华大新高考联盟联考理科数学试卷含答案PDF.pdf
机密★启用前华大新高考联盟2020届高三1月教学质量测评理科数学本试题卷共4页，23题（含选考题），全卷满分150分.考试问时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题上，草稿纸和答题卡上的非答题区域的无效.3.填空题和解答题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4，选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}31|{<<−=y y M ，}0)72(|{≤−=x x x N ，则=N MA.)3,0[B.]27,0(C.]27,1(−D.∅2. 设复数z 满足2|3|=−z ，z 在复平面内对应的点为),(b a M ，则M 不可能为A.)3,2(B.)2,3(C.)0,5(D.)1,4(3. 已知46=a ，214log 45=b ，9.2)31(=c ，则A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.b a c >>4. 2019年10月1日.为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为在主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路".为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了同话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的 小金说：“兴国之路"不是我制作的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是 A.小明 B.小红 C.小金D.小金或小明5. 函数20cos sin )(2xx x x x f +=在]2,0()0,2[ππ −上的图像大致为6. 为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A 、B 、C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 A.24 B.36 C.48D.647. 已知向量)1,(m a =，)2,1(−=b ，若b b a ⊥−)2(，则a 与b 夹角的余弦值为A.13132−B.13132 C.65136− D.651368. 框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决.例如，为了计算一姐数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入151=x ，162=x ，183=x ，204=x ，225=x ，246=x ，257=x ，则图中空白框中应填人A.7,6S S i => B.7,6S S i =≥ C.S S i 7,6=> D.S S i 7,6=≥9. 记等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若4010=S ，56=a ，则A.3=dB.1210=aC.28020=SD.41−=a10. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为1F ，2F ，点),(11y x P ，),(11y x Q −−在椭圆C 上，其中01>x ，01>y ，若||2||2OF PQ =，33||||11≥PF QF ，则椭圆C 的离心率的取值范围为A.]216,0(− B.]26,0(− C.]13,22(− D.]13,0(−11. 关于函数|)321cos(|4|)321sin(|4)(ππ+++=x x x f ，有下述三个结论：①函数)(x f 的一个周期为2π； ②函数)(x f 在]43,2[ππ上单词递增；③函数)(x f 的值域为]24,4[. 其中所有正确结论的编号是 A.①② B.② C.②③D.③12. 已知四棱锥ABCD S −中，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD //，︒=∠120BAD ，SAD ∆是等边三角形，且32==AB SA ，若点P 在四棱锥ABCD S −的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为A.113+B.213+C.115+D.215+二.填空题，本题共4小距.每小题5分，共20分.13. 已知函数x e x m x f 2)12()(3−+=，若曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线与直线024=−+y x 平行，则=m __________.14. 设n S 为数则}{n a 的前n 项和，若752−=n n a S ，则=n a __________.15. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m ，中位数为n ，则=−n m __________.16. 已知双曲线C :)0,0(12222>>=−b a by a x 的左、右焦点分 别为1F 、2F ，直线l 是双曲线C 过第一、三象限的渐近线，记直线l 的倾斜角为α，直线l ':x y ⋅=2tan α，l M F '⊥2，垂足为M ，若M 在双曲线C 上，则双角线C 的离心率为__________.三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为击考题，考生根据要求作答. （一）必考题，共6分 17. （12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设24sin sin sin 3sin sin 3sin sin 22+=+CB AB C C B . （1）求A tan 的值；（2）若C B sin 3sin 2=，且22=∆ABC S ，求a 的值. 18. （12分）如图所示，在三棱柱111C B A ABC −中，ABC ∆为等边三角形，A BB BAB 11∠=∠，O B A AB =11 ，⊥CO 平面11A ABB ，D 是线段11C A 上靠近1A 的三等分点. （1）求证：1AA AB ⊥；（2）求直线OD 与平面11ACC A 所成角的正弦值.19. （12分）记抛物线C :)0(22>=p px y 的焦点为F ，点D ，E 在抛物线C 上，且直线DE 的斜率为1，当直线DE 过点F 时，4||=DE . （1）求抛物线C 的方程；（2）若)2,2(G ，直线DO 与EG 交于点H ，0=+EI DI ，求直线HI 的斜率. 20. （12分）已知函数x x e x f x cos 2)(−−=.（1）当)0,(−∞∈x 时，求证：0)(>x f ；（2）若函数)1ln()()(++=x x f x g ，求证：函数)(x g 存在极小值. 21. （12分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A 市与B 市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为m 2，现规划在每个路口处种植一棵杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为21. （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：是否有%9.99的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X 个路口种植杨树，求X 的分布到以及数学期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M ，求证：≥M 3 )2)(1(−−m m m .（二）选考题：共10分，请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22. 【选修4-4:坐标系与参数方程】（10分）在平面直角生标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x （θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ααρ222sin 4cos 4+=. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线kx y l =:与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且||2||OQ OP =，点M 的坐标为)0,2(，求MPQ ∆的面积.23. 【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知0>a ，0>b ，0>c .（1）求证：22444224)(b a b a ab b b a a ++≥+−；（2）若1=abc ，求证：ac bc ab c b a ++≥++333.。
华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题
华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题一、单选题 1．若集合{}210Axx a x a =-+-<，集合{}11B xx =-<，满足{}12A B x x ⋂=<<的实数a 的取值范围是（ ） A ．3a < B ．3a ≤ C ．3a>D ．3a≥2．已知复数z 满足()()342i i 1z z +=+-，其中z表示z 的共轭复数，则复数z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．3-D ．3i -3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（ ）A ．全村年用电量的众数一定是500度B ．抽取50户用电量的中位数小于其平均数C ．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电D ．全村用电量为[)400,600度的概率约为0.0015 4．如图，在已知直四棱柱1111A B C DA B C D -中，四边形A B C D 为平行四边形，,,,E MN P分别是111,,,B C B B A D A A 的中点，以下说法错误的是（ ）A ．若1B C=，1A A =1D PBC ^B ．//M NCD C ．//M N 平面1C DE D ．若A BB C=，则平面11A A C C⊥平面1A B D5．将函数()2s in 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移π06ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，再向下平移1个单位长度得到()g x 的图象．若对于任意的π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 的最大值可能是（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．26．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{}n a 本身不是等差数列，但从{}n a 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n b （则称数列{}n a 为一阶等差数列），或者{}n b 仍旧不是等差数列，但从{}n b 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n c （则称数列{}n a 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ） A ．52B ．2C ．212D ．2827．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()1()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122gx a a x x=+--，若01a <<，则()()f x gx -的极值情况是（ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值8．过抛物线()220xp yp =->的焦点F 且倾斜角为5π6的直线l 与抛物线在第三象限交于点P ，过点P 的切线与y 轴交于点M ，则下列说法正确的是（ ） A．直线MP B ．△M P F为等边三角形C ．点P 的横坐标为定值12-D ．点M 与点F 关于x 轴对称9．在三棱锥D A B C-中，A B C是以AC 为底边的等腰直角三角形，D A C △是等边三角形，A C=BD 与平面ADC2，则三棱锥DA B C-外接球的表面积是（ ） A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π10．已知函数()41,0141,02xx x f x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()22110fx t fx t+-+-=有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A．7,52⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．73,,52⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭C．7,52⎛--⎝⎦D ．73,,1522⎛⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．在正三棱柱111A B CA B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面A B C 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12nP ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知,P Q 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>上关于原点对称的两点，过点P 作P Mx⊥轴于点M ，M Q 交双曲线于点N ．设直线P Q 的斜率为k ．则下列说法错误的是（ ） A ．k 的取值范围是b b k a a-<<且0k≠B ．直线M N 的斜率为2kC ．直线P N 的斜率为222b k aD ．直线P N 与直线Q N 的斜率之和的最小值为ba二、填空题13．若,x y 满足约束条件2030630x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =+-的最大值为______．14．已知实数a ，b 满足423a a +=，22lo g 3b =，则32ab +=__________． 15．在A B C中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．若c =，2b=，π3C=，A D 是B C边上的高线，点D 为垂足．点E 为线段B D 上一点，点B 关于直线A E 的对称点为点M．从四边形B A C M 中任取一点，该点来自A B C的概率记为()P A ，则()P A 的最小值为______． 16．已知,A B 是圆22:4Ox y+=上的两点，π3A O B∠=，记O Aa=，O Bb=，向量()c a b ⊥+，若实数x 满足()()6a x c x c b +⋅-≤，则a x cxc b++-的最大值为______．三、解答题 17．已知A B C中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5c=，22co s ac B b=+．(1)求角C ；(2)若点D 在AB 边上，且满足:3:2A DB D =，当A B C的面积最大时，求CD 的长．18．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x=，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程yb x a=+$$$，其中a y b x =-$$，()()()121niii nii xxyybxx==--=-∑∑，()()81228.9iii xxyy =--=∑，119.05y=． 19．已知平行六面体1111A B C DA B C D -中，1A B=，12B C B C ==，π3A B C∠=，侧面11B B A A是菱形，1π3B B A∠=．(1)求1B C 与底面A B C D 所成角的正切值； (2)点,E F 分别在1BA和1B C 上，11E FA C ∥，过点,,B E F 的平面与1B D 交于G 点，确定G 点位置，使得平面B E F ⊥平面11B C D A ．20．已知A ，B 为椭圆22221x y ab+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3D F=．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 21．已知函数()()()22e21ln 21xf x a x x =-++．(1)当2a=时，研究函数()f x 的单调性；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()22c o s 22f x x a x≥--恒成立，求a 的取值范围．22．已知曲线C 的参数方程为c o s s in x a y αα=+⎧⎨=⎩（a 为正数，α为参数），直线l的极坐标方程为πc o s 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭l 与曲线C 交于,A B 两点，A B=(1)求a 的值；(2)若点M 的坐标为(，N是曲线C 上的一点，求M O N △面积的最大值．23．已知函数()123f x x x =-+-.(1)求()f x 的单调递增区间及()f x 的最小值m ； (2)若,,a b c 均为非负数，且12a b c m++=，求141213a b c +++++的最小值及取得最小值时,,a b c 的取值．参考答案：1．D【分析】解不等式可求得集合B ，根据交集结果可确定集合A ，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由11x -<得：111x -<-<，解得：02x <<，即()0,2B =；由210x a x a -+-<得：()()110x a x -+-<，{}12A B x x ⋂=<<，{}11A x x a ∴=<<-，12a ∴-≥，解得：3a ≥.故选：D. 2．A 【分析】设()i ,za b a b =+∈R，根据共轭复数定义、复数乘法运算和复数相等可构造方程组求得,a b ，根据虚部定义得到结果. 