推荐初中数学提技能·题组训练21-2-1-2
中考数学 课外提升作业 中档题突破 专项训练二 实际应用与方案设计
解：(1)设 A 商品的进货单价为 x 元，B 商品的进货单价为 y 元， 3x＋2y＝1 100， x＝200，
根据题意，得5x＋3y＝1 750，解得y＝250， 答：A 商品的进货单价为 200 元，B 商品的进货单价为 250 元．
(2)①设运往甲地的 A 商品为 x 件，则设运往乙地的 A 商品为(200－x)件， 运往甲地的 B 商品为(240－x)件，运往乙地的 B 商品为(60＋x)件， 则 y＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24(60＋x)＝4x＋10 040， ∴y 与 x 的函数解析式为 y＝4x＋10 040. ②投资总费用 w＝200×200＋300×250＋y＝4x＋125 040. 自变量的取值范围是 0≤x≤200， ∵k＝4＞0， ∴w 随 x 增大而增大． 当 x＝0 时，w 取得最小值，w 最小＝125 040 元， ∴最佳调运方案为：调运 240 件 B 商品到甲地，调运 200 件 A 商品、60 件 B 商品到乙地，最小费用为 125 040 元．
解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b(k≠0)，
840＝160k＋b， 依题意得960＝190k＋b，
k＝4， 解得b＝200， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝4x＋200.
(2)设老张明年种植该作物的总利润为 W 元， 依题意得：W＝[2 160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2 080x ＝－4(x－260)2＋270 400， ∵－4＜0， ∴当 x＜260 时，W 随 x 的增大而增大， 由题意知：x≤240， ∴当 x＝240 时，W 最大，最大值为 －4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为 240 亩时总利润最大，最大利润 268 800 元．
10.5用二元一次方程组解决问题-2020-2021学年苏科版七年级数学下册专题复习提升训练
专题复习提升训练卷10.5用二元一次方程组解决问题-20-21苏科版七年级数学下册一、选择题1、10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（）A．106(10)102(10)y xy x+=+⎧⎨-=-⎩B．106(10)102(10)y xy x-=-⎧⎨+=+⎩C．106(10)102(10)y xy x-=+⎧⎨+=-⎩D．102(10)106(10)y xy x-=-⎧⎨+=+⎩2、在抗击“新冠肺炎”的战役中，某品牌消毒液生产厂家计划向部分学校共捐赠13吨消毒液．如果这13吨消毒液的大瓶装（500克）与小瓶装（250克）两种产品分装的数量（按瓶计算）比为3:7．那么这两种产品应该各分装多少瓶？若设生产的消毒液应需分装x大瓶、y小瓶，则以下所列方程组正确的是（）A．7350025013000000x yx y=⎧⎨+=⎩B．7350025013000000y xx y=⎧⎨+=⎩C．7350025013000000x yy x=⎧⎨+=⎩D．7350025013000000y xy x=⎧⎨+=⎩3、《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人？该物品价值多少元？若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程为（）A．8374x yy x-=⎧⎨-=⎩B．8374y xy x-=⎧⎨-=⎩C．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩D．8374y xx y+=⎧⎨-=⎩4、小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了minx，下坡用了miny，根据题意可列方程组（）A．35120016x yx y+=⎧⎨+=⎩B．351.2606016x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C．35 1.216x yx y+=⎧⎨+=⎩D．351200606016x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩5、甲、乙两种商品，若购买甲1件、乙2件共需130元，购甲2件、乙1件共需200元，则购甲、乙两种商品各一件共需（）A．130元B．100元C．120元D．110元6、小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（）A ．120mm 2B ．135mm 2C ．108mm 2D ．96mm 27、某口罩厂要在规定时间内完成口罩生产任务，需要对现有的10台设备进行升级，若升级其中3台，则离生产任务还差8万个；若升级其中7台，则离生产任务还差2万个，如果升级所有设备，则该厂口罩生产任务的完成情况为（ ） A ．还差1万个 B ．恰好完成任务C ．超出1万个D ．超出2.5万个8、足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x 负的场数为y ，则可列方程组为（ ）A ．8312x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．8312x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．8312x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．8312x y x y -=⎧⎨+=⎩9、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利用商店经营？（ ） A ．甲单独 B ．乙单独 C ．甲、乙同时做 D ．以上都不对10、“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A 、B 两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A 型盒子？”则下列结论正确的个数是（ ）①甲同学：设A 型盒子个数为x 个，根据题意可得：4x +3•2120x-＝360 ②乙同学：设B 型盒中正方形纸板的个数为m 个，根据题意可得：3•2m+4（120﹣m ）＝360 ③A 型盒72个, ④B 型盒中正方形纸板48个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11、《孙子算经》有这样一道题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长尺．12、学生问老师：“您今年多大？”教师风趣地说：“我像你这么大时，你才5岁；你到我这么大时，我已经44岁了．”教师今年_____岁．13、我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，根据题意，列出的方程组是__________．14、某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．则甲的速度是m/s．15、九龙坡区某工程公司积极参与“精美城市，幸福九龙坡建设，该工程公司下属的甲工程队、乙工程队别承包了杨家坪地区的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%，乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工．两工程队各工作了天．16、某班学生中，男生人数比女生人数的45多1人，女生人数是男生人数的2倍少17人，则女生有______人，男生有________人．17、甲乙两人共有图书60本，若甲赠给乙12本书，两人的图书就一样多，如果甲乙两人原来分别有x本、y本，依题意可列二元一次方程组．18、利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是．三、解答题19、现由A、B两种货车运输救助物资，已知3辆A车和1辆B车每次可运救助物资15吨，4辆A车和3辆B车每次可运救助物资25吨．（1）1辆A车和1辆B车一次分别可运多少吨？（2）若用A，B两种货车一次运完35吨救助物资（货车均装满），该如何安排A、B两种货车的数量？请写出所有的安排方案．20、新冠疫情暴发，某社区需要消毒液3250瓶，医药公司接到通知后马上采购两种专用装箱，将消毒液包装后送往该社区．已知一个大包装箱价格为5元，可装消毒液10瓶；一个小包装箱价格为3元，可装消毒液5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需消毒液．求该医药公司采购的大小包装箱各是多少个？21、课间活动，小英和小丽在操场上画出A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同。
初中数学：二元一次方程组应用题专题训练附详解(精)
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
7．永辉超市计划购进甲、乙两种体育器材，若购进甲器材3件，乙器材6件，需要480元，购进甲器材2件，乙器材3件，需要280元，销售每件甲器材的利润率为37.5%，销售每件乙器材的利润率为30%．
3．（1）甲施工队工作一天饭店应付400元，乙施工队工作一天饭店应付250元．
（2）安排甲、乙两个装修施工队同时施工更有利于饭店
【分析】
（1）设甲施工队工作一天饭店应付x元，乙施工队工作一天饭店应付y元，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元．若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程施工队，解之即可得出结论；
品种
高档
中档
低档
价格/元
20
15
10
9．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元．如图是甲、乙两公司员工的一段对话．
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱1500元， 种防疫物资每箱1200元．若购买 种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)-用二次函数解决实际问题(原卷版)
用二次函数解决实际问题考点一用二次函数解决增长率问题考点二用二次函数解决销售问题考点三用二次函数解决拱桥问题考点四用二次函数解决喷水问题考点五用二次函数解决投球问题考点六用二次函数解决图形问题考点七用二次函数解决图形运动问题考点一用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________．2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？考点二用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？考点三用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？考点四 用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m ，水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+，其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离，y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点4m．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系DE ，竖直高度为EF的中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度3m长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5h = 0.5m EF =①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d 的取值范围；(2)若1m EF =．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h 的最小值．考点五 用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．【变式训练】 1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的坐标为16(0,)9，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O 处长抛篮球的路线示意图，球在点A 处离手，且1m OA =．