2020年广东省广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科综合试题
【理科综合模拟】2020年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科综合能力试题.doc
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科综合2020.3相对原子质量： H 1； C 12 ； N 14 ； O 16 ； K 39； Cr 52； Fe 56一、选择题1、下列关于细胞结构与成分的叙述，正确的是A、细胞间的通讯都与细胞膜表面的糖蛋白有关B、核糖体是细胞内蛋白质的“装配机器”，主要由蛋白质和tRNA组成C、细胞核是遗传信息库，遗传信息的表达在细胞核中完成D、细胞骨架是由蛋白质纤维组成的网架结构，能保持细胞形态2、下列有关细胞的生命历程的叙述，错误的是A、细胞分裂能力随分化程度的提高而增强B、癌变细胞的形态结构会发生显著变化C、细胞凋亡有助于机体维持自身的相对稳定D、衰老的细胞，细胞新陈代谢的速率减慢3、下列与神经调节有关的叙述，正确的是A、人体细胞中只有神经元能产生兴奋，其他细胞不能B、细胞膜外Na＋的内流是神经元产生静息电位的主要原因C、神经递质通过主动运输的方式由突触前膜分泌到突触间隙D、位于脊髓的低级中枢可受脑中相应的高级中枢调控4、河北塞罕坝林场的建设者们在“黄沙遮天日，飞鸟无栖树”的荒漠沙地上艰苦奋斗、甘于奉献，创造了荒漠变林海的人间奇迹，是推动生态文明建设的一个生动范例，下列有关叙述错误的是A、在一定条件下，群落可按照不同于自然演替的方向和速度进行演替B、荒漠生态系统的组成成分是生产者、消费者和分解者C、最初阶段，随着森林覆盖率上升塞罕坝林场固定的太阳能逐渐增加D、森林对水土的保持作用体现了生物多样性的间接价值5、下列关于科学研究技术和方法的叙述，错误是A、分离真核细胞各种细胞器的常用方法是差速离心法B、同位素标记法可用于了解生物化学反应的详细过程C、沃森和克里制作的DNA模型反映了DNA分子结构的特征D、目测估计法是估算种群密度最常用的方法之一6、右图示某动物体内的两个细胞，乙细胞由甲细胞分裂形成，以下分析错误的是A、乙细胞处于减数第二次分裂后期B、乙细胞的形成过程受性激素调节C、形成乙细胞的过程中一定发生了基因突变D、与乙轴时形成的另一细胞的基因型可能是AaB或aaB或AAB7．《本草纲目》记载：“烧酒，其法用浓酒和糟入甑，蒸令气上，用器承滴露”，“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”。
广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数)学生版
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）A ．M N M =IB ．M N N =IC ．M N M =UD ．R M N =U2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．±3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3,)-+∞B ．(,3]-∞-C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．设函数1()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111,33AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ）A ．16VB ．29VC ．13VD ．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．514B ．914C ．37D ．478．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．49．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251,43a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知点00(,)P x y 是曲线32:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =11．已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．54B ．43C ．53D ．212．已知函数221,0()1,0x x x f x x x x ⎧--+<⎪=⎨-+⎪⎩≥，若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零点123,,,,m x x x x L ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=L （ ）A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边 三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的 体积为 ，表面积为 ．14．在251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是15， 则实数a = ．15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的值为．16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1cos sin ()22n n a a n n n n ππ*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则119a m+的最小值为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．已知c =sin sin sin sin ab Ca Ab Bc C=+-（1）求角C 的大小；（2）求2b a +的最大值． 18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．E CHBDA图1图220．（本小题满分12分）已知M e过点A，且与22:(16N x y +=e 内切，设M e 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()(4)6,()1ln 3x f x x ex x g x a x x -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：11111ln 3()12313N n n n n n n*+++++>∈++-L ．21．解析：（1）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数且3,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围．。
2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)试题(解析版)
2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R ⋃=【答案】A【解析】由题意{}22,N x x x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解. 【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ） A．± B．-C．-D．±【答案】D【解析】220z +=，即22z =-，解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±，故选D3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)3-+∞，B ．(]3-∞-，C ．()0+∞，D ．()-∞+∞，【答案】D【解析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤，解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离2d =≤，化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 故(),k ∈-∞+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.4．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 5．设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若P Q ，分别在11AA CC ，上，且111133AP AA CQ CC ==，，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A ．16V B ．29V C ．13V D ．79V【答案】B【解析】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ，由B APQC ABC PHQ B PHQ V V V ---=-即可得解.【详解】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ， 由题意PHQ ABC S S =△△，BH ⊥平面PHQ ， 所以111113339B PHQ PHQ ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，11133ABC PHQ ABC ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，所以112399B APQC ABC PHQ B PHQ V V V V V V ---=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查了直三棱柱的特征及几何体体积的求解，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．47【答案】C【解析】由题意计算出总情况数和符合要求的情况数，利用古典概型概率公式即可得解. 【详解】将这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动共有510252C =种情况；每个宣传小组至少选派1人分为以下几种情况：①可回收物或餐厨垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112223336C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；②有害垃圾或其他垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112332272C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；故所求概率367232527p +==. 故选：C. 【点睛】本题考查了计数原理的应用与古典概型概率的求解，考查了分类讨论思想，属于中档题. 8．已知直线2l y x =-：与x 轴的交点为抛物线22C y px =：的焦点，直线l 与抛物线C 交于A B ，两点，则AB 中点到抛物线准线的距离为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由题意可知抛物线焦点为()2,0，进而可得抛物线2:8C y x =，联立方程可得1212x x +=，即可求得点A 、B 到准线的距离和，即可得解.【详解】Q 直线:2l y x =-与x 轴的交点为()2,0，∴22p=即4p =，∴抛物线2:8C y x =，准线方程为2x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得21240x x -+=，>0∆，则1212x x +=，∴点A 、B 到准线的距离和为1216x x p ++=，∴AB 中点到抛物线准线的距离1682d ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用和直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知125143a a a =+=，，若()*48n n S a n N ≥+∈，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】由题意结合等差数列的通项公式计算出23d =，分别表示出n a 、n S 后，解一元二次不等式即可得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，Q 113a =，254a a +=， ∴114433d d +++=即23d =， ∴2133n a n =-，212133323n n n S n +-=⋅=， Q 48n n S a ≥+，∴22148333n n ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，解得2n ≤-或10n ≥，由*n N ∈可知n 的最小值为10. