高中数学竞赛函数练习题1

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高中数学竞赛试题

高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。

A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°，求\( \sin B \)的值。

A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a \)和\( b \)为正整数，求\( a + b \)的值。

6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项\( c_{10} \)的值。

7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(2) \)的值。

8. 若正六边形的边长为1，求其外接圆的半径。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

10. 解不等式：\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。

11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目上海高一高中数学竞赛一直是广大学生们备受关注的盛事。

每年都有无数的学生为了参加这场盛会而日夜苦学，奋发拼搏。

在竞赛中，学生们需要解答一系列高难度的数学题目，考验他们的数学思维能力和解题技巧。

今年的竞赛题目也不例外，以下是其中几道代表性的题目。

题目一：概率论某班级的学生进行了一次数学竞赛，共有60人参赛，其中45人擅长代数，30人擅长几何，18人既擅长代数又擅长几何。

随机选择一名参赛学生，请计算以下概率：a) 该学生至少擅长一门学科；b) 该学生只擅长代数或者只擅长几何；c) 该学生既不擅长代数也不擅长几何。

题目二：函数与方程已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(x+1) + f(x-1) = 3x + 2，其中 x 为实数。

请问：a) 函数 f(x) 的表达式是什么？b) 函数 f(x) 在定义域内的最大值是多少？题目三：三角函数已知正弦函数 f(x)=a*sin(kx+b)，其中 a>0，0<b<π，且 a、k、b 都是常数。