第一次在点D 处落地，然后弹起在点E 处落地，篮球在距O 点6m 的点B 处正上方达到最高点，最高点C 距地面的高度4m BC =，点E 到篮球框正下方的距离2m EF =，篮球框的垂直高度为3m ．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的12，以小明站立处点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线ACD 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：36 2.45≈）考点六 用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD ，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC 长为x 米．(1)AB ＝ 米（用含x 的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD 面积为210平方米，求栅栏BC 的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？考点七 用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 已知点P 在直角边AB 上 以1cm/s的速度从点A 向点B 运动，点Q 在直角边BC 上，以2cm/s 的速度从点B 向点C 运动．若点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点C 处．图2是BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图像（点M 为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC 的长为（ ）A ．35cmB ．45cmC ．55cmD ．65cm【变式训练】 1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD 中，BC ＞CD ，BC 、CD 分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，连接BD ，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度沿BD 方向匀速运动到D 为止；点M 沿线段DA 以每秒1个单位的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)求线段CN 的长；(2)在整个运动过程中，当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值，最大值是多少？2．（2021·北京·九年级期中）如图，Rt ABCAC=8∠=︒6C∆中90BC=动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度t s．运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为()(1)①当运动停止时，t的值为．②设P，C之间的距离为y，则y与t满足（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” )．∆的面积为S，(2)设PCQ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）；②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？一、选择题1．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（）A 6mB ．26mC ．)64mD ．()264m 3．（2022·全国·九年级课时练习）从某幢建筑物2.25米高处的窗口A 用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，那么水流落点B 与墙的距离OB 是（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米4．（2022·河南·辉县市城北初级中学一模）如果△ABC 和△DEF 都是边长为2的等边三角形，他们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿着直线l 向右移动，直至点B 与点F 重合时停止移动，在此过程中，设点B 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图像大致为( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．（2022·上海宝山·九年级期末）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜x x ，那么y关于x的函数解析式为产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为(0)_________．6．（2021·广东揭阳·九年级期末）用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是___________（中间横框所占的面积忽略不计）7．（2022·湖北襄阳·一模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞出______s时，达到最大高度．8．（2022·山西·一模）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为__________W．三、解答题9．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形ABCD。
8.1二元一次方程组-2020-2021学年人教版七年级数学下册专题复习提升训练(机构)
专题复习提升训练卷8.1二元一次方程组-20-21人教版七年级数学下册一、选择题1、下列等式：①2x +y ＝4；②3xy ＝7；③x 2+2y ＝0；④-x12＝y ；⑤2x +y +z ＝1，二元一次方程的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、若⎩⎨⎧=-=m y x 2是方程nx +6y ＝4的一个解，则代数式3m ﹣n +1的值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．﹣13、已知方程3x +y ＝5，用含x 的代数式表示y （ ）A ．x ＝5﹣yB ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝5﹣3xD ．y ＝5+3x4、若（a ﹣1）x |a |﹣1+3y ＝1是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．2和﹣25、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．26235x y y z +=⎧⎨-=⎩B ．1221x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ C ．425x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．43x y xy +=⎧⎨=⎩6、下列各组数中①22x y =⎧⎨=⎩； ②21x y =⎧⎨=⎩；③22x y =⎧⎨=-⎩；④16x y ⎧⎨⎩==是方程410x y +=的解的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7、下列某个方程与x ﹣y ＝3组成方程组的解为⎩⎨⎧-==12y x ，则这个方程是（ ）A ．3x ﹣4y ＝10B ．3221=+y x C ．x +3y ＝2 D ．2（x ﹣y ）＝6y8、二元一次方程3x +2y ＝13正整数解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个9、若12x y =⎧⎨=-⎩，是关于x 和y 的二元一次方程3mx ny +=的解，则24m n -的值等于( )A ．3B ．6C ．1-D ．2-10、《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）二、填空题11、若关于x ，y 的方程（m ﹣1）x |m |﹣y ＝2是一个二元一次方程，则m 的值为 ．12、己知2x y a=-⎧⎨=⎩是方程235x y +=的一个解，则a 的值为_____． 13、已知二元一次方程2318x y +=的解为正整数，则满足条件的解共有______对．14、二元一次方程x+y ＝6的正整数解为_____．15、下列方程组中，解为12x y =⎧⎨=-⎩的是（ ） A ．12x y x y +=-⎧⎨-=⎩ B ．21y x x y =⎧⎨-=-⎩ C ．06x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．153x y =⎧⎨+=⎩16、在一本书上写着方程组⎩⎨⎧=--=+11y x my x 的解⎩⎨⎧==A y x 2，其中y 的值被污渍盖住了，请你写出m ＝ ． 17、由方程组2x m 1y 3m +=⎧⎨-=⎩，可得x 与y 的关系是_____________ 18、为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m 长的彩绳截成2m 或1m 的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有________种不同的截法19、若关于x 、y 的方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则mn 的值为_____．20、将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分8本，则差了7本．若设共有x 个同学，y 本笔记本，则可列方程为 ．三、解答题21、已知方程(b ＋2)x |a |－2＋(a －3)y |b |－1＝10是关于x ，y 的二元一次方程．(1)求出a ，b 的值，并写出这个二元一次方程；(2)分别求出方程的两个解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝？，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝？，y ＝－12中“？”所表示的数．22、已知方程312x y +=.(1)用含x 的代数式表示y ;(2)用含y 的代数式表示x ;(3)求当2x =时y 的值及当24y =时x 的值;(4)写出方程的两个解.23、设适当的未知数，列出二元一次方程组：（1）甲、乙两数的和为14，甲数的31比乙数的2倍少7，求这两个数； （2）摩托车的速度是货车速度的23倍，两车的速度之和是200千米/时，求摩托车和货车的速度； （3）某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价．24、“写规范字”是学校深化德育主题活动之一我校上月举办了“书法比赛”活动，为了表彰获奖者，主办单位的王老师负责购买奖品.他发现:若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则活动经费可购买60份奖品;若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则活动经费可购买40份奖品.设钢笔价格为x 元/支，笔记本价格为y 元/本.(1)请用x 的代数式表示y .(2)若用这钱全部购买笔记本，总共可以购买几本?(3)若王老师用这钱恰好买30份同样的奖品，他选择a 支钢笔和b 本笔记本作为一份奖品(两种奖品都要有)，请求出所有可能的,a b 值.25、已知二元一次方程ax +3y +b ＝0（a ，b 均为常数，且a ≠0）．（1）当a ＝2，b ＝﹣4时，用x 的代数式表示y ；（2）若⎪⎩⎪⎨⎧-=+=b b y b a x 2312是该二元一次方程的一个解， ①探索a 与b 关系，并说明理由；②若该方程有一个解与a 、b 的取值无关，请求出这个解．专题复习提升训练卷8.1二元一次方程组-20-21人教版七年级数学下册（解析）一、选择题1、下列等式：①2x +y ＝4；②3xy ＝7；③x 2+2y ＝0；④-x12＝y ；⑤2x +y +z ＝1，二元一次方程的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：①2x +y ＝4是二元一次方程；②3xy ＝7是二元二次方程；③x 2+2y ＝0是二元二次方程；④-x12＝y 是分式方程； ⑤2x +y +z ＝1是三元一次方程，故选：A ．2、若⎩⎨⎧=-=m y x 2是方程nx +6y ＝4的一个解，则代数式3m ﹣n +1的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．﹣1【分析】把⎩⎨⎧=-=m y x 2代入方程nx +6y ＝4得出﹣2n +6m ＝4，求出3m ﹣n ＝2，再代入求出即可． 【解析】∵⎩⎨⎧=-=m y x 2是方程nx +6y ＝4的一个解，∴代入得：﹣2n +6m ＝4， ∴3m ﹣n ＝2，∴3m ﹣n +1＝2+1＝3，故选：A ．