y=Asin(ωx+φ)的性质
x0 的点的纵坐标， 2
因此， 函数 y sin 2 x x R 的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的 横坐标缩短到原来的 类似地，函数
1 y sin x x R 2
1 倍，纵坐标不变而得到的。 2
的图象，可以看作把正弦曲线上所有
点的 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变而得到的。
3 x 2 解： 以上三个函数的周期均为 2 因此，可以先画出它们在 [0 , 2 ]上的简图． 0 2 2
1 ⑶ y sin x , x R 2
1
sin x 2 sin x 1 sin x 2
y
2 1
1
0 0 0
1
2
1 2
0 0 0
y=2sinx
2
1 2
0 0 0
y= sinx
（6）.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称， 则θ= ( C )
(A) 2kπ+ (k∈Z) (B) 2kπ+π(k∈Z) 6 kπ+ (k∈Z) (D) kπ+π(k∈Z) 2
(C)
（7）.函数y=3sin(2x－5)的对称中心的坐标为 ; k 5 , 0) ( k∈Z) (
变换一:
y = 3sin( 2 x + ) 3
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
1 2
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
变换二:
B. y＝sin(2x＋ ) 2 D. y＝sin(2x＋ ) 4
C. y＝sin(2x－ ) 4
（4）. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期 4 内，当x＝ 时函数取得最大值2，当x＝
9
9
时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) B
A. y＝2sin(3x－ ) 6 x C. y＝2sin( 3 ＋ 6
⑴ y sin x , x R 解： 函数
[0 , ] 上的简图. 0 2x
yx sin 2 x0 x R ,
1 ⑶ y sin x , x R 2
sin 2 x
0
1
0
1
0
y
1 0 -1 π π 3π 4 2 4 y=sin 2 x π 2π 3π 2 3π 4π
x
y= sinx
例4 .作出函数 y = 3sin(2x + )的简图. 3
方法1:列表、描点、画图 分析 ： 因为T=，所以用“五点法”先作长度为
一 个周期的闭区间上的简图(P64).
略解： （1）列表：
x
0 2 y 3
y=3sin(2x+ 3
)
0
3
0
－3
0
(2) 描点：
(
6
,0),
( ,3), 12
4. x 称为相位；φ称为初相即x=0时的相位。
练习：说出函数y=3sin(2x+ 3 )表示一个 振动量时的振幅、周期、频率、相位和 初相。
y A sin( x )
y sin x
例1
在同一坐标系中画出下列函数的简图．
⑵ y 2 sin x , x R
⑴ y sin x , x R
y 2 sin x x R
的图象， 可以看作把正弦曲线上所有点的
因此， 函数
纵坐标伸长到原来的２倍，横坐标不变而得到的． 类似地，函数
1 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变而得到的． 2
1 y sin x x R 2
可以看作把正弦曲线上所有点的 的图象，
⑴
y A sin x x R （其中A 0且A 1）
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变 （2）向左平移 6
1 2
倍
y=Sin2x的图象
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y
3
2 1
y=sinx
o x
-１
-2 -3
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其 中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的 方法得到： 第一种变换: 第一步：先把正弦曲线y=sinx上所有的点向 左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个 单位长度，
sin
1 x 2
1
0
1
0
y
1 0 -1 π π 3π 4 2 4 y=sin 2 x π 2π 3π 2 3π
1 y=sin 2 x
4π
x
y= sinx
y
1 0 -1 π π 3π 4 2 4 y=sin 2 x π 2π 3π 2 3π
y=sin
1 2
4π
x
x
y= sinx
在函数 y sin 2 x x [0 , ] 的图象上，横坐标为 同正弦曲线上横坐标为 x 0 的点的纵坐标相等。
3、给出函数 y=Asin(x+)的部分图象求解析 式(1)由振幅定A (2)由周期定 (3)由特殊点定
重 点
4、函数 y=Acos(x+) 的相关问题同样处理。
作业
再见
2
2
（8）.函数y=2sin(2x+ )(x∈[－π,0］)的单调递减区