已知f(π/4) = 1 和f(π/6) = 1/2，请计算以下值：a) 常数 a 和 k 的值；b) 常数 b 的取值范围。

题目四：几何问题设 AB 和 CD 是平行线段，E 是 AB 上的一点，F 是 CD 上的一点，且 AE:EB = 2:1，CF:FD = 1:3。

连接 AF 和 BE，交于点 G。

请证明：AG=GB。

题目五：数列与级数已知数列 {an} 的通项公式为 an = n^2 + 3n，n∈N。

请计算以下级数的和：S = a1 + a2 + a3 + ... + a100以上是今年上海高一高中数学竞赛的一些典型题目。

这些题目涵盖了概率论、函数与方程、三角函数、几何问题以及数列与级数等多个数学知识点。

学生们需要在有限的时间内灵活运用各种解题方法，迅速找到解题思路，并给出准确的答案。

这不仅要求学生们有坚实的数学基础，还需要他们具备良好的逻辑思维和分析问题的能力。

高中数学竞赛试卷及解答

高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。

记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。

若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。

高一数学竞赛：函数与方程

高一数学竞赛：函数与方程模块一：易错试题精选【例1】若,a b c <<则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间()A (),a b 和(),b c 内()B (),a -∞和(),a b 内()C (),b c 和(),c +∞内()D (),a -∞和(),c +∞内【例2】若函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x x x f ，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数是___________.【例3】已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当()+∞∈,0x 时，()x x f x2017log 2017+=，则函数()x f 的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于()A.14B.10C.7D.3【例5】设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【例7】设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（）A.()22-B.322⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()2,-+∞【例8】已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的解a b c d ,,,,且a b c d <<<,则的()21a b c c d++取值范围为()A.(]1,1- B.[)1,1- C.(1,)-+∞ D.(,1)-∞【例9】已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑()（注111221()()()()mim m i x y xy x y x y =+=++++++∑L ）A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m模块二：培优试题精选【例1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()log 1,12,1a x x x g x x ⎧->=⎨≤⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．（2，4）B ．（2，5）C ．（1，5）D ．（1，4）【例2】关于x 的方程()242200x m x m ++++=有两个正根()1212,x x x x <，下列结论错误的是（）A ．102x <<B ．226x <<C ．1212x x x x +的取值范围是{01}xx <<∣D ．2212x x +的取值范围是{440}xx <<∣【例3】设函数21,0()ln ,0ax ax x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()y f x a =+在R 上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．[)1,0-D ．4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【例4】已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m【例5】已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()211,0212,22x x f x f x x ⎧--<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为（）A ．8B ．32C ．0D ．18【例7】已知函数23e ,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()()2g x f x kx x =--有两个零点，则k 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例8】设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【例9】已知函数()()211x xf x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（）A ．αββα=+B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．1αβ->-【例10】设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【例11】设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.【例12】已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()221f x x x =-++，若关于x 的方程()()230f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是_____.【例13】已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有(4)4()f x f x +=，(]0,4x ∈时2()22x f x -=-；若函数2()()()g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为________.【例14】已知函数212,2()2ln(1),2x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数1()()4g x f f x m ⎛⎫=+- ⎝⎭有6个不同的零点，求m 的取值范围___________.【例15】已知函数2|2|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()0f x k -=有4个不相等的实数根a ，b ，c ，d ，则+++a b c d 的取值范围是___________，abcd 的取值范围是___________.【例16】已知函数()1ln ,1121,1x f x x x x ⎧⎛⎫-<-⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-⎩，则函数()f x 的零点是__________；若函数()()()g x f f x a =-，且函数()g x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【例17】已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．【例18】已知函数()()2ln ,068,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的各个零点之和为______；若方程1f x mx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭恰有四个实根，则实数m 的取值范围为______．模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（全国竞赛题）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题2 函数(50题竞赛真题强化训练)解析版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题2 函数一、单选题1．（2019·全国·高三竞赛）函数()f x 的定义域为D ，若满足（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则称()y f x =为“闭函数”.现知()f x k 是闭函数，那么k 的取值范围是（）. A ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ C ．59,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【详解】因为()f x k x ==有两个不等的实根，从而，()222120x k x k -++-=，且2,.x x k ≥-⎧⎨≥⎩故()()2221420,2,.k k k ⎧+-->⎪≥-⎪⎪⎪≥⎪⎩解得9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故答案为D2．（2018·全国·高三竞赛）[]x 表示不超过实数x 的最大整数，设N 为正整数．则方程[]()222x x x x ⎡⎤-=-⎣⎦在区间1x N ≤≤中所有解的个数是（）． A ．21N N ++ B ．2N N - C ．21N N -+ D ．22N N -+【答案】C 【解析】【详解】显然，x N =为方程的一个解．原方程为()()222m p m p p ⎡⎤+-+=⎣⎦，即222mp mp p ⎡⎤=+⎣⎦．又01p ≤<，2mp 为整数，则12210,,,,222m p m m m-=⋯共2m 个．因为1,2,,1m N =-，所以，这类数共有()224621N N N ++++-=-个．故方程[]()222x x x x ⎡⎤-=-⎣⎦在区间1x N ≤≤中所有解的个数为21N N -+．3．（2019·全国·高三竞赛）设()01a a <<是给定的常数，()f x 是R 上的奇函数，且在()0,∞+上递增. 若102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()log 0a f x <，那么，x 的变化范围是（）.A ．x>B ．x >1x <C 1x <<D x<【答案】B 【解析】【详解】由()f x 是奇函数，得()()00f f -=-. 所以，()00f =.因为()f x 在()0,+∞上递增，结合102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到()y f x =在()0,+∞上的草图.再注意到()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，得到()y f x =的草图（如图）.由图像可知，()0f x <等价于12x <-或102x <<. 于是，由()log 0a f x <，得1log 2a x <-或10log 2a x <<.又01a <<，所以，x>1x <.选B.4．（2019·贵州·高三竞赛）方程组1xy e ex y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩的解的组数是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】【详解】从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组. 