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.10．已知点()00P x y ，是曲线321C y x x =-+：上的点，曲线C 在点P 处的切线与811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =【答案】B【解析】由导数的几何意义结合题意得200328x x -=，算出0x 分别代入验证即可得解.【详解】由题意曲线32:1C y x x =-+，求导得232y x x '=-，∴曲线C 在点P 处的切线斜率20032k x x =-，∴200328x x -=，解得043x =-或2，当043x =-时，320448513327y ⎛⎫⎛⎫=---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点485,327P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为8548273y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即203827y x =+，符合题意； 当02x =时，3202215y =-+=，则点()2,5P ，切线方程为()582y x -=-即811y x =-，不符合题意，舍去.故选：B. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用和导数的运算，属于中档题.11．已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b -=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．2【答案】C【解析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，Q PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥，∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， Q 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12．已知函数()221010x x x f x x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，，，若()()()20201F x f x sin x π=--在区间[]11-，上有m 个零点123m x x x x L ，，，，，则()()()()123m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042 B ．4041 C ．4040 D ．4039【答案】B【解析】由题意()()()22sin 20200sin 20200x x x x F x x x x x ππ⎧---<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]220,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-，由函数的奇偶性可得()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ，由三角函数的性质可得4041m =，再由()()()()()()()()123123m m f x f x f x f x g x x x g m g g x ++++=+++++L L 即可得解. 【详解】由题意()()()()()22sin 20200sin 20201sin 20200x x x x F x f x x x x x x πππ⎧---<⎪=--=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]22,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-， 则123m x x x x L ，，，，为方程()()g x h x =的根即为函数()g x 与()h x 交点的横坐标， 当0x <时，()()()()22g x x x x x g x --=+=-=--，且()00g =，所以函数()g x 为奇函数；()()()()sin 2020sin 2020h x x x h x ππ-=-=-=-，所以函数()h x 为奇函数；所以1230m x x x x =L ++++，所以()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ， 函数()g x 的图象，如图， 函数()h x 的最小正周期2120201010T ππ==，且()[]1,1h x ∈-，所以在10,1010⎛⎤ ⎥⎝⎦，12,10101010⎛⎤ ⎥⎝⎦，231009,,1101010101010⎛⎤⎛⎤⋅⋅⋅ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上，()()g x h x =均有两个不等实根，所以在(]0,1上，()()g x h x =共有2020个不等实根， 所以在[)1,0-上，()()g x h x =共有2020个不等实根，又()()00g h =，所以()()g x h x =在[]1,1-上共有4041个不等实根即4041m =， 所以()()()()123m f x f x f x f x ++++L()()()()1234041m g g g x x x g x m ++=+++=L .故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用及函数零点相关问题的解决，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于中档题.二、双空题13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．3π 3π 【解析】由题意可得该几何体为底面半径为1、母线长为23锥体积和表面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，该几何体为底面半径为1、母线长为23的圆锥，所以该几何体体积213133V ππ=⨯=， 表面积21123S πππ=⨯+⨯⨯=， 3π，3π. 【点睛】本题考查了三视图的识别及圆锥体积、表面积的计算，属于基础题.三、填空题 14．在()5211ax x x+-的展开式中，3x 的系数为15，则实数a =_______． 【答案】5【解析】由题意结合二项式定理写出二项式()521x -的展开式的通项公式，分别令1022r -=、1024r -=即可得3x 的系数，即可得解.【详解】二项式()521x -的展开式的通项公式为：()()()2021155511rr rrr r r x T C C x-+-=⋅⋅-=⋅-⋅，令1022r -=即4r =，则()()4455115rrC C ⋅-=⋅-=， 令1024r -=即3r =，则()()33551110r r C C ⋅-=⋅-=-， 所以()5211ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为510a -，所以51015a -=即5a =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的取值为_______． 【答案】-10【解析】建立直角坐标系，表示出122e e +u r u u r 、122e ke +u r u u r的坐标后，利用()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r u r u r r u u r 列出方程即可得解.【详解】如图建立直角坐标系，由题意得()11,0e=u r，21,22e ⎛= ⎝⎭u ur ，则(122e e +=u u ru r ，121222e ke k ⎛+=+ ⎝⎭u u u r r ， 所以()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r ur u r r u u r2223544522cos67241343222kk k k k k k π+++===⋅++⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即25402219100kk k ⎧+<⎪⎨⎪+-=⎩，解得10k =-.故答案为：10-.【点睛】本题考查了平面向量运算的坐标表示及利用平面向量数量积解决向量夹角相关问题，考查了计算能力，属于中档题.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*122n n a a n n cos sin n N n ππ++=-∈，且2019110090m S a m +=->，，则119a m+的最小值为_______． 【答案】16【解析】由三角函数的性质可得当()4n k k N =∈时，4414k k a a k ++=；当()42n k k N =+∈时，()424342k k a a k +++=-+；利用分组求和可得201911010S a =-，进而可得11m a +=，利用基本不等式即可得解.【详解】当()4n k k N =∈时，44144cos sin cos0sin 01422k k a a k k k ππ++=-=-=，即4414k k a a k ++=； 当()42n k k N =+∈时，()()42434242cossin cos sin 14222k k k k a a k ππππ+++++=-=-=-+， 即()424342k k a a k +++=-+；∴()()()201912345201820191242018S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++=-+-⋅⋅⋅-()()()1124682014201620181010a a =+-++-++⋅⋅⋅+-+-=-，∴2019110101009m S m a +=+-=-， ∴11m a +=，又10a m >，∴10a >，0m >，∴()1111191919101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当119a m a m=时等号成立. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和基本不等式的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题.四、解答题17．ABC n 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =absinCasinA bsinB csinC=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 【答案】（1）3π；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得222abc a b c =+-cos C =，即可得解；（2）由正弦定理得2sin a A =，2sin b B =，则转化条件得()2b a A ϕ+=+，确定2,23ππϕϕ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭后即可得解.【详解】（1）由题意及正弦定理可得：222abca b c=+- 由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=⋅，所以2221cos 262a b c C ab +-===，由()0,C π∈可得3C π=；（2）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin b B =，又A B C π++=，所以22sin 2sin 2sin 33b B A A ππ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 4sin sin 4sin 5sin 3b a A A A A A A A π⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭()A ϕ=+,由tan 5ϕ=可得0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,3A πϕϕϕ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，2,23ππϕϕ⎛⎫∈+⎪⎝⎭， 所以()sin 1max A ϕ+=，所以2b a +≤. 故2b a +的最大值为【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题. 18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y【答案】（1）27128；（2）分布列详见解析，数学期望()34E Y =． 