马科维茨资产组合选择读书报告
6第六讲 现代投资理论：马科维茨投资组合选择理论(E-V)
D
12%
·
最小方差 组合 可行集
·
B
N
18% 24%
标准差
A
金融学院金融学系 金融学院金融学系
σp
B.允许卖空 图6-4 可行集和有效集[允许卖空]
ERp
有效集
2.最优投资组合的选择 分析了n项风险资产模型后，我们得到了可供投资者 选择的有效集[可看作备选方案]。这样在引入投资者风险 B
可行集
厌恶的假设后，即可确定某一投资者的最优投资组合，该 组合必然是有效集NB曲线与投资者无差异曲线的切点所 代表的投资组合，如C点、D点[如图6-5、图6-6]。
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2.投资组合理论的局限性 9Markowitz的投资组合理论的理论假设过于严格，与现实 相去太远； 9该理论也没有考虑到西方金融市场实践中现实存在的可 以卖空风险资产的情况[在引入风险资产卖空假设后，有效 集将会发生轻微的改变。如前所述布莱克完成了拓展工 作。]
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9该理论没有考虑现实中存在的无风险资产情况。在该理 论中，我们假定所有证券均是有风险的，而没有考虑无风 险资产的情况[在引入无风险借贷假设后，有效集将发生重 大改变，如前所述托宾完成了拓展工作]； 9Markowitz的投资组合理论面临的主要问题是，他所提供 的方法对普通投资者而言应用难度太大，只有一些大型的 机构投资者才能运用，并且该理论在实际运用中还面临计 算烦琐等问题。
9假设6：不考虑无风险资产，投资者不可以按无风险利率进 行资金借贷[后来Tobin修正了这一假设，在模型中引入了无风 险借贷假设，见表6-1“Markowitz投资组合模型的拓展”]； 9假设7：不考虑税收、交易成本等因素，即市场环境是无摩 擦的。
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马科维茨资产组合选择模型
马科维茨资产组合选择模型马科维茨资产组合选择模型是20世纪50年代由美国经济学家哈里·马科维茨提出的，它是一个经典的现代资产组合理论，被广泛应用于投资组合的构建和风险管理。
资产组合是指通过分散投资降低风险，并在不同资产之间实现收益最大化的组合。
在构建资产组合时，投资者需要考虑资产的收益、风险和相关性等因素。
马科维茨模型的核心思想是通过优化投资组合来实现最大化的收益和最小化的风险。
根据马科维茨模型，投资者可以通过以下步骤来构建资产组合：1、确定可用投资对象和资产的收益率和标准差等风险指标。
2、计算不同资产之间的相关系数，以了解它们之间的关联程度。
3、通过计算每种资产的预期收益率、标准差和相关系数来确定每种资产所贡献的效用。
4、通过计算各种资产之间的交叉效用来确定资产组合的整体效用。
5、通过最小化投资组合的风险，并使投资组合达到预期收益的最大化，确定最优化投资组合。
6、定期对投资组合进行调整和监控，以确保投资组合与风险偏好的变化相适应。
马科维茨模型的关键在于寻找最优化资产组合，最优化资产组合是指在给定风险水平下，能够实现最大化预期收益率。
根据模型，投资者需要构建一个有效前沿，这个前沿代表每种风险水平下最高预期收益率所对应的资产组合。
有效前沿显示了投资者能够在不增加风险的情况下获得更高的预期收益率。
马科维茨模型的优点在于它提供了一种科学的方法来构建有效的资产组合，并帮助投资者理解不同资产之间的相关性。
它还提供了一种定量方法来评估不同的投资策略，并可以根据实际情况对投资组合进行调整。
但是，马科维茨模型也有一些限制。
首先，该模型假设投资者是理性决策者，能够准确估计预期收益和风险。
其次，该模型不考虑市场的非理性和不确定性因素，这些因素可能会导致投资组合的价值下降。