故选：B.5．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知实数a ，b 满足：对于任意的实数x ，不等式()()()2210x a x b x a----≥恒成立，则x a x b -+-的取值范围为（）．A ．[1，+∞)B ．[78，+∞) C ．[58，+∞)D ．[38，+∞)【答案】A 【解析】【详解】221a a +>恒成立，若b ∈(-∞，221a +)，取|x |∈(b ，221a +)则矛盾．若b >221a +，则取|x |>221a +，所以b =221a +，取x =0，(221a +)2·()a -≥0，则a ≤0，2217212148x a x b a b a a a ⎛⎫--≥-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭．又a ≤0，所以最小值为1．故选：A. 二、填空题6．（2018·湖南·高三竞赛）设,,a b R a b ∈<，函数(x)max ||(x R)a t bg x t ≤≤=+∈（其中max 表示对于x ∈R ，当[,]t a b ∈时表达式||x t +的最大值），则()g x 的最小值为_____. 【答案】2b a- 【解析】【详解】对于每一个x R ∈，函数()f t x t =+是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数f t 的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有(){}·max ,.a t ba bg x max x t x a x b <<=+=++由于函数,y x a y x b =+=+图像交点的横坐标c 满足 ()2a bc b c a c +-+=+⇒=-，得到(),,,.x a x c g x x b x c ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩其图像为两条折线组成，且()()min .2b ag x g c -==故答案为2b a-7．（2018·天津·高三竞赛）若a 为正实数，且()(2log f x ax =是奇函数，则不等式()32f x >的解集是_____________ 【答案】7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【详解】由()()0f x f x +-=可得((22log log 0ax ax +-=即(1ax ax -=也即()2220a x -=，所以a =0，+∞）上递增，所以()f x 在（0，+∞）上是增函数，结合()f x 是奇函数可知()f x 在R 上是增函数.解不等式()32f x >，只需找到()32f x =的解. 方程()32f x =322=)2x =- 两边平方，解得78x =.因此，不等式()32f x >的解集是7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．（2020·江苏·高三竞赛）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，则满足()()()f f f x x =的函数f ：A A →共有___________个．【答案】47【详解】解析,值域中元素的个数为1或6，若值域中元素的个数为1，则()f x m =（m 为常数），共6种；若值域中元素的个数6，当()f x x =时，1种；当()(())((()))x f x f f x f f f x x →→→→，则3个一组，有36240C =．因此题述所求为164047++=个．故答案为：47.9．（2021·全国·高三竞赛）若函数()f x t =[,]a b ，值域为[,]a b ，则实数t 的取值范围是___________. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【详解】解析：易知()f x t =-[,]a b 上单调递减，因为函数()f x 的值域为[,]a b ，所以(),(),f a b f b a =⎧⎨=⎩即,.t b t a ⎧⎪⎨=⎪⎩两式相减得，22(3)(3)a b a b -=+-+=-，1.因为a b <，所以102≤<，而1t a a ==，所以219(3)224t a ⎫=+-=-⎪⎭.又102≤，所以924t -<≤-.故答案为：9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.10．（2018·山东·高三竞赛）函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域为______．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）．【答案】{}2,1,1,2-- 【解析】因为()()2πf x f x +=且()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()f x 以2π为周期，且图象关于直线π4x =对称．所以只需讨论π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值即可．易得，当π4x =时，()f x 取得最大值2；当3π5π,ππ,44x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()f x 取得最小值2-，所以()f x 的值域为{}2,1,1,2--．11．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.12．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()x f x x e -++为偶函数，且()()220f a f a -+≤，则实数a 的最大值为___________．【详解】解析：由题意()()()x x x f x x e f x x e f x x e -++=--+=--+，则()2x xe ef x x --=-，求导可得()f x 为单调递增的函数，故()()22f a f a ≤-，则22a a ≤-，解得21a -≤≤，则实数a 的最大值为1．故答案为：1.13．（2021·全国·高三竞赛）已知s ､t 是关于x 的整系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，12s t <<<，则当正整数a 取得最小值时，b c +=___________. 【答案】4- 【解析】【详解】设()()()f x a x s x t =--，则2()f x ax bx c =++，因为(1),(2)f f Z ∈，所以(1)(2)1f f ⋅≥，所以211(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)a s t s t s t s t ≥=--------.又因为11(1)(2),(1)(2)44s s t t --≤--≤，所以216a ≥，但216a ≠，所以5a ≥.当5a =时，25(1)(2)25(1)(1)(2)(2)1,16f f s t s t ⎡⎫⋅=----∈⎪⎢⎣⎭，所以(1)(2)1f f ⋅=，所以(1)(2)1f f ==.于是2()51511f x x x =-+，故15114b c +=-+=-. 14．（2021·全国·高三竞赛）方程33333333(1)(4)(9)21491(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---++++++=⎢⎥++++++⎣⎦的不同的实数解的个数为___________. 【答案】5 【解析】【详解】解析：易知0x =是原方程的解.当0x ≠时，利用()3322()a b a b a ab b +=+-+，原方程33333333(1)(4)(9)214911110(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++-+-+-=⎢⎥++++++322249490(1)(4)(9)(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥++++++⎣⎦.方程两端同除x ，整理后得()42982883850x x x x --+=.再同除x ，得()22231(624)0xx --+=.即()()22676550x x x x +---=，从而有(7)(1)(5)(11)0x x x x +-+-=.经验证12347,1,5,11x x x x =-==-=均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.故答案为：5.15．（2018·河北·高二竞赛）已知11x y ，且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为________.【答案】2+ 【解析】【详解】由已知得22lg 2lg 1lg 2lg 14x x y y -++-+=. 所以()()22lg 1lg 14x y -+-=.因为11x y 、，所以lg 0lg 0x y 、，设lg lg s x t y ==，，则有点（s ，t ）在以（1，1）为圆心，2为半径的圆弧（第一象限及坐标轴）上.由线性规划知识直线u s t =+与圆弧相切于点)1时，)max 22u =+16．（2018·河南·高三竞赛）已知a 、b 、c 均为正数，则124min ,,a b c ⎧⎨⎩的最大值为______．【解析】【详解】记124min ,,M a b c ⎧=⎨⎩，那么1M a ≤，2M b ≤，4M c ≤，于是38M ≤，得2≤．∈又 M ≤ ∈由∈∈可得2M M≤，所以M ≤，即max M =24c b a ===得．17．（2018·甘肃·高三竞赛）已知函数()3sin f x x x =+（R x ∈），函数()g x 满足()()20g x g x +-=（R x ∈），若函数()()()1h x f x g x =--恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019 【解析】【详解】易知函数()3sin f x x x =+为奇函数，从而()1f x -的图象关于()1,0点对称．函数()()20g x g x +-=，可知()g x 的图象也关于()1,0点对称．由此()h x 的图象关于()1,0点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于()()()10101h f g x =-=⇒=是()h x 的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于()1,0点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．18．（2018·甘肃·高三竞赛）关于x 的方程()()()lg 1lg 1lg 2ax x x +=-+-有唯一实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】{}11,3232⎛⎤--- ⎥⎝⎦【解析】【详解】解法一原方程化为()()()2330,1,2f x x a x x =+-+=∈．（1）()()()()112012101,2f f a a a ⎛⎫<⇔++<⇔∈-- ⎪⎝⎭．（2）()10f =即1a =-时，()2430f x x x =-+=的两根分别为1、3，不符合题意．（3）()20f =即12a =-时，()27302f x x x =-+=的两根分别为2，()31,22∈．因此12a =-，符合题意要求．（4）0∆=，即3a =±123a x x =+==解法二2132ax x x +=-+-，因为12x <<，所以()23333x x a x f x x x -+-⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭．()f x 在(上单调递增，在)2上单调递减．又()1322ff =-=-，所以a 的取值范围是{11,32⎛⎤--⋃- ⎥⎝⎦．19．（2019·上海·高三竞赛）若直线ax －by +2=0(a >0，b >0)和函数22(0,1)x y c c c +=+>≠的图象均恒过同一个定点，则11a b+的最小值为________.