数学选修21知识点整理

若p ⇒q,q p,则p 是q 的充分不必要条件; 若p q,q ⇒p,则p 是q 的必要不充分条件;

若p ⇒q,q ⇒p,则p 是q 的充要条件;

若p q,q p,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 第一章 常用逻辑用语

p q p q ⎧⎪⎨

⎪⎩定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句

1、命题形式：“若,则”.其中叫做命题的条件，叫做命题的结论

2、四种命题的关系：

结论：原命题和逆否命题、逆命题和否命题真假性相同

3、充分条件和必要条件

“若p,则q ”为真命题，则p ⇒q ，就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

4、充分必要条件的集合判断法

{|()}{|()}A x p x B x q x ==成立，成立

,A

B 若则p 是q 的充分不必要条件；,A 若B 则p 是q 的必要不充分条件；,A B =若则p 是q 的充要条件。

5、简单的逻辑联结词

（1）“且”，∧p q ，有假则假；（2）“或”，∨p q ，有真则真；（3）“非”，⌝p ，真假相反。 6、命题的否定和否命题

命题的否定:条件不变，只否定结论； 否命题：条件和结论都否定。 7、全称量词和全称命题

全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给… 符号：∀ 全称命题：∀x ∈M,p(x)（读作：对任意x 属于M ，有p(x)成立） 全称命题的否定：∃x 0∈M,⌝p(x 0) 8、存在量词和特称命题

存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有的、对某个… 符号：∃ 特称命题：∃x 0∈M,p(x 0)（读作：存在M 中的元素x 0，使p(x 0)成立） 特称命题的否定：∀x ∈M,⌝p(x)

第二章 圆锥曲线与方程

1、曲线与方程： 直角坐标系中，若曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线。

2、椭圆的定义：

我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于|12F F |）的点的轨迹叫做椭圆。 两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点.|12F F |叫做焦距。

122||||MF MF a += （2a>2c ） 12||2F F c =

若2a=2c,则点M 的轨迹是线段12F F ；若2a<2c ，则点M 的轨迹不存在。

图形

方程 22

22

1(0)x y a b a b +=>> 22

22

1(0)y x a b a b +=>> 焦点 12(,0),(,0)F c F c -

12(0,),(0,)F c F c -

焦距 12||2F F c =

a,b,c 关系 222a b c =+

范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤

,b x b a y a -≤≤-≤≤

对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：坐标原点

顶点 1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --

轴长 长轴长=12||A A =2a 短轴长=12||B B =2b

离心率

2

2

1c b e a a

==-(01)e <<

4、若已知两点求椭圆方程，若椭圆的焦点位置不确定，可设为一般方程221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠

5、椭圆上的点到焦点的距离最大和最小的点都是长轴的端点，最大值=a+c,最小值=a-c 。

6、直线与椭圆位置关系

联立直线与椭圆方程，代入法消y ，得关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，求24B AC ∆=- 若∆>0，则直线与椭圆相交，有两个交点；若∆=0，则直线与椭圆相切，有一个交点； 若∆<0，则直线与椭圆相离，没有交点；

7、弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线和圆）

若斜率为k 的直线与椭圆相交于A,B 两点，设1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y ，则

弦长222

121212122

1||1()41()4AB k x x x x y y y y k

=++-=++-8、中点弦问题（点差法）

若直线交椭圆22

221x y a b

+=于A,B 两点，且AB 的中点为00(,)M x y ，则设1122(,),(,)A x y B x y ；

12

012022

x x x y y y +⎧

=⎪⎨+⎪=⎩

1212AB y y k x x -=- 把点A,B 代入椭圆方程，得：22

112212121212222222221()()()()01

x y x x x x y y y y a b x

y a b a

b ⎧+=⎪+-+-⇒+=⎨⎪+=⎩

9、双曲线的定义

把平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线. |MF 1|-|MF 2||=2a （0<2a<|F 1F 2|） |F 1F 2|=2c

若2a=2c ，则点M 的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线； 若2a>2c ，则点M 的轨迹不存在。

图形 方程 22

22-1(0)x y a b a b =>> 22

22

-1(0)y x a b a b =>> 焦点 12(,0),(,0)F c F c -

12(0,),(0,)F c F c -

焦距 12||2F F c =

a,b,c 关系 222c a b =+

范围 ,x a x a y R ≤-≥∈或

,y a y a x R ≤-≥∈或

对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：坐标原点

顶点 12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -

轴长 实轴长=12||A A =2a 虚轴长=12||B B =2b

离心率

22

1c b e a a

==+(1)

e > 11、抛物线的定义

把平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做准线。

12、抛物线的方程与几何性质