此外，该模型还假设市场是有效的，即所有的投资者都具有相同的信息，从而导致资本市场行为的分散性问题被低估。
总的来说，马科维茨资产组合选择模型是一种基于现代资产组合理论的有效工具。
markowitz的文献综述
文献综述：Markowitz的资产组合理论随着金融市场的不断发展，投资者对资产配置和风险管理的需求愈发迫切。
在这个方兴未艾的环境下，哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出了著名的资产组合理论（Modern Portfolio Theory），该理论对资产组合和风险管理产生了深远的影响。
本文将对Markowitz的资产组合理论进行综述，探讨其核心理念、应用价值以及未来发展趋势。
一、资产组合理论的核心理念1.1 效用理论Markowitz的资产组合理论建立在效用理论的基础之上。
他提出，投资者的最终目标不是简单地追求收益最大化，而是在一定风险水平下追求效用最大化。
投资者的投资决策不仅取决于预期收益，还应考虑风险水平和资产之间的相关性。
1.2 效率前沿Markowitz将资产组合理论建模为一个多目标优化问题，他提出了“效率前沿”的概念。
效率前沿是指在给定风险水平下，投资组合所能达到的最大收益，或者在给定收益水平下，投资组合所能达到的最小风险。
通过对效率前沿的研究，投资者可以找到最优的资产配置方案。
1.3 马科维茨方差-收益均衡模型Markowitz提出了著名的方差-收益均衡模型，该模型将投资组合的风险定义为收益的方差，将投资组合的收益定义为期望收益。
他指出，投资者在选择资产配置方案时应该追求一种均衡，即在风险和收益之间取得最佳的折衷。
二、资产组合理论的应用价值2.1 风险管理Markowitz的资产组合理论为风险管理提供了重要的思路。
通过对资产之间相关性的分析和有效的风险分散，投资者可以在一定程度上规避风险，提高投资组合的抗风险能力。
2.2 盈利机会资产组合理论也为投资者提供了寻找盈利机会的方法。
通过对不同资产类别和不同资产之间相关性的分析，投资者可以发现低相关性的资产，实现有效的分散，从而获取更高的收益。
2.3 资产配置决策资产组合理论已经被广泛应用于资产配置决策中。
投资分析与组合管理读书札记
《投资分析与组合管理》读书札记一、资产分配策略分析资产分配策略是投资者根据自身的风险承受能力、投资目标、投资期限和市场预期等因素，将投资资金分配到不同的资产类别中。
这一策略的目的是实现投资组合的多元化，降低单一资产的风险，提高整体投资组合的风险调整后收益。
风险承受能力分析：在进行资产分配时，首先要评估投资者的风险承受能力。
风险承受能力较低的投资者更倾向于选择风险较低的资产，如债券、货币市场基金等。
而风险承受能力较高的投资者则可以考虑配置更多的股票、商品等风险较高的资产。
投资目标分析：投资目标的不同会影响资产分配策略。
长期投资者更注重资产的长期增值潜力，可能会选择成长性较高的资产进行配置。
而短期投资者更注重现金流和短期收益，可能会选择流动性较强的资产。
投资期限分析：投资期限的长短会影响投资者的投资策略和资产分配。
长期投资者可以有更多的时间和机会去分散投资，降低单一资产的风险。
短期投资者则需要更加关注市场的短期波动，及时调整投资组合。
市场预期分析：市场预期限也是制定资产分配策略的重要因素之一。
投资者需要对市场的发展趋势、行业前景等进行深入研究和分析，以便在合适的时机调整投资组合的配置比例。
当预期股票市场将出现上涨行情时，投资者可以增加对股票的配置比例；反之，当预期市场将出现波动或下行风险时，投资者可以更多地配置债券等相对稳定的资产。
资产分配策略是投资分析与组合管理的核心环节之一，在制定资产分配策略时，投资者需要综合考虑自身的风险承受能力、投资目标、投资期限和市场预期等因素，以实现投资组合的多元化和降低风险的目的。