3、已知方程3x +y ＝5，用含x 的代数式表示y （ ）A ．x ＝5﹣yB ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝5﹣3xD ．y ＝5+3x【分析】把含y 的项放到方程左边，移项即可．【解析】3x+y＝5，移项、得y＝5﹣3x．故选：C．4、若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（）A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2 【分析】利用二元一次方程定义可得答案．【解析】由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，解得：a＝±2，故选：D．5、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．26235x yy z+=⎧⎨-=⎩B．1221xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C．425x yx y+=⎧⎨-=⎩D．43x yxy+=⎧⎨=⎩【答案】C【分析】根据二元一次方程组的定义逐项分析即可．【详解】解：A.26235x yy z+=⎧⎨-=⎩含有3个未知数，故不是二元一次方程组；B.1221xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的分母含未知数，故不是二元一次方程组；C.425x yx y+=⎧⎨-=⎩是二元一次方程组；D.43x yxy+=⎧⎨=⎩含有2次项，故不是二元一次方程组；故选C．6、下列各组数中①22xy=⎧⎨=⎩；②21xy=⎧⎨=⎩；③22xy=⎧⎨=-⎩；④16xy⎧⎨⎩==是方程410x y+=的解的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【详解】解：把①22x y ==⎧⎨⎩代入得左边=10=右边；把②2{1x y ==代入得左边=9≠10； 把③2{2x y ==-代入得左边=6≠10；把④1{6x y ==代入得左边=10=右边； 所以方程4x +y =10的解有①④2个．故选B ．7、下列某个方程与x ﹣y ＝3组成方程组的解为⎩⎨⎧-==12y x ，则这个方程是（ ） A ．3x ﹣4y ＝10 B ．3221=+y x C ．x +3y ＝2 D ．2（x ﹣y ）＝6y【分析】直接把x ＝2，y ＝﹣1代入各方程进行检验即可．【解析】A 、当x ＝2，y ＝﹣1时，3x ﹣4y ＝6+4＝10，故本选项符合题意；B 、当x ＝2，y ＝﹣1时，21x +2y ＝1﹣2＝﹣1≠3，故本选项不符合题意； C 、当x ＝2，y ＝﹣1时，x +3y ＝2﹣3＝﹣1≠2，故本选项不符合题意；D 、当x ＝2，y ＝﹣1时，2（x ﹣y ）＝2×3＝6≠﹣6＝6y ，故本选项不符合题意．故选：A ．8、二元一次方程3x +2y ＝13正整数解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】B 【详解】解：由已知，得y ＝1332x -． 要使x ，y 都是正整数，必须满足13﹣3x 是2的倍数且13﹣3x 是正数．根据以上两个条件可知，合适的x 值只能是x ＝1，3，相应的y ＝5，2．所以有2组，分别为15x y =⎧⎨=⎩，32x y =⎧⎨=⎩． 故选：B ．9、若12x y =⎧⎨=-⎩，是关于x 和y 的二元一次方程3mx ny +=的解，则24m n -的值等于( ) A ．3B ．6C ．1-D ．2- 【答案】B【分析】把解代入方程，整体代入进行求解即可．【详解】解：将12x y =⎧⎨=-⎩代入方程3mx ny +=得：23m n -=， 242(2)236m n m n ∴-=-=⨯=．故选：B ．10、《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）【分析】设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”分别得出等量关系求出答案．【解析】设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，根据题意可列方程组为：⎩⎨⎧=+=+x y y x 2151063．故选：C ．二、填空题11、若关于x ，y 的方程（m ﹣1）x |m |﹣y ＝2是一个二元一次方程，则m 的值为 ．【分析】根据二元一次方程定义可得：|m |＝1，且m ﹣1≠0，再解即可．【解析】由题意得：|m |＝1，且m ﹣1≠0，解得：m ＝﹣1，故答案为：﹣1．12、己知2x y a =-⎧⎨=⎩是方程235x y +=的一个解，则a 的值为_____． 【答案】3【分析】把x 与y 代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：把2x y a=-⎧⎨=⎩代入方程2x+3y=5得：-4+3a=5， 解得：a=3，故答案为：3．13、已知二元一次方程2318x y +=的解为正整数，则满足条件的解共有______对．【答案】2【分析】将二元一次方程2x+3y=18变形，用含x 的式子表示出y ，从而根据解为正整数，可得答案．【详解】解：二元一次方程2x+3y=18可化为：y=1823x -=6-23x ， ∵二元一次方程2x+3y=18的解为正整数，且x 必为3的倍数，∴当x=3时，y=4；x=6时，y=2；∴符合题意的解只有2对．故答案为：2．14、二元一次方程x+y ＝6的正整数解为_____．【答案】1115x y =⎧⎨=⎩，2224x y =⎧⎨=⎩，3333x y =⎧⎨=⎩，4442x y =⎧⎨=⎩，5551x y =⎧⎨=⎩ 【分析】根据二元一次方程的解的定义，可得出5组一元一次方程x+y ＝6的正整数解．【详解】解：当x ＝1时，y ＝6-1=5；当x ＝2时，y ＝=6-2=4；当x ＝3时，y ＝6-3=3；当x ＝4时，y ＝6-4=2；当x ＝5时，y ＝6-5=1；∴方程x+y ＝6的正整数解为：1115x y =⎧⎨=⎩，2224x y =⎧⎨=⎩，3333x y =⎧⎨=⎩，4442x y =⎧⎨=⎩，5551x y =⎧⎨=⎩．； 故答案为：1115x y =⎧⎨=⎩，2224x y =⎧⎨=⎩，3333x y =⎧⎨=⎩，4442x y =⎧⎨=⎩，5551x y =⎧⎨=⎩．15、下列方程组中，解为12x y =⎧⎨=-⎩的是（ ） A ．12x y x y +=-⎧⎨-=⎩ B ．21y x x y =⎧⎨-=-⎩ C ．06x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．153x y =⎧⎨+=⎩ 【答案】D【分析】用消元法依次求出每个选项的解即可得到答案；【详解】解：A ：方程组12x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解为1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，不符合题意； B ：方程组21y x x y =⎧⎨-=-⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，不符合题意； C ：方程组06x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为33x y =⎧⎨=-⎩，不符合题意； D ：方程组153x y =⎧⎨+=⎩的解为12x y =⎧⎨=-⎩，符合题意．故选：D ．16、在一本书上写着方程组⎩⎨⎧=--=+11y x my x 的解⎩⎨⎧==A y x 2，其中y 的值被污渍盖住了，请你写出m ＝ ． 【分析】直接利用已知得出x 的值，代入进而得出答案．【解析】∵方程组⎩⎨⎧=--=+11y x my x 的解⎩⎨⎧==Ay x 2，∴2﹣y ＝1，解得：y ＝1， 故2+m ＝﹣1，解得：m ＝﹣3．故答案为：﹣3．17、由方程组2x m 1y 3m+=⎧⎨-=⎩，可得x 与y 的关系是_____________ 【答案】2x+y=4【提示】方程组消元m 即可得到x 与y 的关系式．【详解】解：213x m y m +⎧⎨-⎩＝①，＝②把②代入①得：2x+y-3=1，整理得：2x+y=4，18、为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m 长的彩绳截成2m 或1m 的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有________种不同的截法【答案】3【提示】可设2米的彩绳有x 条，1米的彩绳有y 条，根据题意可列出关于x ，y 的二元一次方程，为了不造成浪费，取x ，y 的非负整数解即可.【详解】解：设2米的彩绳有x 条，1米的彩绳有y 条，根据题意得52=+y x ，其非负整数解为：，故在不造成浪费的前提下有三种截法.19、若关于x 、y 的方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则mn 的值为_____． 【答案】-2【分析】将12x y =⎧⎨=⎩代入方程组即可求出m 与n 的值． 【详解】将12x y =⎧⎨=⎩代入3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩，∴32=522=6m n -⎧⎨+⎩，∴=1=2m n -⎧⎨⎩ ，∴mn=-2， 故答案为：-2．20、将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分8本，则差了7本．若设共有x 个同学，y 本笔记本，则可列方程为 ．【分析】设共有x 个同学，有y 个笔记本，根据笔记本与同学之间的数量关系建立二元一次方程求出其解即可．【解析】设共有x 个同学，有y 个笔记本，由题意，得y ＝8x ﹣7．故答案是：y ＝8x ﹣7．三、解答题21、已知方程(b ＋2)x |a |－2＋(a －3)y |b |－1＝10是关于x ，y 的二元一次方程． (1)求出a ，b 的值，并写出这个二元一次方程；(2)分别求出方程的两个解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝？，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝？，y ＝－12中“？”所表示的数． 解：(1)由题意得|a |－2＝1，|b |－1＝1且b ＋2≠0，a －3≠0，所以a ＝－3，b ＝2.所以这个二元一次方程为4x －6y ＝10.(2)当x ＝3时，解方程4×3－6y ＝10，得y ＝13； 当y ＝－12时，解方程4x －6×⎝⎛⎭⎫－12＝10，得x ＝74.所以前一个解中“？”表示的数是13；后一个解中“？”表示的数是74.22、已知方程312x y +=.(1)用含x 的代数式表示y ;(2)用含y 的代数式表示x ;(3)求当2x =时y 的值及当24y =时x 的值;(4)写出方程的两个解.答案：(1)123y x =- (2)123y x -= (3)当2x =时，12326y =-⨯=， 当24y =时，122443x -==- (4)19x y =⎧⎨=⎩，33x y =⎧⎨=⎩(答案不唯一)23、设适当的未知数，列出二元一次方程组：（1）甲、乙两数的和为14，甲数的31比乙数的2倍少7，求这两个数； （2）摩托车的速度是货车速度的23倍，两车的速度之和是200千米/时，求摩托车和货车的速度； （3）某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价．【分析】（1）设甲数为x ，乙数为y ，根据“甲、乙两数的和为14，甲数的31比乙数的2倍少7”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组； （2）设摩托车的速度为x 千米/时，货车的速度为y 千米/时，根据“摩托车的速度是货车速度的倍，两车的速度之和是200千米/时”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组；（3）设时装的单价为x 元，皮装的单价为y 元，根据“某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组．【解析】（1）设甲数为x ，乙数为y ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+731214x y y x ； （2）设摩托车的速度为x 千米/时，货车的速度为y 千米/时， 依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=20023y x y x ； （3）设时装的单价为x 元，皮装的单价为y 元，依题意，得：⎩⎨⎧=-=700354.1x y y x ．24、“写规范字”是学校深化德育主题活动之一我校上月举办了“书法比赛”活动，为了表彰获奖者，主办单位的王老师负责购买奖品.他发现:若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则活动经费可购买60份奖品;若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则活动经费可购买40份奖品.