辽宁师范大学数学分析2004年考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题
2004数学四--考研数学真题详解
B 2004 − 2 A2 =
．
⎛3 0 0 ⎞
【答】
⎜ ⎜
0
3
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
【详解】因为
⎜⎛ −1 A2 = ⎜ 0
0 −1
0 ⎟⎞ 0⎟ ,
B 2004 = P −1 A2004 P .
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
故
B 2004 = P −1 ( A2 )1002 P = P −1EP = E ,
∑ Y
=
1 n
n i =1
Xi
，
则
(A)
D( X 1
+
Y
)
=
n
+ n
2
σ
2
．
(B)
D( X 1
−Y)
=
n
+ n
2
σ2
．
(C)
Cov( X1,Y )
=
σ2 n
．
(D) Cov( X1,Y ) = σ 2 ．
【答】 [C]
【详解】 由于随机变量 X1, X 2 ,", X n (n > 1) 独立同分布, 于是可得
由极限的保号性，至少存在一点 x0 ∈ (a,b)
使得
f
(x0 ) x0
− −
f (a) a
>
0 ，即
f
(x0 )
>
f
(a) .
同理，至少存在一点 x0 ∈ (a,b) 使得 f (x0 ) > f (b) .
所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).
(12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当| A |= a(a ≠ 0) 时, | B |= a . (B) 当| A |= a(a ≠ 0) 时, | B |= −a .
2004考研数学一真题及答案解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
2004考研数一真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩LLL L L L L LL试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
New_全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案.pdf
DX }
1
.
e
【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】
由于 DX
1 λ2
,
X 的分布函数为
F
(x)
1
e
λx
,
0,
x 0, x 0.
故
P{X DX } 1 P{X DX } 1 P{X 1} 1 F (1 ) 1 .
(A) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) > f (a).
(B) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) > f (b).
(C) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) 0 .
(D) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) = 0.
考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设 0 < < 1，当 x ( , 0) (0 , )时，f (x) > 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)
的极小值点.
显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)， f (x) 2 0 ，
【详解】因为 x A1b , 而且 A aij 33 是实正交矩阵, 于是 AT A1 , A 的每一个行
(列)向量均为单位向量, 所以
x
A1b
AT b
a11 a12
1 0
.
a13 0
(6) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X
2004考研数学一真题及答案解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为.(2)已知 f (e x) xe x,且f(1) 0,则f(x)=.(3)设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy 2ydx的值为.(4)欧拉方程x2嗅4xdy 2y 0(x 0)的通解为^dx2dx -------------2 1 0(5)设矩阵A 1 2 0,矩阵B满足ABA* 2BA* E ,其中A*为A的伴随矩阵，E 0 0 1是单位矩阵，则|B =.(6)设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{ X JDX} =.二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)x o x2- ■ x(7)把x 0时的无力小重cost出，tandtdt, sin t dt ,使排在后面的0 0 0是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),,(C),,(8)设函数f (x)连续，且f⑼0,则存在(A)他)在(0,)内单调增加(C)对任意的x (0,)有f(x) f(0) (B),,(D),,0,使得(B)“刈在(，0)内单调减少(D)对任意的x ( ,0)有f(x) f(0)(9)设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是 n 1 (A)若 limna n =0, 则级数 a n 收敛ndn 1(B)若存在非零常数，使得lim na n,则级数 a n 发散ndn 1(C)若级数 a n 收敛，则n imn 