【答案】52+【解析】【详解】因为y =cx +2+2过定点P (－2，3)，所以直线20ax by -+=也过定点P (－2，3)，于是－2a －3b +2=0，即2a +3b =2.因为211(23)(23)5a b a b ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭11562a b ++，当22,(33a b ==时等号成立.故最小值为52+故答案为：52+20．（2019·重庆·高三竞赛）设A 为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B ={x +y |x ，y ∈A ，x ≠y }，若{}222log 6,log 10,log 15B =，则集合A =_______ . 【答案】{}221,log 3,log 5 【解析】【详解】设{}222log ,log ,log A a b c =，其中0<a <b <c .则ab =6，ac =10，bc =15. 解得a =2，b =3，c =5，从而{}221,log 3,log 5A =. 故答案为：{}221,log 3,log 5．21．（2019·重庆·高三竞赛）函数()1)f x =的最小值为m ，最大值为M ，则Mm=_______ .【解析】设t =t ≥0且22t =+2]t ∈.2()(3)2t f x t =-⋅，令21()(3),2g t t t t =-∈.令()'0=g t 得t =2，3g =，g （2）=－2.所以max min ()3,()2M g t m g t ===-.所以M m =.． 22．（2019·吉林·高三竞赛）已知函数f (x )=-x 2+x +m +2，若关于x 的不等式f (x )≥|x |的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为____________ .【答案】[-2,-1)【解析】【详解】2()||2||f x x x x x m ⇔---.令()2||g x x =-，2()h x x x m =--，在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知，整数解为x =0，故(0)00(1)11f m f m--⎧⎨<--⎩，解得-2≤m <-1.故答案为：[-2,-1)．23．（2019·福建·高三竞赛）已知32()2f x x ax bx =+++的图象关于点(2,0)对称，则(1)f =____________ .【答案】4【解析】【详解】解法一：由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知32(2)(2)(2)(2)2f x x a x b x +=++++++32(6)(412)4210x a x b a x a b =++++++++为奇函数.所以6042100a a b +=⎧⎨++=⎩，解得67a b =-⎧⎨=⎩. 所以f （1）=1+a +b +2=1-6+7+2=4解法二：由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知对任意x ∈R ，(2)(2)0f x f x ++-=. 于是，对任意x ∈R ，32(2)(2)(2)2x a x b x +++++++32(2)(2)(2)20x a x b x -+-+-+=，即2(212)(8220)0a x a b ++++=恒成立.所以212084200a a b +=⎧⎨++=⎩，解得67a b =-⎧⎨=⎩. 所以f （1）=1+a +b +2=1-6+7+2=4解法三：依题意，有f (x )=(x -2)3+m (x -2).利用f (0)=-8-2m =2，得m =-5.于是，f (x )=(x -2)3-5(x -2)，f （1）=-1-(-5)=4.故答案为：4．24．（2019·河南·高二竞赛）已知函数(),,,0)f x a b c R a =∈<的定义域为D .且点(()(,,)s f t s t D ∈形成的图形为正方形，则实数a =____________ .【答案】4-【解析】【详解】由题意可得集合D 是非空闭区间[]12,x x ，其中12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个不等的实数根.由韦达定理可得21x x -=== 其中差()21x x -即区间[]12,x x 的长度.故定义域D 在区间[]12,x x 上恒有ax 2+bx +c ≥0.ax 2+bx +c 在区间[]12,x x 上有最大值和最小值分别为：24,04ac b a -，函数y =M 为⎡⎢⎢⎣.区间M由题设知两个区间D (定义域)和M = 两边平方得222444b ac ac b a a--=，即240a a +=，结合a <0得4a =-.故答案为：4-．25．（2019·河南·高二竞赛）已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈，记M (a ,b )是|f (x )|在区间[-1,1]上的最大值.当a ､b 满足M (a ,b )≤2时，||||a b +的最大值为____________ .【答案】3【解析】【详解】由题意可得：对任意x ∈[−1,1]⩽x 2+ax +b ⩽2，分别取1,1x x ==-，可得：−3⩽a +b ⩽1且−3⩽b −a ⩽1, 易知(){}max max ||||,3a b a b a b +=-+=，且当b =−1，a =2时符合题意，所以|a |+|b |的最大值为3.26．（2019·贵州·高三竞赛）已知函数()3()x x f x e e x -=-⋅，若m 满足()()220.51log log 2e f m f m e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【详解】由()3()e e x x f x x -=-⋅，得到f (－x )=f (x )，且x ∈(0，+∞)时，f (x )是增函数.又由()()220.5e 1log log 2e f m f m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得到()2log (1)f m f .所以2log 1m ，故21log 1m -，得到122m .即m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．27．（2019·广西·高三竞赛）设函数1)([0,1])y x =∈，则y 的最小值为____________ .【答案】2【解析】【详解】令[0,1])u x =∈，则'u =>()'0u x <，由u (x )单调递减，求得2]u ∈，则2(2)2u u y +=单调递增.所以当u =2+故答案为：228．（2019·广西·高三竞赛）已知xyz +y +z =12，则422log log log x y z ++的最大值为____________ .【答案】3【解析】【详解】由已知条件有223123xyz y z xy z =++2264xy z ，则()2242244log log log log log 643x y z xy z ++==，当且仅当14x =，y =z =4时取得最大值3. 故答案为：3．29．（2019·浙江·高三竞赛）如图所示，将长度为1的线段分为x 、y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 的三条边(BD 、DE 、EA )，构成闭“曲边形”ACBDEA ，则该曲边形面积的最大值为____________.【答案】12(4)π+ 【解析】【详解】记圆的半径为r ，矩形的宽为h ，则有122x r x r hπ=⎧⎨-=+⎩12,12x x r h x ππ⎛⎫⇒==-- ⎪⎝⎭，所以曲边形的面积为221122122x x x S x ππππ⎛⎫=⋅+⋅-- ⎪⎝⎭ 22(4)2x x πππ+=-2224244x ππππππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因此，当4x ππ=+时，max 12(4)S π=+. 故答案为：12(4)π+ ．30．（2021·全国·高三竞赛）在同一平面直角坐标系内，()f x ______．【答案】1122⎛+ ⎝⎭【解析】【分析】【详解】反函数为12222()(((5)5)5) 5.(f x x x -=≥----令222211(((5)5)5)5(n a x x a +=----≥=则由已知，有19a a =，且两个函数交点的横坐标为5a ，纵坐标为1a ．由8是{}n a 的一个周期，容易知道1、2、4、8都可能是该数列的周期．若1是周期，则由x =x ，故15a a ==⎝⎭．若1不是周期，则x ≠2是周期，则只需要考虑方程x 解．当x >x x ，无解；当x <x x >>，也无解．故此时无解．同理，当4或8为周期时，也无解．综上，知所求的坐标为1122⎛+ ⎝⎭.故答案为：⎝⎭. 31．（2021·全国·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()1()232f x x a x a a =-+--．若(2)()0f x f x --≤恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】【详解】(2)()0f x f x --≤等价为()(2)f x f x ≤+恒成立．当0x ≥时，()1()232f x x a x a a =-+--．若0a ≤，则当0x ≥时，1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=．因为()f x 是奇函数，所以若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数为增函数，则()(2)f x f x ≤+恒成立．若0a >，若0x a ≤≤时，1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-；当2a x a <≤时，1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-；当2x a >时，1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-．即当0x ≥时，函数的最小值为a -，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()f x 的最大值为a ，作出函数的图象如图：故函数()f x 的图象不能在函数(2)f x +的图象的上方，结合图可得323a a -≤-，即13a ≤，求得103a <≤，综上13a ≤．故答案为：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 32．（2021·全国·高三竞赛）已知函数1()log (1)1a f x a x=>-，若函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹方程恰好为()f x ，若[0,1)x ∈，总有()()f x g x m +≥成立，则m 的取值范围是________．【答案】{}0|m m ≤【解析】【分析】【详解】设()y g x =图象上任意一点(,)P x y ，则P 关于原点的对称点(,)Q x y --在()y f x =的图象上，故1log 1a y x-=+，即()log (1)a g x x =+．由()()f x g x m +≥得1log 1ax m x +≥-，令1()log ,[0,1)1a x F x x x+=∈-，由题意知min ()F x m ≥即可，由于1a >，所以2()log 11a F x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭在[0,1)上是增函数，min ()(0)0F x F ==，所以0m ≤．故答案为：{}0|m m ≤.33．（2021·全国·高三竞赛）设常数a R ∈，函数()()f x a x x =-存在反函数1()f x -，若关于x 的不等式12()()f x m f x -+<对所有的[]2,2x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围为_________.