【解析】（1）由题意可得()2520100P x ≥=，由二项分布的概率公式即可得解；（2）先利用分层抽样的概念算出各组抽取的人数，根据超几何分布的概率公式求出()0P Y =、()1P Y =、()2P Y =、()3P Y =后即可列出分布列，进而即可求得期望.【详解】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ，由表可知()251201004P x ≥==，所以()22241127144128P A C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅； （2）由题意得：抽取的20x <的人数为31294⨯=；20x ≥的人数为11234⨯=； 从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，则()39312840220C P Y C ===；()21933121081220C C P Y C ===； ()1293312272220C C P Y C ===；()3331213220C P Y C ===；所以Y 的分布列为：所以Y 的数学期望()84108271301232202202202204E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.19．如图1，在边长为2的等边ABC V 中，D E ，分别为边AC AB ，的中点，将∆AED 沿ED 折起，使得AB AD ⊥ ， AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A -BCDE ，连结BD CE ，，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ; （2）求二面角B AE D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】（1）由题意可得EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，即可得AH BD ⊥，AH EC ⊥，利用线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面AED 、平面AEB 的一个法向量为1n u r 、2n u u r，利用121212cos n n n n n n ⋅=u r u u ru r u u r u r u u r ，即可得解. 【详解】（1）证明：由题意1AE AD ==，3CE BD ==因为D 、E 分别为AC 、BD 的中点，所以EHD CHB △△∽且相似比为2，所以33EH DH ==，33BH CH ==， 所以3AE EH CE AE ==3AD DHBD AD == 所以EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，又因为AB AD ⊥，AC AE ⊥，所以AH BD ⊥，AH EC ⊥， 由BD CE H =I 可得AH ⊥平面BCDE ，得证.（2）如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系；所以()000D ，，，)30B ，，，()010C ，，，由（1）知2263AH AD DH =-=，则360A ⎝⎭，， 由131,022DE CB ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r 可知3102E ⎫-⎪⎪⎝⎭，， 所以3162AE =-⎝⎭u u u r ，，2360AB =-⎝⎭u u u r ，，360DA =⎝⎭u u u r ，， 设平面AED 的一个法向量为()1111n x y z =u r，，，所以110 0AE n DA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即111113160623 36033x y z x z --=⎪⎨⎪+=⎪⎩，取11z =-得)1261n =-u r ，，，同理可得平面AEB 的一个法向量(2132n =u u r，， 所以1212123cos n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r ，， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为3- 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题. 20．已知M e 过点)3A ，，且与(22316N x y ++=e ：内切，设M e 的圆心M的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）l 过定点203，． 【解析】（1）由题意结合圆的性质可得4MA MN +=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l 斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程可得122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，进而可转化条件()242PB QB b k k k b k -⋅=+，得出23b k =-后即可得解.【详解】（1）由题意M e过点)A，且与(2216N x y +=e ：内切，易知点()N ，N e 半径为4， 设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M e 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023 3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍）， 所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-， 由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k ⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题. 21．已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-L ． 【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析．【解析】（1）求导后求出()0f x '>、()0f x '<的解集后即可得解；（2）转化条件得()0g x ≥在()03，上恒成立，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立，令()()1ln 03xF x x x+=<<，求导后求得()F x 的最大值即可得解； （3）利用导数证明1x e x >+，进而可证111111111131233n n n n n n n n e e e e e ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>L ，即可得证. 【详解】（1）因为()()3246x f x x e x x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-L 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)． （1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，x ≤（2【解析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解. 【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩， 又322ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，所以x ≤ 所以2C的普通方程为(22133x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以5min AB ==. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题.23．已知函数()36f x x x a =-++， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解. 【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-++<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。
【答案】广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数)
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ⊂≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，M N M ∴=I ．2．答案：D解析：223320,2,(z z z z +=∴=-===±．3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点(0,1)P，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．4．答案：B解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ⊂≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．答案：C解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数()f x 半个周期，14,22T T ππ==．6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h ，则2V h =，所以2112332189B APQC V ah a a h V -⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭． 7．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为10832527=． 8．答案：A 解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入28y x =，得21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12062x x x +==， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=．9．答案：C 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=+=，解得23d =． 所以112(1)21(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得： ABCC 1B 1A 1P Q28200n n--≥，(2)(10)0n n+-≥，10n≥，即n的最小值为10．10．答案：B 解析：令2y'=24当2x=时，5y=，此时11．答案：C解析：延长2F A交1PF于点PA是12F PF∠的平分线且可得2PB PF=，且AB所以OA是12F BF△所以(11122OA BF PF==又由122b F F OA=-所以223850c ac a-+=，12．答案：B解析：()1f x x x x=-+所以1miix==∑，显然(1)(0)(1)0F F F-===，当01x≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x xπ=--=，得2sin(2020)x x xπ-=，在同一坐标系中作出2(01)y x x x=-<≤和sin(2020)(01)y x xπ=<≤的图象，sin(2020)y xπ=的最小正周期11010T=，在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦L L内各有2个零点，所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x在[1,0)-内也有2020个零点，又(0)0F=，所以4041m=，所以40411231()()()()(1)4041mif x f x f x f x x x x=++++=-+=∑L．13，3π（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r=，高h=2l=，体积213V r hπ==，表面积23S r rlπππ=+=．14．答案：5 解析：25252511(1)(1)(1)ax x ax x x x x⎛⎫+-=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4x 的项为322345()(1)10C x x -=-，所以251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．