【详解】设()i ,za b a b =+∈R，则iza b =-，4i 44i 53i z z a b a b a b ∴+=++-=-，又()()()()32i i 12i 1i 13i +-=+--=--， 53i 13i a b ∴-=--，则5133a b =-⎧⎨-=-⎩，解得：151a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，1i5z ∴=-+，z ∴的虚部为1.故选：A. 3．C【分析】由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间[)400,600内的频率，由此判断各选项.【详解】因为抽取50户的年用电众数为500，所以全村年用电众数的估计值为500， 所以全村年用电众数不一定等于500，所以A 错误．由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14， 则中位数为2160040020033+⨯=，而平均数1000.143000.165000.37000.269000.14520x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为16005203>，所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B 错误． 全村估计年用电量为300520156000⨯=度，年发电量约为200800160000⨯=度156000>度，所以C 正确．由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为[)400,600度的户数的频率为0.30， 所以全村用电量为[)400,600度的户数的概率约为0.30，D 错误． 故选：C. 4．B【分析】利用正切值相等可说明11A D A A P D∠=∠，由此可得1A D D P⊥，结合平行关系可知A 正确；由//C D M P ，M P M N M⋂=可知B 错误；通过证明四边形D E M N 为平行四边形可得//M N D E，由线面平行判定可知C 正确；根据B D A C⊥，1B DA A ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定可知D 正确. 【详解】对于A ，连接1A D ，111111ta n A A A A A D A A D B C∠===，1ta n 12A D B C A P D A PA A ∠===11A D A A P D ∴∠=∠，又1111π2A D A D A A ∠+∠=，11π2A P DD A A ∴∠+∠=，即1A D D P⊥；11////C D C D A B ，11C D A C D B==，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//B C A D ∴，1D P B C ∴⊥，A正确；对于B ，连接,M P C M ，,M P分别为11,B B A A 中点，M P //A B ∴，又//A B C D ，//M P C D ∴，M N M P M⋂=，M N ∴与C D 不平行，B 错误；对于C ，连接1,E M B C，,M E分别为1,B B B C 中点，1//E M B C∴，112E MB C=；11//A B C D，11AB C D=，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//A D B C∴，11A DB C=，NQ 为1A D 中点，112N D A D∴=，//N D E M∴，N D E M=，∴四边形D E M N 为平行四边形，//D E M N∴，又D E⊂平面1C D E ，M N ⊄平面1C D E ，//M N ∴平面1C D E ，C 正确；对于D ，连接1A B ，A B B C =，四边形A B C D 为平行四边形，∴四边形A B C D 为菱形，B D A C∴⊥；1A A ⊥平面A B C D ，B D⊂平面A B C D ，1A A B D∴⊥，又1A A A C A=，1,A A A C⊂平面11A A C C ，B D ∴⊥平面11A A C C ，B D ⊂Q 平面1A B D ，∴平面11A A C C ⊥平面1A B D ，D 正确.故选：B.5．B【分析】根据三角函数伸缩和平移变换可得()g x ，根据正弦型函数单调性判断方法可确定()g x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，由此可得()m a x g x ，结合ϕ的范围可确定()m a x g x 的范围，由此可得结果.【详解】由三角函数伸缩和平移变换得：()()()214s in 223g x fx x ϕϕ=+-=+-，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π222,22x ϕϕϕ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又π06ϕ<<，π20,3ϕ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，πππ2,226ϕ⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭，()gx ∴在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()m a x04s in 23gx g ϕ∴==-，又s in 20,2ϕ⎛∈ ⎪⎝⎭，()4sin 233,3ϕ∴-∈-，则()g x 的最大值可能为2-.故选：B. 6．C【分析】根据数列特征可知数列{}n b 为等比数列，进而得到n b ，利用累乘法可求得n a ，代入8n=即可.【详解】记数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅为{}n a ，设1n n na b a +=，则11b =，22b =，34b =，48b =，⋅⋅⋅，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n nb -∴=，()()()12123221231122n n n n n n n a b b b b a --+++⋅⋅⋅+----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，76212822a ⨯∴==.故选：C. 7．C【分析】结合导数运算公式由条件求()f x ，由此可得()()f x gx -，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数()()f x gx -的极值即可.【详解】∵()()()11x f x fx x f x x''=+=+⎡⎤⎣⎦，∴()ln x fx x x c=++．取1x =可得，()11f c =+，由()1()1f x x f x x'+=+，令1x =，得()(1)12f f '+=，因为()10f '=，可得()12f =，∴1c=，则()ln 11x fx x x=++， ∴()()()ln 2112x f x gx a x a x x-=++-+．令()()ln 2112x h x a x a xx=++-+，则()()221ln 1201x a x h x a x-+-'=<<；令()21ln 12m x x a x =-+-，()21a x m x x-'=，易知0x <<()0m x '<，()mx在0⎛⎝上单调递减；x >()m x '>，()m x在⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以当x=()mx取最小值()1ln 12m a ⎛=-⎝， 又()1ln 102a-<，当0x→时，()mx →+∞，x →+∞时，()m x →+∞，∴存在1x ，2x ，使得()()12m x m x ==．不妨设12x x <，则当10x x <<时，()0m x >，当12xx x <<时，()0m x <，当2xx >时，()0m x >．∴()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． ∴()h x 既有极大值，又有极小值． 故选：C. 8．B【分析】联立抛物线和直线l 求P 的坐标，利用导数几何意义求切线方程，进而逐项判断正误即可.【详解】如图，抛物线22x p y=-的焦点0,2p F⎛⎫- ⎪⎝⎭，过焦点倾斜角5π6的直线l为32p y =--，联立2232x p y py x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，化简得223x p x p-=且0Px <，可得36P P x p p y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∵212y xp=-，则1y xp'=-，故|3x y ='=，∴3M Pk =，故A 、C 错误．∴切线方程为36p y x =+，则0|6x p y==，点0,6p M⎛⎫ ⎪⎝⎭不与焦点F 关于x 轴对称，故D 错误．而23M PM F p==，直线l 倾斜角为5π6，故π3MFP∠=，△M P F为等边三角形，故B 正确．故选：B 9．B【分析】根据线面角算出点B 到平面ADC 的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可.【详解】取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则B E A C ⊥，D E A C⊥，可得A C⊥平面DEB ．又A C ⊂平面ADC ，故平面A D C ⊥平面DEB ，且平面A D C 平面B D E D E=．在平面DEB 中，过点B 作B HD E⊥于点H ，则B H⊥平面ADC ，∴B D H ∠是直线BD 与平面ADC 所成角的平面角． 设B Hx=，则D H=，易求D E=，B E=，则E H=． 由勾股定理可得222B E B H E H=+，即)222x =+，解得3x=，于是3E H=点H 恰好是正D A C △的中心（外心），故球心O 必在BH 上，R t B A C的外心为E ，连接OE ,则O E ⊥平面ABC ，O EB E⊥,设三棱锥DA B C-外接球的半径B OR=，在R t B E O △中，由射影定理可得2B E B H B O =⨯，即23=，解得R=∴三棱锥D A B C-外接球的表面积24π12πSR==．故选：B. 10．D【分析】采用数形结合的方式可将问题转化为()22110xt x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()yc c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c=有3个实数根时，13c -<<，()()()22110fx t fx t∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，()()()()2Δ214102113212110932110t t t t t t t ⎧=--->⎪-⎪-<-<⎪∴⎨⎪--+->⎪+-+->⎪⎩，解得：752t -<<-12t <<，即实数t的取值范围为73,,1522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 11．C【分析】根据古典概型概率公式可确定①错误；记1n P -为第n1-次移动后在底面A B C 上的概率，可确定n P 与1n P -满足的递推关系式，得到②正确；根据递推关系式和等比数列定义可证得③正确；结合等比数列通项公式推导可得④正确.【详解】对于①，第一次移动后，可移动到111,,,,B C A B C 点，其中位于底面A B C 上的点有,B C ，∴当1n=时，125P =，①错误；对于②，当2n ≥时，记1n P -为第n 1-次移动后在底面A B C 上的概率，则11n P --表示第n 1-次移动后在平面111A B C 上的概率，在底面A B C 上移动的概率为25，由平面111A B C 移动到底面的概率为35，()111231315555n n n n P P P P ---∴=+-=-+，2113123135555525P P ∴=-+=-⨯+=，②正确；对于③，由11355nn P P -=-+得：1111252nn P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111210P -=-，∴数列12nP ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以110-为首项，15-为公比的等比数列，③正确；对于④，由③知：11112105n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，11111052n n P -⎛⎫∴=-⨯-+⎪⎝⎭，④正确.故选：C. 12．D【分析】根据直线与双曲线两支各有一个交点可确定k 的范围，知A 正确；利用两点连线斜率公式可知B 正确；根据22N P N Q b k k a⋅=可推导知C 正确；根据基本不等式取等条件不成立可知D 错误.【详解】对于A ，,P Q是双曲线上关于原点对称的两点，∴直线P Q 与双曲线两支各有一个交点，∴直线P Q 的斜率k 在两条渐近线斜率之间，即b b k a a -<<，由题意知：,P M 不重合，0k ∴≠，k ∴的取值范围为b b k aa-<<且0k≠，A 正确；对于B ，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，()0,0M x ，00y k x =，0022M N M Q y k k k x ∴===，B 正确；对于C ，设(),N s t ，则22221s tb a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222022*******22220000N P N Q x s b aa y t y t y tb k k x sx sx sx sa⎛⎫- ⎪----⎝⎭∴⋅=⋅===-----，由B 知：2N QM N k k k ==，222N Pb k k a∴=，C 正确；对于D，2222N PN Q b k b k k k aa+=+≥=，2222b k k a=，即2b ka=±不成立，N PN Q b k k a∴+>，D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题的基本思路是灵活应用斜率公式及双曲线第三定义来构造两直线斜率之间的等量关系，从而利用变量k 表示出直线,P N Q N的斜率.13．52【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为直线1322z y x +=-+在y 轴截距最大问题的求解，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当23z x y =+-取得最大值时，直线1322z y x +=-+在y 轴截距最大，平移直线12yx=-可知：当1322z yx +=-+过点A 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：1252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即15,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，m a x 155322z ∴=+-=.故答案为：52.14．1【分析】由22lo g 3b =可变形为()()lo g 3122lo g 313b b +++=，故考虑构造函数()2xfx x=+，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求,a b .【详解】因为22lo g 3b =，化简得()()2lo g 31313b b +++=．所以()()lo g 3122lo g 313b b +++=，又242223aaa a +=+=，构造函数()2xf x x=+，因为函数2xy=，yx=在(),-∞+∞上都为增函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数， 由()13f =，∴()22lo g 311a b =+=，解得12a =，13b=，∴312ab +=．故答案为：1. 15．12##0.5【分析】利用余弦定理和勾股定理可知A B A C⊥，作MGBC⊥，可知当M G 最大时，()P A最小；设D E Aθ∠=，结合三角形相似和三角恒等变换可表示出πin 26M G θ⎛⎫=--⎪⎝⎭由此可得m in M G ，进而求得()P A 最小值. 【详解】由余弦定理知：2222c o s a b a b C c+-=，即24212a a +-=，解得：4a=，222b c a∴+=，A B C∴为直角三角形，A B A C⊥，设B MA E F=，作M G B C⊥于点G ，b c A D a==，1C D∴==，13B D a =-=，要使得()P A 最小，则B M C △面积最大，即点M 到B C 的距离M G 最大． 设D E Aθ∠=，则F E Bθ∠=，3A D =，3B D =，ta n D E θ∴=，3ta n B Eθ=-，c o s 3c o s ta n E F B E θθθ⎛∴==-⎝⎭，M G B∽E F B △，M G M B E FB E∴=，22s in 23c o s s in 3s in 2o s ta n M G E F θθθθθθ⎛∴==-=- ⎝⎭π3s in 2o s 2in 26θθθ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭则当ππ262θ-=，即π3θ=时，s in 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭取得最大值1，m a x M G ∴=M B C A B CS S =△△，()m in12A B CA B CM B CS PA SS∴==+.故答案为：12. 16．【分析】利用余弦定理可求得B C，设O Dxc=，根据向量线性运算和数量积运算的定义可求得2c o s 6C D BD C DC D B ⋅=∠≤，结合余弦定理可得C D ≤.【详解】π3A OB ∠=，2π3C OB∴∠=，由圆的方程知：圆O 的半径2r =，B C ∴==设O Dx c=，则()O Da b ⊥+，O D ∴为线段B C 的中垂线，C D B D∴=，()()6a O D O D b +⋅-≤，即()()6O D O C O D O B -⋅-≤，2c o s c o s 6C D B D C D B D C D B C DC D B ∴⋅=⋅∠=∠≤；22212c o s 2C DC D B C D-∠=，266C DB DCD ∴⋅=-≤，解得：23C D≤2a x c x cb C D B D C D ∴++-=+=≤故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段C D 长度最值的问题. 17．(1)π3C =(2)C D =【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得1c o s 2C =，即可求出角C ； （2）由余弦定理结合均值不等式可得25a b ≤，可求出当A B C的面积最大值时3A D=，再由余弦定理即可求出CD 的长. 