【答案】()12,+∞【解析】【分析】【详解】因为()()00f f a ==且存在反函数()1f x -，所以，()0,a f x x x ==-.显然，函数()f x 在R 上递减.故()()()1212()(())f x m f x f f x m f f x --+<⇔+>，即22(())(())x m f f x m x f f x +>⇒>-+对所有的[]2,2x ∈-恒成立.记223()(())||([2,2])g x x f f x x x x x =-+=-+∈-. 注意到，22324211()||1224g x x x x x x x ⎛⎫=-+≤-+=--≤ ⎪⎝⎭. 当2x =时，上式等号成立，所以()12,m ∈+∞.故答案为：()12,+∞.34．（2021·全国·高三竞赛）设R 上的函数()f x 满足()()2x f f x =．当1x ≤-时，1()21x f x +=-，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】【分析】【详解】显然()f x 是单射，故存在反函数．当x 属于1()f x -定义域时，()()()11()()2f x f x f f f x --==．当(1,0]x ∈-时，12 ()log (1)1f x x -=+-，因此2log (1)11()22x x f x +-+==．同理可得10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时21()2x f x -=；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()f x =代入得34f ⎛⎫== ⎪⎝⎭35．（2021·全国·高三竞赛）若65432()2f x x x x x =--+-+则f 的值为_______．【解析】【分析】【详解】研究二次方程210x --=和210x -+=，即(0x x =和(0x x =．因此0x422()(1)(1)(f x x x x x x =--+-+++故f =36．（2021·全国·高三竞赛）设3()3f x x ax =-+，已知对任意的[0,1]x ∈，都有()1f x ≤，则实数a 的取值范围是___________．【答案】|2a a ⎧≤≤⎨⎩ 【解析】【分析】【详解】依题意，有3131x ax -≤-+≤，当0x =时显然成立，当(0,1]x ∈时，221133x a x x x-≤≤+．由221113322x x x x x +=++≥=由单调性知2132x x -≤，所以2a ≤故答案为：|2a a ⎧≤≤⎨⎩. 37．（2021·全国·高三竞赛）已知函数3232()1,()2()1f x ax ax bx g x ax ax a b x b =---=-+-+-，对任意的实数a 、b ，对于任意的()0,1x ∈，有不等式()()()()f x g x f x g x m ++-≥恒成立，则m 的取值范围是________．【答案】(],2-∞【解析】【分析】【详解】记()()()()()(){}2max ,2f x g x f x g x f x g x M ++-==，则322|()||1||(1)1|M f x ax ax bx ax x bx =---=-++≥，322|()||2()1||(1)(1)1|M g x ax ax a b x b ax x b x =-+-+-=-+--≥，故有()()()()11M x M xM x f x x g x =-+≥-+2222|(1)(1)1||(1)(1)|ax x bx x x ax x bx x x =-+-+-+-+--2222|[(1)(1)1][(1)(1)]|1ax x bx x x ax x bx x x -+-+---+--=≥．因为2m M ≤恒成立，所以2m ≤故答案为：(],2-∞.38．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）实数a 与函数()f x 满足()11f =，且对任意{}\0x R ∈均有()1f af x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令{}(){}\01A x x R f x =∈≤，则()()()1g x f ax f x A x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的值域为______．【答案】253,182⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】【详解】令1x =,并代入(1)1f =,得(1)(1)1112f af a a =-⇒=-⇒=, 即12()f f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∈ 在∈中令1x x →得,11()2f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∈联解∈∈得:11()23f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,故2211121117()(2)449292g x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2221{|\{0}|()1}{|1|2},[1,4],4[4,5]A x x f x x x x x x =∈≤=≤≤∴∈+∈R ∣∣，因此,221117253()4,92182g x x x ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故答案为：253,182⎡⎤⎢⎥⎣⎦.39．（2021·全国·高三竞赛）实数x 、y 满足()()434313,,71113,.y y y y x x y x⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②则x 、y 的大小关系是___________．【答案】x y >##y x < 【解析】【分析】比较x 、y 的大小关系，在等式中比较x 、y 的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反. 【详解】假设x y ≤．由∈知16913y y x -=，由于1313x y ≤，则13169y y y ≥-，从而13911616y y ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设139()1616t tf t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f t 在R 上递减，且()1f y ≥，又22139(2)11616f ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(2)f y f >．于是2y <．由∈知，71113xyx+=，又1111x y ≤，所以71113xxx+≤，即11711313xx⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似上面有2x >．于是x y >与x y ≤矛盾故x y >．故答案为：x y >.40．（2019·吉林·高三竞赛）已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ､b 满足条件20192020,20202019a b ==，则n 的值为____________ . 【答案】1- 【解析】【详解】因为20192020α=，20202019b =，所以1<a <2，0<b <1，故函数f (x )在R 上为增函数.又1(0)10,(1)1110f a f a a b=->-=--<--<，故由零点定理可知，函数f (x )在区间(-1，0)上有唯一的零点，则n 的值是1-. 故答案为：1-．41．（2021·全国·高三竞赛）设0x >，对函数[][]1()111x xf x x x x x +=⎡⎤⎡⎤⋅+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，其值域是_______. 【答案】155,264⎧⎫⎡⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭【解析】【分析】【详解】由于()f x 的表达式中，x 与1x对称.且0x >，不妨设1≥x . （1）当1x =时，11x =，有1(1)2f =. （2）当1x >时，设,01,x n a a n N +=+≤<∈，则1[],0x n x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，故1()1n a n a f x n +++=+. 易证函数1()g x x x =+在[)1,x ∈+∞上递增，故11111n a n n n n a n +++<++++≤，则1111(),,(1,2,)11nn n n n f x I n n n ⎡⎫+++⎪⎢+∈==⎪⎢++⎪⎢⎣⎭故()f x 的值域为12n I I I ⋃⋃⋃⋃.设22211,1(1)n n n a b n n n +==+++，则[),n n n I a b =. 又12(1)(2)n n n a a n n n +--=++，当2n >时，2345n a a a a a =<<<<< ，易知n b 单调递减，故[)2223,n a b I I I =⊇⊇⊇⊇.因为1255101,,,469I I ⎡⎫⎡⎫==⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，所以12125510551,,,46964n I I I I I ⎡⎫⎡⎫⎡⎫⋃⋃⋃⋃=⋃=⋃=⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭.综上所述，值域为155[,)264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：155[,)264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.42．（2021·全国·高三竞赛）已知函数21()(1)1xf x xx-⎛⎫=>⎪+⎝⎭，如果不等式1(1()(f x m m-->对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m的取值范围_______________.【答案】51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】求出)1()01f x x-=<<，将已知条件转化为2(110m m+->对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用换元法转化为2()(1)10g t m t m=++->，对11,42t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，由10,412gg⎧⎛⎫>⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>⎪⎪⎝⎭⎩可解得结果.【详解】22121(1)11xy xx x-⎛⎫⎛⎫==->⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得x=又1x>，2011x∴<<+，20111x∴<-<+，01y∴<<)1()01f xx-∴=<<由题意得(1(mm>对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，1(m m>-，即2(110m m+->对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，显然1m≠-，令t11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11,42t⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以2(1)10m t m++->，对11,42t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令2()(1)1g t m t m=++-是关于t的一次函数，要使()0g t>，对11,42t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，需1412gg⎧⎛⎫>⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>⎪⎪⎝⎭⎩，即221(1)1041(1)102a aa a⎧++->⎪⎪⎨⎪++->⎪⎩，解得：514a -<<，所以实数m 的取值范围51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：∈分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ∈数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ∈讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立三、解答题43．