6
间是
;
5 [ , ] 6 3
小结：
1、作函数y=Asin(x+) 的图象：
（1）用“五点法”作图。
（2）利用变换关系作图。 2、函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(x+) 的图象间的变换关系。
1.5正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)
的图象
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0, ω >0)表示一个
振动量时，
1. A振幅，表示这个量振动时离开平衡位置的最
大距离； 2 2. T 是周期，表示往复一次所需的时间 ；
的次数；
1 3. f 是频率，表示单位时间内往复振动 T 2
)
B. y＝2sin(3x＋ 6 ) x D. y＝2sin( 3 － ) 6
(5)已知图象求解析式
函数 y A sin( x ) (A>0,>0) 的一个周期内的 图象如图，则有( D ) (A) y 3 sin(x ) 6 (B) y 3 sin(x ) 3 (C) y 3 sin(2 x ) 6 (D) y 3 sin(2 x ) 3
解：列表：
x
3
x+ 3
0 ) 0
6
2
2 3
7 6
3 2
5 3
0
2 0
9 4
sin(x+
3
1
3 4 2
–1
7 4 3 2
x－ 4 sin(x－ ) 4
x
4
5 4
0 0
π 0
2π 0
1
–1
（3）y=sin(x+ ) 与y=sinx 图象的关系
⑵
y sin x x R（其中 0且 1）
横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变
1
当ω＞1时， y sin x
y sin x y sin x
当０＜ω＜1时，y sin x
横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变
1
例3. 在同一坐标系中画出函数y＝sin(x＋ )，y＝sin(x－ ) 简图. 4 3
倍，纵坐标不变
第三步：最后把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时) 或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)。
（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍
y=ASin(x+ )的图象
第二种变换:
函数 y=Sinx
(1)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
y 1
3
0
-1ห้องสมุดไป่ตู้
4
π
2π
x
y 当 ＞0时， sin x
向左平移|φ|个单位
y sin x ） （
y sin x 向右平移|φ|个单位 y sin x ） 当 <0时， （
(简记为:左加右减)
的作用：引起图象的左右平移,它改变图象的位置, 不改变图象的形状.φ叫做初相.
例2
在同一坐标系中画出下列函数的简图．
⑵ y sin 2 x , x R
⑴ y sin x , x R
1 ⑶ y sin x , x R 2
1 解： 函数 y sin x0 x R 的周期 , x 2 1 [0 , 4 ]上的简图. x
2
0 0
2
2 T 4 因此,可以先画出它在 4 21 3 2 3 2 2
纵坐标伸长到原来的A倍 横坐标不变 纵坐标缩短到原来的A倍 横坐标不变
当A＞1时，y sin x
y A sin x y A sin x
y 当０＜A＜1时， sin x
例2
在同一坐标系中画出下列函数的简图．
⑵ y sin 2 x , x R
2 3 的周期 T 因此,可以先画出它在 4 2 2 4 3 2 2 2
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)
你认为应该按怎样的思路进行研究?
答案
能.可以先研究 φ 对函数 y=sin(x+φ)图象的影响,再依次研究 ω,A 对函数
y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
问题 2:函数 y=sin x 的图象与 y=sin(x+φ)的图象有什么关系?
π
π
3
3
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数 y=sin 的图象,再把函数 y=sin y=sin
3
-
π
3
的图象.
π
3
的图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍,就得到函数
课前预学
方法总结
课堂导学
伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
1
解决方法:已知函数 y=f(x)的图象,作函数 y=f(ωx)(ω>0)的图象, 为伸缩量.
π
6
图象上的一点,则点 G'
1
2
, 与 G″(2x,y)分别
在哪个函数图象上?
答案
G'
1
2
, 是 y=sin 2 +
问题 3:(1)函数 y=sin 2 +
π
6
图象上一点;G″(2x,y)是 y=sin
π
1
2
+
π
6
图象上的一点.