【详解】（1）依题意，22co s a c B b=+，由正弦定理可得2sin 2sin co s sin A C B B=+，∴()2s in 2s in c o s s in B CC B B+=+，所以2sinco s 2co s sin 2sin co s sin B C B C C B B+=+，则2s in c o s s in B C B=，因为()0,π,s inB B ∈≠，化简得1c o s 2C =．∵()0,πC∈，∴π3C =．（2）由余弦定理得2221c o s 22a b cC a b+-==，∴22222a ba b c a b c=+-≥-，∴25a b≤，当且仅当a b=时，等号成立．此时1s in 244A B CS a b C b ==≤． 若A B C的面积取到最大，则5ab ==，A B C为等边三角形，∴3A D =，由余弦定理得222π2c o s193C DA C A D A C A D =+-⋅⋅=，∴C D=18．(1) 5.4594.525yx =+(2)分布列见解析，() 4.2E X =【分析】（1）利用已知数据求x ，()281ii xx=-∑，利用公式和参考数据求b ，a ，由此可得回归方程；（2）由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值. 【详解】（1）由已知1234568847.5x+++++=+=+，所以()()()()()()()()()282222222213.5 2.5 1.50.50.5 1.5 2.5 3.542ii xx=-=-+-+-+-++++=∑又()()81228.9iii xxyy =--=∑所以()()()818215.45iii ii xxyybxx==--==-∑∑，因为119.05y =，所以94.525a yb x =-=，∴ 5.4594.525yx =+．（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个． ∴()35113C 10P X===，()213235C C 34C 5P X ⋅===，()123235C C 35C 10P X ⋅===．所以X 的分布列为数学期望为()133345 4.210510E X =⨯+⨯+⨯=．19．(1)13(2)点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处【分析】（1）证明1M B ⊥平面ABCD ，从而找到1B C 与底面A B C D 所成角，解三角形，即可求得答案；（2）证明当,E F 分别为线段1BA和1B C 的中点时，平面B E F⊥平面11B C D A ，说明1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上，结合三角形相似即可确定G 点位置. 【详解】（1）取A B 的中点M ，连接1M B ，,M C A C ，1BA．∵侧面11B B A A 为菱形，1π3B B A ∠=， ∴1A B B 为等边三角形，11A B B B ==，11,2M B A B M B ⊥∴=∵1A B =，2B C =，π3A B C∠=，由余弦定理知A C ==，∴222B C A B A C=+，∴A CA B⊥．在1A B C V 中，11A B =，12B C =，有22211B CA B A C=+，∴1A C A B ⊥．又∵11,,A B A B A A B A B =⊂∩平面11B B A A ，∴A C⊥平面11B B A A ．又∵1M B ⊂平面11B B A A ，∴1A C MB ⊥．∵1M B A B ⊥，,,A CA B A A C A B ⋂=⊂平面ABCD ，∴1M B ⊥平面ABCD ，∴1B C M ∠为直线1B C 与底面A B C D 所成的角， 由A CA B⊥，则2C M===，∴11ta n 132M B B C MC M∠===（2）当,E F 分别为线段1BA和1B C 的中点时，平面B E F⊥平面11B C D A ．证明如下：连接1A B ，1B C ，EF ，11A C ．侧面11B B A A 是菱形，则11A B A B⊥．又∵11A C A C E F∥∥，A C⊥平面11B B A A ， ∴E F⊥平面11B B A A ，1A B ⊂平面11B B A A ，故1E FA B ⊥，11,B A E F E B A E F =⊂，平面BEF ，∴1A B ⊥平面BEF ，1A B ⊂平面11B C D A ，∴平面11B C D A⊥平面BEF ．连接11BD 交11A C 于点N ，连接BN ，1B D ，BD ．∴平面11B D D B平面B E FB N=，∴1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上． ∵11B D B D∥，1B N G ∴△∽D B G △，∴1112B G B N D GD B==，即点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处． 20．(1)22142xy+=(2)直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上【分析】（1）由题意表示出D F ，1D F ，可得c ，再由椭圆的定义求出a ，即可求出椭圆的方程；（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，D E 的直线方程为()4ykx =-，与椭圆联立，由韦达定理得12x x +，12x x ，化积为和得()1212542x x x x =+-，表示出直线AD 和直线BE 的方程的方程，计算可得1P x =，即可证明直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为(),0F c ，左焦点为()1,0F c -，0c>，3D F ==，解得c=∴11D F ==，∴124D F D F a +==，2a=，b=，∴椭圆的方程为22142xy+=．（2）由题设，直线DE 斜率一定存在，设D E 的直线方程为()4y kx =-．联立椭圆方程，消去y 得()222221163240kx k x k+-+-=．设()11,D x y ，()22,Ex y ，则21221621k x x k+=+，212232421k x x k-=+．∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ， ∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为()2222y yx x =--．联立得()()12122222y y x x x x +=-+-，∴()()()()()()()()12211212211221242242262424238Px x x x x x x x x x x x x x x --+-+--==-+-----．又∵()1212542x x x x =+-，∴()121221212158623813838Px x x x x x x x x x x +-----===----．∴直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上．21．(1)()f x 在定义域内单调递增 (2)3a ≤【分析】（1）求函数()f x 的导函数可得()()24eln 211xf x x '⎡⎤=-+-⎣⎦，根据导数结构考虑构造函数()e 1xF x x =--，利用导数证明e 1x x ≥+，取对数证明()ln 1x x ≥+，由此证明()0f x '≥，由此可得函数()f x 的单调性；（2）设2t x=，[]0,πt ∈，由已知可得()()()2e1ln 1c o s 210ta t t t a t -++-+--≥恒成立，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21th t a t t t a t =-++-+--，讨论a ，利用导数求其最小值，可得a的取值范围． 【详解】（1）因为2a=，所以()()()22e221ln 21xf x x x =-++，所以函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()()24eln 211xf x x '⎡⎤=-+-⎣⎦，构造函数()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-，令()0F x '=，得0x=，∴当0x >时，()0F x '>，()F x 在()0,∞+上单调递增；当0x<时，()0F x '<，()F x 在(),0∞-上单调递减．∴()()00F x F ≥=，∴e 1x x ≥+，∴当1x>-时，()ln 1x x ≥+，所以当12x >-时，2e 21x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，所以当12x >-时，()2ln 21xx ≥+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()2e ln 2112ln 210xx x x -+-≥-+≥，当且仅当0x =时等号成立，∴()0f x '≥，当且仅当0x=时等号成立，∴()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）∵()()22c o s 22f x x a x≥--，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，等价于()()()()22e21ln 21c o s 22210xa x x x a x -++-+--≥，令2tx=，[]0,πt ∈，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21th t a t t t a t =-++-+--，∴()00h =，()()2e ln 1s in 2th t a t t '=-++-，()00h '=．令()()2e ln 1s in 2xg x a x x =-++-，()2e c o s 1xag x xx '=-++，[]0,πx ∈，注意到()03g a'=-． 当3a>时，()00g '<，∴0x ∃>，当[]00,x x ∈时，()0g x <，即当[]00,t x ∈时，()0h t '<，所以()h t 在[]00,x 上单调递减，所以()00h x <，不符合题意．当03a ≤≤时，令()2e c o s 1xa m x xx =-++，[]0,πx ∈，()()()222e s in 2s in 011xaam x x x x x '=+->+->++，∴()m x 单调递增，则()()030m x m a ≥=-≥，当0a<时，则()2e c o s 2c o s 011xaa m x x x x x =-+>+->++，()0g x '≥，()g x 单调递增，()()00g x g ≥=．∴()0h t '≥，()h t 单调递增，()()00h t h ≥=，符合题意．综上所述3a≤．【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．(1)2a =1【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理可构造方程求得a 的值；（2）根据圆的几何性质可求得点N 到直线O M 的距离的最大值，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由曲线C 的参数方程得：()221x a y-+=，则曲线C 是以(),0a 为圆心，1为半径的圆；由πc o s 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭c o s s in 222θθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y --=；∴圆心(),0a 到直线l的距离d =A B ∴==212d=，()21122a-∴=，又0a>，2a∴=.（2）设点N 到直线O M 的距离为h ，则11222M O NS O M h h h=⋅=⨯=，又直线O M方程为：y=，曲线C 的圆心为()2,0，半径为1，m a x 11h ∴==，M O N ∴△1.23．(1)单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，12m=(2)m in 141164213123a b c ⎛⎫++== ⎪+++⎝⎭，此时1a =，5b =，0c=【分析】（1）分别在1x≤、312x <<和32x≥的情况下，去掉绝对值符号可得函数解析式，进而确定单调性；根据单调性可确定最小值； （2）根据()()()21312ab c +++++=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1x ≤时，()13234f x x x x =-+-=-+，此时()f x 单调递减；当312x <<时，()1322f x x x x=-+-=-，此时()f x 单调递减；当32x≥时，()12334f x x x x =-+-=-，此时()f x 单调递增；()fx \的单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；由单调性可知：3122m f ⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）由（1）知：6a b c ++=，()()()21312a b c ∴+++++=，由柯西不等式得：()()()()214121312116213ab c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭（当且仅当1a =，5b =，0c=时等号成立），m in 141164213123a b c ⎛⎫∴++== ⎪+++⎝⎭，此时1a=，5b =，0c=.。
华大新高考联盟2021届高三11月教学质量测评 理科数学试题(含答案)
到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为
A．①④
B. ①③
C.①②③
D. ②④
12. 已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f ´(x), 且xf ´(x) = x3ex +2f(x), 若 f(2)=4e2
+ 4, 则函数g(x)=f(x)−2的零点个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
标号涂黑。如需改动．用橡皮擦干净后．再选涂其他答案标号。回答非选择题 时．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回。
一 、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有 一项是符合题目要求的。
1．若z = 2−i，则|z2−6|=
A.1430
B.270
C.14
D. 130
6. 函数 f(x)=x2cosx的图像在点(π,f(π))处的切线方程为
A.y=−2πx +π2
B. y = 2πx−3π2
C. y= −πx
D.y=πx−2π2
7. 已知 y = sin 2x + sin(2x + π ), y = cos( 3 x − π ), y = sin(2x + π ) 的部分图像如下所示,则
2
24
7
A. f (x) = sin 2x + sin(2x + π ), g(x) = sin(2x + π ), y = cos( 3 x − π )
2
7
24
B. f (x) = sin 2x + sin(2x + π ), g(x) = cos( 3 x − π ), y = sin(2x + π )
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷)真题卷(含答案与解析)
华大新高考联盟2023届高三4月教学质量测评数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2|3280,ln 74A x x x B x y x =--<==-，则A B = （ ）A. 4437x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. 4473xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 427xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. 427x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2. 已知()()2023274ii 5i 1i z -=+⋅--，则在复平面内，复数z 所对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为211,,324，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A.1124B. 38C.12D.134. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()()cos 4cos cos 4sin x x +B. 11cos 4coscos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的C. 11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 13cos 4cos24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝5. 过点()2,5A的直线l 与函数()5112x f x x -=-的图象交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，()5,1B ，则cos ,OM ON AB +=（ ）A.B.C.D. 6. 已知正三棱台111ABC A B C -1AA =，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ） A. 40πB. 80πC. 30πD. 60π7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为θ的直线l 经过点(),0A a 和点B ，其中12121212,,2BF BD F D F B F D F F =⊥=，若cos θ=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±B. y x =±C. 53y x =±D. 43y x =±8. 若函数()22e e cos xx f x m x -=++在[)0,∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为n a ，每个月老鼠的总数量为n b ，数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，可知112212,14,84,98a b a b ====，则下列说法正确的是（ ） A. 66127a =⨯B. 6627b =⨯C. 66272S =⨯-D. 86773T -=10. 