答案：10-解析：不妨取121(1,0),2e e ⎛== ⎝⎭u r u u r，设122a e e =+=ur u u r r，12222k b e ke ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭r u r u u r ，则34cos ,k ka b a b a b++⋅===⋅r rr r r r ，两边平方，并整理得2219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =，又因为5402k +<，所以10k =-． 16．答案：16 解析：当2n =时，得23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44a a a a +=+=，23452a a a a ∴+++=，同理可得67891011121320142015201720192a a a a a a a a a a a a +++=+++==+++=L ， 又20182019201820191,20182018a a a a +=-∴+=-，所以201912345678920182019()()()S a a a a a a a a a a a =+++++++++++L11504220181010a a =+⨯-=-，由20191009m S +=-，得11a m +=，所以1111191919()101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥． 17．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得222abca b c =+-因为c =222ab a b c =+-【或223ab a b =+-】．由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==【或2231cos 22a b C ab +-==】，因为0C <<π，所以3C π=．（2）由已知与（1）知c =3C π=．由正弦定理2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，得2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭．所以222sin 4sin 5sin )3b a A A A A A ϕπ⎛⎫+=-+=+=+⎪⎝⎭，（其中tan 5ϕ=，02ϕπ<<）．因为203A π<<，06ϕπ<<，所以506A ϕπ<+<． 所以2A ϕπ+=时，2)b a A ϕ+=+取得最大值．所以2b a +的最大值为． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A ，则251()1004P A ==． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，则144B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，． 所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为()222431272C 44128P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超几何分布，Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则0339312C C 21(0)C 55P Y ===，1239312C C 27(1)C 55P Y ===， 2139312C C 27(2)C 220P Y ===，3039312C C 1(3)C 220P Y ===． 所以Y 的分布列如下：所以()0123=22555522022400E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（1）证明1：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD =． 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以133DH BD ==． 因为AB AD ⊥，所以ABD △为直角三角形．因为1AD =，BD =cos 3AD ADB BD ∠==． 在ADH △中，由余弦定理得222122cos 1213333AH AD DH AD DH ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，所以3AH =．在ADH △中，因为22221133AH DH AD +=+==，所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥． 因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ． 证明2：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD =． 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以133DH BD ==． 在Rt BAD △中，BD =1AD =， 在BAD △和AHD △中，因为DB DADA DH==BDA ADH ∠=∠，所以BAD AHD △∽△． 所以90AHD BAD ∠=∠=︒．所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥．因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解法1：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(1,0,0),B C A ⎛ ⎝⎭，110,,,(1,0,0),3322EA EB ED BC ⎛⎛====- ⎝⎭⎝u u u r u u u r u u u r u u u r 设平面ABE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则11100m EA y z mEB x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u r u u u r u r u u u r ，取(0,1)m =-u r ．设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =r ，则222201022n EA y z n ED x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1)n =-r ．所以cos,m nm nm n⋅===⋅u r ru r ru r r．由图可知，二面角B AE D--的平面角是钝角，故二面角B AE D--的余弦值为3-解法2：在四棱锥A BCDE-中，分别取AE，AB的中点M，N，连接DM，MN，ND．因为ADE△为等边三角形，所以DM AE⊥，因为BE EC⊥，BE AH⊥，CE AH H=I，且,CE AH⊂平面AEC，所以BE⊥平面AEC．因为AE⊂平面AEC，所以BE AE⊥．因为点M，N分别为边AE，AB的中点，所以//NM BE．所以NM AE⊥．所以DMN∠为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE中，因为1AD=，所以DM=．在ABE△中，1122MN EB==．在Rt ABD△中，1AD=，BD=，所以AB=．所以DN===．在DMN△中，由余弦定理得22212cos3DMN⎛⎫+-⎪⎝⎭∠==-．所以二面角B AE D--的余弦值为3-．20．（1）解：设Me的半径为R，因为Me过点A，且与Ne相切，所以4R MAMN R⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MA+=．因为4NA<，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则24a=，且c=所以2a=，1b=．所以曲线C的方程为2214xy+=．（2）解法1：依题意，直线,BP BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为(0)k k≠，则直线BP的方程为(2)y k x =-．由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，解之得12x =，2228214k x k -=+．因此点P 的坐标为222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为直线BQ 的斜率为12k -，所以可得点Q 的坐标为222222,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．当2k ≠±时，直线l 的斜率为23=2(12)PQ kk k -． 所以直线l 的方程为222232(12)22211k k k y x k k k -⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭，整理得2232(1)221k y x kk k -=--．即232(12)23k k y x ⎛--⎫= ⎪⎝⎭． 此时直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．当k =l 的方程为23x =，显然过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：1x x =．设点11(,)P x y ，则点11(,)Q x y -，依题意12x ≠，因为211121*********BP BQy y y k k x x x x -⋅=⨯=-=----+，所以22111442x x y -+=． 因为221114x y +=，且12x ≠，解得123x =． 此时直线l 的方程为23x =． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=． 需要满足222(8)16(41)(1)0km k m ∆=-+->，即2241m k <+．设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则有122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+． 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以22121224()()41m k y y kx m kx m k -=++=+．因为12121212121222()42BP BQ y y y y k k x x x x x x =⨯==----++，所以()121212242x x x x y y -++=-． 即2222224(1)162(4)4414141m km m k k k k --++=-+++，即223840m km k ++=．所以23m k =-或2m k =-．当23m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．当2m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为(2)y k x =-，恒过定点(2,0)，不合题意． 显然直线23x =也过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（1）解：因为32()(4)e6x f x x x x -=-+-，所以33()(3)e 26(3)(e 2)x x f x x x x --'=-+-=-+．当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）解：由（1）可知，当[3,)x ∈+∞时，()0f x '≥． 所以要使()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，只需()0g x ≥在区间(0,3)上恒成立即可．因为1()01ln 03g x a x x ⎛⎫⇔--- ⎪⎝⎭≥≥． 以下给出四种求解思路：思路1：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间()0,3上恒成立，转化为1ln 13x a x ++≥在区间()0,3上恒成立． 令1ln 1()3x m x x +=+，则2ln ()xm x x'=-．因为当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,3)x ∈时，()0m x '<． 所以()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．所以4()(1)3m x m =≤．所以43a ≥．所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 思路2：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11(31)3()(03)33a x g x a x x x--⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭．①若13a ≤，则()0g x '<在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ②若1233a <≤，则()0g x '≤在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ③若23a >，则当3031x a <<-时，()0g x '<，当3331x a <<-时，()0g x '>． 所以函数()g x 在30,31a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在3,331a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递增．所以33()ln 3131g x g a a ⎛⎫=-⎪--⎝⎭≥，由3ln 031a --≥，解得43a ≥． 此时实数a 满足43a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路3：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭．因为1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，则1(1)103g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≥，即43a ≥． 因为11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭在(0,3)上单调递增，因为1103g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，【或0x →时，()g x '→-∞】2(3)03g a '=->． 所以存在0(0,3)x ∈，使得0011()03g x a x ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭． 当0(0,)x x ∈时，0()0g x '<，当0(,3)x x ∈时，0()0g x '>． 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,3)x 上单调递增．所以00011()()1ln ln 33g x g x a x x a ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．要使1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，只要1ln 03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路4：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立，转化为11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立． 令()1ln s x x =+，则1()0s x x'=>，(0,3)x ∈． 所以()s x 在(0,3)上单调递增．而13y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是经过原点的直线，设过原点的直线与()1ln s x x =+相切于点00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，因为0001()y y x x x -=-过原点，所以01y =． 因为001ln y x =+，所以01x =．即切点为(1,1)．所以经过原点且与()1ln s x x =+相切的直线方程为y x =．所以满足11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的条件是113a -≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）证明1：由（2）可知，当43a =时，有ln 1x x -≤．即ln(1)x x +≤． 则111ln 1ln n n n n +⎛⎫>+= ⎪⎝⎭， 同理12ln 11n n n +>++，13ln 22n n n +>++，…，131ln 33n n n +>． 所以11111311ln ln 3ln 312313n n n n n n n n +⎛⎫+++++>=+> ⎪++-⎝⎭L ．所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ． 证明2：要证11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ，即证1111112313e3n n n n n+++++++->L ，即证1111112313e eeee3n n n n n++-⋅⋅⋅⋅⋅>L ．先证明e 1(0)xx x >+>，事实上，设()=e 1xp x x --，则()=e 1xp x '-，当0x >时，()=e 10xp x '->，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0p x p >=，所以e 1(0)xx x >+>． 所以11111123131111e eeee1+1+1+1+1313nn n n nn n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅>⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L123313131313n n n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=>+-L ． 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L ．22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t ，得250x y --=．所以曲线1C 的方程为250x y --=．因为曲线2C的参数方程为,cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），则由x =，得cos θ=，代入y θ=得sin y x θ=， 消去参数θ，得223x y -=．因为,22θπ3π⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0x <．所以曲线2C 的方程为223(0)x y x -=<． （2）因为点A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设直线20x y b -+=与曲线2C 相切，由22203x y b x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得223430x bx b +++=． 所以22(4)43(3)0b b ∆=-⨯⨯+=，解得3b =±． 因为0x <，所以3b =． 因为直线250x y --=与230x y -+=间的距离为：5d ==．所以AB的最小值5．23．（1）解：因为1a =，所以()321f x x x =-+-．当1x ≤时，由()743f x x =-<，解得1x >，此时x ∈∅． 当12x <<时，()523f x x =-<，解得1x >，此时12x <<． 当2x ≥时，()473f x x =-<，解得52x <，此时522x <≤． 综上可知，512x <<．所以不等式的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭． （2）解法1：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以55x x a x -<-<-【或22()(5)x a x -<-】． 所以255x a -<<． 因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，max (25)8x -=-．所以实数a 的取值范围为(8,5)-．解法2：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以||5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 分别作出函数5y x =-与函数y x a =-的图像，如图所示，要使5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，则当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数5y x =-的图像在函数y x a =-的图像的上方． 所以当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，需要满足5a x x -<-且5x a x -<-．因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()max 258x -=-．所以实数a 的取值范围为()8,5-．。
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试(一)理科综合化学试卷及答案
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试（一）理科综合化学试卷★祝考试顺利★2020.4.30 相对原子质量：H1 Li7 N14 O16 Ni59 Zn65 Cd112 La139 单选题每题6分7．我国古代优秀科技成果对人类文明进步做出巨大贡献,下列有关说法错误的是 A．烧制“青如天,明如镜,薄如纸,声如磬”的瓷器的主要原料为黏土B．记载“伦乃造意,用树肤……以为纸”中的“树肤”的主要成分含纤维素 C．古代“黑火药”是由硫磺、木炭、硝酸三种物质按一定比例混合制成D．“司南之杓,投之于地,其柢指南”中的“杓”的主要成分是天然磁铁（Fe3O4）8．关于化合物1,4-二氢萘（）,下列说法错误的是A．能使酸性高锰酸钾溶液褪色B．分子中所有原子均处同一平面C．一氯代物有4种（不考虑立体异构）D．与互为同分异构体9．实验室模拟氨催化氧化法制硝酸的装置如图所示（无水CaCl2可用于吸收氨气）,下列说法错误的是A．装置①、②、⑤依次盛装碱石灰、无水CaCl2、NaOH溶液B．装置③中气体呈红棕色C．装置④中溶液可使紫色石蕊溶液变红,说明有HNO3生成D．通空气的主要作用是鼓出氨气,空气可用N2代替10．一种矿石[Y3Z2X5(XW)4]的组成元素W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素,其中W、X、Z分别位于不同周期,其中Z核外最外层电子数是X核外电子数的一半, 1个W2X分子含有10个电子。
下列说法正确的是A．原子半径：Y＞Z＞X＞WB．Y与X可形成共价化合物C．Z的最高价氧化物的水化物是中强酸D．简单氢化物的沸点：Z＞X11．我国科学家设计了一种太阳能驱动从海水中提取金属锂的装置,示意图如图所示。
该装置工作时,下列说法正确的是A．铜箔上的电势比催化电极上的高B．海水的pH变大C．若转移1mol电子,理论上铜箔增重7gD．固体陶瓷膜可用质子交换膜代替12．已知邻苯二甲酸（H2A）的Ka1=1.1×10−3,Ka2=3.9×10−6。
广东省广州市2020届天河区普通高中毕业班综合测试(一)理科数学
2020届天河区普通高中毕业班综合测试（一）理科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}06|2<--=x x x A ，集合{}01|>-=x x B ，则()=B A C R （ ）A.()3,1B.(]31，C.[)+∞,3D.()∞+，3 2、设复数z 满足()i i i z 432-=⋅+，则复数-z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58215a a a -=+，则=9S （ ） A.18 B.36 C.45 D.604、已知m ，n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若n m n m //,//,//则αα B.若βαγβγα//,,则⊥⊥ C.若βαββαα//,,//,//，则且⊂⊂n m n m D.若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且,,,βαβα 5、()522)11(2-+x x 的展开式的常数项是（ ）A. 3-B.2-C.2D.36、已知32121,,21ln x e x x -==满足3ln 3x e x=-，则下列选项正确的是（ ）A.231x x x <<B.321x x x <<C.312x x x <<D.213x x x <<7、中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，是利用算筹表示数1--9的一种方法。
