等差数列性质经典题

等差数列的性质

例1.等差数列{}n a 的前n 项和为，已知2

110m m m a a a -++-=，2138m s -=,则m =( )A 38 B 20 C 10 D 9分析：根据等差中项的性质112m m m a a a -++= ，列方程解题

解：由得2

110m m m a a a -++-=和

112m m m

a a a -++=，得，0m

a =或者2m a =，又2138m s -= ，故

2

m a =

，

则

()()()()()12121212122121238

2

2

10

m m

m m m a a m a S m a m m ---+-=

==-=-=⇒=

总结：找到21m S -和m a 的关系是解题的关键 例2.若19122020a a a a +++=，则20S ；

分析：利用等差数列的下标和公式：()p q m n p q m n a a a a +=++=+

解：由

()191220120220

a a a a a a +++=+=，所以12010

a a +=。

()

()20

1201202010100

2

a a S a a +=

=+=

总结：等差数列的求和公式有两个：

()12

n n n a a S +=

和

()112

n n n n d

S a -=+，要选择合适的

公式去解题。

例3.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为n S 、n T .若()71427n n n n N n S T +

+=∈+求77

a b ； 分析：将项的比值转化为前n 和的比值；

解：()()()()1131137113137113131131131

713192221413277922

n

a a a a a a a S n

b b b T b b

b b ++++======++++ 总结：要注意用的差数列的等差中项的性质以及n a 和

n

S 之间的转换

，

()()121121122n n n n n

a a S a a a n n

--+=+==

例4．已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为n S ，10301070S S ==，，则40S

等于 。

分析：n S 是等差数列{}n a 的前n 项之和，则有,2,,3,2,m m m m m S S S S S --也是等差数列； 解：设20S x =，则10,20,10,30,20,S S S S S --也是等差数列；

∴()()20101030202S S S S S -=+-

∴()()2101070x x -=+-

∴1003x =

也即是20100

3S =

∴()()()302020104030402120S S S S S S S -=-+-⇒=

法二：由题意：111

2109101052302923070215a a d a d d ⋅⎧⎧

=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⋅⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩

代入得1404039

401202

a S d ⋅=+

=。 总结：题目有时候不一定只有一种情况，要注意思考其他的解题思路

例5已知数列{}n a 为等差数列，若11

10

1a a <-，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >的n 的最大值为多少？ 分析：要估计数列{}n a 从哪一项开始正负变化了。然后用

n

a 去表示

n

S ，从而推知

n

S 的正

负。

解：由前n 项和n S 有最大值可知10,0

a d ><，又因为11

10

1a a <-，所以10110,0a a ><，且

()11910

19101919219022

a a a S a +⋅=

==>

()()

()1201011201011202010022

a a a a S a a ++===+<

所以使得0n S ＞的n 的最大值19n =， 故答案为19．

总结：要结合等差数列的等差中项性质和下标和公式去解题。

例6.设等差数列前n 项和为n S ，已知312131200a S S =，＞，＜

， （1）求公差d 的取值范围；

（2）指出12312S S S S ⋯，，，

，中哪一个值最大，并说明理由。 分析：由121300S S ＞，＜

列出有关于1a 和d 的不等式去解题

n a 中，n S 为前n 项和：若已知首项131a =，且311S S =，则此数列前 项的和最大 7