设钢笔价格为x 元/支，笔记本价格为y 元/本.(1)请用x 的代数式表示y .(2)若用这钱全部购买笔记本，总共可以购买几本?(3)若王老师用这钱恰好买30份同样的奖品，他选择a 支钢笔和b 本笔记本作为一份奖品(两种奖品都要有)，请求出所有可能的,a b 值.解：(1)根据题意得: 60(23)40(26)x y x y +=+，化简得23y x =(2)60(23)60(33)360x y y y y y +÷=+÷=答:若用这钱全部购买笔记本，总共可以购买360本.(3)根据题意，得60(23)30()x y ax by +=+， 即46x y ax by +=+ 把23y x =代入，得2443x x ax bx +=+， 整理，得283a b += 因为,a b 均为正整数，所以b 为3的整数倍当3b =时，6a =;当6b =时，4a =;当9b =时，2a =所以63a b =⎧⎨=⎩，46a b =⎧⎨=⎩，29a b =⎧⎨=⎩25、已知二元一次方程ax +3y +b ＝0（a ，b 均为常数，且a ≠0）．（1）当a ＝2，b ＝﹣4时，用x 的代数式表示y ；（2）若⎪⎩⎪⎨⎧-=+=b b y b a x 2312是该二元一次方程的一个解， ①探索a 与b 关系，并说明理由；②若该方程有一个解与a 、b 的取值无关，请求出这个解．【分析】（1）把a 与b 的值代入方程，用x 表示出y 即可；（2）①a +b ＝0，理由为：把x 与y 代入方程，整理即可得到结果；②由a +b ＝0，得到b ＝﹣a ，代入方程变形，根据方程组的解与a 、b 的取值无关，求出所求即可．【解析】（1）把a ＝2，b ＝﹣4代入方程得：2x +3y ﹣4＝0，解得：y =32-34+x ； （2）①a 与b 关系是a +b ＝0，理由： 把⎪⎩⎪⎨⎧-=+=b b y b a x 2312代入二元一次方程ax +3y +b ＝0得：a （a +2b ）+b 2﹣b +b ＝0， 整理得：a 2+2ab +b 2＝0，即（a +b ）2＝0，所以a +b ＝0；②由①知道a +b ＝0，∴b ＝﹣a ，∴原方程变为ax +3y ﹣a ＝0，即a （x ﹣1）+3y ＝0，∵该方程组的解与a 、b 的取值无关，∴⎩⎨⎧==01y x ．。
《2、8有理数的混合运算》同步能力提升训练21-22学年苏科版七年级数学上册
2021年苏科版七年级数学上册《2.8有理数的混合运算》同步能力提升训练（附答案）一、单选题1．已知,a b 为有理数，下列说法：①若,a b 互为相反数，则=-b a ；②若0,0a b ab +<>，则|34|34a b a b +=-+；③若||0a b a b -+-=，则b a >；④若||||a b >，则()()a b a b +-是正数．其中正确的有（ ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列计算：(1)78－23÷70＝70÷70＝1；(2)12－7×(－4)＋8÷(－2)＝12＋28－4＝36；(3)12÷(2×3)＝12÷2×3＝6×3＝18；(4)32×3.14＋3×(－9.42)＝3×9.42＋3×(－9.42)＝0.其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若一个数减去-2的差是-5，则这个数乘以-2的积是（ ）A ．-6B ．6C ．-14D ．144．下列各数中数值相等的是（ ）A ．32与23B ．-23与（-2）3C ．-32与（-3）2D ．[-2×（-3）]2与2×（-3）25．计算312(8)2⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭的结果是( )A ．2B ．2-C ．132D ．326．观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…，那么计算2020!2019!的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 7．从，，，，五个数中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题8．某商品进价为100元，按进价提高50%后标价，实际销售时给顾客打了八折，卖出这件商品的利润是_________．9．若a ，b 互为相反数，x ，y 互为倒数，c 的绝对值等于2，则（a b 2+）2020﹣（﹣x•y ）2020+c 2＝__．10．将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．11．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是__________．12．计算3253.1410.31431.40.284⨯+⨯-⨯=__． 13．计算2312(2)63⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭的结果是______. 三、解答题14．计算．（1）()512821()+----；（2）()()()22830.751923--⎡⎤⎢⎥⎣⎦--⨯⨯-； （3）用简便方法计算：53966()-⨯-． 15．计算221113111|7()|()()42341224----+-+-÷-． 16．计算：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭； 17．计算：2372335()[6()(2)]23-+÷--⨯-+-．18．赣州享有“世界橙乡”的美誉，中华名果赣南脐橙热销世界各地．刚大学毕业的小明把自家的脐橙产品放到了网上售卖，他原计划每天卖100kg 脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：kg ）．（1）根据记录的数据可知前三天共卖出 kg ；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 kg ； （3）若脐橙按4.5元/kg 出售，且小明需为买家支付运费（平均0.5元/kg ），则小明本周一共赚了多少元？19．计算：﹣22÷43﹣[﹣22﹣（1﹣12×13）]×6． 20．计算（1）．4222(4)(1)(3)---⨯-+-（2）．(-3)2()()2131524042354⎡⎤⎛⎫⨯--⨯--÷-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦参考答案8．20元解：实际售价为：（1+50%）×100×80%=120（元），利润为120-100=20元．故答案为：20元．9．3解:∵a ，b 互为相反数，x ，y 互为倒数，c 的绝对值等于2， ∴a+b ＝0，xy ＝1，c 2＝4，∴（a b 2+）2020﹣（﹣x•y ）2020+c 2＝（02）2020﹣（﹣1）2020+4＝0﹣1+4＝3， 故答案为：3．10．2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝2×（4+3+5）＝2×12＝24， 故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）． 11．4解:每次输出的结果为：第1次：12，第2次：6，第3次：3，第4次：8，第5次：4，第6次：2，第7次：7，第8次：12，，每7次为一个循环组，∵202172885÷=，∴第2021次输出的结果与第5次输出的结果相同，即为4，故答案为：4．12．0 解：3253.1410.31431.40.284⨯+⨯-⨯， 353.141 3.14 3.14288=⨯+⨯-⨯， 353.14(12)88=⨯+-， 3.140=⨯，0=．故答案为：0．13．643- 解:2312464(2)866393⎛⎫-÷⨯-=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭. 14．（1）-6；（2）32；（3）239解:()1原式512821=-++-2620=-+6=-()2原式92[()]()194--⨯-=-84=-⨯-（）（）32=()3原式14066()⎛⎫=-+⨯ ⎪-⎝⎭ ()()()1406?66=-⨯-+⨯ 2401=-239=15．-16． 解：221113111|7()|()()42341224----+-+-÷-， 11131=1|7|()(24)443412---+-+-⨯-，131=17(24)(24)(24)3412⎛⎫--+-⨯-+⨯--⨯- ⎪⎝⎭， =178182--+-+， =16-．16．（1）6；（2）11．解：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭， =1312744+-+， =1217+-，=13-7，=6；（2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭， =()351124444⎛⎫++⨯--⨯- ⎪⎝⎭ =11235++-=11．17．-7． 解：2372335()[6()(2)]23-+÷--⨯-+- =910[48]-----=91012--+=-7．18．（1）296；（2）29；（3）2868元 解:（1）4－3－5＋300=296（kg ）， 故答案为：296；（2）（＋21）－（－8）=29（kg ）， 故答案为：29；（3）4－3－5＋14－8＋21－6=17（kg ），17＋100×7=717（kg ）， 717×（4.5－0.5）=2868（元）， 小明本周一共赚了2868元． 19．26解：﹣22÷43﹣[﹣22﹣（1﹣12×13）]×6 =3144(1)646⎡⎤-⨯----⨯⎢⎥⎣⎦=53(4)66----⨯ ＝53(466)6---⨯-⨯ ＝3(245)---- ＝3(29)---＝﹣3+29＝26．20．（1）9 (2)5解：(1)原式()16161916(16)9099.=--⨯-+=---+=+=(2)原式3(15152)3(2) 5.=--+-=--=。
部编数学七年级下册实数与数轴大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023培优(解析版)
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题6.10实数与数轴大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•郓城县期中）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，点A、B表示数1和．点B到点A 的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你求出数x的值．（2）若m为x﹣2的相反数，n为x﹣2的绝对值，求m+n．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；（2）根据题意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是1和，∴，∴，∴点C表示的数；（2）由（1）知，∴，∴m＝3﹣，，∴m+n＝6﹣2．2．（2022秋•三元区期中）如图，数轴的正半轴上有A，B两点，表示1和的对应点分别为A，B，点C，D在数轴上，点B到点A的距离与点C到点D的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）当D所表示的数为0且C在D的右边时，求出x的值；（2）当D所表示的数为﹣2时，求出x的值．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；（2）分C在D的左边和右边两种情况确定x的值．【解答】解：（1）∵点A．B分别表示1，，∴AB＝﹣1，即x＝﹣1；（2）当C在D的左边时：∵D所表示的数为﹣2，AB＝﹣1，∴x＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣3+1；当C在D的右边时：∵D所表示的数为﹣2，AB＝﹣1，∴x＝﹣2+﹣1＝﹣﹣1．综上所述，x的值为﹣3+1或﹣﹣1．3．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，∴点B所表示的数比点A表示的数大2，∵点A表示，点B所表示的数为m，∴m＝﹣+2；（2）|m﹣3|+m+2＝|﹣+2+3|﹣+2+2＝5﹣﹣+4＝9﹣2．4．（2022秋•鄞州区期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上﹣2和5这两点之间的距离为 7 ．（2）若x表示一个实数，|x+2|+|x﹣4|的最小值为 6 ．（3）直接写出所有符合条件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，则x的值为 3或﹣6 ．【分析】（1）利用数轴直观得出答案．（2）x在﹣2到4之间值最小，两点之间线段最短．（3）2到﹣5之间是7，与9相差2，分到两段中，每段加1，得出结果．【解答】解：（1）|（﹣2）﹣5|＝7．