投资者还需要不断学习和调整投资策略以适应市场的变化和挑战。
在实际操作中，投资者可以通过多种方式进行资产配置，如定期定额投资、动态资产配置等。
投资者还可以借助专业的投资顾问或金融机构的帮助来制定和执行资产配置计划。
《投资分析与组合管理》一书为投资者提供了宝贵的投资知识和经验，有助于投资者更好地理解和应用资产配置策略以实现投资目标。
资产组合理论实训报告
一、实训目的本次实训旨在通过实际操作，加深对资产组合理论的理解，掌握资产组合的构建方法，提高风险管理和投资决策能力。
二、实训内容1. 资产组合理论概述资产组合理论是由美国经济学家马科维茨于1952年提出的，主要研究如何通过投资不同资产来分散风险，实现收益最大化。
该理论的核心思想是：投资者应将资金分散投资于多种资产，以降低非系统性风险，实现风险与收益的平衡。
2. 资产组合构建（1）资产选择：根据投资者风险偏好和投资目标，选择具有不同风险和收益的资产，如股票、债券、基金等。
（2）资产权重确定：根据各资产的风险和收益，确定其在资产组合中的权重。
权重确定方法有：等权重法、最小方差法、夏普比率法等。
（3）资产配置：根据资产权重，将资金分配到各资产中。
3. 风险管理（1）系统性风险：通过分散投资，降低非系统性风险，但无法降低系统性风险。
投资者应关注宏观经济、政策等因素，以降低系统性风险。
（2）非系统性风险：通过资产组合，降低非系统性风险。
投资者应关注各资产之间的相关性，选择相关性低的资产进行组合。
4. 实训过程（1）收集数据：收集各资产的历史收益率、波动率、协方差等数据。
（2）构建资产组合：根据资产选择、权重确定和资产配置，构建资产组合。
（3）模拟投资：模拟投资过程，观察资产组合的表现。
（4）分析结果：分析资产组合的风险和收益，评估投资效果。
三、实训结果与分析1. 资产组合表现通过模拟投资，观察资产组合在一段时间内的表现。
结果显示，资产组合的收益率高于单一资产收益率，且风险低于单一资产风险。
2. 风险管理效果通过资产组合，有效降低了非系统性风险。
在模拟投资过程中，资产组合的波动率低于单一资产波动率。
3. 投资效果评估（1）收益率：资产组合的收益率高于单一资产收益率，说明资产组合在风险可控的情况下，实现了收益最大化。
（2）风险控制：资产组合的风险低于单一资产风险，说明资产组合在实现收益的同时，有效控制了风险。
马克维茨的资产组合理论
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 来说明。
E(RP )
E(RB )
B
=0
E(RA )
A
0
A
B
P
图 3 完全不相关时的组合收益与风险的关系
14
思考：
➢ 假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。A的期 望收益率E（RA）=5%，标准差σA=20%；B的期望 收益率E（RB）=15%，标准差σB=40%；
数为1的时候，组合收益 也是组合风险 的线性函数。
E(Rp )
p
10
证明：
∵σp=WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB－σA）
∴WB
P B
A A
∴ EP
EA
P B
A A
(EB
EA)
E A B E A B P (EB E A ) EB A E A A B A
第第1010章章1马克维茨的资产组合理论马克维茨的资产组合理论第第1010章章1马克维茨的资产组合理论马克维茨的资产组合理论一基本假设投资者的厌恶风险性和不满足性
第10章—1 马克维茨的资产组合理论
一、基本假设 ➢ 投资者的厌恶风险性和不满足性：
1、厌恶风险 2、不满足性
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
（2）衡量证券i系统性风险的指标：
i
CoviM
2 M
25