（2019·全国·高三竞赛）设实数a 、b 、c 、d 满足2222331a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩.证明：()()()()33331111a a b b c c d d -=-=-=-. 【答案】见解析【解析】【详解】根据恒等式得()()22222132ab bc cd da ac bd a b c d a b c d ⎡⎤+++++=+++-+++=⎣⎦. 设()()31f x x x =-.只需证明：()()()()f a f b f c f d ===. 注意到，()()()()x a x b x c x d abcd -----()()()432x a b c d x ab bc cd da ac bd x abc bcd cda dab x =-+++++++++-+++()()3432331x x x x x x f x =-+-=-=-.则()()()()()f x abcd x a x b x c x d =-----.令,,,x a b c d =，分别代入上式得()()()()f a f b f c f d ===. ()()()()33331111a a b b c c d d ⇒-=-=-=-.44．（2018·天津·高三竞赛）设1x 、2x 、3x 是方程317180x x --=的三个根，143x -<<-且345x <<.∈求2x 的整数部分；∈求123arctan arctan arctan x x x ++的值.【答案】（1）-2（2）123arctan arctan arctan 4x x x π++=-【解析】【详解】由于1x 、2x 、3x 是方程的根，我们有()()()31231718x x x x x x x x --=---.比较两端的系数可得： 1230x x x ++=， 12233117x x x x x x ++=-，12318x x x =.∈由()14,3x ∈--和()34,5x ∈可知()2132,0x x x =--∈-.注意()31718f x x x =--满足()0180f =-<，()120f -=-<，()280f -=>.所以()f x 在区间()2,1--上有一个根，即()22,1x ∈--.因此2x 的整数部分为-2. ∈设arctan i i x θ=，i=1，2，3.由∈知12,,24ππθθ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且3,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ .因此1233.04πθθθ⎛⎫++∈- ⎪⎝⎭.注意()1212121212tan tan tan 1tan tan 1x x x x θθθθθθ+++==-- 从而()()()123123123tan tan tan 1tan tan θθθθθθθθθ++++=-+1231212312111x x x x x x x x x x ++-=+--()1231231223311x x x x x x x x x x x x ++-=-++()0181117-==---.这表明1234πθθθ++=-，即123arctan arctan arctan 4x x x π++=-.45．（2019·全国·高三竞赛）设a ､b ､c 均大于1，满足lg log 3lg log 4b a a c b c +=⎧⎨+=⎩，求lg lg a c ⋅的最大值.【答案】163【解析】【详解】设lg a =x ，lg b =y ，lg c =z ，由a ，b ，c >1可知x ，y ，z >0. 由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==. 由此，令x =3t ，y =4t (t >0)，则241212z x xy t t =-=-. 其中由z >0可知t ∈(0，1). 因此，结合三元平均值不等式得lg lg 312(1)a c xz t t t ==⋅-218(22)t t =⋅-3(22)183t t t ++-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭32161833⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭. 当22t t =-，即23t =(相应的a ､b ､c 分别为8833100,10,10)时，lg lg a c 取到最大值163. 46．（2021·全国·高三竞赛）已知函数()()()[]221,1,1f x x x bx c x =-++∈-，记()f x 的最大值为(),M b c ．当b 、c变化时，求(),M b c 的最小值．【答案】3- 【解析】【分析】【详解】因为对任意的[]()()1,1,,x f x M b c ∈-≤，所以取0,1,x λ=±±，0，得：()()()()()()()()()()()()()()()()()22221,,1,,,,0,,1,,?,,1,.,,f M b c f M b c c M b c f M b c b c M b c f M b c b c M b c f M b c λλλλλλλλ⎧-≤⎪⎧⎪≤≤⎪⎪⎪⎪≤⇒-++≤⎨⎨⎪⎪-≤⎪⎪--+≤⎩⎪≤⎪⎩则()()()()()()2222212,1,c M b c c M b c λλλλ-+≤⇔-+≤，故()()()()()()2222221112,c c M b c λλλλλλ-≤-++-≤-，则()()2221,2M b c λλλ-≥-，所以()()222max1,32M b c λλλ⎛⎫-⎪≥=- ⎪-⎝⎭ 此时可取30,3M b c =-==，此时()()(222213320xxx -+≤--≥．显然可以取到．综上，(),M b c 的最小值为3-47．（2018·山东·高三竞赛）实数a 、b 、c 满足()2220a b c λλ++=>，试求()()(){}222min ,,f a b b c c a =---的最大值．【答案】max 2f λ=【解析】【详解】不妨设a b c ≤≤，令b a s =+，c a s t =++，0s ≥，0t ≥，则由条件知()()222a a b a s t λ+++++=，整理成关于a 的一元二次方程()222322220a s t a s st t λ+++++-=．因为方程有解，则()()2224212220s t s st t λ∆=+-++-≥，解得2232s st t λ++≤．上式关于s 、t 对称，不妨设0s t ≤≤，()()(){}2222min ,,f a b b c c a s =---=，又因为222332s st t s λ≥++≥，所以22s λ≤．当且仅当s t ==a =，0b =，c =max 2f λ=．48．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈，且满足222121n a a a +++=，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n 为偶数时，最大值为n 为奇数时，最大值为【解析】【分析】【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立. （1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112n n ni i i i i i i i a a a a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立. （2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a -----必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn ni i i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122aa a a a -++=，所以：23A 22ni i a a ==+≤≤=∑ 当且仅当12413110,,11a a a a a n n =======---或12413110,,11a a a a a n n ====-===--时等号成立. 49．（2021·全国·高三竞赛）对于区间[,]()I a b a b =<与函数()()y f x x =∈R ，定义区间Ⅰ的长度为{},()(),I b a f I y y f x x I =-==∈．已知二次函数()f x 对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有()1f I ≥，求证：对于任何长度为2的区间J ，均有()4f J ≥．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，记2b v a =-．取区间11,22I v v ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，22111()()222f I f v f v a v b v av bv ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111424av a b a =++=．由1I =，可得()1f I ≥，所以4a ≥．对任意长度为2的区间J ，一定存在,x y J ∈，1y x -=，且(,)v x y ∉，记[,]J x y '=，则()22()()()f J f J f x f y ax bx c ay by c ≥=-=++---' ()22()()()a x y b x y x y a x y b a x y b =-+-=-++=++ba x y a=++．因为(,)v x y ∉，所以1222122x y x y v v ++-=-≥⨯=，即1bx y a ++≥，所以()4bf J a x y a≥++≥． 50．（2018·湖北·高三竞赛）已知正数a b 、满足1a b +=，求M =.【解析】【详解】由柯西不等式可得()()2221212a a λλ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，()22225511212b b μμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以52b M μ+=， ∈ 取等号的条件分别为 2214a λ=， ∈222512.b μ⎛⎫⎪⎝⎭= ∈=时，有2241μλ=+，结合∈∈得222151.12b a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又1a b +=，所以()22225121b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-，整理得 43214428826350250b b b b -++-=，故()()3241366350250.b b b b --++= ∈记()3236635025f b b b b =-++，则()22753108126501080124f b b b b ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭'，所以()f b 在()0,1上为增函数，故当01b <<时，()()0250.f b f >=>于是，由∈可得14b =，从而3.4a = 代入∈∈求得25,.33λμ==代入∈式，整理得M ≥，因此M .。