（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2＞6；当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝6；当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2＞6，故|x+2|+|x﹣4|最小值为6．（3）当x＜﹣5时，|x﹣2|+|x+5|＝﹣（x﹣2）﹣（x+5）＝﹣2x﹣3＝9，解方程得：x＝﹣6；当﹣5≤x≤2时，|x﹣2|+|x+5|＝7，无解；当x＞2时，|x﹣2|+|x+5|＝2x+3＝9，解方程得：x＝3．故x的值为﹣6或3．5．（2022秋•义乌市校级期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是 ﹣2 ；（2）求（m+2）2+|m+1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．【分析】（1）m比小2；（2）结合（1），把m的值代入计算即可；（3）求出c，d，代入2c+3d+8，可得到答案．【解答】解：（1）根据题意：m＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）当m＝﹣2时，（m+2）2+|m+1|＝（﹣2+2）2+|﹣2+1|＝5+﹣1＝4+；（3）∵|2c+4|与互为相反数，∴|2c+4|+＝0，∴2c+4＝0，d﹣4＝0，解得c＝﹣2，d＝4，∴2c+3d+8＝2×（﹣2）+3×4+8＝16，∴2c+3d+8的平方根，即16的平方根为±4．6．（2022秋•拱墅区期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且满足|a|＝|b|＝2|﹣c|＝4．（1）求a，b，c的值；（2）求|a﹣2b|+|﹣b+c|+|c﹣3a|的值．【分析】（1）根据数轴上点的位置及绝对值求解；（2）把（1）中求得的数值代入求解．【解答】解：（1）∵a＜0，b＞0，c＞0，且满足|a|＝|b|＝2|﹣c|＝4，∴a＝﹣4，b＝4，c＝2；（2）|a﹣2b|+|﹣b+c|+|c﹣3a|＝|﹣4﹣8|+|﹣4+2|+|2+12|＝12+2+14＝28．7．（2022春•巴东县期末）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等．设点C对应的数为x．（1）求AC的长；（2）求（）2的平方根．【分析】（1）根据点B到点A的距离与点C到原点的距离相等求出x的值，根据AC＝AO﹣CO即可得出答案；（2）把x的值代入代数式求值，再求平方根即可．【解答】解：（1）根据题意得：﹣1＝x﹣0，∴x＝﹣1，∴AC＝1﹣（﹣1）＝2﹣；（2）∵x＝﹣1，∴（x﹣）2＝（﹣1﹣）2＝（﹣1）2＝1，∴（）2的平方根为±1．8．（2022春•巨野县期末）在数轴上点A，B分别对应数1，，点B关于点A的对称点为C，设点C所对应的数为x，则x的值是多少？并求x（x﹣1）的值．【分析】求出AB的长，表示出AC的长，根据对称可得AB＝AC，进而得到方程，求方程的解即可求出x，再代入代数式求值即可．【解答】解：由题意得：AB＝﹣1，AC＝1﹣x，∵点B关于点A的对称点为C．∴AB＝AC，即：﹣1＝1﹣x，解得x＝2﹣，当x＝2﹣时，x（x﹣1）＝（2﹣）（2﹣﹣1）＝4﹣3，答：x（x﹣1）的值为4﹣3．9．（2022春•望城区期末）如图：已知在数轴上点A表示﹣，点B表示；（1）求出A、B两点间的距离；（2）点C在数轴上满足AC＝2AB，写出点C所表示的数．【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用两点间的距离公式计算即可；【解答】解：（1）＝；（2）设点C表示的数是x，∵AC＝2AB，∴|x﹣（﹣）|＝2（），∴x+＝，∴x1＝2，x2＝﹣3．所以点C表示的数是2或﹣3．10．（2021秋•封丘县期末）如图，数轴上点B，C关于点A成中心对称，若点A表示的数是1，点B表示的数是﹣．（1）填空：线段AB的长是 +1 ，点C表示的数为 +2 ；（2）点C表示的数为a，a的小数部分为b，求ab的值．【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB的长，根据对称可得AC＝AB，可知点C表示的数；（2）由题意可得a＝+2，b＝﹣2，再代入可得ab的值．【解答】解：（1）∵点A表示的数是1，点B表示的数是﹣，∴AB＝1﹣（﹣）＝+1．∵点B，C关于点A成中心对称，∴AC＝AB＝+1，∴点C表示的数是1++1＝+2．故答案为：，；（2）由（1）得，点C表示的数是+2，∴，，∴．11．（2021秋•垦利区期末）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求m的值；（2）求|m﹣1|+1的值．【分析】（1）根据数轴表示数的意义即可求出答案；（2）将m的值代入，再根据绝对值的意义进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A表示，∴点B所表示的数为，即：m＝；（2）∵m＝∴原式＝＝＝＝．12．（2021秋•诸暨市期末）定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 2 ．（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．【分析】（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；（2）根据A，B的和谐距离为2022列出方程即可求解．【解答】解：（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；故答案为：2；（2）∵A，B处于和谐位置，∴b＝3a+2，∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，∴2a+2＝±2022，∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．13．（2022春•越秀区校级期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求|m+1|+|m﹣1|的值；（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【分析】（1）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可；（2）根据互为相反数的两个数相加和为0，求出c，d即可．【解答】解：（1）由题意得：m＝，∴m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；（2）由题意得：|2c+d|+＝0，∴2c+d＝0，d+4＝0，∴d＝﹣4，c＝2，∴2c﹣3d＝16，∵16的平方根是±4，∴2c﹣3d的平方根是±4．14．（2021秋•唐山期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是 2﹣ ．（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d的平方根．【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数进行运算．（2）化简绝对值进行运算．（3）根据非负数的意义进行解答．【解答】解：∵点B在点A右侧2个单位处，∴点B所表示的数m为：﹣+2，即2﹣．故答案为：2﹣．，则m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+4|与互为相反数，∴，∴|2c+4|＝0，且，解得：c＝﹣2，d＝4，∴2c+3d＝8，∴2c+3d的平方根为±2．答：2c+3d的平方根为±2．15．（2022春•前郭县期末）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你直接写出x的值；（2）求（x﹣）2的平方根．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A．B分别表示1，，∴AB＝，即x＝；（2）∵x＝，∴原式＝＝＝1，∴1的平方根为±1．16．（2021秋•兰州期末）如图，已知点A、B是数轴上两点，O为原点，AB＝12，点B表示的数为4，点P、Q分别从O、B同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P速度为每秒1个单位，点Q速度为每秒2个单位，设运动时间为t，当PQ的长为5时，求t的值及AP的长．【分析】根据题意可以分两种情况，然后根据题意和数轴即可解答本题．【解答】解：∵AB＝12，0B＝4，∴OA＝8，当P向左，Q向右时，t+2t＝5﹣4，得t＝，此时，OP＝，AP＝8﹣＝；当P向右，Q向左时，t+2t＝5+4，得t＝3，此时，OP＝3，AP＝8+3＝11．17．（2021秋•藤县期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ 5﹣t ，AQ＝ 10﹣2t ；（2）当t＝2时，求PQ的值；（3）当PQ＝AB时，求t的值．【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，根据PQ＝AB列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，所以PQ＝12﹣4＝8；（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，∵PQ＝AB，∴|t﹣10|＝5，解得t＝15或5．故t的值是15或5．故答案为：5﹣t，10﹣2t．18．（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ﹣1﹣2 ．【分析】（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长．（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．【解答】解：（1）．答：这个魔方的棱长为4．（2）∵魔方的棱长为4，∴小立方体的棱长为2，∴阴影部分面积为：×2×2×4＝8，边长为：＝2．答：阴影部分的面积是8，边长是2．（3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2．故答案为：﹣1﹣2．19．（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你写出数x的值；（2）求（x﹣）2的立方根．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A、B分别表示1，，∴AB＝﹣1，即x＝﹣1；（2）∵x＝﹣1，∴原式＝＝，∴1的立方根为1．20．（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：+|a+b|+﹣|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．21．（2020秋•福山区期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度后到达点B，点A表示的数是﹣，设点B所表示的数为m．（1）求m的值；（2）求|m﹣2|+|2m﹣|的值．【分析】（1）根据数轴上右边的数总比左边的数大，求出﹣与的和即可；（2）把（1）中求出的m值代入计算即可．【解答】解：（1）由题意得：m＝﹣+＝，∴m的值为；（2）|m﹣2|+|2m﹣|＝|﹣2|+|2﹣|＝|﹣|+||＝＝．22．（2020秋•滨江区期末）如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形ABCD．设每一个小方格的边长为1个单位．（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，求出正方形ABCD的面积，然后再求出边长即可；（2）点B在数轴上的位置有两种情况，点B在原点左侧，点B在原点右侧．【解答】解：（1）正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间，理由是：∵正方形ABCD的面积＝4×4﹣4××2×2＝8，∴AB＝＝，∵22＝4，32＝9，∴4＜8＜9，∴，∴2＜＜3，正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间；（2）分两种情况：当点B在原点左侧，点B在数轴上所表示的数是：，当点B在原点右侧，点B在数轴上所表示的数是：，∴点B在数轴上所表示的数是：±．23．（2021春•绥中县期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求m的值；（2）求|m﹣1|+（m﹣6）的值．【分析】（1）根据正负数的意义计算即可；（2）根据去绝对值的法则和有理数加减法则即可得到答案．【解答】解：（1）由题意，A和B的距离为2，点A表示﹣，∴B表示的数比A表示的数大2，∴m＝﹣+2；（2）把m＝﹣+2代入得：|m﹣1|+（m﹣6）＝|﹣+2﹣1|+（﹣+2﹣6）＝|1﹣|﹣﹣4＝﹣1﹣﹣4＝﹣5．24．（2021春•二道区期末）如图①，点O为数轴原点，OA＝3，正方形ABCD的边长为6，点P从点O出发，沿射线OA方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，回答下列问题．