已知函数()()()11f x x x x =+-，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切，则与直线l 垂直的直线为（ ）的A. 420x y -+=B. 280x y -+=C. 50x y +-=D. 2430x y +-=11. 已知函数()22sincos 333x x xf x =-，则下列说法错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为6πB. ()π,0是函数()f x 图象一个对称中心C. 将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后得到一个偶函数 D. 函数()f x 在[]0,10π上有7个零点12. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，过点(),5A a a -作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若2PQPA=，则点A 到原点的距离为（ ）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若圆221:420C x y x y +-+=与圆222:810160C x y x y +-++=交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______.14. 已知25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项的系数之和为256，记展开式中10x -的系数为a ，则128a =______. 15. 如图，已知四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，N 是1BD 的中点，平面AMN 交1CD 于点H ，则，11D HD C=_______.16. 已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.的的17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1ni i a n i ==∑，且213,,3k k S a S ++是等比数列{}n b 的前三项. （1）求5b 的值；（2）求数列4332351n n n a a a -++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a 的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在[)2000,4000的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .19. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3πcos sin π02b A B ⎛⎫⎪++⎭+=⎝.（1）求sin c A 的值；（2）若()2sin tan tan b C a C c C -=.且ABC S λ≥△.求实数λ取值范围. 20. 已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中SB =，1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，平面SBA ⊥平面ABCD ，点M 在线段AD上，AM =N 在线段SC 上.的（1）求证：AC SM ⊥；（2）若平面ADN 与平面ABCD ，求SN 的值. 21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-；当点P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由. 22. 已知函数()()2ln 1f x mx x x =--（1）若函数()f x 在[]3,9上有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()21f x m f x +≤'+在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2|3280,ln 74A x x x B x y x =--<==-，则A B = （ ）A. 4437x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. 4473xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 427xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. 427x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意求解集合,A B ，进而可求A B ⋂. 【详解】由题意可得：{}(){}{}244|3280|2,ln 7474037A x x x x x B x y x x x x x ⎧⎫⎧⎫=--<=-<<==-=->=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以A B = 427x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 2. 已知()()2023274ii 5i 1i z -=+⋅--，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z ，进而判断复数z 所对应的点所在象限. 【详解】∵()()()()2023274i74i 73i 5i i 5i i 25i 11i 2i 221i z --=+⋅-=+-⋅-=+--=---， ∴复数z 所对应的点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D.3. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为211,,324，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A.1124B. 38C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算. 【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为211132412⨯⨯=， 三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为21121121131113243243248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为131112824+=. 故选：A.4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()()cos 4cos cos 4sin x x +B. 11cos 4coscos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 13cos 4cos24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝【答案】B 【解析】【分析】根据图象可得出()f x 为偶函数，且()00f >，π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，然后逐项求解判断，即可得出答案.【详解】由图象可得，()f x 为偶函数，且()00f >，且π12f ⎛⎫<-⎪⎝⎭. A 项，若()()()cos 4cos cos 4sin x x f x +=，则()()()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +-=--()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +==，所以()f x 为偶函数. 而ππcos 4cos c 0os 4sin 22π1cos 42f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不满足题意，故A 项错误； B 项，若()11cos 4coscos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数.()()()cos 4cos 0cos 014sin 00cos 4f ==+>+，ππcos 4cos c os 4sin 44π2cos 2f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，因为2ππ3<<，所以2π1cos cos 32<=-，所以π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭满足题意，故B 项正确； C 项，若()11sin 4cossin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是偶函数，故C 项错误； D 项，若()13cos 4cos24f x x ⎛⎫ ⎪⎭+=⎝，则()()()1313cos 4cos cos 4cos 2424x x f x f x f x ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，所以()f x 为偶函数.π33cos 4cos cos 24π144f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭+=+⎭>-⎝，故D 项错误.故选：B. 5. 过点()2,5A的直线l 与函数()5112x f x x -=-的图象交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，()5,1B ，则cos ,OM ON AB +=（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性分析可得A 为线段MN 的中点，结合向量的坐标运算求解. 【详解】∵()5111522x f x x x -==---， 可知()f x 是由1y x=-向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到 故()2,5A函数()f x 的对称中心，则A 为线段MN 的中点，可得()()24,10,3,4OM ON OA AB +===-u u u r u u u r u u r u u u r，所以()cos ,OM ON AB OM ON AB OM ON AB+⋅+===+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C.6. 已知正三棱台111ABC A B C-1AA =，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 80πC. 30πD. 60π【答案】D 【解析】【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果. 【详解】若正三角形的边长为a，则其面积为212a a ×´=由题意可得：1136AB ,A B ==，取111,A A C C B B 的外接圆的圆心为2,O O ，正三棱台111ABC A B C -的外接球的球心1O ，连接211121OA,OO ,O A,O A ,O A ，过A 作底面的投影M ，可得221OA O M A ==，则1MA =，由1AA =，可得2OO MA ==，设外接球的半径为R ，则111A R O O A ==，可得()222211222221211312R OA OO OO R O A O O OO ⎧=+=+⎪⎨=+=+-⎪⎩，解得1R OO ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以该正三棱台的外接球的表面积24π60πS R ==. 故选：D.7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为θ的直线l 经过点(),0A a 和点B ，其中12121212,,2BF BD F D F B F D F F =⊥=，若cos θ=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. y x =±C. 53y x =±D. 43y x =±【答案】D 【解析】【分析】由条件分析得：D 是BF 1的中点，且12F F B △是底角为30 的等腰三角形，作出简图，根据正弦定理可得a b 、的关系，得出结果.【详解】由1212,BF BD F D F B =⊥可得D 是BF 1的中点，且12F F B △是以2F 为顶点的等腰三角形，又因为21212F D F F =，所以1230BF F ∠= ， 在2AF B 中，由正弦定理可得()22sin sin 60BF AF θθ=- ，即()2sin sin 60c c aθθ-=- ，即2sin sin 60cos cos 60sin c c aθθθ-==-由cos θ=可得sin θ==， 代入上式化简可得：35c a =，则22925c a =，则()222925a b a+=，解得43b a =. 故渐近线为：43y x =±. 故选：D .8. 若函数()22e e cos x xf x m x -=++在[)0,∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()0f x '≥在[)0,∞+上恒成立，构建()()g x f x '=，结合定点()00g =分析运算. 【详解】因为()22e ecos xx f x m x -=++，则()221e e sin 2x xf x m x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由题意可得()221e e sin 02x xf x m x -⎛⎫'=--≥ ⎪⎝⎭在[)0,∞+上恒成立，构建()()g x f x '=，则()221e e cos 4x xg x m x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，注意到()00g =，则()1002g m '=-≥，解得12m ≤，若12m ≤，则()22111e e cos cos cos 442x x g x m x m x m x -⎛⎫'=+-≥⨯-=- ⎪⎝⎭，当且仅当22e e x x-=，即0x =时，等号成立， 若102m ≤≤，因为cos 1≤x ，则cos m x m -≥-， 可得()11cos 022g x m x m '≥-≥-≥； 若0m <，因为cos 1x ≥-，则cos m x m -≥-， 可得()11cos 022g x m x m '≥-≥->； 综上所述：当12m ≤时，()0g x '≥在[)0,∞+上恒成立， 则()g x 在[)0,∞+上单调递增，可得()()00g x g ≥=，符合题意； 故实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为n a ，每个月老鼠的总数量为n b ，数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，可知112212,14,84,98a b a b ====，则下列说法正确的是（ ） A. 66127a =⨯ B. 6627b =⨯C. 66272S =⨯-D. 86773T -=【答案】AC 【解析】【分析】根据题意分析可得数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，结合等比数列分析运算. 【详解】由题意可得：1111126,72n n n n n n n a b b b a b b +++=⨯==+=， 即17n n b b +=，且114b =，所以数列{}n b 是以首项114b =，公比7q =的等比数列，则114727n nn b -=⨯=⨯，可得()1141777173n n n T +--==-， 当2n ≥时，116127n n n a b --==⨯，且112a =满足上式，故1127n n a -=⨯，可得111277127n nn n a a +-⨯==⨯，即数列{}n a 是以首项112a =，公比7q =的等比数列， 可得()121727217n n n S -==⨯--，综上可得：66127a =⨯，7627b =⨯，66272S =⨯-，76773T -=. 故A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC10. 已知函数()()()11f x x x x =+-，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切，则与直线l 垂直的直线为（ ） A. 420x y -+= B. 280x y -+= C. 50x y +-= D. 2430x y +-=【答案】AD 【解析】【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为()3000,x x x -，即可表示出切线方程，再将()1,0代入方程，即可得到关于0x 的方程，解得0x ，从而求出切线的斜率，再一一判断即可. 【详解】()()()()23111f x x x x x x x x =+-=-=-，则()231f x x '=-，设切点坐标为()3000,x x x -，则()20031f x x '=-，所以切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--，.又切线过点()1,0，所以()()()3200000311x x x x --=--，即32002310x x -+=，故()()2002110x x +-=，解得01x =或012x =-， 所以直线l 的斜率为211131224f ⎛⎫⎛⎫'-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()213112f '=⨯-=，对于A ：直线420x y -+=的斜率为4，符合题意，故A 正确； 对于B ：直线280x y -+=的斜率为12，不符合题意，故B 错误； 对于C ：直线50x y +-=的斜率为1-，不符合题意，故C 错误； 对于D ：直线2430x y +-=的斜率为12-，符合题意，故D 正确； 故选：AD11. 已知函数()22sincos 333x x xf x =-，则下列说法错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为6πB. ()π,0是函数()f x 图象的一个对称中心C. 将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后得到一个偶函数 D. 