数学选修21知识点整理

若p ⇒q,q p,则p 是q 的充分不必要条件; 若p q,q ⇒p,则p 是q 的必要不充分条件;
若p ⇒q,q ⇒p,则p 是q 的充要条件;
若p q,q p,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 第一章 常用逻辑用语
p q p q ⎧⎪⎨
⎪⎩定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
1、命题形式：“若,则”.其中叫做命题的条件，叫做命题的结论
2、四种命题的关系：
结论：原命题和逆否命题、逆命题和否命题真假性相同
3、充分条件和必要条件
“若p,则q ”为真命题，则p ⇒q ，就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

4、充分必要条件的集合判断法
{|()}{|()}A x p x B x q x ==成立，成立
,A
B 若则p 是q 的充分不必要条件；,A 若B 则p 是q 的必要不充分条件；,A B =若则p 是q 的充要条件。

5、简单的逻辑联结词
（1）“且”，∧p q ，有假则假；（2）“或”，∨p q ，有真则真；（3）“非”，⌝p ，真假相反。

6、命题的否定和否命题
命题的否定:条件不变，只否定结论； 否命题：条件和结论都否定。

7、全称量词和全称命题
全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给… 符号：∀ 全称命题：∀x ∈M,p(x)（读作：对任意x 属于M ，有p(x)成立） 全称命题的否定：∃x 0∈M,⌝p(x 0) 8、存在量词和特称命题
存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有的、对某个… 符号：∃ 特称命题：∃x 0∈M,p(x 0)（读作：存在M 中的元素x 0，使p(x 0)成立） 特称命题的否定：∀x ∈M,⌝p(x)
第二章 圆锥曲线与方程
1、曲线与方程： 直角坐标系中，若曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线。

2、椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于|12F F |）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点.|12F F |叫做焦距。

122||||MF MF a += （2a>2c ） 12||2F F c =
若2a=2c,则点M 的轨迹是线段12F F ；若2a<2c ，则点M 的轨迹不存在。

图形
方程 22
22
1(0)x y a b a b +=>> 22
22
1(0)y x a b a b +=>> 焦点 12(,0),(,0)F c F c -
12(0,),(0,)F c F c -
焦距 12||2F F c =
a,b,c 关系 222a b c =+
范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤
,b x b a y a -≤≤-≤≤
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：坐标原点
顶点 1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --
轴长 长轴长=12||A A =2a 短轴长=12||B B =2b
离心率
2
2
1c b e a a
==-(01)e <<
4、若已知两点求椭圆方程，若椭圆的焦点位置不确定，可设为一般方程221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠
5、椭圆上的点到焦点的距离最大和最小的点都是长轴的端点，最大值=a+c,最小值=a-c 。

6、直线与椭圆位置关系
联立直线与椭圆方程，代入法消y ，得关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，求24B AC ∆=- 若∆>0，则直线与椭圆相交，有两个交点；若∆=0，则直线与椭圆相切，有一个交点； 若∆<0，则直线与椭圆相离，没有交点；
7、弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线和圆）
若斜率为k 的直线与椭圆相交于A,B 两点，设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，则
弦长222
121212122
1||1()41()4AB k x x x x y y y y k
=++-=++-8、中点弦问题（点差法）
若直线交椭圆22
221x y a b
+=于A,B 两点，且AB 的中点为00(,)M x y ，则设1122(,),(,)A x y B x y ；
12
012022
x x x y y y +⎧
=⎪⎨+⎪=⎩
1212AB y y k x x -=- 把点A,B 代入椭圆方程，得：22
112212121212222222221()()()()01
x y x x x x y y y y a b x
y a b a
b ⎧+=⎪+-+-⇒+=⎨⎪+=⎩
9、双曲线的定义
把平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线. |MF 1|-|MF 2||=2a （0<2a<|F 1F 2|） |F 1F 2|=2c
若2a=2c ，则点M 的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线； 若2a>2c ，则点M 的轨迹不存在。

图形 方程 22
22-1(0)x y a b a b =>> 22
22
-1(0)y x a b a b =>> 焦点 12(,0),(,0)F c F c -
12(0,),(0,)F c F c -
焦距 12||2F F c =
a,b,c 关系 222c a b =+
范围 ,x a x a y R ≤-≥∈或
,y a y a x R ≤-≥∈或
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：坐标原点
顶点 12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -
轴长 实轴长=12||A A =2a 虚轴长=12||B B =2b
离心率
22
1c b e a a
==+(1)
e > 11、抛物线的定义
把平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做准线。

12、抛物线的方程与几何性质
图象
标准方程 22(0)y px p =>
22(0)y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)x py p =->
焦点 (,0)2p
F (,0)
2p
F - (0,)
2p F (0,)
2p F -
准线 2p x =-
2p x =
2p y =-
2
p y =
顶点 原点（0,0）
对称轴 x 轴
y 轴
范围 0,x y R ≥∈
0,x y R ≤∈
0,y x R ≥∈
0,y x R ≤∈
离心率
e=1
抛物线2
2(0)y px p =>的焦半径、焦点弦、通径： 焦半径：1||2
p
AF x =+
焦点弦：12||AB x x p =++
通径：垂直对称轴的焦点弦，长度为2p
第三章 空间向量与立体几何
1、共线向量：(0)a b b a b λ≠⇔=
2、向量的数量积：||||cos ,a b a b a b =<>
3、空间向量的坐标运算：
111222121212
1212122111(,,)(,,)
,,00
||a x y z b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z a x y z λλλλ==⇔=⇔===⊥⇔=⇔++==++ 4、向量法证明平行和垂直
线面平行：直线与法向量垂直；线面垂直：直线与法向量平行； 面面平行：法向量互相平行；面面垂直：法向量互相垂直。

5、异面直线所成角
,a b θ两异面直线所成角为，它们的方向向量为
||cos |cos ,|||||a b a b a b θ=<>=
6、直线与平面所成角
||
sin |cos ,|||||a n a n a n θ=<>=
7、二面角的平面角
||
|cos ||cos ,|||||m n m n m n θ=<>=
8、点到平面的距离
AB 是平面α的一条斜线，A 在平面α外，B 在平面α内，n 为α的法向量，则点A 到平面α的距离为：
||||AB n d n =。