t) e , T k
1.8.2
z 变换的 ROC
ROC : a 1 z 1, i.e. z a .
例2. 左边序列：[n] a nu[n 1] x
X ( z)
n
a
1
n
z n
令m n
X(z) a z
1 m 1
m
1 a 1 z
n 0
T
s 2
T X s ( j )
前提：满足 采样定理
原连续信 号频谱？
1/T - s - N N ( s 2 N )
s 2
s
1.7.4 信 号 重 构 － 时域
T
H ( j )
y( t ) y(nT） xs (t ) * h(t )
k
x (kT)h(n k )T
X a ( j ) c
s不能太小
频谱发 生了周 期延拓
- N
N
2π/T - s
) S ((jj)
0 s
频谱幅 度是原 来的fs倍
1 T - s - N
X s ( j ) N s
频谱混叠
( s 2 N ) s N 1 X s ( j ) T - s - N N s ( s 2 N )
k s
s / 2
s / 2
e j t d
采样内 插公式
x (k T)h(n k )T
sin t kT xs ( k T ) T xs (k T) R ( t ) k k T t kT
1-8
z 变换
引言
定义
收敛域（ROC） z反变换 z 变换的性质
1.8.1 z 变换 定义
离散Fourier 变换 : 仅用于绝对可和的序列 X (e
j )
n
x(n)e
j n
,
n
x ( n)
LTI系统稳定： 其DTFT 存在
n
n
x (nT ) (t nT )
a
1.7.2 均匀采样信号的频谱
周期性连续信号的傅里叶级数：
定义
x(t)
k
Ae
k
jk s t
,
k 0 , 1， 2
式中级数的系数是 1 Ak T
T (t )
n
(t nT )
n
1 1 X ( z) 1 . 1 1 1 a z 1 az
相同的Z变换，不同收敛域，对应不同的序列
一定要标注收敛域！
1.8.2
z 变换的 ROC --DTFT 和 Z 变换
DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 DTFT : 在单位圆上的 z 变换。
1 T 1 T
x (t) e - j k s t dt 1 - a T k
k
X
a
( j jk s )
k
X a ( j jk
2 ) T
总结：1-7 信号的采样
xa (t ) x s (t ) 脉 冲 到
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列
1-3 DT 系统 和 LTI系统
1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充）
-- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
h( n)
X ( z)
n
x ( n) z n
分析离散时间 信号和系统
令 z re jω , z r. z 变换 级数，收敛意味着: X ( z)
X(n)序列有界
n
n
x ( n) z
n
n
x ( n) z
1.8.3 序列的性质和其Z变换收敛域的关系
1. 有限长序列 x ( n) x ( n) 0 X ( z)
N2
N1 n N 2 其他
x(n)
n N1
x ( n ) Z n x ( N 1 ) Z N1 x ( N 2 ) Z N 2
xs (t ) xa (nT )
x[n]
不能完全表示 采样关系
xs (t ) xa (t )T (t )
1-7 信号的采样与恢复
xa (t )
X
x s (t )
T((t) s t)
脉冲到 序列转换
x[n]
T (t )
n
(t nT )
n
xs (t ) xa (t ) T (t ) xa (t ) (t nT )
奈奎斯特采样定理
临界采样 频率？
1.7.3 Nyquist 采样定理
有两种方法从 数字离散序列(DTS)重构 连续时间信号 (CTS): (a) 频域低通滤波; (b)时域插值. 从 DTS 恢复 CTS, 条件是采样满足采样定理 ——Nyquist criterion.
Nyquist 准则 : 设 xa (t ) 是带限信号，即 X a ( j ) 0， N . 那么， 若 2 2 N T 则，a (t ) 可从xa ( nT )完全恢复。 x s
1.7.4. 信 号 重 构 － 时域
• 例题：P50 (1-28)
解：a) 因为当
8
时， ( e j ) 0 , H
h(n)的截止频率c 为：8对应于模拟信号的角频率
c cT 2f cT
得 fc 1 625Hz 16T
8
最后一级低通滤波器的截止频率为： 1 f c1 5 K Hz 2T
xs (t)是无穷多个载波信号被xa (t)调制的结果， 其频谱中除原信号频谱外， 还应在k s处有无穷多个边带。
对xs (t)做傅里叶变换， X s (j ) xs (t)e
- - jt
1 dt T
-
xa (t)
k
e jk s t e - jt dt
所以系统截止频率由低的截止频率决定，为625Hz
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列
1-3 DT 系统 和 LTI系统
1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充）