（1）点A表示的数为 3 ，点D表示的数为 9 ．（2）t秒后点P对应的数为 2t （用含t的式子表示）．（3）当PD＝2时，求t的值．（4）如图②，在点P运动过程中，作线段PE＝3，点E在点P右侧，以PE为边向上作正方形PEFG，当正方形PEFG与正方形ABCD重叠面积为6时，直接写出t的值．【分析】（1）根据线段OA的长和正方形的边长可以求解．（2）根据P点的运动速度与运动时间得出运动路程，对应数数轴得出结论．（3）根据运动过程P点处于不同位置进行分类讨论．（4）根据P点运动确定正方形的位置再去讨论重合面积为6时的t值．【解答】解：（1）∵OA＝3，且O为数轴原点，在O的右侧，∴A表示的数为3，∵正方形的边长为6，∴OD＝6+3＝9，∴D表示的数为9．故答案是3，9；（2）∵P点从O点开始运动且速度为每秒2个单位长度∴OP＝2t，故答案是2t．（3）∵OP＝2t，OD＝9，∴①当P点在D点左侧时，9﹣2t＝2，解得t＝3.5；②当P点在D点右侧时，2t﹣9＝2，解得t＝5.5．答：当PD＝2时，t的值是3.5或5.5．（4）由题意得：①当E点在D点左侧时，AE＝2t，∴2t×3＝6，解得t＝1；②当E点在D点右侧时，（9﹣2t）×3＝6，解得：t＝3.5．答：当正方形PEFG与正方形ABCD重叠面积为6时，t的值是1或3.5．25．（2020秋•北碚区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．【提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．】（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．【分析】（1）直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证明；（2）借助（1）的证明，所有的复合数都可以写成6x2+2，设出两个复合数进行转化．【解答】解：（1）12不是复合数，∵找不到两个整数a，b，使a3﹣b3＝12，故12不是复合数；设“正点”P所表示的数为x（x为正整数），则a＝x﹣1，b＝x+1，∴（x+1）3﹣（x﹣1）3＝（x+1﹣x+1）（x2+2x+1+x2﹣1+x2﹣2x+1）＝2（3x2+1）＝6x2+2，∴6x2+2﹣2＝6x2一定能被6整除．（2）设两个复合数为6m2+2和6n2+2（m，n都是正整数），∵两个“复合数”的差是42，∴（6m2+2）﹣（6n2+2）＝42，∴m2﹣n2＝7，∵m，n都是正整数，∴，∴，∴6m2+2＝98，6n2+2＝56，这两个“复合数”为98和56．26．（2021秋•绥宁县期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、B 两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图1所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．当A、B两点都不在原点时：（1）如图2所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|．（2）如图3所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|．（3）如图4所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则AB＝OB+OA＝|b|+|a|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝ |a﹣b| ；（2）数轴上表示3和﹣5的两点A和B之间的距离AB＝ 8 ；（3）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离AB＝ |x+5| ，如果AB＝3，则x的值为 ﹣8或﹣2 ；（4）若代数式|x+5|+|x﹣2|有最小值，则最小值为 7 ．【分析】根据题目条件可得，两点间的距离用绝对值可以表示成|a﹣b|，利用此几何意义解决距离问题即可．【解答】解：（1）AB＝|a﹣b|（也可以填|b﹣a|）（2）AB＝|3﹣（﹣5）|＝8（3）AB＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，即|x+5|＝3．∴x+5＝3或者﹣3，解得x＝﹣2或﹣8．（4）若代数式|x+5|+|x﹣2|有最小值，|x+5|+|x﹣2|的最小值即为数轴上表示﹣5与2两点间的距离，此时最小值为|﹣5﹣2|＝7．27．（2022秋•济南期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ 6 ；（2）若点D为点A，B的“节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ±2 ；（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．【分析】（1）根据新定义求解；（2）设未知数，根据新定义列方程求解；（3）先求点E表示的数，再计算n的值．【解答】解：（1）AC+BC＝（﹣2+3）+（2+3）＝6，故答案为：6；（2）设D表示的数为x，则|x+2|+|x﹣2|＝4，解得：x＝±2，故答案为：±2；（3）设E点表示的数是y，则：|﹣2﹣y|＝|2﹣y|，解得：y＝6，当y＝6+4时，n＝AE+BE＝8+4+4+4＝12+8，当y＝6﹣4时，n＝AE+BE＝8﹣4+4﹣4＝4．28．（2021秋•成都期末）如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒．（1）如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；（2）如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点．①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C 对应的数．【分析】（1）根据起始点求出点A和点B对应的数，进而可得答案；（2）①分别用含t的代数式表示出点P和点Q，再分情况列方程即可；②当0＜t≤5时，点P与点Q重合时不在整点处；当5＜t≤10时，由题意得﹣5+t＝﹣4+2（t﹣5），解方程可得答案．【解答】解：（1）点A起始点在﹣6处，当t＝2时，∵﹣6+1×2＝﹣4，∴点A对应的有理数为﹣4，点B起始点在﹣4处，当t＝2时，∵﹣4+1×2＝﹣2，∴点B对应的有理数为﹣2，∴点B与点N之间的距离为10；（2）①点P起始点在﹣5处，当运动时间为t秒时，∵0＜t≤5，∴此时点P一直往右运动，∴点P对应的有理数为﹣5+t，点Q起始点在6处，当运动时间为t秒时，∵0＜t≤5，∴此时点Q一直往左运动，∴点Q对应的有理数为6﹣2t，∵点P、点Q到数轴原点的距离相等，∴当原点是PQ中点时，﹣5+t+6﹣2t＝0，解得t＝1，当P、Q重合时，﹣5+t＝6﹣2t，解得t＝．综上，t的值是1或；②当0＜t≤5时，由①可得点P与点Q重合时不在整点处；当5＜t≤10时，由题意得﹣5+t＝﹣4+2（t﹣5），解得t＝9，此时，点Q对应是有理数为4，故点C对应是有理数为2．29．（2021秋•南充期末）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合，边OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O′D′E′F′与OABC重叠部分的面积记为S．（1）如图1，求出数轴上点F表示的数．（2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数．（3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反数？若能，求点O 移动的距离；若不能，请说明理由．【分析】（1）利用面积÷OA可得OC长，即可得出OF的长，进而可得答案；（2）首先计算出S的值，再根据矩形的面积表示出O′A的长度，再分两种情况：当点O′在OA上时，当点O′在点A右侧时，分别求出O′表示的数；（3）设OO′＝x，分两种情况：当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，则点P所表示的数为：﹣x，点F′所表示的数为﹣4﹣x；若互为相反数则有﹣x+（﹣4﹣x）＝0，求解即可；当原长方形ODEF向右移动时，点O′所表示的数为x，则点P所表示的数为：+x，点F′所表示的数为﹣4+x；若互为相反数则有+x+（﹣4+x）＝0，求解即可．【解答】解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OA边长为3，∴OC＝12÷3＝4，∵长方形OABC与ODEF的面积都为12，∴OF＝OC＝4，DE＝OA＝3，∴数轴上点F表示的数为﹣4，（2）∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半，∴S＝6，①当点O′在OA上时，O′O＝6÷3＝2，∴O′表示的数为2，②当点O′在点A右侧时，如图，∴AF′＝6÷3＝2，∴OF′＝3﹣2＝1，∴OO′＝O′F′+OF′＝5，综上，O′表示的数为2或5．（3）能，理由如下：设OO′＝x，分两种情况：①当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，点F′所表示的数为﹣4﹣x，∵点P是O′A的中点，∴点P所表示的数为：﹣x；∴﹣x+（﹣4﹣x）＝0，∴x＝﹣；②当原长方形ODEF向右移动时，点O′所表示的数为x，点F′所表示的数为﹣4+x；∵点P是O′A的中点，∴点P所表示的数为：+x，∴+x+（﹣4+x）＝0，∴x＝．∴点O移动的距离为：．30．（2021秋•北仑区期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读理解】|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．（1）【尝试应用】①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是 6 （写出最后结果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝ 1或﹣5 ；（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．①则表示10的点与表示 ﹣12 的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是 ﹣1012 ，B表示的数是 1010 ；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是 a+b＝﹣2 ；（3）【拓展延伸】①当x＝ 1 时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是 5 ；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是 5 ，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是 ﹣5 ．【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据绝对值的定义可以解答；（2）①首先求出折叠点是﹣1，列式为﹣1﹣（10+1）可得答案；②根据折叠点为﹣1可列式解答；③由题意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；（3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1）①﹣4和2的两点之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6，故答案为：6；②∵|x﹣（﹣2）|＝3，∴x＝1或﹣5，故答案为：1或﹣5；（2）∵表示2的点与表示﹣4的点重合，∴折叠点是﹣1，①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，故答案为：﹣12；②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，∴则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010，故答案为：﹣1012，1010；③由题意得，（a+b）＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故答案为：a+b＝﹣2；（3）①当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，当﹣2＜x≤1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，当1＜x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，∴当x＝1时，最小值是5，故答案为：1，5；②当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，当﹣1≤x≤4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，当x＞4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，∴最大值是5，最小值是﹣5，故答案为：5，﹣5．。