➢ 假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益 率之间存在着一种线性关系:
it i i mt it （t=1,2…n） 其中， it ：误差项， E(i ) 0, Cov(i , j ) 0, Cov(it ,it' ) 0 ；
浅谈现代资产组合理论
浅谈现代资产组合理论摘要：本文简单探讨了马科维茨的资产组合理论，介绍了资产组合理论的背景，给出了马科维茨均值-方差模型，阐述了该模型对资产投资选择的贡献。
在此基础上提出了马科维茨投资理论在实际操作中的局限性。
关键词：资产组合风险收益1.理论背景资产投资组合是投资者同时投资于多种证券，如股票、债券、银行存款等，投资组合不是券种的简单随意组合，它体现了投资者的意愿和投资者所受到的约束，即受到投资者对投资收益的权衡、投资比例的分配、投资风险的偏好等的限制。
现代资产组合理论最初是由美国经济学家哈里·马科维茨（Markowits）于1952年创立的，资产投资组合是投资者对各种风险资产的选择而形成的投资组合。
由于资产投资收入受到多种因素的影响而具有不确性，人们在投资过程中往往通过分散投资的方法来规避投资中的系统性风险和非系统性风险，实现投资效用的最大化。
资产投资组合管理的主要内容就是研究风险和收益的关系。
一般情况下风险与收益呈现正相关的关系。
即收益越高，风险越大；反之，收益越小，风险越小。
理性的投资者在风险一定的条件下，选择收益大的投资组合；在收益一定的条件下，选择风险小的资产投资组合。
马科维茨认为最佳投资组合应当是具有风险厌恶特征的投资者的无差异曲线和资产的有效边界线的交点。
威廉·夏普（Sharpe）则在其基础上提出的单指数模型，并提出以对角线模式来简化方差－协方差矩阵中的非对角线元素。
他据此建立了资本资产定价模型(CAPM)，指出无风险资产收益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风险偏好的投资者组合。
根据上述理论，投资者在追求收益和厌恶风险的驱动下，会根据组合风险收益的变化调整资产组合的构成，进而会影响到市场均衡价格的形成。
2.理论主要内容马科维茨认为投资者都是风险规避者，他们不愿意陈但没有相应期望收益加以补偿的外加风险。
投资者可以用多元化的证券组合，将期望收益的离差减至最小，因此马科维茨根据一套复杂的数学方法来解决如何通过多元化的组合资产中的风险问题。
对马科维兹投资组合理论的反思
对马科维兹投资组合理论的反思□龙先文邓纯阳马科维兹（Markowitz）的投资组合理论（Portfolio theory）主要体现在其于1952年发表的《证券组合选择》及其1959年出版的同名著作中。
在投资组合理论中，马科维兹首次将数学中刻画随机变量数字特征的期望和方差引入投资管理的分析框架，对衡量投资风险的基本概念进行了重新定义，为投资管理的定量分析提供了理论前提，而且其精巧的数学模型为投资者提供了有效分散投资的实际指引。
在此基础上，夏普（William Shape，1964）、林特纳（Lintner，1965）、莫辛（Mossin，1966）进一步提出了资本资产定价模型（CAPM），以及对资本资产定价模型进行检验的有效市场理论（EMH）（EugeneFama，1976Grossman，1980），这3大理论共同奠定了现代意义上的金融理论的基石。
马科维兹理论基本前提和假设：①投资者都是风险规避者，同时收益是不知足的；②假设资产回报率的均值和方差可以比较全面地反映该资产的回报和风险状况，投资者都遵循均值-方差原则（Mean – Variance Criterion）；③投资者仅进行单期投资决策；④无风险资产是存在的，投资者可以按无风险利率水平借贷；⑤完全信息与齐性预期。
也就是说市场中的投资者不仅对无风险资产的收益率，而且对风险资产收益率的预期及其相关系数都能达成共识；⑥投资风险收益服从正态分布，投资者效用函数是凹的二次函数。