π
,x∈R 的图象,可看作是把 y=sin + ,x∈R 图象上
30
+
π
6
π
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．
考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质
考点十八 函数y =A sin(ωx +φ)的图象和性质知识梳理1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象 2．三角函数图象变换3．函数y =A sin(ωx +φ)的几个概念若函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．典例剖析题型一 三角函数的图象变换例1 (2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象________．(填序号)① 向左平移π12个单位 ②向右平移π12个单位 ③向左平移π3个单位 ④向右平移π3个单位答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．变式训练 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为________．答案 x ＝－π2解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．解题要点 图象平移时要注意平移量的求解，由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 题型二 三角函数的五点法作图 例2 设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解析 (1) 列表，描点画出图象：(2) 方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 解题要点 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 题型三 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解析 (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 解题要点 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.题型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性、周期性、奇偶性 例4 函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.变式训练 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(填序号) ① 函数f (x )的最小正周期为π ② 函数f (x )是偶函数③ 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称④ 函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 答案 ③解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，④正确，故选③. 解题要点 1.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2.求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象． 3.三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．另外函数y ＝A sin(ωx ＋φ)、余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)在对称轴处必取极值±A ，在对称轴处必取0，借助这一性质可快速解题．当堂练习1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象可得，3T 4＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1， 令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则取k ＝0，∴φ＝－π3. 2．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 ②在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增③在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 ④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 答案 ②解析 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．3. (2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________．(填序号)①向左平行移动12个单位长度 ②向右平行移动12个单位长度③向左平行移动1个单位长度 ④向右平行移动1个单位长度 答案 ①解析 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需要将y ＝sin 2x 的图象向左平行移动12个单位长度．4．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图象，由该函数的图象关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin ＝3π8.5．(2015新课标Ⅰ文)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 课后作业一、 填空题1．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________. 答案 π6解析 由题意g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)，又g (x )＝sin(2x ＋φ)，0＜φ＜π2，∴φ＝π6.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. 答案 π4解析 由函数横向平移规律“左加右减”则y ＝sin(2x ＋φ)向左平移π8个单位得y ＝sin(2x ＋π4＋φ).由y ＝sin(2x ＋π4＋φ)为偶函数得π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π4＋k π，k ∈Z ，则φ的一个可能值为π4.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y ＝sin(2x ＋π2) ②y ＝cos(2x ＋π2) ③y ＝sin(x ＋π2) ④y ＝cos(x ＋π2)答案 ①解析 对于选项①，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选①.4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为________. 答案 －sin x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x . 5．已知函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.① ω＝1，φ＝2π3② ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π3答案 ④解析 由题图可知14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，1，∴cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝2k π，令k ＝0，得φ＝－23π. 6．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.答案 向右平移π3个长度单位解析 由y ＝sin[(x －π3)＋π6]＝sin(x －π6)知应向右平移π3个长度单位.7．(2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.答案 8解析 由图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________. 答案 2解析 ∵y ＝sin ω(x －π4)过点(34π，0)，∴sin π2ω＝0，∴π2ω＝k π，ω＝2k ，当k ＝1时，ω最小值为2.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.答案 2sin(π8x ＋π4)解析 依题意得，A ＝2，2πω＝2×(6＋2)＝16，ω＝π8， sin(π8×2＋φ)＝1，又|φ|<π2，因此φ＝π4，f (x )＝2sin(π8x ＋π4)． 10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，∵图象关于直线x ＝π12对称，∴π6＋φ＝π2＋k π，(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3. ∴y ＝sin(2x ＋π3).当x ＝π4时，y ＝sin(π2＋π3)＝12，故①不正确．当x ＝π3时，y ＝0，故②正确；当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，y ＝sin(2x ＋π3)不是增函数，即③不正确；当x ∈[－π6，0]时，2x ＋π3∈[0，π3]⊆[0，π2]，故④正确．11． (2015湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 答案 π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z )．∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝⎛⎭⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解析 (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．13．(2015湖北文)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.。
高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的性质
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条
件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程． 解：由4x＋23π＝kπ＋π2，得x＝k4π－2π4， 取k＝0时，x＝－2π4满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果
)
A．3π，13，π6
B．6π，13，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
答案：B
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝
A．5
B．－5
()
C．4
D．－4
答案：C
4．函数f(x案：x＝kπ＋34π，k∈Z
[法二 待定系数法]
由图象知A＝3.∵图象过点π3，0和56π，0，
∴5π3πω6ω＋＋φφ＝＝π2，π，
ω＝2， 解得φ＝π3.
∴y＝3sin2x＋π3. [法三 图象变换法]
由A＝3，T＝π，点 －π6，0 在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x向左平移π6个单位长度而得，
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝π3
解析：选A T＝2ωπ＝2ππ＝6，
3
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.
∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)
A>0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此 函数的解析式．
三角函数图象的对称性
[典例] 在函数y＝2sin4x＋23π的图象的对称中心中，离原
点最近的一个中心的坐标是________． [解析] 设4x＋23π＝kπ(k∈Z)，得x＝k4π－π6(k∈Z) ∴函数y＝2sin 4x＋23π 图象的对称中心坐标为 k4π－π6，0
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
关 的
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调 单 调
2
与 正
区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 区 弦
ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”， 即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的 单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.
间 的 求 解 技
例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色， 如图某摩天轮最高点距离地面高度为120m , 转盘直径为110m ，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的 距离进舱。转一周大约需要30 min . (1)游客甲坐上摩天轮的座舱开始转动t min 后距离地面的高度为Hm, 求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；
函 数
图
区间－π6，23π上存在零点，求实数 k 的取值范围.
象 的 特
解（1）f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12 ＝ 23sin 2ωx＋cos 2ω2 x＋1－12
点
＝
3 2 sin
2ωx＋21cos
2ωx＝sin2ωx＋π6，
， 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为π2. 所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π
令 2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－1π2(k∈Z)， 所以对称中心为k2π－1π2，45(k∈Z).
（3）当 sin2x＋π6＝－1，即 2x＋6π＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为34，
此时 x 的取值集合是xx＝－π3＋kπ，k∈Z
函数y=Asin(ωx+φ)的性质-三角函数
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填一填
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
1 __[_－___A__，___A__]_____
周期
T＝2ωπ
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奇偶性 φ＝ 2 kπ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝ 3 kπ＋π2，k∈Z
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类型 二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(自主探究) 1．若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ＝( C )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
解析 因为函数 y＝sin(ωx＋φ)在 φ＝kπ±2π(k∈Z)时为偶函数，且 0≤φ≤π，所以
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类型 三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 【例】 函数 h(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．若把函 数 h(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 f(x)的图 象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 y＝f(x＋φ′)0<φ′<2π是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ′)在[0,2π]上的单调递减区间．
第15讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学生版)
第15讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一，基础知识回顾的最小正周期为 ．的最小正周期为 ．3．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图4得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．5.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝ ，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)性质（1）单调性： （2）最值： （3）周期：（4）对称性： （5）奇偶性： 二，典例精析题型一：五点法作图及图象变换例1：已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移1：(1)要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D 向左平移π12个单位(2)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________． 题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2：(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝变式训练2：(1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝题型三：三角函数图象与性质的综合应用例3：设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．变式训练3：已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．题型四：三角函数模型的简单应用例4：如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．变式训练4.：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？题型五：三角函数背景下的创新问题例5：设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是变式训练5：已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为三．方法规律总结1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．4．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性． 四、课后练习作业 一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A. πB.π4C.π3 D ．π23．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 B 关于直线x ＝π4对称C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D 关于直线x ＝π3对称 4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ）1212个单位 5．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( D )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数7．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( C )． A.13B ．3C ．6D ．9 8．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( D ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π129．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( D )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是( B )A ．)185,92[ππ B ．]185,92(ππ C ．)185,92(ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡185,92ππ 二、填空题11．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．12．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.14．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 三、解答题15．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．16．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。
人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质 教案
三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。
教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像 理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。
教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点：解决三角函数的综合问题 教学手段：合作学习，讲练结合 教学过程： （一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
变式训练 1 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f
7π 12
=
.
解析:函数的周期为 T=2
间的距离为π3,
3
5π 4
−
π 4
=23π,则图中相邻两个零点之
又π
4
+
π 3
=
71π2,所以
f
7π 12
=0.
答案:0
探究一
探究二
探究三
所以 φ=π,故选 C.
(3)依题意有2���π��� =4π,
所以 ω=12,即 y=13sin
1 2
������
+
π 6
,
而当 x=-43π时,函数取得最小值-13,故 x=-43π是其图象的一条对称
轴.选 A.
答案:(1)D (2)C (3)A
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
三角函数图象变换的应用
(3)因为1π2≤x≤π2,所以π3≤2x+π6 ≤ 76π,
即-1≤2sin
2������
+
π 6
≤2,
因此-1≤y≤2,故函数 f(x)的值域为[-1,2].
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
例 且函数
f5(x已)的知图函象数的f(两x)相=2邻sin对���称���������轴+间������的- π6距+离1(0为<π2φ.<π,ω>0)为偶函数,
因为|φ|<π2,所以 φ=π3,故 y=3sin