《第1章勾股定理》同步优生提升训练2021-2022学年北师大版八年级数学上册
2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步优生提升训练（附答案）一．勾股定理1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝．2．如图是一个四边形ABCD，若已知AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC ＝90°，则这个四边形的面积是cm2．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．（1）线段PC的最小值是．（2）当PC＝5时，AP长是．4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm，则A、B、C、D四个正方形的面积之和为cm2．5．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（）A．30°B．42°C．45°D．50°6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．647．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE ⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（）A．B．6C．D．8．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（）A．54B．44C．36或48D．54或339．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm210．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．511．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为（）A．（6，0）B．（4，0）C．（6，0）或（﹣16，0）D．（4，0）或（﹣16，0）12．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．13．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．14．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．15．如图所示网格是由边长为1的小正方形组成，点A，B，C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形的所有内角都相等．（1）确定点D的位置并画出以A，B，C，D为顶点的四边形；（2）直接写出（1）中所画出的四边形的周长和面积．二．勾股定理的证明16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．三．勾股数17．已知：整式A＝n（n+6）+2（n+8）（n＞0），整式B＞0．尝试：化简整式A；发现：A＝B2，求整式B；应用：利用A＝B2，填写下列表格：n（n+6）2（n+8）B\40\四．勾股定理的逆定理18．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC ＝1，，则四边形ABCD的面积为．19．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝．20．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，1，B．6，8，11C．3，4，5D．1，3，21．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，422．如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A →B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．23．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．24．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，求AC的长；（2）已知△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，求证：△ABC是直角三角形．25．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．五．勾股定理的应用26．小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝．27．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是cm．28．如图，在水塔O的东北方向15m处有一抽水站A，在水塔的东南方向8m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．7m B．12m C．17m D．22m29．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为5，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．30．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 31．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D 两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？32．如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．33．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．34．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）35．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？六．平面展开-最短路径问题36．如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．（1）蚂蚁爬行的最短距离是cm；（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于cm．37．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm参考答案一．勾股定理1．解：过点D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，由题意得，BE＝BC﹣EC＝5，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∵AE＝DE，∠B＝∠DFE＝90°，∴△ABE≌△EFD（AAS），∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5，∴CF＝EF﹣CE＝2，∵∠DFC＝90°，∴DC＝．故答案为：．2．解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC＝5cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC＝AC×CD﹣AB×BC＝×5×12﹣×4×3＝30﹣6＝24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故答案为：24．3．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，此时，△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴AB•PC＝AC•BC，∴PC＝＝＝4.8，故答案为：4.8；（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：同（1）得：CQ＝4.8，由勾股定理得：AQ＝＝＝3.6，PQ＝＝＝1.4，当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；综上所述，AP的长为5或2.2，故答案为：5或2.2．4．解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝62＝36．故答案是365．解：连接AC，AD，如图，根据勾股定理可得：AD＝AC＝BC＝，CD＝，∴∠ABC＝∠BAC，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣2∠ABC，在△ACD中，，，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∵AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵AB∥EC，∴∠ABC+∠BCE＝180°，∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠ABC+（180°﹣2∠ABC）+45°+∠DCE＝180°，∴∠ABC﹣∠DCE＝45°，故选：C．6．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．7．解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE＝AM，利用DB＝DC得到∠B＝∠DCB∵PM∥AB．∴∠B＝∠MPC∴∠DCB＝∠MPC又∵PC＝PC．∠PFC＝∠PMC＝90°∴△PFC≌△CMP∴PF＝CM∴PE+PF＝AC∵AD：DB＝1：3∴可设AD＝x，DB＝3x，那么CD＝3x，AC＝2x，BC＝2x ∵BC＝∴x＝2∴PE+PF＝AC＝2×2＝4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，S△PBD＝BD•PE，S△PCD＝DC•PF，S△BCD＝BD•AC，所以PE+PF＝AC＝2×2＝4．故选：C．8．解：分两种情况：①如图1所示：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．②如图2所示：同①得：BD＝15，CD＝6，∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．综上所述：△ABC的周长为48或36．故选：C．9．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2＝100，∵BC﹣AC＝2cm，∴（BC﹣AC）2＝4，即AC2+BC2﹣2AC•BC＝4，∴2AC•BC＝96，∴AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2，故选：A．10．解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2），∵AB2＝AC2+BC2＝5，∴AB2+AC2+BC2＝10，∴S阴影＝×10＝5．故选：D．11．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC＝10，∴C（﹣16，0）或（4，0）．故选：D．12．解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝＝20（cm），故答案为：20cm；（2）∵∠P AC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝PC＝x，∴PB＝20﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，即（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的长为10cm，7cm，12.5cm．如图（1），当CB＝CM＝15时，AM＝AC﹣CM＝25﹣15＝10（cm）；如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝12.5（cm）；如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H，则BH＝＝12（cm），CH ＝＝9（cm），∴CM＝2CH＝18（cm），∴AM＝AC﹣CM＝7（cm）；综上所述，AM的长为10cm，7cm，12.5cm．13．解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：14．