在以上前提和假设下，投资者选择资产时能够追求风险给定下收益最大化或利润给定下的风险最小化。
一、马科维兹投资组合理论遭受来自实践的挑战1967年，美国俄勒冈大学的巴曼（Bauman）发表了“科学投资分析：是科学还是妄想”论文，首次对马科维兹投资组合理论发难。
1977年，罗尔（Roll）发现，以统计数据与模型的冲突显示标准金融学基石的CAPM可能是无法检验的。
20世纪80 ~ 90年代有效市场假说（EMH）也因大量的统计异象遭到前所未有的质疑。
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马科维茨《资产组合选择》读书报告摘要投资者采取最大化折现期望或预期回报的准则，该准则不足以作为立论的前提假设和引领投资者行为的最大化原则，它不能得出存在一个优于所有非分散化组合的分散化资产组合。
马科维茨用几何方法表示了主观信念和资产组合选择之间依照“期望E回报——回报方差V”准则形成的关系。
E-V准则得出投资者将希望选择可行组合中最富有效率的一个，也就是给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大，该准则得出的有效资产组合几乎都是分散化的。
本文用三只证券的案例及一些简单的数学模型，主要考察资产组合选择过程的第二个阶段：从对所包括的证券的相关主观信念形成资产组合选择。
【关键词】分散化E-V准则组合选择1952年，马科维茨在《金融杂志》上发表题为《资产组合选择》一文，该文堪称现代金融理论史上的里程碑，标志着现代组合投资理论的开端。
该论文最早采用风险资产的期望收益率（均值）和用方差（或标准差）代表的风险来来研究资产组合和选择问题。
马柯维茨根据风险分散原理，应用二维线性规划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效边界，使边界上的每一个组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。
同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响，相关系数越大，代表风险的方差越大，因此我们应当在产业间进行分散化投资组合选择，必须避免投资于具有很高相关性的证券。
一、马科维茨投资组合模型的前提假设（一）从对所包括的证券的相关主观信念形成资产组合选择在文章的开头和结尾，马科维茨一直在强调他研究的着眼点是资产组合选择过程的第二个阶段，即从对备选证券未来表现的有关主观信念形成资产组合选择。
在这之前，传统的经济学家多从资产组合选择过程的第二个阶段出发，即从观察和经验形成对备选证券未来表现的主观信念。
这样的经验观察多是用描述性的语言对金融问题进行研究，研究结果缺乏数据支撑及数学模型的论证。
而马科维茨与众不同的着眼点，资产组合选择一定会涉及到有限资源下如何做选择的问题，他巧妙地借用了数学中的期望和方差及线性规划等工具来定义预期回报及其不确定新及他们形成的组合，解出来最有效率的资产组合选择。
马科维茨使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融领域。
（二）分散化资产组合选择传统的经济学家往往会把预期收益最大化作为投资的最终目标和准则，而马科维茨认为该准则不能得出存在一个优于所有非分散化组合的分散化资产组合，应该被摒弃。
尽管投资管理人和经济学家早就意识到了把收益和风险同时考虑的必要性，然而他们却忽略了投资分散化和预期收益最大化之间的矛盾。
马科维茨认为在证券组合选择过程中，如果一个投资者仅仅是使预期收益最大化，那么他永远不会选择投资分散化。
如果一种证券的预期收益高于任何其他证券，投资者会将所有的资金投放在这种股票上。
如果几种股票有相同的最大的预期收益，投资者将会把投资局限在这几种证券之间，而忽视证券组合的分散化。
