某高校《高等几何》期末考试试卷(含答案)

某高校《高等几何》期末考试试卷
（120分钟）
一、填空题（2分⨯12=24分）
1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；
2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0）
3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2
4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x
5、方程0652
22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0）
6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=
x x x ，则原点的对应点 -3
1
7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322
21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x
8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→；
b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b
10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应
12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：
130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。

解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。

由两线束的方程有：1233
,'x x x x λλ=
=。

将它们代入射影对应式并化简得，
2
122313320x x x x x x x +-+=
此即为所求二阶曲线的方程。

三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。

（10分）
证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D '
B A '' AC=E '，则),,,(B A B A
C '''∧),,,(B A B A C ''所以，
),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B
即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B
这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。

四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0,
17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。

（10
分）
解：因为
01721
3
1
12---=0且1
050172
1
3
---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。

四直线与x
轴（2x =0）的交点顺次为
A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-
21,0),B(32,0),C(0,0),D(5
1
,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）=
)
2
151)(320()
32
51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12
1
→，0→2，所确定的对合方程。

（10分）
解 设所求为
a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
将对应参数代入得：
21a+（1+2
1
）b+d=0 ② （0+2）b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得
1
2
012321
1
λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求
六、求直线32163x x x +-=0关于212
2
212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。

（12分）
解：设0p （030201,,x x x ）为所求，则
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020
1x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020
10
30201x x x x x x x x
得即,1,1,30
30201-=-==x x x （3，-1，-1）为所求极点的坐标
七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。

（12分）
定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。

证明：设简单六点形654321A A A A A A ，其三对对边的交点分别为L ，M ，N ， L= 21A A 54A A ，M=32A A 65A A ，N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心，分别连接其他四点，则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A
设P A A A A =5421 ， Q A A A A =4365
则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,，()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M
所以，()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ，故有 ()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M
所以LM ，Q A 4，5PA 三点共点，但Q A 4 5PA =N, 即L ，M ，N 三点共线。

八、用两种方法求双曲线042322
2
=-+-+y x xy y x 的渐近线方程。

（12分）
解：方法一
设渐近线的方程为
0)3
23
2
22
1
12
3
13
2
12
1
11
(=+++++x a x a x a k x a x a x a
根据公式得 01232=++-k k
解之，得3
1
,121-==k k ，所以渐近线方程为
0)23(1=--+++y x y x 和
0)23(3
1
1=---++y x y x
化简，得所求为
2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0 方法二
先求出中心，因为
131=A ，332=A ，433-=A
所以中心为⎪⎭
⎫
⎝⎛--43,41C 代入公式得渐近线方程
03433434124
3412
2
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+y x y y x
分解因式得
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+41x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+43y =0
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+41x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+433y =0
化简，得所求为
2x-2y-1=0 和
2x+6y+5=0。