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2，由勾股定理得，AD＝＝4，∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，BC＝＝6，当BC边上的中线AE等于BC时，AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，解得BC＝8．综上所述，BC的长是6或8．15．解：（1）如图所示：（2）AB＝＝，BC＝＝2，周长为（2+）×2＝6，面积为2×＝10．二．勾股定理的证明16．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．三．勾股数17．解：A＝n（n+6）+2（n﹣8）＝n2+8n+16．∵A＝B2，B＞0，∴B2＝n2+8n+16＝（n+4）2．∴B＝n+4，当2（n+8）＝时，解得：n＝，∴n+4＝，当n（n+6）＝40时，解得：n1＝4，n2＝﹣10（舍去），∴n+4＝8，故答案为：；8．四．勾股定理的逆定理18．解：连接BD，∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，∴EB＝AB＝3，∴，∵，即BD2+BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，故答案为：．19．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，此时∠DAE＝∠FCG，∵CF∥BD，∴∠BAC＝∠FCA，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，设小正方形的边长是1，由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，∴∠CAG＝90°，即△ACG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45°．20．解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、62+82≠（11）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、32+42＝52，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+32≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．21．解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．22．解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），因为DC＝BC＝BA＝5cm，所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．23．解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．24．（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，∴AC＝3．（2）证明：∵在△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．25．解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．五．勾股定理的应用26．解：∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴α°＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，故答案为：50．27．解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝13（cm）．即铁条最长可以是13cm．故答案是：13．28．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝15m，OB＝8m，∴AB＝17（m）．故选：C．29．解：由题意知AB＝CE＝3，BC＝AE＝8，∠BCE＝∠E＝90°，DC∥BG，过点C作CF⊥BG于F，如图所示：∴∠DCF＝90°，设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝6，∴DE＝6，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝3，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF＝90°﹣∠BCD，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴CF＝，故选：B．30．解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，∴h＝BD＝8（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB＝17（cm），所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．故选：C．31．解：设AE＝xkm，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，解得，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．32．解：（1）是，理由如下：由题意可知，△ABC是直角三角形，∵AC＝8m，AB＝DE＝10m，由勾股定理得，BC＝6（m），∵AD＝2m，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（m），∴CE＝8（m），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（m），∴大树的另一端点也向左滑动了2m；（2）不一定，理由如下：∵AD＝am，∴CD＝AC﹣AD＝（8﹣a）m，解得：a＝2或a＝0（舍去），∴只有当a＝2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点也向左滑动了am．33．解：连接AC．由勾股定理可知：AC＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米2）．34．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC=40∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．35．解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=30∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．六．平面展开-最短路径问题36．解：（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝25（cm）；∴蚂蚁爬行的最短距离是25（cm）．故答案为：25；37．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝12cm，∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．。
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提技能·题组训练
用配方法解一元二次方程
1.将二次三项式x2-8x+1配方后得( )
A.(x-4)2+15
B.(x-4)2-15
C.(x+4)2+15
D.(x+4)2-15
【解析】选B.∵x2-8x+1=x2-8x+16-16+1,
=(x2-8x+16)-15=(x-4)2-15.
【易错提醒】二次三项式配方时,加上一个数,忘记减去这个数.易和方程配方混淆.
2.将一元二次方程x2-6x-5=0化成(x+a)2=b的形式,则b=( )
A.-4
B.4
C.-14
D.14
【解析】选D.∵x2-6x-5=0,∴x2-6x=5,
∴x2-6x+9=5+9,
∴(x-3)2=14.∴b=14.
3.用适当的代数式填空:
(1)x2+4x+=(x+)2.
(2)x2-8x+=(x-)2.
(3)x2+x+=(x+)2.
【解析】(1)x2+4x+4=(x+2)2.
(2)x2-8x+16=(x-4)2.
(3)x2+x+=.
答案:(1)4 2 (2)16 4 (3)
4.将方程x2-12x-13=0化为(x-m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n=. 【解题指南】本题先配方,根据(x-m)2=n的形式,确定出m,n,然后求出m,n的和.
【解析】x2-12x-13=0,
移项得x2-12x=13,
配方得x2-12x+36=13+36,
(x-6)2=49,∴m=6,n=49,
∴m+n=6+49=55.
答案:55
5.(2013·漳州中考)解方程:x2-4x+1=0.
【解析】x2-4x =-1,
∴x2-4x+4=3,即(x-2)2=3,
∴x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-.
6.(2013·山西中考)解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-
7. 【解析】原方程可化为:
4x2-4x+1=3x2+2x-7.
移项,得x2-6x+8=0,
配方,得(x-3)2=1,
所以x-3=±1,
所以x1=2,x2=4.
7.用配方法解方程:6x2-x-12=0.
【解析】移项得6x2-x=12,
方程两边都除以6,得x2-x=2,
配方,得x2-x+=2+,
即=,
所以x-=或x-=-,
解得x1=,x2=-.
配方法的应用
1.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为( )
A.(x-3)2+11
B.(x+3)2-7
C.(x+3)2-11
D.(x+2)2+4
【解析】选B.x2+6x+2=x2+6x+32+2-32=(x+3)2-7.
2.对于任意实数x,代数式x2-6x+10的值是一个( )
A.非负数
B.正数
C.负数
D.整数
【解析】选B.x2-6x+10=x2-6x+9+1
=(x-3)2+1,∵(x-3)2≥0,
∴(x-3)2+1>0,
即代数式x2-6x+10的值是一个正数.
【知识归纳】方程的配方和代数式的配方的区别
(1)方程配方时,等号的两边都加上一个适当的数;代数式配方时,加上一个适当的数,还得减去这个数.(2)若方程的二次项系数不为1,方程的两边可以都除以二次项系数,再配方,而代数式则是先提出二次项的系数,再配方.
3.若x2+4x+y2-2y+5=0,则xy=.
【解析】∵x2+4x+y2-2y+5=x2+4x+4+y2-2y+1
=(x+2)2+(y-1)2=0,
∴x+2=0且y-1=0,
解得:x=-2,y=1,则xy=-2.
答案:-2
4.当x=时,代数式-x2+4x-3取最大值,最大值是.
【解析】∵-x2+4x-3=-(x2-4x+4)+1=-(x-2)2+1.
∴当x=2时,代数式-x2+4x-3取最大值,最大值是1.
答案:2 1
5.当y为何值时,代数式4y2-20y+25的值是0.
【解析】由题意得,4y2-20y+25=0,
配方得,(2y-5)2=0,
开方得,2y-5=0.
所以y1=y2=.
即当y=时,代数式4y2-20y+25的值是0.
【变式训练】(1)y为何值时,代数式4y2-20y+25的值是1?
(2)y为何值时,代数式4y2-20y+25的值与-16互为相反数? 【解析】(1)由题意得,4y2-20y+25=1,
配方得,(2y-5)2=1,
开方得,2y-5=±1.
当2y-5=1时,y=3,
当2y-5=-1时,
y=2即当y=3或2时,代数式4y2-20y+25的值是1.
(2)由题意得,4y2-20y+25=16,
配方得,(2y-5)2=16,
开方得,2y-5=±4.
当2y-5=4时,y=,
当2y-5=-4时,y=.
即当y=或时,代数式4y2-20y+25的值与-16互为相反数.
6.(2014·江宁一模)已知:二次三项式-x2-4x+5.证明:无论x取何值,此二次三项式的值都不大于9.
【证明】-x2-4x+5=-(x2+4x)+5=-(x2+4x+4-4)+5=-(x+2)2+9,
∵-(x+2)2≤0,∴-(x+2)2+9≤9,
即:-x2-4x+5≤9,
∴无论x取何值,此二次三项式的值都不大于9.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
用配方法解方程3x2-x-2=0.
(1)找错:从第步开始出现错误.
(2)纠错:__________________________________________________________ _
_________________________________________.
答案：(1)③
(2)配方,得x2-即开方,
得
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