函数()f x 在[]0,10π上有7个零点 【答案】ABC 【解析】【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质一一判断即可. 【详解】()22sincos 333x x x f x =-22sin33x x=1222sin 233x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2π2sin 33x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即()2π2sin 33x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故最小正周期2π3π23T ==，故A 错误； 的又()0f =-，()4ππ2π2sin 33f ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，即()()02π0f f +=-≠，所以()π,0不是函数()f x 图象的的一个对称中心，故B 错误；将函数()f x 的图象向右平移π6个单位得到24π2sin 39x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 错误；令()0f x =，即2π2sin 033x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2πsin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以2ππ2π333x k -=+或2π2π2π333x k -=+，Z k ∈， 所以π3πx k =+或3π3π2x k =+，Z k ∈， 因为[]0,10πx ∈，所以函数()f x 在[]0,10π上有7个零点分别为π，3π2，4π，9π2，7π，15π2，10π，故D 正确；故选：ABC12. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，过点(),5A a a -作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若2PQPA=，则点A 到原点的距离为（ ）A. B. C.D.【答案】CD 【解析】【分析】根据p 的几何意义得到2p =，即可得到抛物线方程，设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用导数的几何意义求出切线方程，将点(),5A a a -代入方程，即可得到1x ，2x 是方程()22450x ax a -+-=的两个解，列出韦达定理，由2PQPA=求出a 的值，即可得到A 点坐标，从而求出距离. 【详解】因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，所以2p =， 则抛物线2:4C x y =，即214y x =，所以12y x '=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21114y x =，22214y x =，所以111|2x x y x ='=，221|2x x y x ='=， 所以点P 处的切线方程为()11112y y x x x -=-，将(),5A a a -代入方程得()111152a y x a x --=-，即()2112450x ax a -+-=，同理可得()2222450x ax a -+-=，所以1x ，2x 是方程()22450x ax a -+-=的两个解，所以122x x a +=，①()1245x x a =-，②所以直线PQ 的斜率121212142y y x x k a x x -+===-，由2PQPA =2x a -=-， 又1212x x x a -=-，所以=221x a =， 因为1x a ≠，所以1x a =-③，由①②③得234200a a +-=，解得2a =或103a =-， 所以点A 的坐标为()2,3-或1025,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以AO ==或AO ==.故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数表示出切线方程，设而不求得到直线PQ 的斜率，再利用弦长公式及已知条件求出a 的值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若圆221:420C x y x y +-+=与圆222:810160C x y x y +-++=交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______.【答案】240x y --= 【解析】【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ 的方程，运算求解即可. 【详解】∵圆1C 与圆2C 相交，则两圆方程之差即为直线PQ 的方程，将22420x y x y +-+=与22810160x y x y +-++=作差得48160x y --=， 整理得240x y --=，即直线PQ 的方程为240x y --=. 故答案为：240x y --=.14. 已知25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中10x -的系数为a ，则128a =______. 【答案】896- 【解析】【分析】令1x =得到展开式中各项的系数之和求出n ，再写出展开式的通项，令1622105r-=-，求得r ，即可求出a ，从而得解.【详解】对于25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令1x =可得展开式中各项的系数之和为()24256n -=，解得8n =，所以825442x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()82162285518844C 2C 24rrrr r r rr T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令1622105r -=-，解得3r =，所以()3358C 24a =⋅⋅-，所以()3358896128128C 24a -=-⋅=⋅.故答案为：896-15. 如图，已知四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，N 是1BD 的中点，平面AMN 交1CD 于点H ，则，11D HD C=_______.【答案】25##0.4 【解析】【分析】将四棱锥补为三棱柱1ADD BCE -，由1D MH CEH 求解. 【详解】解：如图所示：补全四棱锥为三棱柱，作1//D E AB ，且1D E AB =， 因为ABCD 为平行四边形，所以//AB CD ， 则1////D E AB CD ，且1D E AB CD ==，所以四边形1ABED 和四边形1D DCE 都是平行四边形， 因为N 为中点，则延长AN 必过点E ， 所以A ，N ，E ，H ，M 在同一平面内， 因为1//DD CE ，所以1D MH CEH ， 又因为M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，所以1123D H D M HC CE ==，则1125D H D C =， 故答案为：2516. 已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）【答案】②③ 【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可. 【详解】因为ln 30a =>，11log 30b =>， 所以e ln 3log 3a ==，11e 22log 33log 3b a ==<=，所以2a b >，故①错误；()333311log e log 11log 11e log 273a b+=+=>=，所以3a b ab +>，故②正确； 333311e 1log e log 11log log 1113a b -=-=<=-，所以b a ab -<-，故③正确. 故答案为：②③四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1ni i a n i ==∑，且213,,3k k S a S ++是等比数列{}n b 的前三项. （1）求5b 的值；（2）求数列4332351n n n a a a -++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1296（2）221525nn n n +-+【解析】【分析】（1）依题意可得312123n a a a a n n++++= ，利用作差法求出n a n =，再根据等比中项的性质得到方程求出k ，即可求出{}n b 的通项公式，再计算可得；（2）由（1）可得()()43323511433235n n n a n a a n n -+++=+-++，利用裂项相消法和分组求和法计算可得. 【小问1详解】 依题意312123n a a a a n n ++++= ，当1n =时11a =， 当2n ≥时311211231n a a a a n n -++++=-- ， 所以1n a n=，则n a n =，所以()12n n n S +=， 又23S ，1k a +，3k S +是等比数列{}n b 的前三项，所以12233k k S a S ++=⨯，即()()()23412k k k +++=，解得5k =或2k =-（舍去）， 而2113S b ==，266b a ==，所以16n n b -=，所以4561296b ==. 【小问2详解】由（1）可得()()43323511433235n n n a n a a n n -+++=+-++ 1114333235n n n ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭， 所以()143111113582821133511n n n T n n +-⎛⎫=-++-+++ ⎪⎝⎭-+ 221112235351525n n n n n n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪++⎝⎭. 18. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a 的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在[)2000,4000的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .【答案】（1）0.00009a =；所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元；（2）分布列见解析，() 1.6E X = 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得a 的值；由频率分布直方图的平均值的求法可得所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）求出受灾居民的经济损失在[)2000,4000的概率，根据()4,0.4 XB 可得X 的分布列以及数学期望.【小问1详解】由()20.000030.000150.0002020001⨯+++⨯=a 得0.00009a =；0.00015200010000.0002020003000⨯⨯+⨯⨯0.00009200050000.00003200070000.00003200090003360+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元； 【小问2详解】受灾居民的经济损失在[)2000,4000的概率为0.0002020000.4⨯=， 由题意()4,0.4 X B ，()00440C 0.40.60.1296P X ==⨯=， ()11341C 0.40.60.3456P X ==⨯=， ()22242C 0.40.60.3456P X ==⨯=， ()33143C 0.40.60.1536P X ==⨯=， ()44044C 0.40.60.0256P X ==⨯=， 所以X 的分布列为X0 1 2 3 4 P0.12960.34560.34560.15360.0256数学期望()40.4 1.6E X =⨯=.19. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3πcos sin π02b A B ⎛⎫⎪++⎭+=⎝.（1）求sin c A 的值；（2）若()2sin tan tan b C a C c C -=.且ABC S λ≥△.求实数λ的取值范围.【答案】（1（2）(-∞ 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得sin sin 0b C A B =，根据正弦定理角化边即可得结果； （2）根据题意结合余弦定理可得2π3B =，进而可得2ac b =，结合基本不等式和面积公式可求得ABC S ≥△，即可得结果.【小问1详解】因为(3πcos sin π02b A B ⎛⎫ ⎪++⎭+=⎝，则sin sin 0b A -=，整理得sin sin 0b C A B -=，由正弦定理可得sin 0b A =，故sin c A =. 【小问2详解】因为()2sin tan tan b C a C c C -=，由tan C 存在，则cos 0C ≠，两边同乘以cos C 可得：()2sin cos sin sin b C C a C c C -=，又因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得2cos 2b C a c -=， 由余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯-=，整理得222a c b ac +-=-， 可得2221cos 22a cb B ac +-==-， 且()0,πB ∈，则2π3B =，由（1）可知：sin sin 0b C A B -=，可得2sin sin 2sin b C A B =，由正弦定理可得22abc b =，即2ac b =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++≥，当且仅当a c =时，等号成立，可得26b b ≥，可得6b ≥，即212ac b =≥，故11sin 1222ABC S ac B =≥⨯=△，由题意可得：λ≤，故实数λ的取值范围为(-∞.20. 已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中SB =，1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，平面SBA ⊥平面ABCD ，点M 在线段AD 上，AM =N 在线段SC 上.（1）求证：AC SM ⊥；（2）若平面ADN 与平面ABCD，求SN 的值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接BM ，由面面垂直的性质得到SB ⊥平面ABCD ，即可得到SB AC ⊥，再利用平面几何的知识证明AC BM ⊥，即可得到AC ⊥平面SBM ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，设SN SC λ=，[]0,1λ∈，利用空间向量法得到方程，求出λ的值，即可得解.【小问1详解】连接BM ，因为SB AB ⊥，平面SBA ⊥平面ABCD ，平面SBA 平面ABCD AB =，SB ⊂平面SBA ，所以SB ⊥平面ABCD ，因AC ⊂平面ABCD ，所以SB AC ⊥，因为1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，底面ABCD 中过点C 作CE AD ⊥交AD 与点E ，则1CE AB ==， 所以2sin CE CD CDA ==∠，tan CE DE CDA==∠， 显然ABCE为矩形，所以BC AE AD DE ==-=，又AM =，所以AM AB AB BC ==ABM BCA △∽△，所以ABM BCA ∠=∠， 又90ABM MBC ∠+∠=︒，所以90BCA MBC ∠+∠=︒，所以AC BM ⊥，又SB BM B = ，,SB BM ⊂平面SBM ，所以AC ⊥平面SBM ，又SM ⊂平面SBM ，所以AC SM ⊥.为在【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,C，()D，(S ，所以(0,SC =，(AS =-，()AD = ，设()0,,SN SC λ== ，[]0,1λ∈，则()1,AN AS SN =+=- ， 设平面ADN 的法向量为(),,n x y z = ，所以00AD n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即)00x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =，则x =，所以),0,1n = ， 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADN 与平面ABCD， 所以cos ,n m n m n m ⋅===⋅ ，解得13λ=或53λ=（舍去）， 所以13SN SC ===.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-；当点P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.【答案】（1）22163x y += （2）直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【解析】【分析】（1）设()11,P x y ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，即可得到2212b a -=-，再根据a c -=及222c a b =-求出a 、b ，即可得解；（2）首先求出A 点坐标，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，()11,P x y ，()22,Q x y ，表示出AP 的方程，联立求出1x ，把k 换为k -得2x ，即可求出21x x -、21y y -，从而求出直线PQ 的斜率，即可得解.【小问1详解】设()11,P x y ，椭圆C 左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ， 故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--， 即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -=-b -=-，解得b =，所以a =，即椭圆C 的方程为22163x y +=. 