例如：3可表示为“”,26可表示为“”，现有6根算筹，根据表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1--9这9个数字表示两位数的个数为（ ） A.13 B.14 C.15 D.168、在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，AC 与BD 相交于O ，过点A 作BD AE ⊥，垂足为E ，则=⋅→→EC AE （ ） A.572 B.2512C.512 D.25144 9、函数x ex f xsin )112()(-+=的图像大致是（ ）10、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A.72 B.60 C.36 D.2411、已知函数)62sin()(π-=x x f ，若方程53)(=x f 的解为)0(,2121π<<<x x x x ，则=-)si n (21x x （ ）C.32-D.33- A. 54-B.53- 12、已知函数[)+∞∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,1,4ln 4)(2k x x x k k x f ，曲线)(x f y =上总存在两点),(),(2211y x N y x M 、，使曲线)(x f y =在M 、N 两点处的切线互相平行，则21x x +的取值范围为（ ）A. [)+∞,4B.()∞+，4C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，516 D.⎪⎭⎫⎝⎛∞+，516 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试(一)理科综合化学试卷及答案
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试（一）理科综合化学试卷★祝考试顺利★相对原子质量：H1 Li7 N14 O16 Ni59 Zn65 Cd112 La139 单选题每题6分7．我国古代优秀科技成果对人类文明进步做出巨大贡献,下列有关说法错误的是 A．烧制“青如天,明如镜,薄如纸,声如磬”的瓷器的主要原料为黏土B．记载“伦乃造意,用树肤……以为纸”中的“树肤”的主要成分含纤维素 C．古代“黑火药”是由硫磺、木炭、硝酸三种物质按一定比例混合制成D．“司南之杓,投之于地,其柢指南”中的“杓”的主要成分是天然磁铁（Fe3O4）8．关于化合物1,4-二氢萘（）,下列说法错误的是A．能使酸性高锰酸钾溶液褪色B．分子中所有原子均处同一平面C．一氯代物有4种（不考虑立体异构）D．与互为同分异构体9．实验室模拟氨催化氧化法制硝酸的装置如图所示（无水CaCl2可用于吸收氨气）,下列说法错误的是A．装置①、②、⑤依次盛装碱石灰、无水CaCl2、NaOH溶液B．装置③中气体呈红棕色C．装置④中溶液可使紫色石蕊溶液变红,说明有HNO3生成D．通空气的主要作用是鼓出氨气,空气可用N2代替10．一种矿石[Y3Z2X5(XW)4]的组成元素W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素,其中W、X、Z分别位于不同周期,其中Z核外最外层电子数是X核外电子数的一半,1个W2X分子含有10个电子。
下列说法正确的是A．原子半径：Y＞Z＞X＞WB．Y与X可形成共价化合物C．Z的最高价氧化物的水化物是中强酸D．简单氢化物的沸点：Z＞X11．我国科学家设计了一种太阳能驱动从海水中提取金属锂的装置,示意图如图所示。
该装置工作时,下列说法正确的是A．铜箔上的电势比催化电极上的高B．海水的pH变大C．若转移1mol电子,理论上铜箔增重7gD．固体陶瓷膜可用质子交换膜代替12．已知邻苯二甲酸（H2A）的Ka1=1.1×10−3,Ka2=3.9×10−6。
(含解析)广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数) (2)
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）A ．M N M =IB ．M N N =IC ．M N M =UD ．R M N =U1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ⊂≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，M N M ∴=I ．2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．±2．答案：D解析：223320,2,(z z z z +=∴=-===±．3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(0,)+∞ D ．(,)-∞+∞3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点(0,1)P ，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．答案：B解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ⊂≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．设函数1()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π5．答案：C解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数()f x 半个周期，14,22T T ππ==．6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111,33AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ） A ．16V B ．29VC ．13VD ．79V6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h，则24V a h =，所以2112332189B APQC V ah a a h V -⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭． ABCC 1B 1A 1P Q7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．477．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为10832527=． 8．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．48．答案：A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入28y x =，得21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12062x x x +==， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251,43a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=+=，解得23d =． 所以112(1)21(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得：28200n n --≥，(2)(10)0n n +-≥，10n ≥，即n 的最小值为10．10．已知点00(,)P x y 是曲线32:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ） A ．02x = B ．043x =-C ．02x =或043x =- D ．02x =-或043x =10．答案：B解析：令2328y x x '=-=，得23280x x --=，(34)(2)0x x +-=，解得43x =-或2x =， 当2x =时，5y =，此时(2,5)M 在直线811y x =-上，故舍去，所以43x =-． 11．已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（A ．54B 11．答案：C解析：延长2F A 交1PF 于点PA 是12F PF ∠的平分线且可得2PB PF =，且AB 所以OA 是12F BF △所以(11122OA BF PF ==又由122b F F OA =-，可得22b c a =-，所以22(22)b c a =-，2222448c a c a ac ∴-=+-，所以223850c ac a -+=，23850e e -+=，(35)(1)0e e --=，53e =． 12．已知函数221,0()1,0x x x f x x x x ⎧--+<⎪=⎨-+⎪⎩≥，若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零点123,,,,m x x x x L ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042B ．4041C ．4040D ．403912．答案：B解析：()1f x x x x =-+，所以()()sin(2020)1sin(2020)F x f x x x x x x ππ=--=--为奇函数，所以10mii x==∑，显然(1)(0)(1)0F F F -===，当01x ≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x x π=--=，得2sin(2020)x x x π-=，在同一坐标系中作出2(01)y x x x =-<≤和sin(2020)(01)y x x π=<≤的图象，sin(2020)y x π=的最小正周期11010T =， 在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦L L 内各有2个零点， 所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x 在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x 在[1,0)-内也有2020个零点，又(0)0F =，所以4041m =，所以40411231()()()()(1)4041m i f x f x f x f x x x x =++++=-+=∑L ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．13．答案：3，3π（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r =，高h =2l =，体积2133V r h π==，表面积23S r rl πππ=+=． 14．在251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是15，则实数a = ． 14．答案：5 解析：25252511(1)(1)(1)ax x ax x x x x⎛⎫+-=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4x 的项为322345()(1)10C x x -=-，所以251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的值为．15．答案：10-解析：不妨取121(1,0),,22e e ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u r u u r，设122a e e =+=ur u u r r，1222,22k b e ke ⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭r u r u u r ，则34cos ,2k ka b a b a b++⋅===-⋅r rr r r r ，两边平方，并整理得2219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =，又因为5402k +<，所以10k =-． 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1cos sin ()22n n a a n n n n ππ*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则119a m+的最小值为 ． 16．答案：16 解析：当2n =时，得23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44a aa a +=+=， 23452a a a a ∴+++=，同理可得67891011121320142015201720192a a a a a a a a a a a a +++=+++==+++=L ， 又20182019201820191,20182018a a a a +=-∴+=-，所以201912345678920182019()()()S a a a a a a a a a a a =+++++++++++L11504220181010a a =+⨯-=-，由20191009m S +=-，得11a m +=，所以1111191919()101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．已知c =sin sin sin sin ab Ca Ab Bc C=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 17．