因此他说考察投资者采取（或者应当采取）追求期望回报，回避回报方差的准则。
这一准则作为投资者行为最大化原则和前提假设具有许多优点，可以能得出分散化优越性。
二、马科维茨均值-方差模型或者E-V准则根据马柯维茨理论的前提假设：投资者仅依靠投资的预期收益和预期风险来做出决定。
先介绍数学中的期望与方差，再介绍证券预期回报和风险的计算方法。
（一）数学中期望与方差Y为值是偶然性确定的随机变量，取有限个值y1，y2，…，yN.对应的概率分别为p1，p2，…，pN ，Y的期望：E=p1y1+p2y2+…+pNyNY的方差：V=p1(y1-E)^2+p2(y2-E)^2+…+pN(YN-E)^2。
假设有一系列随机变量R1,R2,…,Rn,如果R是Ri的加权和（线性组合）则R = a1 R1 +a2 R2 +…+an Rn，那么R也是随机变量。
加权和的期望值是期望值的加权和:E(R)= a1 E(R1) +a2E( R2 ）+…+anE( Rn)加权和的方差为:V（R）=其中Ri和Rj的协方差为σij=E { [ Ri -E（Ri）] [ Rj -E（Rj）] }它用相关系数ρij来表示为σij= ρijσiσj，等于它们的相关系数乘以Ri的标准差再乘以Rj的标准差。
如果运用Ri的方差为σii的事实，则马科维茨认为风险资产（如证券）的收益是不确定的，在不同的情况下其收益表现一般不同。
为了衡量该种资产的平均收益率，马科维茨提出了期望收益率（均值）这一概念。
它等于该资产在各种可能状态下收益率的加权平均数，权数为各种可能状态下的几率。
实际收益率与期望收益率一般总存在一些差距，这种差距产生的不确定性就是风险。
马科维茨用方差（或标准差）对其进行衡量。
它等于实际收益率和期望收益率之间差额的平方的加权平均数，权数为各种可能状况的几率。
将方差开方后取绝对值，就得到了标准差。
但是注意到资产的方差与资产间的相关系数有关。
（二）投资组合的期望回报和期望风险设有N 种证券，不允许卖空，同时满足分散化投资和最大化期望回报存在rit为t 时期投资于证券i的每单位货币的预期回报（不管其如何确定），dit为第i 个证券在时期t 的回报折现为现值的比率，Xi为投资于证券i 的相对数量。
组合的折现预期回报R为第i 个证券的折现回报Ri为则组合的折现预期回报R为:Xi与Ri独立，所有Xi的和为1，R 是以非负的Xi为权数的Ri的加权平均，为了最大化R，我们对Ri最大的i 取Xi =1。
如果某些Rɑa，a=1，… ，K 最大，那么只要满足都可以资产组合整体的期望回报E，μi为Ri的期望值；资产组合整体的期望风险V是，σij为Ri和Rj的协方差.通常如果用“期望收益”或“期望回报”替代“收益”，用“回报方差”或“方差”替代“风险”，不会引起表面含义的变化。
（三）投资组合选择的E-V准则在用期望收益率（均值）和方差（或标准差）对资产组合的平均收益率和风险进行度量之后，马科维茨提出了有效资产组合的概念。
有效的资产组合是指在特定的风险下，期望收益率最高的资产组合；或在特定的期望收益率下，风险最小的资产组合，只有这样的组合才是投资者的合理选择。
这是因为证券回报的关联性太强，分散化就不能抵消所有的方差。
具有最大期望回报的资产组合不一定具有最小方差。
存在一个投资者可以在控制方差的前提下获得期望回报，或者在放弃期望回报的前提下减少方差的比率。
这就是E-V准则，即给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大。
如图1所示图1三、马科维茨理论在三个证券案例中的具体应用在三只证券的情况下，我们的模型减少为将X3=1-X1-X2代入1）和2）可以得到用X1和X2表示的E和V，简记为其中进一步化简我们将给定期望回报时所有点（资产组合）构成的集合定义为“等均值”线。