【小问2详解】 联立2216312x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ， 由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-，的由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=， 因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+， 把k 换为k -得22244221k k x k +-=+， 所以212821k x x k -=+， 所以()()()212112*********k y y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+， 所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1.22. 已知函数()()2ln 1f x mx x x =-- （1）若函数()f x 在[]3,9上有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()21f x m f x +≤'+在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）29e 2ln 31m <≤- （2）[]0,1【解析】 【分析】（1）原题可转化为()ln 11x g x x m-==在[]3,9上有两个不相等的根，然后取出()g x 的导函数，根据函数的单调性以及最值，结合端点处的函数值，即可推得22ln 31119e m -≤<，求解即可得出实数m的取值范围；（2）移项构造函数可得()22ln 21ln h x mx x x mx x m m x =--++--，然后求出导函数，根据二次求导可得()2112k x m x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭.根据已知条件()210h m m =-≤，推得01m ≤≤.进而可得出()h x 的单调性，验证可得，01m ≤≤满足条件，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，()f x 定义域为()0,∞+.令()0f x =，则()ln 1m x x -=，显然0m ≠，所以ln 11x x m-=. 令()ln 1x g x x -=，[]3,9x ∈，则()()221ln 12ln x x x x g x x x ⋅---'==. 解()0g x '=，可得2e x =.所以当23e x ≤<时，()0g x '>，所以()g x 在)23,e⎡⎣上单调递增；当2e 9x <≤时，()0g x '<，所以()g x 在(2e ,9⎤⎦上单调递减. 所以，函数()f x 在2e x =处取得极大值，也是最大值()221e e g =. 又()ln 3133g -=，()()ln 912ln 31ln 3193993g g ---==<=， 所以，要使函数()f x 在[]3,9上有两个零点，则()1g x m =在[]3,9上有两个不相等的根，则应有22ln 31119em -≤<， 所以，29e 2ln 31m <≤-. 【小问2详解】由已知可得，()()ln 12ln 12f x m x x m x x mx x +⋅'=--=-. 设()()()21h x f x m f x '=+--22ln 21ln mx x x mx x m m x =--++--，1x ≥，则()ln 22m h x m x x x'=-+-.令()ln 22m k x m x x x =-+-，则()221122m m k x m x x x x ⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭. 由已知()2211210h m m m m =--++-=-≤，所以01m ≤≤.因为1x ≥，所以101x<≤，2101x <≤，所以21102x x <+≤. 又01m ≤≤，所以2112m x x ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，所以21120m x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭， 所以()0k x '≤，所以，()k x ，即()h x '在[)1,+∞上单调递减.又()1220h m m '=-+-=-≤，所以，()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以，()()10h x h ≤≤，所以，实数m 的取值范围为[]0,1.【点睛】思路点睛：移项构造函数，通过求解函数的导函数（或二次求导），得出函数的单调性.进而结合已知，得出函数的最值，即可得出恒成立.。
2022年华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷(理科)(3月份)+答案解析(附后)
2022年华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷（理科）（3月份）1.如图所示，在复平面内，复数z对应的点为P，则( )A.B.C.D.2.设集合，，若，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.3.函数在单调递增( )A. B. C. D.4.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若，，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，，，则D. 若，，，，则5.已知平面向量满足：，，若，则( )A. B. 4 C. D. 86.如图所示，圆锥SO的轴截面SMN是等边三角形，点A是线段SN上靠近S的三等分点，点B在底面圆上，且，则直线SM，AB夹角的余弦值为( )A.B.C.D.7.“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与一个正五边形组成，其中，则往五角星内投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为( )A. B. C. D.8.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年公元1584年，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是( )A. 插入的第8个数为B. 插入的第5个数是插入的第1个数的倍C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，双曲线C的一条渐近线与圆A：交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.10.已知函数，现有如下说法：①直线为函数图像的一条对称轴；②函数在上单调递增；③，则上述说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.已知函数，若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.13.若实数x，y满足，则的最大值为______.14.的展开式中项的系数为______.15.抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线C：的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，且，则______.16.已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则______.17.2021年11月7日，在《英雄联盟》S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查，所得数据统计如表所示：热爱电子竞技对电子竞技无感男性20050女性100判断是否有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列以及数学期望附：，其中18.如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．求证：；若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．19.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，求证：是等腰直角三角形；已知点P在的内部，且，，求20.已知椭圆的离心率为，且过点求椭圆C的标准方程；过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，且，若轴，求证：存在实数t，使得直线MG过y轴上的定点．21.完成下列问题：已知函数，，求函数的最小值；若关于x的方程有两个实数根，求实数m的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为其中为参数，，直线l的参数方程为为参数，为锐角；以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；记直线l与x，y轴的焦点分别为M，N，点P在曲线C上，直线AP的倾斜角为，若，求的值．23.已知函数的最小值为求不等式的解集；若正数m，n，p满足，判断是否存在m，，使得，若存在，请给出一组m，n的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由图可得，，则故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，若，，则实数m的取值范围为故选：可求出集合A，然后由并集的运算列出不等式即可．本题考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．3.【答案】D【解析】解：，根据图像可知其单调递增区间为、，单调递减区间为故选：根据抛物线图像特点可解决此题．本题考查函数的单调性，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，若，，，，且，则，所以选项A错误；对于B，若，，，，则或，选项B错误；对于C，若，，，，则由面面垂直的性质知，又，所以，选项C正确；对于D，若，，，则，又，所以，选项D错误．故选：根据空间中线面位置关系的判定定理、性质定理等对选项中的命题进行分析判断，即可得出结果．本题考查了线面、面面平行与垂直的判断及性质，也考查了空间想象能力、推理论证能力以及逻辑推理核心素养，是中档题．5.【答案】C【解析】解：，，不妨设，，，，，解得且，故，故选：由题意不妨设，，，从而求得．本题考查了平面向量的坐标运算，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：如图所示，以O为坐标原点，OB，ON，OS所在直线分别为x、y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，故，故直线SM，AB之间夹角的余弦值，故选：建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式，求得答案．本题考查线线角，考查学生的运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：连接CD、CF，取BC的中点N，连接MN，如下图所示：由题意可知，是顶角为的等腰三角形，即，，为BC的中点，则，且，依题意，，故，即，即，因为，则，，易知，，则，设的面积为x，则和的面积均为，的面积为x，则往五角星内投郑一点，该点落在阴影区域内的概率，故选：连接CD、CF，取BC的中点N，连接MN，分析可得，设的面积为x，则和的面积均为的面积为x，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．本题考查了几何概型，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：依题意，，，故，故，故A正确；因为，故B正确；因为包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，故公比，所以，要证，即证，即证，即证，即证，而，故C正确；而，要证，即证，即证，即证，即证，即证，而，故，D错误．故选：根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出及，判断出A，B选项，利用等比数列求和公式得到，通过放缩法比较M与3的大小关系，同理判断出M与4的大小关系，即可判断N与7的大小．本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于难题．9.【答案】C【解析】解：设渐近线为，若渐近线与圆A：相交，设，，联立，得，所以，所以，，所以，，，又因为，所以，所以，所以，所以，则，所以，则，所以，化简得，所以，所以，所以，所以舍或又双曲线的离心率，所以，故选：设渐近线为，，，联立，得，结合韦达定理可得，，再计算，得，化简即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：依题意，故①正确；由，故为函数的一个周期；当时，，故，在上单调递减，即在上单调递减，由对称性知，函数在上单调递增；故②正确；结合②中单调性以及函数的奇偶性可知，函数的最大值为，故③错误．故选：根据可判断①；判断出函数的周期，结合正余弦函数的单调性可判断的单调性，判断②，结合的单调性，计算函数的最大值，可判断③；由此可得答案．本题考查函数的对称性，以及单调性，属中档题．11.【答案】C【解析】解：因为、，有，即，即与同号，所以在R上单调递增，即在上单调递增，则，故；因为在处的切线方程为，即，又，所以与没有公共点，若函数仅有一个零点，所以函数与图象仅有一个交点，则与有且仅有1个公共点，且为，所以在处的切线的斜率k大于等于1，而，得，即，解得，综上，m的取值范围为故选：根据增函数的定义可知函数在上单调递增，利用分段函数的单调性求出m的取值范围；根据函数零点个数与函数图象交点个数之间的关系，利用导数的几何意义和数形结合的数学思想即可求得结果．本题考查了分段函数的性质，函数的零点问题，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：依题意，，解得，由是正三角形可知：其外接圆半径为，设点S到平面ABC的距离为h，故，解得或，则或舍去，故，则，而，故为等腰直角三角形，，故为等腰直角三角形，，则，又，故平面SCM，取CB中点F，连接NF交CM于点O，则，则平面SCM，故平面SCM，则，要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中位置，当A，P，共线且时，的最小值即为的长，由为等腰直角三角形，故，，，即，，可得，，故选：根据外接球表面积求得外接球半径，进而求得三棱锥的高，并推出侧面为等腰直角三角形，作辅助线，将转化为一条线段，从而确定最小时的线段的位置，再结合三角函数值，解直角三角形，求得答案．本题主要考查立体几何中的最值与范围问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．13.【答案】6【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：目标函数可化为，平移目标函数知，当目标函数过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，所以z的最大值为故答案为：画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，计算目标函数的最大值即可．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．14.【答案】【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为，故答案为：求出展开式的通项公式，令x的指数为，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：根据题意，延长BF，与抛物线C交于点，又由AF和BF与与x轴所成锐角均为，则直线的倾斜角为，且，又由，则，抛物线的焦点为，设直线的方程为，则有，联立变形可得，则有，，则，故，解可得，故答案为：根据题意，延长BF，与抛物线C交于点，由抛物线的对称性可得，进而可得，联立直线与抛物线的方程，求出的值，可得关于p的方程，解可得答案本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线的方程，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：由，得，即，当时，，可知当时，，，两式相减整理，得，所以是以1为首项，0为公差的等差数列，所以，所以，所以，等价于，当n是正奇数时，，因为，所以，当n是正偶数时，，因为，所以，综上所述，的取值范围为，则整数的值为故答案为：先由得到，利用与的关系证明是等差数列，进而求出、，再利用裂项抵消法求出，再分n为奇数、偶数利用放缩法进行求解．本题考查了裂项相消求和与不等式恒成立问题，属于难题．17.【答案】解：完善表格如下所示：热爱电子竞技对电子竞技无感总计男性20050250女性100150250总计300200500则的观测值，所以有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关．依题意，这15人中男生有10人，女生有5人，则X的可能取值为0，1，2，3，故，，，，故X的分布列为：X0123P则【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．依题意，这15人中男生有10人，女生有5人，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算，属于中档题．18.【答案】证明：因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故因为四边形ABCD为矩形，故，则解：四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面平面SAD，同理又，平面ABCD，平面ABCD，平面设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设为平面ABE的法向量，，，令，则平面ABE的一个法向量设为平面CBE的法向量，，，令，则平面CBE的一个法向量，解得，即【解析】证明推出，即可证明以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，平面CBE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值，即可推出结果．本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养，是中档题．19.【答案】解：证明：依题意，，即，而，故，故，即，化简可得，因为，故而，故是等腰直角三角形，得证．由可知，，设，其中，而，则，取BC的中点D，则，故又，在中，由正弦定理，化简可得，因为，即，故【解析】由已知利用二倍角公式，余弦定理，正弦定理可求，又，即可证明是等腰直角三角形．由可知，设，其中，取BC的中点D，则，可得，中，由正弦定理可得，进而可求，利用两角差的余弦公式即可求解．