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高中数学竞赛函数练习题
（幂函数、指数函数、对数函数）
一、选择题
1．定义在R 上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x +1)，则
A ．g(x)=x, h(x)=lg(10x +10-x +2)
B ．g(x)=
21[lg(10x +1)+x], h(x)=2
1[lg(10x +1)－x] C ．g(x)=21x, h(x)= lg(10x +1)－2
1x D ．g(x)=－21x, h(x)= lg(10x +1)－21x 2．若(log 23)x －(log 53)x ≥(log 23)-y －(log 53)-y ，则
A ．x －y ≥0
B ．x+y ≥0
C ．x －y ≤0
D ．x+y ≤0
3．已知f(x)=ax 2－c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是
A ．7≤f(3)≤26
B ．－4≤f(3)≤15
C ．－1≤f(3)≤20
D ．－338≤f(3)≤3
35 4．已知f(n)=log n (n+1) (n ∈N*且n ≥2)，设∑=10232)(100log 1n n f =
p q (p,q ∈N*且(p,q)=1)，则p+q= A ．3 B ．1023 C ．2000 D ．2001
5．如果y=log 56•log 67•log 78•log 89•log 910，则
A ．y ∈(0,1)
B ．y=1
C ．y ∈(1,2)
D ．y ∈[2,3]
6．若实数a, x 满足a>x>1，且A=log a (log a x)，B=log a 2x, C=log a x 2，则
A ．A>C>
B B ．C>B>A
C ．B>C>A
D ．C>A>B
7．设a>0,a ≠1，函数f(x)=log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是
A ．a>1
B ．a>1或61≤a<4
1 C ．a>1或
81≤a<41 D ．a>1或61<a<4
1 8．f(x)是同期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f(x)=2x －1，则f(24log 21)的值是 A ．－2423 B ．－65 C ．－25 D ．－2
1 二、填空题
9．设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数，g(x)=x x b 2
4-是奇函数，则a+b 的值为。