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得222abca b c=+-因为c =222ab a b c =+-【或223ab a b =+-】．由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==【或2231cos 22a b C ab +-==】，因为0C <<π，所以3C π=．（2）由已知与（1）知c =3C π=．由正弦定理2sin sin sin sin 3a b c A B C ====， 得2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭．所以222sin 4sin 5sin )3b a A A A A A ϕπ⎛⎫+=-+==+⎪⎝⎭，（其中tan 5ϕ=，02ϕπ<<）．因为203A π<<，06ϕπ<<，所以506A ϕπ<+<． 所以2A ϕπ+=时，2)b a A ϕ+=+取得最大值．所以2b a +的最大值为． 18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A ，则251()1004P A ==． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，则144B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，．所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为()222431272C 44128P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超几何分布，Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则0339312C C 21(0)C 55P Y ===，1239312C C 27(1)C 55P Y ===， 2139312C C 27(2)C 220P Y ===，3039312C C 1(3)C 220P Y ===． 所以Y 的分布列如下：所以()0123=22555522022400E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．E CHBDA图1图219．（1）证明1：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥．在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD = 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以13DH BD ==． 因为AB AD ⊥，所以ABD △为直角三角形．因为1AD =，BD =cos AD ADB BD ∠==． 在ADH △中，由余弦定理得222122cos 1213333AH AD DH AD DH ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，所以3AH =．在ADH △中，因为22221133AH DH AD +=+==，所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥． 因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ． 证明2：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD = 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以13DH BD ==． 在Rt BAD △中，BD =1AD =， 在BAD △和AHD △中，因为DB DADA DH==BDA ADH ∠=∠，所以BAD AHD △∽△． 所以90AHD BAD ∠=∠=︒．所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥．因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解法1：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(1,0,0),0,33B C A ⎛ ⎝⎭，11,(1,0,0),22EA EB ED BC ⎛⎛====- ⎝⎭⎝u u u r u u ur u u u r u u u r 设平面ABE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则11100m EA y z m EB x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u r u u u r u r u u u r ，取(0,1)m =-u r ．设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =r，则2222033102n EA y z n ED x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r，取1)n =-r ．所以cos ,m n m n m n ⋅===⋅u r ru r r u r r ． 由图可知，二面角B AE D --的平面角是钝角，故二面角B AE D --的余弦值为3-解法2：在四棱锥A BCDE -中，分别取AE ，AB 的中点M ，N ，连接DM ，MN ，ND ． 因为ADE △为等边三角形，所以DM AE ⊥， 因为BE EC ⊥，BE AH ⊥，CE AH H =I ， 且,CE AH ⊂平面AEC ，所以BE ⊥平面AEC ． 因为AE ⊂平面AEC ，所以BE AE ⊥． 因为点M ，N 分别为边AE ，AB 的中点， 所以//NM BE ．所以NM AE ⊥． 所以DMN ∠为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE 中，因为1AD =，所以DM =在ABE △中，1122MN EB ==． 在Rt ABD △中，1AD =，BD =所以AB =所以DN ===． 在DMN △中，由余弦定理得22212cos 3DMN ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠==-．所以二面角B AE D --的余弦值为- 20．（本小题满分12分）已知M e过点A，且与22:(16N x y +=e 内切，设M e 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（1）解：设M e 的半径为R ，因为M e过点A ，且与N e 相切，所以4R MAMN R ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MA +=．因为4NA <，所以点M 的轨迹是以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>， 则24a =，且c =所以2a =，1b =．所以曲线C 的方程为2214x y +=． （2）解法1：依题意，直线,BP BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则直线BP的方程为(2)y k x =-．由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，解之得12x =，2228214k x k -=+．因此点P 的坐标为222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为直线BQ 的斜率为12k -，所以可得点Q 的坐标为222222,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．当2k ≠±时，直线l 的斜率为23=2(12)PQ kk k -． 所以直线l 的方程为222232(12)22211k k k y x k k k -⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭， 整理得2232(1)221k y x kk k -=--．即232(12)23k k y x ⎛--⎫= ⎪⎝⎭． 此时直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．当2k =±时，直线l 的方程为23x =，显然过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：1x x =．设点11(,)P x y ，则点11(,)Q x y -，依题意12x ≠，因为211121*********BP BQy y y k k x x x x -⋅=⨯=-=----+，所以22111442x x y -+=． 因为221114x y +=，且12x ≠，解得123x =． 此时直线l 的方程为23x =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=．需要满足222(8)16(41)(1)0km k m ∆=-+->，即2241m k <+．设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则有122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+． 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以22121224()()41m k y y kx m kx m k -=++=+．因为12121212121222()42BP BQ y y y y k k x x x x x x =⨯==----++，所以()121212242x x x x y y -++=-． 即2222224(1)162(4)4414141m km m k k k k --++=-+++，即223840m km k ++=．所以23m k =-或2m k =-．当23m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．当2m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为(2)y k x =-，恒过定点(2,0)，不合题意． 显然直线23x =也过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()(4)6,()1ln 3x f x x ex x g x a x x -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：11111ln 3()12313N n n n n n n*+++++>∈++-L ． 21．（1）解：因为32()(4)e6x f x x x x -=-+-，所以33()(3)e 26(3)(e 2)x x f x x x x --'=-+-=-+．当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）解：由（1）可知，当[3,)x ∈+∞时，()0f x '≥． 所以要使()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，只需()0g x ≥在区间(0,3)上恒成立即可．因为1()01ln 03g x a x x ⎛⎫⇔--- ⎪⎝⎭≥≥． 以下给出四种求解思路：思路1：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间()0,3上恒成立，转化为1ln 13x a x ++≥在区间()0,3上恒成立． 令1ln 1()3x m x x +=+，则2ln ()xm x x'=-．因为当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,3)x ∈时，()0m x '<． 所以()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．所以4()(1)3m x m =≤．所以43a ≥．所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 思路2：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11(31)3()(03)33a x g x a x x x--⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭．①若13a ≤，则()0g x '<在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ②若1233a <≤，则()0g x '≤在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ③若23a >，则当3031x a <<-时，()0g x '<，当3331x a <<-时，()0g x '>． 