本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养，属于中档题．20.【答案】解：依题意，，解得，，故椭圆C的方程为证明：当，，时，直线MG的方程为，交y轴于点；当，，时，直线MG的方程为，交y轴于点若直线MG经过y轴上定点，则，即，直线MG交y轴于点下面证明存在实数，使得直线MG经过y轴上定点联立，消y整理，得，设，，则，设点，所以直线MG的方程：令，得因为，所以所以直线MG过定点综上所述，存在实数，使得直线MG经过y轴上定点【解析】利用离心率，结合点在曲线上，解得，，可得椭圆C的方程．求出直线MG的方程为，交y轴于点；直线MG的方程为，交y轴于点直线MG经过y轴上定点，求解t，然后证明直线MG经过y轴上定点联立直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理，转化求解直线MG的方程，利用直线系，求解即可．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆综合性问题，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养，是中档题．21.【答案】解：依题意，因为，所以，，因此，所以在上单调递增，于是，故函数的最小值为令，，当时，，由可知，当时，，当时，而，当时，仅有1个零点，舍去．当时，，当时，，所以单调递增．当时，因为，，所以，所以单调递增．又，，因此在上存在唯一的零点，且当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．又，，，因此在上存在唯一的零点，且当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．又，，，所以在上存在唯一零点，因此在上有两个零点．综上所述，实数m的取值范围是【解析】求导数，可得导函数在恒大于等于0，可得函数的最小值；令，，分或时，两种情况讨论，结合，与对导函数分析，求二阶导数判断，可求得实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，属难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为其中为参数，，转换为直角坐标方程为；根据，转换为极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，为锐角；转换为直角坐标方程为，整理得由题意得：，，，；点到直线MN的距离；由于，故；整理得；由于，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式及三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，或或，解得或或，故不等式的解集是或；由可知，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，故，则，故，而，故，当且仅当时“=”成立，故不存在m，，使得【解析】利用零点分类讨论思想法可求不等式的解集；利用基本不等式可得不存在m，，使得成立．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质的应用，考查转化思想，是中档题．。
2024届华大新高考联盟高三上学期11月教学质量测评数学试题及答案
机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学本试题卷共4页，共22题.满分150，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2i212i -+=+（ ）2.计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数()*n n ∈N可以表示成二进制数()0122,k a a a a k ∈N ，即1001222k k k n a a a -=⋅+⋅++⋅ ，其中01a =，当1k …时，{}0,1k a ∈.若记012,,,,k a a a a 中1的个数为()f n ，则满足8k =且()4f n =的n 的个数为（ ）A.35B.28C.70D.563.已知双曲线22:14x y C m-=的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A.2D.4.已知向量()(),2,3,1a b λ== ，若a 与b λ的值为（ ）A.83 B.43C.35.若函数()2e 4e 5xx f x =-+在(),m ∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A.()ln2,∞+B.[)ln2,∞+C.()2e ,∞+D.)2e ,∞⎡+⎣6.已知曲线32:3C y x x =-的图象是中心对称图形，其在点A 处的切线l 与直线90x y +=相互垂直，则点A 到曲线C 的对称中心的距离为（ ）A.B.C.D.7.已知()1tan 1tan tan 6,sin cos 3cos sin 22tan 2αβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-==⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭，则sin cos αβ=（ ）A.12 B.16 C.13- D.238.已知函数()22,4,1632113,4,xx f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-+>⎩…则对于任意正数λ，下列说法一定正确的是（ ）A.()()ln 1f f λλ-…B.()()ln 1f fλλ-…C.()()22f f λλ…D.()()22f f λλ…二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合20,{15}3x M xN x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣，则下列说法正确的是（ ）A.{12}M N xx ⋂=-<<∣B.{3R M x x =<-∣ð或2}x >C.{35}M N xx ⋃=-<<∣D.(){}31R M N xx ⋂=-<<-∣ð10.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1A D 的中点，则下列说法错误的是（ ）A.直线EB 与直线1B C 所成的角为60B.直线EB 与直线11C D 异面C.点E ∉平面1ABCD.直线EB ∥平面11B D C11.已知圆C 过点()()()4,2,2,0,6,0，点M 在线段()04y x x =……上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ）A.圆C 的方程为22(4)2x y -+=，B.四边形ACBM 面积的最小值为4C.圆C '的面积的最小值为πD.圆C '的面积的最大值为3π12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()()1111,,,,F M x y N x y --在椭圆C 上但不在坐标轴上，若2,2FM FA FN FB ==，且OA OB ⊥，则椭圆C 的离心率的值可以是（ ）A.12D.910三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用，已知某批产品的质量指标X 服从正态分布()15,9N ，其中[]6,18X ∈的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若()2,X Nμσ~，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈……………….14.已知某圆台的上､下底面积分别为4,36ππ，母线长为5，则该圆台的体积为__________.15.已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3条对称轴，则实数ω的取值范围为__________.16.已知数列{}n a 满足：当n 为奇数时，n a =，其中()()57350λλ--<，且21243n i i i n n a ==+∑，则当n a 取得最小值时，n =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,22cos 1cC a B π==+.（1）求B 的值；（2）已知点M 在线段AB 上，且3ABAM=，求cos2BCM ∠的值.18.（12分）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间，某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间[40,90]内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示.（1）求a （2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在[70,80)和[80,90]的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过80min 的概率；（3）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在[60,80]的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，90,ADC BCD SA SD SB ∠∠==== ，点E 为线段AD 的中点，且22AD SE BC CD ===.（1）求证：SE AC ⊥；（2）已知点F 为线段SE 的中点，点G 在线段BC 上（不含端点位置），若直线FG 与平面SAB 所成的角求BG BC 的值.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中32,14n n S a S λ=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()310n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T .21.（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1l 过点F 且与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 过点F 且与抛物线C 交于,P Q 两点.（1）若点()3,0A ，且AMN的面积为1l 的斜率；（2）若点,M Q 在第一象限，直线MP 过点(),0λ，比较14MPF NQF S S + 与λ的大小关系.并说明理由.22.（12分）已知函数()ln m f x x mx x=++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知*k ∈N ，若(),0,a b ∞∀∈+，当a b >()()m mma f b f a mb a b+++<++恒成立，求k 的最大值.华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准一､选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算､复数的概念，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，()()()()2i 12i 2i 222i 12i 12i 12i ---+=+=-++-，故2i212i -+=+，故选B.2.【答案】D【命题意图】本题考查排列组合､数学情境问题，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】因为01a =，故在128,,,a a a 中只需有3个1即可，故所求个数为38C 56=，故选D.3.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算､直观想象的核心素养.【解析】依题意，49m +=，则5m =，故C20y ±=，故所求距离为d ，故选B.4.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算､平面向量的数量积，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，cos ,||||a b a b a b ⋅===，解得83λ=，故选A.5.【答案】B【命题意图】本题考查复合函数､函数的单调性，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】令e 0x t =>，则原函数化为245y t t =-+，其在()2,∞+上单调递增，故()f x 在()ln2,∞+上单调递增，则ln2m …，故选B.6.【答案】D【命题意图】本题考查导数的几何意义､两直线的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】易知直线l 的斜率为9，设切点()00,x y ，而236y x x =-'，故200369x x -=，解得01x =-或03x =，故切点A 坐标为()1,4--或()3,0，故点A 到曲线C的对称中心的距离为=，故选D.7.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】依题意，()()()cos sin2cos 122tan,1tan tan 2sin 2tansin cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ------=-=+-----()()()()cos cossin sin122cos cos cos2αβαβαβαβαβαβαβ---+-==---，故()()()2cos 16sin cos αβαβαβ-⋅=--，则()sin αβ-=1sin cos cos sin 3αβαβ-=①，而sin cos 3cos sin αβαβ=②，联立①②，解得1sin cos 2αβ=，故选A .8.【答案】C【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象､数据分析的核心素养.【解析】依题意，()f x 在(],4∞-上单调递增，在()4,16上单调递减，在[)16,∞+上单调递增；易知ln 1λλ-…，取1λ=，可知()()ln 1f f λλ=-，取e λ=，可知()()ln 1f f λλ<-，取2e λ=，可知()()ln 1f f λλ>-，故A ､B 错误；当02λ<…时，242λλ……，故()()22f f λλ…，当24λ<<时，24216λλ<<<，故()()22f f λλ>，当4λ…时，2216λλ>…，故()()22f f λλ…；综上，()()22f f λλ…恒成立，故C 正确，D 错误，故选C.二､多选题9.【答案】AC【命题意图】本题考查不等式的解法､集合的表示､集合的运算，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，()(){230}{32}M x x x xx =-+<=-<<∣∣，故{12},{3R M N x x M x x ⋂=-<<=-∣∣…ð或()2},{35},{31}R x M N x x M N x x ⋃=-<<⋂=-<-∣∣……ð，故选AC.10.【答案】ABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】因为11,BA BD A E ED ==，故1EB A D ⊥，而1B C ∥1A D ，故1EB B C ⊥，故A 错误；直线EB 与直线11C D 均在平面11ABC D 上，故B 错误；平面1ABC 就是平面11ABC D ，故点E ∈平面1ABC ，故C 错误；因为平面11B D C ∥平面1A BD ，且直线EB ⊂平面1A BD ，故直线EB ∥平面11B D C ，故D 正确；故选ABC .11.【答案】BD【命题意图】本题考查圆的方程､直线与圆的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，圆C 圆心在直线4x =上，设()4,C c ，则2222(42)(44)(2)c c -+=-+-，解得0c =，圆22:(4)4C x y -+=，故A 错误；四边形ACBM面积S MA AC =⋅=，而min ||MC =min 4S =，故B 正确；结合图象的对称性可知，当M 在线段()04y x x =……的中点时，圆C '的面积最小，为2π，故C 错误；当M 在线段()04y x x =……的两个端点时，圆C '的面积最大，为3π，故D 正确；故选BD.12.【答案】CD【命题意图】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析1】设直线:MN y kx =，其中0k ≠，联立2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得x =,M N ⎛⎝，则2c A ⎛+ ⎝，2c B ⎛- ⎝，而OA OB ⊥ ，故222222222222110444c a b k a b b a k b a k -⋅-⋅=++，整理得()22221021e k e -=>-1e <<，观察可知，故选CD.【解析2】依题意，可得11,,22c x y A B -⎛⎫- ⎪⎝⎭，又有OA OB ⊥ ，故0OA OB ⋅= ，即22211044c x y --=，22211x y c +=；又有2211221x y a b +=，即圆222x y c +=与椭圆C 有公共点且公共点不在坐标轴上，故a c b >>，即222c a c >-，故21,2e e ⎫>∈⎪⎪⎭，故选CD.【解析3】依题意，2,2FM FA FN FB ==，故,A B 分别是线段,FM FN 的中点，故OA ∥,FN OB ∥FM ；又有OA OB ⊥，故,0FN FM OM ON ⊥+= ，则OM ON OF c ===；因为(),OM b a ∈，故b c <，即222a c c -<，得21,2e e ⎫>∈⎪⎪⎭，故选CD.三､填空题13.【答案】0.84【命题意图】本题考查正态分布及其应用，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】依题意，()215,3X N ~，故()()0.68270.997361830.842P X P X μσμσ+=-+==………….14.【答案】52π【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】易知该圆台的上､下底面的半径分别为2，6，故圆台的高为3，则圆台的体积()1436123523V ππππ=⨯++⨯=.15.【答案】2739,44⎛⎫⎪⎝⎭【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()42x k k ππωπ+=+∈Z ，解得()4k x k ππωω=+∈Z ，则23434πππππωωωω+<+…，解得273944ω<…，故实数ω的取值范围为2739,44⎛⎤⎥⎝⎦.16.