可以看出，如果我们改变E，截距会改变但是等均值线的斜率不会改变。
这就确定了等均值线构成一簇平行直线的结论。
同样，将给定回报方差时所有点构成的集合定义为“等方差”线。
同样地，通过简单地应用几何分析，我们确定等方差线构成一簇同心椭圆。
曲线簇的“中心”是最小化V 的点，我们将该点标记为X，将它的期望回报和方差标记为E 和V。
偏离X 越远时，方差会增加。
“资产组合可行集”：由所有满足下列约束组合构成：X1≥0，X2 ≥ 0，1- X1- X2 ≥ 0，X3 = 1 – X1 – X2。
“有效组合”:给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大。
在图形当中是在可行集内等均值线和等方差线相切的点的轨迹。
如下图2粗折现所示：图2在三只证券的情形下，E = a0 + a1X1+ a2X2是一个平面； V = b0+b1X1+ b2X2+b12X1X2 + b11X21 +b22X22 是一条抛物线。
如图3 所示，E-平面在有效组合集之上的部分是一系列折线段。
V-抛物线在有效组合集之上的部分是一系列抛物折线。
如果就有效组合的E 画出V，我们也将得到一系列抛物折线（见图4）图3图4具有 4 只证券的有效集，如同具有3 只证券和N 只证券的情形一样，是一系列折线段。
有效集的一端是方差最小的点，另一端是期望回报最大的点。
我们可以使用该方程在三维空间中表示四只证券。
消去 X4，我们得到E=E（X1，X2，X3），V=V（X1，X2，X3）。
在三维空间中，用向量（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）将可行集表示为四面体，资产组合表示为X4=1，X3=1，X2=1，X1=1。
如图5所示图5就像在二维的情形一样，具有最小可取方差的点可能在可取集内或者在其中的一条边界上。
一般地我们沿着一条给定的临界线直到这条线或者与一个较大的子空间相交，或者触及一条边界（以及同时具有较低维数子空间的临界线）。
在上述任何一种情况下，效率线会反转并且沿着新的直线连续。
当到达具有最大E 值的点时，效率线将终止。
四、马科维茨理论在实践中具体应用（一）理论分析在理论分析中，我们会考察诸如对公司普遍持有的主观信念的变化、或者对期望回报与回报方差偏好的一般性变化、或者证券供给的变化所产生的各种效应。
在我们的分析中，Xt 可以表示单只证券或者表示如债券、股票和房地产的总体。
假设投资者在两个组合之间进行分散化（即他将一部分资金投入一个组合，将其余的资金投入另一个组合。
在组合之间进行分散化的一个例子是买入两个不同投资公司的股份）。
如果两个原始组合P’=（X’1，X’2），P’’=（X”1 ，X”2）的方差相等，那么一般地最终的（复合）p组合的方差将小于任何一个原始组合的方差。
P =ɑP’+（1-ɑ）P’’=ɑ（X’1，X’2）+（1- ɑ）（X”1 ，X”2）=[ ɑX’1+ （1- ɑ）X”1 ，ɑX’2 +（1- ɑ）X”2]这是因为P 位于联结P’ 和P’’的直线上。
而直线上的方差比端点处的方差小这从图6可以看出图6（二）证券选择E-V 准则不仅蕴含着分散化，而且蕴含着由“正确性原因”引起的分散化的“正确性”。
投资者并非仅仅根据持有不同证券的数量来运用分散化。
例如，一只包含十六只铁路证券的组合的分散化效果比不上同样规模但包含铁路、公用事业、采掘、各种实业等的证券组合。
原因在于同一产业内的公司比不同产业间的公司在同一时期内的表现通常来讲有可能更差。
同样，为了降低方差，投资于多个证券是不够的。
必须避免投资于具有很高相关性的证券。
我们应当在产业间进行分散化，因为不同产业的公司，尤其是经济特性不同的产业，比同一产业内的公司具有更低的相关性。
五、文章评述（一）主要局限马科维茨在文中说过，我们力图避免复杂的数学表述和证明，严格而且一般性的讨论需要花费一定的代价。