2a n 0n 1n(D)若级数 a n 发散，则存在非零常数，使得lim na n n 1 n(10)设 f(x)为连续函数，F(t) 1t dy ： f (x)dx ,则 F (2)等于(B) f(2)(C) f ⑵(D) 0(11)设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C 的可逆矩阵Q 为0 1 0(B) 1 0 10 0 1 0 1 1(D) 1 0 00 0 1(12)设A,B 为满足AB O 的任意两个非零矩阵，则必有(13)设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的(01),数u 满足P{X u} ,若 P{X x} ，则 x 等于(A) 2 f (2) 0 1 0(A) 1 0 01 0 1 0 1 0(C) 1 0 00 1 1(A) A 的列向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关(D) A 的行向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关 ,B 的列向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(A) u(B) u1 _22(C) u 二 (D) U 1n(14)设随机变重X i ，X 2，,X n (n 1)独立同分布，且其万差为20.令Y - X i , n i 1(A) Cov(X 1,Y)一n三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)(15)(本题满分12分)设 e a b e 2,证明 ln 2b ln 2a --2- (b a). e(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速 伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h 经测试，减速伞打 开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为k 6.0 106).问从着陆点 算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注:kg 表示千克，km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分 I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中 是曲面 z 1 x 2 y 2(z 0)(18)(本题满分11分)设有方程x n nx 1 0,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ,并证明当 1时，级数X n 收敛.n 1(B) Cov(X 1,Y) (C) D(X 1 Y)42n(D) D(X 1 Y)— n(19)(本题满分12分)设z z(x,y)是由x2 6xy 10y2 2yz z2 18 0确定的函数，求z z(x,y)的极值点和极值.(20)(本题满分9分)(1 a)x1 x2 L x n 0,设有齐次线性方程组2x1 (2 a)x2 L 2x n 0, (n 2),L L L L L Ln% n” L (n a)x n 0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(21)(本题满分9分)1 2 3设矩阵A 1 4 3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似1 a 5对角化.(22)(本题满分9分)设A,B 为随机事件，且P(A) 1,P(B|A) 1,P(A|B) L 令 4 32X 1, A发生，Y 1, B发生，0,A不发生；0,B不发生.求：(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布.(2) X 和Y 的相关系数(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为其中未知参数 1,X 1,X 2, ,X n 为来自总体X 的简单随机样本，求：(1) 的矩估计量.(2) 的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为y x 1.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
2004年考研数学试题详解及评分参考
(C) b ,a ,g . (D) b ,g ,a .
【答】 应选 (B).
【解】 由a ¢ = cos x2 , b ¢ = 2x tan x : 2x2, g ¢ = 1 sin( 2x
x )3
:
1 2
x
（
x
®
0+
），可见
lim b = lim b ¢ = 0 ， lim g = lim g ¢ = 0 ，即 b 比g 高阶，g 比 b 高阶. 故选 (B).
证明 ln 2 b - ln 2
a
>
4 e2
(b - a) .
证法１：设j(x)
=
ln2
x-
4 e2
x ，则j¢(x)
=
2
ln x x
-
4 e2
，j¢¢(x)
=
2
1
- ln x2
x
，
……5
分
所以当 x > e 时，j ¢¢(x) < 0, 故j ¢(x) 单调减少，
从而当 e < x < e2 时，j ¢(x) > j ¢(e2 ) =
xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx = 3dxdy - 0 - 0 = 3p / 2 .
L+ L1 + L2
L1
L2
D
【解法二】
易见
L
的参数方程为
ïì x
í ïî
y
= =
2 cos t 2 sin t
，
(其中 t 从 0
到p 2
)，代入被积函数，有
p
p
ò ò ò xdy - 2 ydx = 2 (2 cos2 t + 4sin2 t)dt = 2 2 (1+ sin2 t)dt = 3p / 2 .