【答案】5【命题意图】本题考查数列的性质，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】因为21243ni ii n n a ==+∑，故当1n =时，244a =，故21a =，当2n …时，121243(1)(1)n i i i n n a -==-+-∑，则11122244462nn i i i in i i n n a a a -==-==-∑∑，故222313n n a n =>-；而当n 为奇数时，n a =12121n n a n λ--=-，而()()57350λλ--<，故7553λ<<，则()()()()112121212121212121n n nn n n n n a a n n n n λλλλ--+---+-=-=+-+-.令()()()()()1121212210n n n f n n n n λλλλλ--⎡⎤=--+=--+>⎣⎦，得122n λλ+>-；而()752231511211,1,,2,3,5353212222221λλλλλλλλ+-+<<∴<-<∴<<∴==+∈∴----当2n …时，2121n n a a +-<，当3n …时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小；而25252593n a a λ=<<<，所以数列{}n a 的最小项为255a λ=，故当n a 取得最小值时，5n =.四､解答题17.【命题意图】本题考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，222b c a =-，而2cos a B a c +=，由余弦定理，即2222,2a c b a a c ac+-⋅+=故()()20a c a c -+=，故2a c =，代入2cos 1c a B =+中，得1cos 2B =，而0B π<<，故3B π=；（2）不妨设3AB c ==，则31,2,cos 2AM BM BC AB B ====，在BCM 中，由余弦定理得，222132cos 4CM BC BM BC BM B =+-⋅⋅=，由正弦定理得，sin sin CM BM B BCM ∠=，故sin sin BM B BCM CM ∠⋅==，21211cos212sin 121313BCM BCM ∠∠=-=-⨯=-.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图､样本的数字特征､离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】（1）依题意，100.350.30.10.051a ++++=，解得0.02a =；所求平均数为450.2550.35650.3750.1850.0559.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）从日均体育活动时间在[)70,80中抽取8人，日均体育活动时间在[]80,90中抽取4人，故所求概率321884312C C C 42C 55P +==；（3）依题意，24,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()()4314381232160,1C 562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22323442321623962C ,3C 5562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；X01234P 816252166252166259662516625故()28455E X =⨯=.19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系､向量法求空间角，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）连接BE ，如图所示.因为90ADC BCD ∠∠== ，故BC ∥AD ，因为12BC AD DE==，故四边形BCDE 为矩形，不妨设2BE CD ==；SA SD =且点E 为线段AD 的中点，SE AD ∴⊥，所以SD ==，故SB SD ==；故222SE BE SB +=，即SE BE ⊥；又AD BE E ⋂=，故SE ⊥平面ABCD ；而AC ⊂平面ABCD ，故SE AC ⊥；（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，ES 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则不妨设4AD =，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,4A B C S -，所以()()2,2,0,0,2,4AB SB =-=- ，设平面SAB 的法向量为()111,,n x y z =，则0,0,n AB n SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,240,x y y z -+=⎧⎨-=⎩取()2,2,1;n = 设()0,2BG t =∈，则(),2,0G t -，而()0,0,2F ，所以(),2,2GF t =- ，设直线FG 与平面SAB所成的角为,tan θθ=，则sin cos ,GF θ= 化简得2112440t t -+=，解得(2211t t ==舍去）；故111BG BC =.20.【命题意图】本题考查数列的基本运算､错位相减法，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）当2n …时，112,2n n n n S a S a λλ--=+=+，两式相减可得12n n a a -=；而当1n =时，112S a λ=+，得1a λ=-；3247S λλλλ=---=-，故714λ-=，解得2λ=-，则12a =，故2nn a =；（2）依题意，()3102n n b n =-⋅，故()1237242123102nn T n =-⋅-⋅-⋅++-⋅ ，()()2341272421231323102n n n T n n +=-⋅-⋅-⋅++-⋅+-⋅ ，两式相减可得()12313232232310220n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅- ，即()()1212331022012n n n T n +--=⋅--⋅--，故()1313226n n T n +=-⋅+.21.【命题意图】本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ；（1）设直线1:1l x ny =+，联立21,4,x ny y x =+⎧⎨=⎩得2440y ny --=，2Δ16160n =+>；则12124,4y y n y y +==-；故12122AMN S y y =⋅⋅-== ，解得2n =±，故直线1l 的斜率为12±；（2）设直线MP 的方程为x my λ=+，联立直线MP 与抛物线的方程，2,4,x my y x λ=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y my λ--=，故134y y λ=-；由（1）可知，214y y =-，同理可得434y y =-，故2213213241sin 2116sin 2MPF NQF MF PF MFP MF PF y y y y S S NF QFy y NF QF NFQ ∠λ∠===== ，显然1λ≠，故21144MPF NQF S S λλ+=+ …，当且仅当12λ=时等号成立.22.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）依题意，()()22210,,m mx x m x f x m x x x∞'+-∈+=+-=，若0m =，则()()10,f x f x x=>'在()0,∞+上单调递增；若0m ≠，则2Δ140m =+>，令()0f x '=，解得12x x ==，其中12121,1x x x x m +=-=-若0m >，则120x x <<，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0f x '>，故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；若0m <，则210x x <<，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0f x '<，故()f x在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减；综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；当0m<时，()f x在⎛⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减；（2ln lnm m m mma b mb a ma mbb b a a++-+<+-++，lnab<1lnakabb⎛⎫-<，即1112lnaabka bb-⎛⎫⋅<+⎪⎝⎭恒成立，令1)t t=>，有()221112ln2tk t tt-⋅<++恒成立，得()1112ln2tk tt-⋅<+恒成立，所以1ln01tk tt-⋅-<+恒成立令()1ln1tg t k tt-=⋅-+，有()()22222211212(1)(1)(1)(1)t k tkt tg t kt t t t t t'-+---+=⋅-==++⋅+⋅，（注：()10g=）（i）当()10g'>时，即2k>时，易知方程()22110t k t-+--=有一根1t大于1，一根2t小于1，所以()g t在[)11,t上单调递增，故有()()110g t g>=，不符；（ii）当02k<…时，有2222(1)4(1)(1)0kt t t t t-+-+=--……，所以()0g t'…，当且仅当1t=时等号成立，从而()g t在()1,∞+上单调递减，故当1t>时，恒有()()10g t g<=，符合.由i ii､可知，正实数k的取值范围为02k<…，因此，k的最大值为2.。
湖北省华大新高考联盟2022届高三下学期开学收心考试数学试题 PDF版含解析
数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}24x A x *=∈<N ，{}12B x x =∈-<<N ，则A B ⋃= A. {}12x x -<<B. {}2x x <C.{}0,1D.{}12.若21i 22z ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 的虚部为A.12-B.12C.2D.2-3.命题P ：若αsin 10αα-+<；命题Q ：x ∃∈R ，210mx mx -+≤是假命题，则实数m 的取值范围是04m <<.下列命题为真命题的是A.()P Q ∧⌝B. P Q ∧C.()P Q ⌝∧D.()()P Q ⌝∧⌝4.已知O 是ABC △内一点，满足2132AO AB BC ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-，则:O ABC BC S S =△△ A.3：1B.1：3C.2：1D.1：25.已知()lg f x x =，则曲线()y f x =与sin y x π=交点个数为A.6B.7C.8D.96.已知()()52,3,log 1,3,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则()()126f f 等于A.5log 2B.1eC. eD.17.已知sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A.9B. 9-C.79D.79-8.为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011—2020年）》（以下简称（《纲要》）.《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人.第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：下列结论错误的是A.第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点B.第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上C.从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%D.第十三届全国人大代表的人数不高于3000人二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分。
华大新高考联盟高三理科数学试卷(含答案)
机密＊启用前华大新高考联盟2020届高三1月教学质址测评理科数学命题：华中师范大学考试研究院本试题卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
＊祝考试顺利＊注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均尤效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均尤效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、印稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交。
－选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
L 已知集合M —{yl —l<y<3},N —{x I x(Zx —7)冬O},则M UN —A. [ 0 , 3)B. (0 ,t ] C. (—1,f]z.设复数z满足巨—31=Z,z在复平面内对应的点为M (a ,b ),则M不可能为A.Cz , 点）B. (3 , 2)C. C 5 , o )3. 已知a =沉，b =l o g十五,c =(3)'则D.0D .(4,1) A. a >b>c B. a >c>bC. b >c>aD. c >a>b4.2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为＂鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：＂鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：＂兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则＂鸿福齐天”的制作者是A. 小明sin x x 2c o s x 5. 函数f(x )=+ X 20 B. 小红 C. 小金在[2穴，0)LJ (0,2式上的图像大致为理科数学试题第1页（共4页）D. 小金或小明版权声明：本试题卷为华中师范大学出版社正式出版物，版权所有，盗版必究。
2024届华大新高考联盟4月联考数学答案
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2020年湖南省华大新高考联盟1月联考 理科数学试题和答案
A.小明
B.小红
C.小金
5.函数f(x)
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� sinx,+ X
x
2
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0)
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(0,2式上的图像大致为
D．小金或小明
理科数学试题 第1页（共4页）
y x
y
X
A
X
B
y
x
c
D
6．为了加强“精准扶贫＂，实现伟大复兴的”中国梦＂，某大学派遣甲至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有
A. 24
B. 36
C.48
7．巳知向量a— Cm,1),b—(-1,2)，若(a-2b)_lb，则 a 与b夹角的余弦值为
A.
—
2旱 13
✓ B. 2
百 13
c.
— 6✓百
65
D.64
6`D. 65
8．框图与程序是解决 数学问题的重要手段． 实际生活中的一些问题在抽象为数
面SAD_l 平面ABCD，则d的最大值为
A.旱＋1
B. ✓百+2
C.霪＋1
D.霪＋2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分， 共20分。
13.已知函数 f(x) =m (2x+1) 3—2ex，若曲线y= f(x)在(O,f(O)）处的切线与直线4x+y—2 =0 平行，
则m —
.
14．设Sn为数列{an }的前n项和，若2Sn= San—7，则an= _.
F2M_l几垂足为 M，若M在双曲线C 上，则 双曲线C的离心率为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1 7~21题为必考题，每个试题考生都
华大高考理科数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9/16C. √3D. √-12. 函数f(x) = 2x - 3在定义域内的值域为（）A. (-∞, -3]B. [-3, +∞)C. (-∞, +∞)D. [3, +∞)3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 35，S10 = 85，则数列的公差d 为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a² > b²B. 若a² > b²，则a > bC. 若a² = b²，则a = bD. 若a² = b²，则a = b或a = -b5. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，AB = AC = 2，则BC的长为（）A. √3B. 2√3C. 3D. 46. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x²B. y = -x²C. y = 2xD. y = -2x7. 已知复数z = 3 + 4i，则|z| =（）A. 5B. 7C. 9D. 128. 在平面直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点的对称点为（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)9. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x + 1 > 2B. x²+ 1 > 2xC. x² - 1 > 2xD. x² + 1 < 2x10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 6，S6 = 48，则数列的首项a1为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则f(2) = ________。