所以函数()g x 在30,31a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在3,331a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递增．所以33()ln 3131g x g a a ⎛⎫=-⎪--⎝⎭≥，由3ln 031a --≥，解得43a ≥．此时实数a 满足43a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路3：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭．因为1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，则1(1)103g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≥，即43a ≥． 因为11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭在(0,3)上单调递增，因为1103g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，【或0x →时，()g x '→-∞】2(3)03g a '=->． 所以存在0(0,3)x ∈，使得0011()03g x a x ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭． 当0(0,)x x ∈时，0()0g x '<，当0(,3)x x ∈时，0()0g x '>． 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,3)x 上单调递增． 所以00011()()1ln ln 33g x g x a x x a ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．要使1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，只要1ln 03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路4：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立，转化为11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立． 令()1ln s x x =+，则1()0s x x'=>，(0,3)x ∈． 所以()s x 在(0,3)上单调递增．而13y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是经过原点的直线，设过原点的直线与()1ln s x x =+相切于点00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，因为0001()y y x x x -=-过原点，所以01y =． 因为001ln y x =+，所以01x =．即切点为(1,1)．所以经过原点且与()1ln s x x =+相切的直线方程为y x =．所以满足11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的条件是113a -≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）证明1：由（2）可知，当43a =时，有ln 1x x -≤．即ln(1)x x +≤． 则111ln 1ln n n n n +⎛⎫>+= ⎪⎝⎭， 同理12ln 11n n n +>++，13ln 22n n n +>++，…，131ln33n n n +>． 所以11111311ln ln 3ln 312313n n n n n n n n +⎛⎫+++++>=+> ⎪++-⎝⎭L ． 所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ． 证明2：要证11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ，即证1111112313e3n n n n n+++++++->L ，即证1111112313e eeee3n n n n n++-⋅⋅⋅⋅⋅>L ．先证明e 1(0)xx x >+>，事实上，设()=e 1x p x x --，则()=e 1x p x '-，当0x >时，()=e 10xp x '->，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0p x p >=，所以e 1(0)xx x >+>． 所以11111123131111e eeee1+1+1+1+1313nn n n nn n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅>⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L123313131313n n n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=>+-L ． 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L ． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数且3,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值．22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为312x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t ，得250x y --=．所以曲线1C 的方程为250x y --=．因为曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），则由cos x θ=，得cos x θ=，代入y θ=得sin y x θ=， 消去参数θ，得223x y -=．因为,22θπ3π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0x <．所以曲线2C 的方程为223(0)x y x -=<．（2）因为点A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设直线20x y b -+=与曲线2C 相切，由22203x y b x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得223430x bx b +++=． 所以22(4)43(3)0b b ∆=-⨯⨯+=，解得3b =±． 因为0x <，所以3b =． 因为直线250x y --=与230x y -+=间的距离为：5d ==．所以AB．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围． 23．（1）解：因为1a =，所以()321f x x x =-+-． 当1x ≤时，由()743f x x =-<，解得1x >，此时x ∈∅．当12x <<时，()523f x x =-<，解得1x >，此时12x <<．当2x ≥时，()473f x x =-<，解得52x <，此时522x <≤． 综上可知，512x <<．所以不等式的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭． （2）解法1：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以55x x a x -<-<-【或22()(5)x a x -<-】． 所以255x a -<<． 因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，max (25)8x -=-．所以实数a 的取值范围为(8,5)-．解法2：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以||5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 分别作出函数5y x =-与函数y x a =-的图像，如图所示，要使5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，则当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数5y x =-的图像在函数y x a =-的图像的上方． 所以当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，需要满足5a x x -<-且5x a x -<-．因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()max 258x -=-．所以实数a 的取值范围为()8,5-．。
2020届广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题
A． 5 4
B． 4 3
C． 5 3
D． 2
12．已知函数
f
(x)
x2
x2
x x 1,
1, x 0，若 x 0，
F x
f
x sin 2020x 1在区间1,1
上有 m 个零点 x1 ， x2 ， x3 ，„， xm ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (xm )
7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾
分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10 位同学组成了
四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣
传小组各有 3 位同学．现从这10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 3 t,
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
y
1
2t
（
t
为参数），曲线
C2
的参
数方程为
x
3 cos
,
y
3 tan
(
为参数，且
2
,
2
)．
（1）求曲线 C1 和 C2 的普通方程；
（2）若 A ， B 分别为曲线 C1 ， C2 上的动点，求 AB 的最小值．
4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100 个人中抽取12 个，再从抽取的12 个人中 随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求 Y 的分
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试(一)理科综合生物试卷及答案
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试（一）理科综合生物试卷2020.4.30★祝考试顺利★一、选择题：本题共13小题,每小题6分,共78分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于生物膜结构和功能的叙述错误的是A.线粒体内膜上分布着ATP合成酶B．神经元的细胞膜上分布着Na+通道C．水绵的类囊体薄膜上含有叶绿素D.核膜通过囊泡运送RNA到细胞质2．下列与核酸有关的叙述错误的是A.具有细胞结构的生物的遗传物质是DNAB. DNA两条链间结合的牢固程度与G-C碱基对的占比有关C．格里菲思所做的肺炎双球菌转化实验证明DNA是遗传物质D.细胞复制DNA需要解旋酶、DNA聚合酶参与3．用光学显微镜观察洋葱根尖分生组织,下列叙述错误的是A.能观察到部分细胞的染色体出现联会现象B．能观察到部分细胞的染色体形态比较清晰C．能观察到部分细胞的两极各有一套染色体D.能观察到部分细胞中有两个成形的细胞核4．完成反射的结构基础是反射弧,下列有关叙述正确的是A．K+内流是大多数细胞产生和维持静息电位的主要原因B．神经递质与相应受体结合可引发突触后膜电位变化C．在一次反射过程中一个神经元各部分同时兴奋D．反射弧的效应器是传出神经所支配的肌肉或腺体5．某同学做了以下实验：取A、B两支试管,在A中加入煮熟的蚕豆子叶,B中加入发芽的蚕豆子叶。
在两试管中分别加入亚甲基蓝溶液（亚甲基蓝氧化态为蓝色,还原态为无色）,一段时间后倒出溶液,两试管中的子叶都呈蓝色。
然后两试管分别加水淹没子叶,抽气,在水面覆盖适量石蜡油,适宜温度下保温一段时间后,A管子叶蓝色深度不变,B 管子叶蓝色变浅。
取出两管子叶放在滤纸上一段时间,A管子叶蓝色深度不变,B管子叶蓝色深度一定程度恢复。
下列分析不合理的是A.该实验中抽气并在水面覆盖适量石蜡油的目的是隔绝空气,制造无氧环境B．保温后A管子叶蓝色深度不变的原因是高温导致酶失活,细胞无呼吸作用C．保温后B管子叶蓝色变浅的原因是亚甲基蓝被无氧呼吸产生的[H]还原D．滤纸上B管子叶蓝色深度恢复的原因是子叶进行有氧呼吸将亚甲基蓝氧化6．右图所示的单基因遗传病在人群中的发病率为1/a。