2004考研数学一真题及答案解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
2004年考研数学(二)试题及解析
2004年考研数学（二）试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)(1)__________)(,1)1(lim)(2=+-=∞→x x f nx xn x f n 的间断点为则设.______________)(,1313)()2(33取值范围为向上凸的则曲线确定由参数方程函数设x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=._____1d )3(12=-⎰∞+x x x.______3,2e ),()4(32=∂∂+∂∂+==-yz x z y z y x z z z x 则确定由方程设函数 .________560d 2d )()5(13的特解为满足微分方程==-+=x y y x x x y_____||,*,*2*,100021012)6(=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B E A A E BA ABA B A 矩阵，则是单位的伴随矩阵为其中满足矩阵设矩阵二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,把所有选项前的字母填在题后的括号内.)αγβγαββγαγβαγβα,,)D (,,)C (,,)B (,,)A (,,d sin ,d tan ,d cos 0)7(03022则正确的排列次序是的高阶无穷小使排在后面的是前一个排列起来时的无穷小量把⎰⎰⎰===→+x xx t t t t t t x 的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是则设)()0,0(,)(0)D ()()0,0(,)(0)C ()()0,0(,)(0)B ()()0,0(,)(0)A (|,)1(|)()8(x f y x f x x f y x f x x f y x f x x f y x f x x x x f ========-=⎰⎰⎰⎰+++++∞→2122121212222d )1(ln )D (d )1ln(2)C (d ln 2)B (d ln )A ()1()21()11(ln lim )9(xx xx xx xx n nn n n n 等于)0()()0,()D ()0()(),0()C ()0,()()B (),0()()A (,0,0)(',)()10(f x f x f x f x x f x f x f x f >-∈>∈->>有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得且存在且连续设函数δδδδδxA c bx ax y x A c bx ax y xB x A x c bx ax y x B x A x c bx ax y x x y y cos *)D (sin *)C ()cos sin (*)B ()cos sin (*)A (sin 1'')11(22222+++=+++=++++=++++=++=+的特解形式可设为微分方程{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----≤+=θπθπθθθθθθsin 2020sin 202202111122d )cos sin (d )D (d )cos sin (d )C (d )(d 2)B (.d )(d )A (.d d )(,2|),(,)()12(222rr r f rr f xxy f y y xy f x y x xy f y y x y x D u f y y x x D等于则区域连续设函数⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001110)D (110001010)C (100101010)B (101001010)A (,32,21,3)13(为的可逆矩阵则满足列得列加到第的第再把列交换得列与第的第将阶方阵是设Q C AQ C B B A A 的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关则必有的任意两个非零矩阵为满足设B A B A B A B A AB B A ,)D (,)C (,)B (,)A (,0,)14(=.1)3cos 2(1lim)10()15(.),,94,9(3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x x 求极限分本题满分证明过程或演算布骤解答应写出文字说明分满分小题本题共三、解答题[][].0)(,)II (;0,2)()I (.),2()(),4()(2,0,),()()10)(16(2处可导在为何值时问上的表达式在区间写出为常数其中都满足若对任意的上，在区间上有定义在设函数分本题满分=-+=-=+∞-∞x x f k x f k x kf x f x x x x f x f .)()2(.)()1(,d |sin |)()11)(17(2的值域求为周期的周期函数是以证明设分本题满分x f x f t t x f x xππ⎰+=.)()(lim )2(.)()()1().(),(),(,,0)0(,02e e )12)(18(-t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x y t xx +∞→==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体绕该曲边梯形围成一曲边梯形及与直线曲线分本题满分).(e 4ln ln ,e e )12()19(2222a b a b b a ->-<<<证明设分本题满分 .//,).100.6(,./700,9000.,,,,,)11)(20(6小时表示千米表示千克注离是多少起，飞机滑行的最长距问从着陆点算比例系数为飞机的速度成正比后飞机所受的总阻力与减速伞打开经测试着陆的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力伞飞机尾部张开减速在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时分本题满分h km kg k h km kg ⨯=.,,),e ,()10)(21(222yx z y z x z f y x f z xy∂∂∂∂∂∂∂-=求具有连续二阶偏导数，其中设分本题满分.)4(44403)3(33022)2(20)1()9)(22(4321432143214321非零解，并求出其通解取何值时，该方程组有试问设有齐次线性方程分本题满分a x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++ .,,51341321)9()23(可相似对角化是否并讨论的值求根的特征方程有一个二重设矩阵分本题满分A a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2004年考研数学（二）试题解析一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。