三、解答题
10．已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x ∈(-1,0)时，f(x)=2x 。

①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(18log 2
1)的值。

11．解方程lg(4x +2)=lg2x +lg3。

12．设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0
01221x x x x ，解不等式f(x)>1。

13．设f(x)=221
+x ，求f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)。

14．求函数f(x)=3•4x －2x (x ≥0)的最小值。

15．设函数f(x)=|lgx|，若0<a<b 且f(a)>f(b)，证明：ab<1。

16．设不等式2(x 21log )2+9x 2
1log +9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数
f(x)=(log 2
2x )(log 28
x )的最大值、最小值。

17．已知实数t 满足关系式log a 3a t =log t 3a y (a>0,a ≠1) ①令t=a x ，求y=f(x)的表达式；
②若x ∈(0,2)时，y min =8，求a 和x 的值。

18．解不等式|x
2
1log 1+2|>23。

19．解不等式1log 2-x +2132
1log x +2>0。

20．已知a 、b 、c 、d 均为正整数，且log a b=
23, log c d=45，若a －c ＝9，求b －d 。

21．已知函数f(x)=ln[3x －x a a )22(23--]的定义域为(0,+∞)，求实数a 的取值范围。

22．解方程log 5(3x +4x )=log 4(5x －3x )。

23．设f(x)=lg n
a n n x x x +-+++)1(21Λ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数，且n ≥2。

如果f(x)当x ∈(－∞,1)时有意义，求a 的取值范围。

24．f 是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,都有f(x u •y v )≤u x f 41)
(•v y f 41)(成立，试确定所有这样的函数f 。